Singularitet (matematik) - Singularity (mathematics)

I matematik er en singularitet et punkt, hvor et givet matematisk objekt ikke er defineret, eller et punkt, hvor det matematiske objekt ophører med at være velopdragen på en bestemt måde, såsom ved manglende differentiering eller analyticitet .

For eksempel den virkelige funktion

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x}}}

har en singularitet på , hvor den numeriske værdi af funktionen nærmer sig, så funktionen ikke er defineret. Den absolutte værdifunktion har også en singularitet ved $x$ $= 0$ , da den ikke kan differentieres der. ${\ displaystyle x = 0}$ ${\ displaystyle \ pm \ infty}$ ${\ displaystyle g (x) = | x |}$

Den algebraiske kurve defineret af i koordinatsystemet har en singularitet (kaldet en cusp ) ved . For singulariteter i algebraisk geometri , se ental punkt for en algebraisk sort . For singulariteter i differentiel geometri , se singularitetsteori . ${\ displaystyle \ left \ {(x, y): y ^ {3} -x ^ {2} = 0 \ højre \}}$ ${\ displaystyle (x, y)}$ ${\ displaystyle (0,0)}$

Virkelig analyse

I reel analyse er singulariteter enten diskontinuiteter eller diskontinuiteter af derivatet (undertiden også diskontinuiteter af derivater af højere orden). Der er fire slags diskontinuiteter: type I , som har to undertyper, og type II , som også kan opdeles i to undertyper (dog normalt ikke).

At beskrive den måde, disse to typer af grænser bliver brugt, antage, at er en funktion af en reel argument , og for enhver værdi for sin argumentation, siger , så er det venstrehåndet grænse , og den højrehåndede grænse , er defineret af: ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle f (c ^ {-})}$ ${\ displaystyle f (c ^ {+})}$

{\ displaystyle f (c ^ {-}) = \ lim _ {x \ til c} f (x)}

, begrænset af og

{\ displaystyle x <c}

{\ displaystyle f (c ^ {+}) = \ lim _ {x \ til c} f (x)}

, begrænset af .

{\ displaystyle x> c}

Værdien er den værdi, funktionen tenderer mod som værdien nærmer fra nedenfor , og værdien er den værdi, at funktionen tenderer mod som værdien nærmer fra oven , uanset den faktiske værdi funktionen har på det punkt, hvor . ${\ displaystyle f (c ^ {-})}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle f (c ^ {+})}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle x = c}$

Der er nogle funktioner, som disse grænser slet ikke eksisterer for. For eksempel funktionen

{\ displaystyle g (x) = \ sin \ left ({\ frac {1} {x}} \ right)}

har ikke tendens til noget som nærmer sig . Grænserne i dette tilfælde er ikke uendelige, men snarere udefinerede : der er ingen værdi, der sætter sig ind på. Lånt fra kompleks analyse kaldes dette undertiden en væsentlig singularitet . ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle c = 0}$ ${\ displaystyle g (x)}$

De mulige sager til en given værdi for argumentet er som følger. ${\ displaystyle c}$

