Formodning - Conjecture

Den virkelige del (rød) og imaginær del (blå) af Riemann zeta -funktionen langs den kritiske linje Re ( s ) = 1/2. De første ikke-trivielle nuller kan ses ved Im ( s ) = ± 14.135, ± 21.022 og ± 25.011. Den Riemann hypotese , en berømt formodninger, siger, at alle ikke-trivielle nuller af zeta funktion ligger langs den kritiske linje.

I matematik er en formodning en konklusion eller et forslag, der mistænkes for at være sandt på grund af foreløbige underbyggende beviser, men som der endnu ikke er fundet beviser for eller bevis for . Nogle formodninger, såsom Riemann -hypotesen (stadig en formodning) eller Fermats sidste sætning (en formodning indtil beviset i 1995 af Andrew Wiles ), har formet meget af matematisk historie, da nye matematikområder udvikles for at bevise dem.

Vigtige eksempler

Fermats sidste sætning

I talteori , Fermats sidste sætning (undertiden kaldet Fermats formodninger , især i ældre tekster), at der ikke tre positive heltal , og kan tilfredsstille ligningen for ethvert heltal værdi større end to. ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle a^{n}+b^{n} = c^{n}}$ ${\ displaystyle n}$

Denne sætning blev først formodet af Pierre de Fermat i 1637 i margen på en kopi af Arithmetica , hvor han hævdede, at han havde et bevis, der var for stort til at passe i margenen. Det første vellykkede bevis blev frigivet i 1994 af Andrew Wiles , og formelt udgivet i 1995, efter 358 års indsats af matematikere. Det uløste problem stimulerede udviklingen af algebraisk talteori i det 19. århundrede og beviset for modularitetsteoremet i det 20. århundrede. Det er blandt de mest bemærkelsesværdige sætninger i matematikhistorien , og før dets bevis var det i Guinness Book of World Records for "sværeste matematiske problemer".

Sætning i fire farver

En firfarvning af et kort over USA's stater (ignorerer søer).

I matematik siger de fire farvesætninger eller teoremet med fire farver, at givet enhver adskillelse af et plan til sammenhængende områder, der producerer en figur kaldet et kort , kræves der ikke mere end fire farver for at farve kortets områder - så at ikke to tilstødende områder har samme farve. To regioner kaldes tilstødende, hvis de deler en fælles grænse, der ikke er et hjørne, hvor hjørner er punkterne, der deles af tre eller flere regioner. For eksempel på kortet over USA er Utah og Arizona tilstødende, men Utah og New Mexico, som kun deler et punkt, der også tilhører Arizona og Colorado, er ikke.

Möbius nævnte problemet i sine foredrag allerede i 1840. Formodningen blev først foreslået den 23. oktober 1852, da Francis Guthrie , mens han forsøgte at farve kortet over landene i England, bemærkede, at der kun var brug for fire forskellige farver. Den fem farve sætning , som har en kort elementær bevis, hedder det, at fem farver tilstrækkeligt til at farve et kort og blev bevist i slutningen af det 19. århundrede; Det viste sig dog at være tilstrækkeligt hårdere med fire farver. En række falske beviser og falske modeksempler er vist siden den første sætning af de fire farve sætninger i 1852.

Sætningen med fire farver blev i sidste ende bevist i 1976 af Kenneth Appel og Wolfgang Haken . Det var den første store sætning, der skulle bevises ved hjælp af en computer . Appel og Hakens tilgang startede med at vise, at der er et bestemt sæt på 1.936 kort, som hver ikke kan være en del af et mindsteeksempel på de fire farvesætninger (dvs. hvis de viste sig, kunne man lave et mindre modeksempel ). Appel og Haken brugte et specielt computerprogram til at bekræfte, at hvert af disse kort havde denne egenskab. Derudover skal ethvert kort, der potentielt kan være et modeksempel, have en del, der ligner et af disse 1.936 kort. Viser dette med hundredvis af sider med håndanalyse, konkluderede Appel og Haken, at der ikke findes et mindste modeksempel, fordi et af disse 1.936 kort skal indeholde, men ikke indeholde, et. Denne modsigelse betyder, at der slet ikke er nogen modeksempler, og at sætningen derfor er sand. I første omgang blev deres bevis slet ikke accepteret af matematikere, fordi det computerassisterede bevis var umuligt for et menneske at kontrollere i hånden. Imidlertid har beviset siden fået større accept, selvom der stadig er tvivl.

