Udvidet reel talelinje - Extended real number line

I matematik , den affinely forlænget reelle talsystem opnås fra reelle antal systemet ved at tilføje to infinity elementer: og hvor uendelighederne behandles som faktiske tal. Det er nyttigt til at beskrive algebraen om uendeligheder og de forskellige begrænsende adfærd i beregning og matematisk analyse , især i teorien om mål og integration . Det affinkt udvidede reelle nummersystem betegnes eller eller Det er Dedekind – MacNeille -færdiggørelsen af de reelle tal.${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle +\ infty}$${\ displaystyle -\ infty,}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$${\ displaystyle [-\ infty,+\ infty]}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ cup \ left \ {-\ infty,+\ infty \ right \}.}$

Når betydningen er klar fra konteksten, skrives symbolet ofte simpelthen som${\ displaystyle +\ infty}$${\ displaystyle \ infty.}$

Motivering

Grænser

Det er ofte nyttigt at beskrive en funktions adfærd, da enten argumentet eller funktionsværdien bliver "uendeligt stor" i en eller anden forstand. Overvej f.eks. Funktionen ${\ displaystyle f (x),}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x^{2}}}.}$

Grafen for denne funktion har en vandret asymptote ved Geometrisk værdi, når værdien af tilgange 0 bevæger sig stadig længere til højre langs -aksen . Denne begrænsende adfærd ligner grænsen for en funktion , hvor det reelle tal nærmer sig, bortset fra at der ikke er noget reelt tal, som nærmer sig. ${\ displaystyle y = 0.}$${\ displaystyle x}$${\ textstyle {1}/{x^{2}}}$ ${\ textstyle \ lim _ {x \ til x_ {0}} f (x)}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x_ {0},}$${\ displaystyle x}$

Ved at tilslutte elementerne og til det muliggør en formulering af en "grænse i det uendelige" med topologiske egenskaber svarende til dem for${\ displaystyle +\ infty}$${\ displaystyle -\ infty}$${\ displaystyle \ mathbb {R},}$${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$

For at gøre tingene helt formelle, tillader definitionen af Cauchy -sekvenser af at definere som sættet af alle sekvenser af rationelle tal, således at hver er forbundet med en tilsvarende, som for alle Definitionen af kan konstrueres på samme måde. ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle +\ infty}$${\ displaystyle \ left \ {a_ {n} \ right \}}$${\ displaystyle M \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle a_ {n}> M}$${\ displaystyle n> N.}$${\ displaystyle -\ infty}$

Mål og integration

I målingsteori er det ofte nyttigt at tillade sæt, der har uendelig mål og integraler, hvis værdi kan være uendelig.

Sådanne foranstaltninger opstår naturligt ud fra beregning. For eksempel, ved at tildele et mål til det, der stemmer overens med den sædvanlige længde af intervaller, skal dette mål være større end noget endeligt reelt tal. Også når man overvejer ukorrekte integraler , som f.eks ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ int _ {1}^{\ infty} {\ frac {dx} {x}}}$

værdien "uendelig" opstår. Endelig er det ofte nyttigt at overveje grænsen for en sekvens af funktioner, som f.eks

${\ displaystyle f_ {n} (x) = {\ begin {cases} 2n \ venstre (1-nx \ højre) og {\ mbox {if}} 0 \ leq x \ leq {\ frac {1} {n }} \\ 0 og {\ mbox {if}} {\ frac {1} {n}} <x \ leq 1 \ end {cases}}}$

Uden at tillade funktioner at antage uendelige værdier, ville sådanne væsentlige resultater som den monotone konvergens sætning og den dominerede konvergens sætning ikke give mening.

Orden og topologiske egenskaber

Den affinely udvidet reelle antal systemet kan blive forvandlet til en helt ordnet sæt , ved at definere for alle Med denne ordre topologi , har den ønskede egenskab af kompakthed : Hver delmængde af har en supremum og en infimum (den infimum af den tomme mængde er , og dens overlegenhed er ). Desuden med denne topologi, er homeomorphic til enhedsinterval Således topologi er metrizable , tilsvarende (for en given homeomorfi) til den almindelige metric på dette interval. Der er imidlertid ingen metrik, der er en forlængelse af den almindelige metrik på${\ displaystyle -\ infty \ leq a \ leq +\ infty}$${\ displaystyle a.}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$${\ displaystyle +\ infty}$${\ displaystyle -\ infty}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ ${\ displaystyle [0,1].}$${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$