Et kontinuitetspunkt er en værdi , som man forventer en jævn funktion til , som man forventer. Alle værdier skal være endelige. Hvis ikke er et kontinuitetspunkt, opstår der en diskontinuitet kl . ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle f (c ^ {-}) = f (c) = f (c ^ {+})}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle c}$
En type I diskontinuitet opstår, når både og eksisterer og er begrænsede, men mindst en af følgende tre betingelser gælder: ${\ displaystyle f (c ^ {-})}$ $f (c ^ {-})$ ${\ displaystyle f (c ^ {+})}$ $f (c ^ {+})$
- ${\ displaystyle f (c ^ {-}) \ neq f (c ^ {+})}$ ;
- ${\ displaystyle f (x)}$ er ikke defineret i tilfælde af ; eller ${\ displaystyle x = c}$
- ${\ displaystyle f (c)}$ har en defineret værdi, som dog ikke svarer til værdien af de to grænser.
Type I diskontinuiteter kan yderligere skelnes som værende en af følgende undertyper:
- Et spring diskontinuitet opstår når , uanset om det er defineret, og uanset dets værdi, hvis det er defineret. ${\ displaystyle f (c ^ {-}) \ neq f (c ^ {+})}$ ${\ displaystyle f (c)}$
- En aftagelig diskontinuitet opstår, når , også uanset om den er defineret, og uanset dens værdi, hvis den er defineret (men som ikke svarer til den for de to grænser). ${\ displaystyle f (c ^ {-}) = f (c ^ {+})}$ ${\ displaystyle f (c)}$
En type II diskontinuitet opstår, når en af eller ikke findes (muligvis begge). Dette har to undertyper, som normalt ikke betragtes separat: ${\ displaystyle f (c ^ {-})}$ $f (c ^ {-})$ ${\ displaystyle f (c ^ {+})}$ $f (c ^ {+})$
- En uendelig diskontinuitet er det særlige tilfælde, når enten venstre eller højre hånds grænse ikke findes, specifikt fordi den er uendelig, og den anden grænse enten er uendelig eller er et godt defineret endeligt antal. Med andre ord har funktionen en uendelig diskontinuitet, når dens graf har en lodret asymptote .
- En væsentlig singularitet er et udtryk lånt fra kompleks analyse (se nedenfor). Dette er tilfældet, når den ene eller den anden begrænser eller ikke eksisterer, men ikke fordi det er en uendelig diskontinuitet . Væsentlige singulariteter nærmer sig ingen grænse, ikke engang hvis gyldige svar udvides til at omfatte . ${\ displaystyle f (c ^ {-})}$ ${\ displaystyle f (c ^ {+})}$ ${\ displaystyle \ pm \ infty}$

I reel analyse er en singularitet eller diskontinuitet en egenskab ved en funktion alene. Eventuelle singulariteter, der kan findes i afledningen af en funktion, betragtes som tilhørende afledningen og ikke til den oprindelige funktion.

Koordinere singulariteter

En koordinatsingularitet opstår, når en tilsyneladende singularitet eller diskontinuitet forekommer i en koordinatramme, som kan fjernes ved at vælge en anden ramme. Et eksempel på dette er den tilsyneladende singularitet ved 90 graders breddegrad i sfæriske koordinater . En genstand, der bevæger sig nordpå (f.eks. Langs linjen 0 grader længde) på overfladen af en kugle, vil pludselig opleve en øjeblikkelig ændring i længdegrad på polen (i tilfældet med eksemplet springer fra længde 0 til længdegrad 180 grader) . Denne diskontinuitet er imidlertid kun åbenbar; det er en artefakt af det valgte koordinatsystem, som er ental ved polerne. Et andet koordinatsystem ville eliminere den tilsyneladende diskontinuitet (f.eks. Ved at erstatte bredde- / længdegradsrepræsentation med en $n-$ vektorrepræsentation ).

Kompleks analyse

I kompleks analyse er der flere klasser af singulariteter. Disse inkluderer de isolerede singulariteter, de ikke-isolerede singulariteter og forgreningspunkterne.

Isolerede singulariteter

Antag at U er en åben delmængde af de komplekse tal C , hvor punktet a er et element i U , og at f er en kompleks differentierbar funktion defineret i et eller andet kvarter omkring a , eksklusive a : U \ { a }, så:

Punktet a er en aftagelig singularitet af f, hvis der findes en holomorf funktion g defineret på hele U, således at f ( z ) = g ( z ) for alle z i U \ { a }. Funktionen g er en kontinuerlig erstatning for funktionen f .
Punktet a er en pol eller ikke-essentiel singularitet af f, hvis der findes en holomorf funktion g defineret på U med g ( a ) ikke-nul, og et naturligt tal n således at f ( z ) = g ( z ) / ( z - a ) ⁿ for alle z i U \ { a }. Det mindste antal n kaldes polens rækkefølge . Derivatet ved en ikke-essentiel singularitet i sig selv har en ikke-essentiel singularitet, hvor n er steget med 1 (undtagen hvis n er 0, så singulariteten er aftagelig).
Punktet a er en væsentlig singularitet af f, hvis det hverken er en aftagelig singularitet eller en pol. Pointen en er en væsentlig singularitet hvis og kun hvis den Laurentrækker har uendeligt mange kræfter negativ grad.