Hauptvermutung

Den Hauptvermutung (tysk for vigtigste formodninger) af geometrisk topologi er den formodning, at to vilkårlige trianguleringer af en triangulable rum har en fælles raffinement, en enkelt triangulering, der er en underafdeling af dem begge. Det blev oprindeligt formuleret i 1908 af Steinitz og Tietze .

Denne formodning vides nu at være falsk. Den ikke-mangfoldige version blev modbevist af John Milnor i 1961 ved hjælp af Reidemeister torsion .

Den manifold version er sandt i dimensioner m ≤ 3 . Tilfældene m = 2 og 3 blev bevist af Tibor Radó og Edwin E. Moise i henholdsvis 1920'erne og 1950'erne.

Weil formodninger

I matematik var Weil-formodningerne nogle meget indflydelsesrige forslag af André Weil ( 1949 ) om de genererende funktioner (kendt som lokale zeta-funktioner ), der stammer fra at tælle antallet af punkter på algebraiske sorter over begrænsede felter .

En sort V over et begrænset felt med q elementer har et begrænset antal rationelle punkter , samt punkter over hvert begrænset felt med q ^k elementer, der indeholder dette felt. Genereringsfunktionen har koefficienter afledt af numrene N _k over punkter (det i det væsentlige unikke) felt med q ^k -elementer.

Weil formodede, at sådanne zeta-funktioner skulle være rationelle funktioner , skulle tilfredsstille en form for funktionel ligning og skulle have deres nuller på begrænsede steder. De to sidste dele var ganske bevidst modelleret efter Riemann zeta -funktionen og Riemann -hypotesen . Rationaliteten blev bevist af Dwork (1960) , den funktionelle ligning af Grothendieck (1965) , og analogen af Riemann -hypotesen blev bevist af Deligne (1974)

Poincaré formodning

I matematik , den poincaréformodningen er en sætning om karakteriseringen af 3-sfære , hvilket er den hypersphere der afgrænser enhed bolden i fire-dimensionelle rum. Formodningen siger, at:

Hver enkelt tilsluttet , lukket 3- manifold er homeomorf i forhold til 3-kuglen.

En ækvivalent form for formodningen involverer en grovere form for ækvivalens end homeomorfisme kaldet homotopiækvivalens : hvis en 3-manifold er homotopi ækvivalent med 3-kuglen, så er den nødvendigvis homøomorfisk med den.

Sætningen blev oprindeligt formodet af Henri Poincaré og vedrører et rum, der lokalt ligner et almindeligt tredimensionelt rum, men er forbundet, begrænset i størrelse og mangler nogen grænse (en lukket 3-manifold ). Poincaré-formodningen hævder, at hvis et sådant rum har den ekstra egenskab, at hver sløjfe i rummet kontinuerligt kan strammes til et punkt, så er det nødvendigvis en tredimensionel sfære. Et analogt resultat har været kendt i højere dimensioner i nogen tid.

Efter næsten et århundredes indsats fra matematikere fremlagde Grigori Perelman et bevis på formodningen i tre papirer, der blev stillet til rådighed i 2002 og 2003 om arXiv . Beviset fulgte videre fra Richard S. Hamiltons program om at bruge Ricci -strømmen til at forsøge at løse problemet. Hamilton introducerede senere en ændring af standard Ricci -strømmen, kaldet Ricci -flow med kirurgi for systematisk at afskære enkelte områder, efterhånden som de udvikler sig på en kontrolleret måde, men var ikke i stand til at bevise, at denne metode "konvergerede" i tre dimensioner. Perelman fuldførte denne del af beviset. Flere hold matematikere har verificeret, at Perelmans bevis er korrekt.

