Modeksempel - Counterexample

En modeksempel er enhver undtagelse fra en generalisering . I logik modbeviser et modeksempel generaliseringen og gør det strengt inden for matematik og filosofi . For eksempel er det faktum, at "John Smith ikke er en doven studerende" et modeksempel til generaliseringen "studerende er dovne", og et både et modeksempel til og manglende sikkerhed for generaliseringen "alle studerende er dovne."

I matematik bruges udtrykket "modeksempel" også (ved et let misbrug) til at henvise til eksempler, der illustrerer nødvendigheden af ​​en fuldstændig hypotese af en sætning. Dette gøres oftest ved at overveje et tilfælde, hvor en del af hypotesen ikke er opfyldt, og sætningens afslutning ikke holder.

I matematik

I matematik bruges modeksempler ofte til at bevise grænserne for mulige sætninger. Ved at bruge modeksempler til at vise, at visse formodninger er falske, kan matematiske forskere derefter undgå at gå ned ad blinde gyder og lære at ændre formodninger for at producere beviselige sætninger. Det siges undertiden, at matematisk udvikling primært består i at finde (og bevise) sætninger og modeksempler.

Eksempel på rektangel

Antag at en matematiker studerer geometri og former , og hun ønsker at bevise bestemte sætninger om dem. Hun antager, at "Alle rektangler er firkanter ", og hun er interesseret i at vide, om denne påstand er sand eller falsk.

I dette tilfælde kan hun enten forsøge at bevise sandheden af ​​udsagnet ved hjælp af deduktiv ræsonnement , eller hun kan forsøge at finde en modeksempel på udsagnet, hvis hun har mistanke om, at den er falsk. I sidstnævnte tilfælde ville en modeksempel være et rektangel, der ikke er et kvadrat, såsom et rektangel med to sider af længde 5 og to sider af længde 7. Men på trods af at hun har fundet rektangler, der ikke var kvadrater, alle de rektangler, hun gjorde find havde fire sider. Derefter fremsætter hun den nye formodning "Alle rektangler har fire sider". Dette er logisk svagere end hendes oprindelige formodning, da hver firkant har fire sider, men ikke hver firesidet form er en firkant.

Ovenstående eksempel forklarede - på en forenklet måde - hvordan en matematiker kan svække hendes formodninger over for modeksempler, men modeksempler kan også bruges til at demonstrere nødvendigheden af ​​visse antagelser og hypoteser . Antag for eksempel, at ovennævnte matematiker efter et stykke tid slog sig ned på den nye formodning "Alle figurer, der er rektangler og har fire sider af samme længde, er firkanter". Denne formodning har to dele af hypotesen: formen skal være 'et rektangel' og skal have 'fire sider af samme længde'. Matematikeren vil så gerne vide, om hun kan fjerne begge antagelser og stadig bevare sandheden af ​​hendes formodning. Dette betyder, at hun skal kontrollere sandheden i følgende to udsagn:

  1. "Alle former, der er rektangler, er firkanter."
  2. "Alle figurer, der har fire sider af samme længde, er firkanter".

En modeksempel til (1) blev allerede givet ovenfor, og en modeksempel til (2) er en ikke-kvadratisk rombe . Således ved matematikeren nu, at begge antagelser virkelig var nødvendige.

Andre matematiske eksempler

Se også: Modeksempler i topologi og minimal modeksempel

Et modeksempel til udsagnet "alle primtal er ulige tal " er tallet 2, da det er et primtal men ikke er et ulige tal. Ingen af ​​tallene 7 eller 10 er et modeksempel, da ingen af ​​dem er nok til at modsige udsagnet. I dette eksempel er 2 faktisk det eneste mulige modeksempel til udsagnet, selvom det alene er nok til at modsige udsagnet. På en lignende måde har udsagnet "Alle naturlige tal er enten primær eller sammensat " tallet 1 som et modeksempel, da 1 hverken er primær eller sammensat.

Eulers formodning om summen af ​​magt blev modbevist ved modeksempel. Det hævdede, at i det mindste n n th beføjelser var nødvendige for at opsummere til en anden n th magt. Denne formodning blev modbevist i 1966 med en modeksempel, der involverede n  = 5; andre n  = 5 modeksempler er nu kendt, såvel som nogle n  = 4 modeksempler.

Witsenhausens modeksempel viser, at det ikke altid er sandt (for kontrolproblemer ), at en kvadratisk tabsfunktion og en lineær udviklingsligning af tilstandsvariablen indebærer optimale kontrollove, der er lineære.

Andre eksempler inkluderer afskærmning af Seifert-formodningen , Pólya-formodningen , formodningen om Hilberts fjortende problem , Taits formodning og Ganea-formodningen .

I filosofi

I filosofi bruges modeksempler normalt til at argumentere for, at en bestemt filosofisk holdning er forkert ved at vise, at den ikke gælder i visse tilfælde. Alternativt kan den første filosof ændre deres påstand, så modeksemplet ikke længere gælder; dette er analogt med, når en matematiker ændrer en formodning på grund af et modeksempel.

For eksempel i Platons 's Gorgias , Kallikles , forsøger at definere, hvad det vil sige at sige, at nogle mennesker er 'bedre' end andre, krav som dem, der er stærkere er bedre.

Men Socrates svarer, at på grund af deres antal tal er klassen af ​​almindelig rabat stærkere end den adelige klasse af adelsmænd, selvom masserne er prima facie af dårligere karakter. Således har Socrates foreslået et modeksempel på Callicles 'påstand ved at se i et område, som Callicles måske ikke havde forventet - grupper af mennesker snarere end individuelle personer.

Callicles kan udfordre Socrates 'modeksempel og argumenterer måske for, at den almindelige rabble virkelig er bedre end adelsmændene, eller at de selv i deres store antal stadig ikke er stærkere. Men hvis Callicles accepterer modeksemplet, skal han enten trække sit krav tilbage eller ændre det, så modeksemplet ikke længere gælder. For eksempel kan han ændre sit krav om kun at henvise til individuelle personer og kræve, at han tænker på almindelige mennesker som en samling af individer snarere end som en pøbel.

Mens det sker, ændrer han sit krav om at sige "klogere" i stedet for "stærkere" og argumenterer for, at ingen mængde numerisk overlegenhed kan gøre folk klogere.

Se også

Referencer

Yderligere læsning

eksterne links