Ikke-isolerede singulariteter

Bortset fra isolerede singulariteter kan komplekse funktioner i en variabel udvise anden ental adfærd. Disse betegnes ikke-isolerede singulariteter, hvoraf der er to typer:

Klyngepunkter : grænsepunkter for isolerede singulariteter. Hvis de alle er poler, til trods for at de indrømmer Laurent-seriens udvidelser af hver af dem, så er ingen sådan udvidelse mulig ved sin grænse.
Naturlige grænser : ethvert ikke-isoleret sæt (f.eks. En kurve), hvor funktionerne ikke kan fortsættes analytisk omkring (eller uden for dem, hvis de er lukkede kurver i Riemann-sfæren ).

Grenpunkter

Forgreningspunkter er generelt resultatet af en flerværdifunktion , såsom eller , som er defineret inden for et bestemt begrænset domæne, så funktionen kan foretages enkeltværdigt inden for domænet. Klippet er en linje eller kurve udelukket fra domænet for at indføre en teknisk adskillelse mellem diskontinuerlige værdier for funktionen. Når det virkelig er nødvendigt at klippe, vil funktionen have forskellige værdier på hver side af grenafskæringen. Formen på grenafskæringen er et valg, selvom det skal forbinde to forskellige forgreningspunkter (som og for ), som er fastgjort på plads. ${\ displaystyle {\ sqrt {z}}}$ ${\ displaystyle \ log (z)}$ ${\ displaystyle z = 0}$ ${\ displaystyle z = \ infty}$ ${\ displaystyle \ log (z)}$

Endual-time singularitet

Den gensidige funktion , der udviser hyperbolsk vækst .

En tidsbegrænset singularitet opstår, når en inputvariabel er tid, og en outputvariabel stiger mod uendelig på et endeligt tidspunkt. Disse er vigtige inden for kinematik og PDE'er ( partielle differentialligninger ) - uendelige forekommer ikke fysisk, men opførslen nær singulariteten er ofte af interesse. Matematisk er de enkleste tidsbegrænsede singulariteter magtelove for forskellige eksponenter af den form, som den enkleste er hyperbolsk vækst , hvor eksponenten er (negativ) 1: Mere præcist for at få en singularitet på positivt tidspunkt, når tiden skrider frem ( så output vokser til uendelig), man bruger i stedet (ved hjælp af t for tiden, omvendt retning til, så tiden stiger til uendeligt, og forskydning af singulariteten fremad fra 0 til en fast tid ). ${\ displaystyle x ^ {- \ alpha},}$ ${\ displaystyle x ^ {- 1}.}$ ${\ displaystyle (t_ {0} -t) ^ {- \ alpha}}$ ${\ displaystyle -t}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$

Et eksempel ville være den hoppende bevægelse af en uelastisk kugle på et plan. Hvis idealiserede bevægelse overvejes, og hvor den samme fraktion af kinetisk energi går tabt på hver hoppe, den frekvens af afvisninger bliver uendelig, da bolden kommer til hvile i en endelig tid. Andre eksempler på finite tid singulariteter indbefatter de forskellige former af Painlevé paradoks (for eksempel for at tendensen til en kridt springe, når de trækkes hen over en tavle), og hvordan den præcession hastigheden af en mønt spundet på en flad overflade accelererer i retning infinite- inden du pludselig stopper (som undersøgt ved hjælp af Eulers disklegetøj).

Hypotetiske eksempler inkluderer Heinz von Foersters facetfulde " dommedagsligning " (forenklede modeller giver uendelig menneskelig befolkning på endelig tid).

Algebraisk geometri og kommutativ algebra

I algebraisk geometri er en singularitet af en algebraisk variation et punkt i sorten, hvor det tangente rum muligvis ikke defineres regelmæssigt. Det enkleste eksempel på singulariteter er kurver, der krydser sig selv. Men der er andre typer af singulariteter, som cusps . For eksempel definerer ligningen $y 2 - x 3 = 0$ en kurve, der har en cusp ved oprindelsen $x = y = 0$ . Man kunne definere $x$ -aksen som en tangent på dette tidspunkt, men denne definition kan ikke være den samme som definitionen på andre punkter. I dette tilfælde er $x-$ aksen faktisk en "dobbelt tangens."

For affine og projicerende sorter er singulariteterne de punkter, hvor den Jacobianske matrix har en rang, der er lavere end på andre punkter i sorten.

En ækvivalent definition med hensyn til kommutativ algebra kan gives, der strækker sig til abstrakte sorter og skemaer : Et punkt er ental, hvis den lokale ring på dette tidspunkt ikke er en almindelig lokal ring .

Languages

In other projects