Poincaré -formodningen, før den blev bevist, var et af de vigtigste åbne spørgsmål inden for topologi .

Riemann -hypotese

I matematik er Riemann-hypotesen , foreslået af Bernhard Riemann ( 1859 ), en formodning om, at de ikke-trivielle nuller i Riemann zeta-funktionen alle har reel del 1/2. Navnet bruges også til nogle nært beslægtede analoger, såsom Riemann -hypotesen for kurver over begrænsede felter .

Riemann -hypotesen indebærer resultater om fordelingen af primtal . Sammen med passende generaliseringer betragter nogle matematikere det som det vigtigste uløste problem i ren matematik . Riemann -hypotesen er sammen med Goldbach -formodningen en del af Hilberts ottende problem i David Hilberts liste over 23 uløste problemer ; det er også et af Clay Mathematics Institute Millennium Prize Problemer .

P versus NP problem

Den P versus NP er et stort uløst problem i datalogi . Uformelt spørger den, om ethvert problem, hvis løsning hurtigt kan verificeres af en computer, også hurtigt kan løses af en computer; det formodes bredt, at svaret er nej. Det blev hovedsageligt nævnt første gang i et brev fra 1956 skrevet af Kurt Gödel til John von Neumann . Gödel spurgte, om et bestemt NP-komplet problem kunne løses i kvadratisk eller lineær tid. Den præcise erklæring om P = NP -problemet blev introduceret i 1971 af Stephen Cook i sit seminalpapir "Kompleksiteten af sætningsprocedurer" og anses af mange for at være det vigtigste åbne problem på området. Det er en af de syv Millennium Prize Problemer udvalgt af Clay Mathematics Institute til at bære en US $ 1.000.000 prisen for den første rigtige løsning.

Andre formodninger

Goldbachs formodning
Den primtalstvillinger formodninger
Den Collatz formodninger
Den Manin formodninger
Den Maldacena formodninger
Den Euler formodninger , af Euler foreslået i det 18. århundrede, men for hvilke counterexamples for en række eksponenter (begyndende med n = 4) findes der begynder i midten af det 20. århundrede
De Hardy-Littlewood formodninger er et par formodninger vedrørende fordelingen af primtal, hvoraf den første udvider sig ved den førnævnte primtalstvillinger formodninger. Ingen af dem er hverken blevet bevist eller modbevist, men det er blevet bevist, at begge dele ikke samtidigt kan være sande (dvs. mindst én skal være falsk). Det er ikke bevist, hvilken der er falsk, men det er en udbredt opfattelse, at den første formodning er sand, og den anden er falsk.
Den Langlands Programmet er et vidtrækkende netværk af disse ideer om ' samlende formodninger ', der linker forskellige delfelter af matematik (fx mellem talteori og repræsentation teori af Lie grupper ). Nogle af disse formodninger er siden blevet bevist.

Opløsning af formodninger

Bevis

Formel matematik er baseret på beviselig sandhed. I matematik er et vilkårligt antal tilfælde, der understøtter en universelt kvantificeret formodning, uanset hvor stor, det er utilstrækkeligt til at fastslå formodningens rigtighed, da et enkelt modeksempel umiddelbart kunne nedbringe formodningen. Matematiske tidsskrifter offentliggør undertiden de mindre resultater af forskerhold, der har forlænget søgningen efter et modeksempel længere end tidligere gjort. F.eks. Er Collatz -formodningen , der vedrører, om visse sekvenser af heltal slutter eller ej , blevet testet for alle heltal op til 1,2 × 10 ¹² (over en billion). Manglen på at finde et modeksempel efter omfattende søgning udgør imidlertid ikke et bevis på, at formodningen er sand - fordi formodningen kan være falsk, men med et meget stort minimalt modeksempel.

