Riemann sfære - Riemann sphere

Riemann -sfæren kan visualiseres som det komplekse talplan, der er viklet rundt om en kugle (ved en form for stereografisk projektion - detaljer er angivet nedenfor).

I matematik er Riemann -sfæren , opkaldt efter Bernhard Riemann , en model af det udvidede komplekse plan , det komplekse plan plus et punkt i det uendelige . Dette udvidede plan repræsenterer de udvidede komplekse tal , det vil sige de komplekse tal plus en værdi ∞ for uendeligt . Med Riemann -modellen er punktet "∞" tæt på meget store tal, ligesom punktet "0" er tæt på meget små tal.

De udvidede komplekse tal er nyttige i kompleks analyse, fordi de i nogle tilfælde giver mulighed for division med nul , på en måde, der giver udtryk som velopdragen . For eksempel kan enhver rationel funktion på det komplekse plan udvides til en holomorf funktion på Riemann -sfæren, med polerne i den rationelle funktion kortlægning til uendelig. Mere generelt kan enhver meromorf funktion betragtes som en holomorf funktion, hvis kodomæne er Riemann -sfæren. ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {0}} = \ infty}$

I geometri er Riemann -sfæren det prototypiske eksempel på en Riemann -overflade og er en af ​​de enkleste komplekse manifolder . I projektiv geometri kan kuglen betragtes som den komplekse projektive linje P ¹ ( C ), det projektive rum for alle komplekse linjer i C ² . Som med enhver kompakt Riemann -overflade kan kuglen også ses som en projektiv algebraisk kurve , hvilket gør den til et grundlæggende eksempel i algebraisk geometri . Det finder også anvendelse i andre discipliner, der er afhængige af analyse og geometri, såsom Bloch -sfæren i kvantemekanikken og i andre fysikgrene .

Det udvidede komplekse plan kaldes også det lukkede komplekse plan .

Udvidede komplekse tal

De udvidede komplekse tal består af de komplekse tal C sammen med ∞. Sættet med udvidede komplekse tal kan skrives som C ∪ {∞} og betegnes ofte ved at tilføje noget dekoration til bogstavet C , f.eks.

${\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {C}}}, \ quad {\ overline {\ mathbb {C}}}, \ quad {\ text {eller}} \ quad \ mathbb {C} _ {\ infty} .}$

Geometrisk betegnes sættet med udvidede komplekse tal som Riemann -kuglen (eller udvidet komplekst plan ).

Aritmetiske operationer

Tilføjelse af komplekse tal kan udvides ved at definere, for z ∈ C ,

${\ displaystyle z+\ infty = \ infty}$

for ethvert komplekst tal z , og multiplikation kan defineres ved

${\ displaystyle z \ times \ infty = \ infty}$

for alle komplekse tal uden nul z , med ∞ × ∞ = ∞ . Bemærk, at ∞ - ∞ og 0 × ∞ ikke er definerede . I modsætning til de komplekse tal danner de udvidede komplekse tal ikke et felt , da ∞ ikke har en additiv eller multiplikativ invers . Ikke desto mindre er det sædvanligt at definere division på C ∪ {∞ } med

${\ displaystyle {\ frac {z} {0}} = \ infty \ quad {\ text {og}} \ quad {\ frac {z} {\ infty}} = 0}$

for alle komplekse tal uden nul z med ∞/0= ∞ og0/∞= 0 . Kvotienterne0/0 og ∞/∞ efterlades udefinerede.

Rationelle funktioner

Enhver rationel funktion f ( z ) =g ( z )/h ( z )(med andre ord, f ( z ) er forholdet mellem polynomiske funktioner g ( z ) og h ( z ) af z med komplekse koefficienter, således at g ( z ) og h ( z ) ikke har en fælles faktor) kan udvides til en kontinuerlig funktion på Riemann -sfæren. Specifikt, hvis z ₀ er et komplekst tal, således at nævneren h ( z ₀ ) er nul, men tælleren g ( z ₀ ) er nul, kan f ( z ₀ ) defineres som ∞. Desuden kan f (∞) defineres som grænsen for f ( z ) som z → ∞ , som kan være begrænset eller uendelig.