I denne topologi er et sæt et nabolag til , hvis og kun hvis det indeholder et sæt til et reelt tal . Begrebet nabolaget om kan defineres på samme måde. Brug af denne karakterisering af udvidede-reelle kvarterer, grænser med tendens til eller , og begrænser "lig med" og reducerer til den generelle topologiske definition af grænser-i stedet for at have en særlig definition i det reelle talesystem. ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle +\ infty}$${\ displaystyle \ {x: x> a \}}$${\ displaystyle a.}$${\ displaystyle -\ infty}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle +\ infty}$${\ displaystyle -\ infty}$${\ displaystyle +\ infty}$${\ displaystyle -\ infty}$

Aritmetiske operationer

De aritmetiske operationer i kan delvist udvides til følgende: ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} a +\ infty = +\ infty +a & = +\ infty, & a & \ neq-\ infty \\ a- \ infty =-\ infty +a & =-\ infty, & a & \ neq + \ infty \\ a \ cdot (\ pm \ infty) = \ pm \ infty \ cdot a & = \ pm \ infty, & a & \ in (0,+\ infty] \\ a \ cdot (\ pm \ infty) = \ pm \ infty \ cdot a & = \ mp \ infty, & a & \ in [-\ infty, 0) \\ {\ frac {a} {\ pm \ infty}} & = 0, & a & \ in \ mathbb {R} \ \ {\ frac {\ pm \ infty} {a}} & = \ pm \ infty, & a & \ in (0,+\ infty) \\ {\ frac {\ pm \ infty} {a}} & = \ mp \ infty, & a & \ in (-\ infty, 0) \ end {align}}}$

For eksponentiering, se Exponentiation § Beføjelsesgrænser . Her betyder både og mens betyder både og${\ displaystyle a+\ infty}$${\ displaystyle a+(+\ infty)}$${\ displaystyle a-(-\ infty),}$${\ displaystyle a- \ infty}$${\ displaystyle a-(+\ infty)}$${\ displaystyle a+(-\ infty).}$

Udtrykkene og (kaldet ubestemte former ) efterlades normalt udefinerede . Disse regler er modelleret efter love for uendelige grænser . Men i forbindelse med sandsynlighed eller målingsteori defineres det ofte som${\ displaystyle \ infty -\ infty, 0 \ times (\ pm \ infty)}$${\ displaystyle \ pm \ infty /\ pm \ infty}$${\ displaystyle 0 \ times \ pm \ infty}$${\ displaystyle 0.}$

Når man behandler både positive og negative udvidede reelle tal, lader udtrykket normalt være udefineret, for selv om det er rigtigt, at for hver reel nul -sekvens, der konvergerer til den gensidige sekvens , til sidst er indeholdt i hvert kvarter af det, er det ikke sandt, at sekvensen må selv konvergere til enten eller Sagt på en anden måde, hvis en kontinuerlig funktion opnår et nul ved en bestemt værdi, behøver det ikke at være tilfældet, der har tendens til enten eller i grænsen som har tendens til Dette er tilfældet for identitetsfunktionens grænser når tendens til og af (for sidstnævnte funktion, hverken eller er en grænse for, selvom kun positive værdier af betragtes). ${\ displaystyle 1/0}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle 0,}$${\ displaystyle 1/f}$${\ displaystyle \ {\ infty,-\ infty \},}$${\ displaystyle 1/f}$${\ displaystyle -\ infty}$${\ displaystyle \ infty.}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x_ {0},}$${\ displaystyle 1/f}$${\ displaystyle -\ infty}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x_ {0}.}$ ${\ displaystyle f (x) = x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle 0,}$${\ displaystyle f (x) = x^{2} \ sin \ venstre (1/x \ højre)}$${\ displaystyle -\ infty}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle 1/f (x),}$${\ displaystyle x}$

Men i sammenhænge, ​​hvor kun ikke-negative værdier overvejes, er det ofte praktisk at definere For eksempel, når man arbejder med effektserier, er konvergensradius for en effektserie med koefficienter ofte defineret som det gensidige af grænseoverskridelsen for sekvensen Så hvis man tillader at tage værdien, kan man bruge denne formel, uanset om grænsen-supremum er eller ej. ${\ displaystyle 1/0 =+\ infty.}$${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle \ left \ {| a_ {n} |^{1/n} \ højre \}.}$${\ displaystyle 1/0}$${\ displaystyle +\ infty,}$${\ displaystyle 0}$