Ikke desto mindre betragter matematikere ofte en formodning som stærkt understøttet af beviser, selvom den endnu ikke er bevist. Dette bevis kan være af forskellig art, såsom verifikation af konsekvenserne af det eller stærke sammenhænge med kendte resultater.

En formodning anses kun for bevist, når det er blevet vist, at det logisk er umuligt for den at være falsk. Der er forskellige metoder til at gøre det; se metoder til matematisk bevis for flere detaljer.

En bevismetode, der kan anvendes, når der kun er et begrænset antal tilfælde, der kan føre til modeksempler, er kendt som " brute force ": i denne tilgang betragtes alle mulige tilfælde og viser sig ikke at give modeksempler. I nogle tilfælde er antallet af sager ganske stort, i hvilket tilfælde et brute-force-bevis praktisk kan kræve brug af en computeralgoritme til at kontrollere alle sagerne. F.eks. Blev gyldigheden af 1976- og 1997-brute-force-beviser for de fire farvesætninger ved computer i første omgang tvivlet, men blev til sidst bekræftet i 2005 af teorem-bevisende software.

Når en formodning er blevet bevist , er det ikke længere en formodning, men en sætning . Mange vigtige sætninger var engang formodninger, såsom Geometrization -sætningen (som løste Poincaré -formodningen ), Fermats sidste sætning og andre.

Afvisende

Formodninger modbevist gennem modeksempel omtales undertiden som falske formodninger (jf. Pólya -formodningen og Eulers sum af beføjelser ). I tilfælde af sidstnævnte involverede det første modeksempel, der blev fundet for n = 4 -sagen, tal i millioner, selvom det efterfølgende er blevet konstateret, at det minimale modeksempel faktisk er mindre.

Uafhængige formodninger

Ikke alle formodninger ender med at blive bevist sande eller falske. Den kontinuumhypotesen , der forsøger at fastslå den relative kardinaliteten af visse uendelige sæt , blev til sidst vist sig at være uafhængig af den generelt accepterede sæt Zermelo-Fraenkel aksiomer af mængdelære. Det er derfor muligt at indføre denne erklæring, eller dens negation, som ny aksiom på en ensartet måde (meget som Euclid 's parallel postulat kan tages enten som sand eller falsk i et aksiomatisk system til geometri).

I dette tilfælde, hvis et bevis bruger dette udsagn, vil forskere ofte lede efter et nyt bevis, der ikke kræver hypotesen (på samme måde som det er ønskeligt, at udsagn i euklidisk geometri kun bevises ved hjælp af aksiomerne neutral geometri, dvs. uden det parallelle postulat). Den eneste store undtagelse fra dette i praksis er valgfrit aksiom , da de fleste forskere normalt ikke bekymrer sig om, hvorvidt et resultat kræver det - medmindre de studerer dette aksiom især.

Betingede beviser

Nogle gange kaldes en formodning for en hypotese, når den bruges ofte og gentagne gange som en antagelse i beviser for andre resultater. For eksempel er Riemann -hypotesen en formodning fra talteori, der - blandt andet - gør forudsigelser om fordelingen af primtal . Få talteoretikere tvivler på, at Riemann -hypotesen er sand. Faktisk har nogle i påvente af dets eventuelle bevis endda gået videre med at udvikle yderligere beviser, der er betinget af sandheden i denne formodning. Disse kaldes betingede beviser : De formodede formodninger optræder i teoremets hypoteser foreløbig.

Disse "beviser" ville imidlertid falde fra hinanden, hvis det viste sig, at hypotesen var falsk, så der er stor interesse i at verificere sandheden eller falskheden i formodninger af denne type.

I andre videnskaber

Karl Popper var banebrydende for brugen af udtrykket "formodninger" i videnskabelig filosofi . Formodning er relateret til hypotese , som i videnskaben refererer til en testbar formodning.

Se også

Referencer

eksterne links

Medier relateret til formodninger på Wikimedia Commons
Åben problemhave
Websted for uløste problemer

Languages

In other projects