Sættet med komplekse rationelle funktioner - hvis matematiske symbol er C ( z ) - danner alle mulige holomorfe funktioner fra Riemann -sfæren til sig selv, når det ses som en Riemann -overflade , bortset fra den konstante funktion, der tager værdien ∞ overalt. Funktionerne i C ( z ) danner et algebraisk felt, kendt som feltet for rationelle funktioner på sfæren .

For eksempel givet funktionen

${\ displaystyle f (z) = {\ frac {6z^{2} +1} {2z^{2} -50}}}$

vi kan definere f (± 5) = ∞ , da nævneren er nul ved z = ± 5 , og f (∞) = 3 siden f ( z ) → 3 som z → ∞ . Ved hjælp af disse definitioner bliver f en kontinuerlig funktion fra Riemann -sfæren til sig selv.

Som en kompleks mangfoldighed

Som en endimensional kompleks manifold, kan Riemann sfære beskrives ved to diagrammer, både med domæne lig med det komplekse tal plan C . Lad ζ være et komplekst tal i en kopi af C , og lad ξ være et komplekst tal i en anden kopi af C . Identificer hvert ikke -nul -komplekst nummer ζ i det første C med det nul -komplekse nummer1/ξaf den anden C . Derefter kortet

${\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {z}}}$

kaldes overgangskortet mellem de to kopier af C -de såkaldte diagrammer -der limer dem sammen. Da overgangskortene er holomorfe , definerer de en kompleks manifold, kaldet Riemann -kuglen . Som en kompleks manifold af 1 kompleks dimension (dvs. 2 reelle dimensioner) kaldes dette også en Riemann -overflade .

Intuitivt angiver overgangskortene, hvordan man limer to fly sammen for at danne Riemann -kuglen. Flyene limes på en "inside-out" -måde, så de overlapper næsten overalt, idet hvert fly kun bidrager med ét punkt (dets oprindelse) fra det andet plan. Med andre ord har (næsten) hvert punkt i Riemann -sfæren både en ζ -værdi og en ξ -værdi, og de to værdier er relateret med ζ =1/ξ. Det punkt, hvor ξ = 0 derefter skal have ζ -værdi "1/0"; i denne forstand spiller ξ -diagrammets oprindelse rollen som" ∞ "i ζ -diagrammet. Symmetrisk spiller ζ -diagrammets oprindelse rollen som ∞ i ξ -diagrammet.

Topologisk er det resulterende rum en-punkts komprimering af et fly ind i kuglen. Riemann -sfæren er imidlertid ikke blot en topologisk sfære. Det er en kugle med en veldefineret kompleks struktur , således at omkring hvert punkt på kuglen er der et kvarter, der kan biholomorphically identificeret med C .

På den anden side siger uniformeringsteoremet , et centralt resultat i klassificeringen af ​​Riemann-overflader, at hver enkelt forbundet Riemann-overflade er biholomorf til det komplekse plan, det hyperboliske plan eller Riemann-sfæren. Af disse er Riemann -kuglen den eneste, der er en lukket overflade (en kompakt overflade uden grænse ). Derfor indrømmer den todimensionale sfære en unik kompleks struktur, der gør den til en endimensionel kompleks manifold.

Som den komplekse projektive linje

Riemann -sfæren kan også defineres som den komplekse projektive linje . Punkterne på den komplekse projektive linje er ækvivalensklasser, der er fastlagt ved følgende relation til punkter fra C ² \ {(0,0)}:

Hvis for nogle λ ≠ 0, w = λ u og z = λ v , så${\ displaystyle (w, z) \ thicksim (u, v).}$

I dette tilfælde skrives ækvivalensklassen [ w, z ] ved hjælp af projektive koordinater . I betragtning af ethvert punkt [ w, z ] i den komplekse projektive linje, skal en af w og z være ikke-nul, siger w ≠ 0. Derefter ved ækvivalensforholdet,

${\ displaystyle [w, z] \ thicksim \ left [1, {\ tfrac {z} {w}} \ right]}$ som er i et skema for Riemann -kuglemanifolden.