Algebraiske egenskaber

Med disse definitioner er ikke engang en halvgruppe , endsige en gruppe , en ring eller et felt som i tilfælde af Det har dog flere bekvemme egenskaber: ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$

• ${\ displaystyle a+(b+c)}$og er enten lige eller begge udefinerede.${\ displaystyle (a+b)+c}$
• ${\ displaystyle a+b}$og er enten lige eller begge udefinerede.${\ displaystyle b+a}$
• ${\ displaystyle a \ cdot (b \ cdot c)}$og er enten lige eller begge udefinerede.${\ displaystyle (a \ cdot b) \ cdot c}$
• ${\ displaystyle a \ cdot b}$og er enten lige eller begge udefinerede${\ displaystyle b \ cdot a}$
• ${\ displaystyle a \ cdot (b+c)}$og er ens, hvis begge er defineret.${\ displaystyle (a \ cdot b)+(a \ cdot c)}$
• Hvis og hvis begge og er defineret, så${\ displaystyle a \ leq b}$${\ displaystyle a+c}$${\ displaystyle b+c}$${\ displaystyle a+c \ leq b+c.}$
• Hvis og og hvis begge og er defineret, så${\ displaystyle a \ leq b}$${\ displaystyle c> 0}$${\ displaystyle a \ cdot c}$${\ displaystyle b \ cdot c}$${\ displaystyle a \ cdot c \ leq b \ cdot c.}$

Generelt er alle aritmetiske love gældende i - så længe alle forekommende udtryk er defineret. ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$

Diverse

Flere funktioner kan løbende udvides til ved at tage grænser. For eksempel kan man definere ekstrempunkterne for følgende funktioner som: ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$

${\ displaystyle \ exp (-\ infty) = 0,}$

${\ displaystyle \ ln (0) =-\ infty,}$

${\ displaystyle \ tanh (\ pm \ infty) = \ pm 1,}$

${\ displaystyle \ arctan (\ pm \ infty) = \ pm {\ frac {\ pi} {2}}.}$

Nogle singulariteter kan yderligere fjernes. For eksempel funktionen kontinuert kan udvides til (under nogle definitioner af kontinuitet), ved at sætte værdien til for og for og på den anden side, funktionen kan ikke kontinuerligt udvides, fordi funktionen tilgange som tilgange fra neden, og som nærmer sig ovenfra. ${\ displaystyle 1/x^{2}}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$${\ displaystyle +\ infty}$${\ displaystyle x = 0,}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle x =+\ infty}$${\ displaystyle x =-\ infty.}$${\ displaystyle 1/x}$${\ displaystyle -\ infty}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle +\ infty}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle 0}$

Et lignende, men anderledes real-line system, den projektivt udvidede reelle linje , skelner ikke mellem og (dvs. uendelig er usigneret). Som følge heraf kan en funktion have en grænse for den projektivt udvidede reelle linje, mens i det affinkt udvidede reelle talsystem kun funktionens absolutte værdi har en grænse, f.eks. I tilfælde af funktionen på På den anden side og svarer på den projektivt udvidede reelle linje til kun en grænse fra henholdsvis højre og en fra venstre, idet den fulde grænse kun eksisterer, når de to er lige. Således kan funktionerne og kan ikke gøres kontinuerlige på den projektivt udvidede reelle linje. ${\ displaystyle +\ infty}$${\ displaystyle -\ infty}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle 1/x}$${\ displaystyle x = 0.}$${\ displaystyle \ lim _ {x \ to -\ infty} {f (x)}}$${\ displaystyle \ lim _ {x \ til +\ infty} {f (x)}}$${\ displaystyle e^{x}}$${\ displaystyle \ arctan (x)}$${\ displaystyle x = \ infty}$

Se også

• Division med nul
• Udvidet komplekst plan
• Udvidede naturlige tal
• Forkert integreret
• Uendelighed
• Log semiring
• Serie (matematik)
• Projektivt udvidet reel linje
• Computerrepræsentationer af udvidede reelle tal, se Floating-point aritmetic § Infinities og IEEE floating point

Noter

Referencer

Yderligere læsning

• Aliprantis, Charalambos D .; Burkinshaw, Owen (1998), Principles of Real Analysis (3. udgave), San Diego, CA: Academic Press, Inc., s. 29, ISBN 0-12-050257-7, MR  1669668
• David W. Cantrell. "Affinely Extended Real Numbers" . MathWorld .