Sundhed - Soundness
I logik , mere præcist i deduktive ræsonnement , en argument er lyd , hvis det er både gyldige i form og sine lokaler er sande. Lydighed har også en beslægtet betydning i matematisk logik , hvor logiske systemer er sunde, hvis og kun hvis enhver formel, der kan bevises i systemet, er logisk gyldig med hensyn til systemets semantik .
Definition
I deduktiv begrundelse er et godt argument et argument, der er gyldigt, og alle dets præmisser er sande (og som en konsekvens er konklusionen også sand). Et argument er gyldigt, hvis konklusionen skal være sand , hvis den antager, at dens præmisser er sande. Et eksempel på et godt argument er følgende velkendte syllogisme :
- Alle mænd er dødelige.
- Sokrates er en mand.
- Derfor er Sokrates dødelig.
På grund af konklusionens logiske nødvendighed er dette argument gyldigt; og fordi argumentet er gyldigt og dets præmisser er sande, er argumentet forsvarligt.
Et argument kan imidlertid være gyldigt uden at være forsvarligt. For eksempel:
- Alle fugle kan flyve.
- Pingviner er fugle.
- Derfor kan pingviner flyve.
Dette argument er gyldigt, fordi konklusionen skal være sand, forudsat at præmisserne er sande. Den første forudsætning er imidlertid falsk. Ikke alle fugle kan flyve (pingviner, strudse, kiwier osv.) For at et argument skal være forsvarligt, skal argumentet være gyldigt, og dets præmisser skal være sande.
Brug i matematisk logik
Logiske systemer
I matematisk logik har et logisk system soundness -egenskaben, hvis og kun hvis enhver formel, der kan bevises i systemet, er logisk gyldig med hensyn til systemets semantik . I de fleste tilfælde kommer dette til at dens regler har egenskaben at bevare sandheden . Det modsatte af sundhed er kendt som fuldstændighed .
Et logisk system med syntaktisk entailment og semantisk entailment er lyden hvis en eller anden sekvens af sætninger i dens sprog, hvis , så . Med andre ord er et system sundt, når alle dets sætninger er tautologier .
Lethed er blandt de mest grundlæggende egenskaber ved matematisk logik. Egenskaben for sundhed giver den første grund til at tælle et logisk system som ønskeligt. De fuldstændighed ejendom betyder, at hver gyldighed (sandheden) er bevislig. Sammen antyder de, at alle gyldigheder kun kan bevises.
De fleste beviser for sundhed er trivielle. For eksempel i et aksiomatisk system er bevis på sundhed en bekræftelse af aksiomernes gyldighed, og at slutningsreglerne bevarer gyldigheden (eller den svagere ejendom, sandheden). Hvis systemet tillader fradrag i Hilbert-stil , kræver det kun at verificere aksiomernes gyldighed og en slutningsregel, nemlig modus ponens . (og nogle gange substitution)
Lydhedsegenskaber findes i to hovedvarianter: svag og stærk sundhed, hvoraf førstnævnte er en begrænset form for sidstnævnte.
Sundhed
Lydigheden af et deduktivt system er den egenskab, at enhver sætning, der kan bevises i det deduktive system, også er sand på alle fortolkninger eller strukturer i den semantiske teori for det sprog, som denne teori er baseret på. I symboler, hvor S er den deduktive system L sproget sammen med sin semantiske teori, og P en sætning i L : hvis ⊢ S P , så også ⊨ L P .
Stærk sundhed
Stærk sundhed af et deduktivt system er den egenskab, at enhver sætning P i det sprog, som det deduktive system er baseret på, der kan udledes fra et sæt Γ af sætninger i dette sprog, også er en logisk konsekvens af dette sæt, i den forstand, at enhver model der gør alle medlemmer af Γ sand vil også gøre P sand. I symboler hvor Γ er et sæt af sætninger af L : hvis Γ ⊢ S P , så også Γ ⊨ L P . Bemærk, at i erklæringen om stærk sundhed, når Γ er tom, har vi erklæringen om svag sundhed.
Aritmetisk sundhed
Hvis T er en teori, hvis diskursobjekter kan tolkes som naturlige tal , siger vi, at T er aritmetisk sund, hvis alle sætninger i T faktisk er sande om de matematiske standardtal. For mere information, se ω-konsistent teori .
Forhold til fuldstændighed
Det modsatte af sundhedsegenskaben er den semantiske fuldstændighedsegenskab . Et deduktivt system med en semantisk teori er stærkt komplet, hvis hver sætning P, der er en semantisk konsekvens af et sæt sætninger Γ kan udledes i fradragssystemet fra dette sæt. I symboler: når y ⊨ P , så også y ⊢ P . Fuldstændighed af førsteordens logik blev først udtrykkeligt fastslået af Gödel , selvom nogle af hovedresultaterne var indeholdt i tidligere arbejde fra Skolem .
Uformelt udtrykker en sundhedssætning for et deduktivt system, at alle bevisbare sætninger er sande. Fuldstændighed siger, at alle sande sætninger kan bevises.
Gödels første ufuldstændighedssætning viser, at for sprog, der er tilstrækkelige til at udføre en vis aritmetik, kan der ikke være noget konsekvent og effektivt deduktivt system, der er komplet med hensyn til den påtænkte fortolkning af symbolikken i dette sprog. Således er ikke alle lydfraduktive systemer komplette i denne særlige følelse af fuldstændighed, hvor klassen af modeller (op til isomorfisme ) er begrænset til den tiltænkte. Det originale fuldstændighedsbevis gælder for alle klassiske modeller, ikke en særlig ordentlig underklasse af de tilsigtede.
Se også
Referencer
Bibliografi
- Hinman, P. (2005). Grundlaget for matematisk logik . AK Peters. ISBN 1-56881-262-0.
- Copi, Irving (1979), Symbolic Logic (5. udgave), Macmillan Publishing Co., ISBN 0-02-324880-7
- Boolos, Burgess, Jeffrey. Beregnelighed og logik , 4. udgave, Cambridge, 2002.