Denne behandling af Riemann -sfæren forbindes lettest med projektiv geometri. For eksempel er enhver linje (eller glat kegle) i det komplekse projektive plan biholomorf til den komplekse projektive linje. Det er også praktisk at studere kuglens automorfismer , senere i denne artikel.

Som en kugle

Stereografisk projektion af et komplekst tal A på et punkt α i Riemann -kuglen

Riemann-sfæren kan visualiseres som enhedssfæren x ²  +  y ²  +  z ²  = 1 i det tredimensionelle virkelige rum R ³ . Til dette formål overvejer du den stereografiske projektion fra enhedssfæren minus punktet (0, 0, 1) på planet z  = 0, som vi identificerer med det komplekse plan ved ζ = x + iy . I kartesiske koordinater ( x , y , z ) og sfæriske koordinater ( θ , cp ) på kuglen (med θ den zenith og Ø den azimut ), fremspringet er

${\ displaystyle \ zeta = {\ frac {x+iy} {1-z}} = \ cot \ left ({\ frac {1} {2}} \ theta \ right) \; e^{i \ phi} .}$

På samme måde skrives stereografisk projektion fra (0, 0, -1) til planet z = 0 , identificeret med en anden kopi af det komplekse plan med ξ = x - iy ,

${\ displaystyle \ xi = {\ frac {x-iy} {1+z}} = \ tan \ left ({\ frac {1} {2}} \ theta \ right) \; e^{-i \ phi }.}$

For at dække enhedssfæren har man brug for de to stereografiske fremskrivninger: den første dækker hele kuglen undtagen punktet (0, 0, 1) og den anden undtagen punktet  (0, 0, -1) . Derfor har man brug for to komplekse planer, et for hver projektion, som intuitivt kan ses som limet bag-til-ryg ved  z = 0 . Bemærk, at de to komplekse planer er identificeret forskelligt med planet z = 0 . En orientering -vending er nødvendig for at opretholde konsistent orientering på sfæren, og især får kompleks konjugering overgangskortene til at være holomorfe.

Overgangskortene mellem ζ -koordinater og ξ -koordinater opnås ved at sammensætte den ene projektion med den invers af den anden. De viser sig at være ζ =1/ξog ξ =1/ζ, som beskrevet ovenfor. Enhedssfæren er således diffeomorf i forhold til Riemann -sfæren.

Under denne diffeomorfisme er enhedscirklen i ζ -diagrammet, enhedscirklen i ξ -diagrammet og ækvator i enhedssfæren alle identificeret. Enhedens disk | ζ | <1 er identificeret med den sydlige halvkugle z <0 , mens enhedens disk | ξ | <1 er identificeret med den nordlige halvkugle  z > 0 .

Metrisk

En Riemann -overflade er ikke udstyret med nogen bestemt Riemannian -metrik . Riemann -overfladens konforme struktur bestemmer imidlertid en klasse metrics: alle dem, hvis underordnede konforme struktur er den givne. Mere detaljeret: Den komplekse struktur af Riemann -overfladen bestemmer entydigt en metrik op til konform ækvivalens . (Det siges, at to metrikker er konform ækvivalente, hvis de adskiller sig ved multiplikation med en positiv glat funktion .) Omvendt bestemmer enhver metrik på en orienteret overflade entydigt en kompleks struktur, som kun afhænger af metriket op til konform ækvivalens. Komplekse strukturer på en orienteret overflade er derfor i en-til-en-korrespondance med konforme klasser af metrik på den overflade.

Inden for en given konform klasse kan man bruge konform symmetri til at finde en repræsentativ metric med bekvemme egenskaber. Især er der altid en komplet måling med konstant krumning i en given konform klasse.

I tilfælde af Riemann kuglen, den Gauss-Bonnet sætningen indebærer, at en konstant krumning metriske skal have positiv krumning K . Det følger heraf, at metriket skal være isometrisk i forhold til radiuskuglen1/√ Ki R ³ via stereografisk projektion. I ζ -diagrammet på Riemann -kuglen er metricen med K = 1 givet ved

${\ displaystyle ds^{2} = \ left ({\ frac {2} {1+ | \ zeta |^{2}}} \ right)^{2} \, | d \ zeta |^{2} = {\ frac {4} {\ venstre (1+ \ zeta {\ bar {\ zeta}} \ højre)^{2}}} \, d \ zeta \, d {\ bar {\ zeta}}.}$

I reelle koordinater ζ = u + iv er formlen

${\ displaystyle ds^{2} = {\ frac {4} {\ venstre (1+u^{2}+v^{2} \ højre)^{2}}} \ venstre (du^{2}+ dv^{2} \ højre).}$

Op til en konstant faktor er denne måling i overensstemmelse med standardmetoden Fubini – Study om komplekse projektive rum (som Riemann -sfæren er et eksempel på).

Op til skalering er dette den eneste metrik på kuglen, hvis gruppe af orienteringsbevarende isometrier er tredimensionel (og ingen er mere end 3-dimensionelle); den gruppe kaldes SO (3) . I denne forstand er dette langt den mest symmetriske metrik på kuglen. (Gruppen af ​​alle isometrier, kendt som O (3) , er også tredimensionel, men er i modsætning til SO (3) ikke et forbundet rum.)

Lad S omvendt betegne kuglen (som en abstrakt glat eller topologisk manifold ). Ved uniformeringsteoremet eksisterer der en unik kompleks struktur på S , op til konform ækvivalens. Det følger heraf, at enhver metrik på S svarer til den runde metric . Alle sådanne metrics bestemmer den samme konforme geometri. Den runde metriske er derfor ikke iboende for Riemann -sfæren, da "rundhed" ikke er en invariant af konform geometri. Riemann -sfæren er kun en konform manifold , ikke en Riemannian manifold . Men hvis man skal gøre Riemannian -geometri på Riemann -kuglen, er den runde metriske et naturligt valg (med en hvilken som helst fast radius, selvom radius = 1 er det enkleste og mest almindelige valg). Det er fordi kun en rund metrisk på Riemann-kuglen har sin isometri-gruppe være en tredimensionel gruppe. (Nemlig gruppen kendt som SO (3) , en kontinuerlig ("Lie") gruppe, der topologisk er det 3-dimensionelle projektive rum P ^3. )

Automorfismer

En Möbius -transformation, der virker på sfæren og på planet ved stereografisk projektion

Studiet af ethvert matematisk objekt støttes af en forståelse af dets gruppe af automorfismer, hvilket betyder, at kortene fra objektet til sig selv, der bevarer objektets væsentlige struktur. I tilfælde af Riemann -sfæren er en automorfisme et inverterbart konformt kort (dvs. biholomorft kort) fra Riemann -sfæren til sig selv. Det viser sig, at de eneste sådanne kort er Möbius -transformationerne . Disse er formularens funktioner

${\ displaystyle f (\ zeta) = {\ frac {a \ zeta +b} {c \ zeta +d}},}$

hvor a , b , c og d er komplekse tal, således at ad - bc ≠ 0 . Eksempler på Möbius -transformationer omfatter udvidelser , rotationer , oversættelser og kompleks inversion. Faktisk kan enhver Möbius -transformation skrives som en sammensætning af disse.

Möbius -transformationerne er homografier på den komplekse projektive linje. I projektive koordinater kan transformationen f skrives

${\ displaystyle [\ zeta, \ 1] {\ begin {pmatrix} a & c \\ b & d \ end {pmatrix}} \ = \ [a \ zeta +b, \ c \ zeta +d] \ = \ \ venstre [{ \ tfrac {a \ zeta +b} {c \ zeta +d}}, \ 1 \ højre] \ = \ [f (\ zeta), \ 1].}$

Således Möbius transformationer kan beskrives som 2 × 2 komplekse matricer med forskellig fra nul determinant . Da de virker på projektive koordinater, giver to matricer den samme Möbius -transformation, hvis og kun hvis de adskiller sig med en nul -faktor. Den gruppe af Möbius transformationer er det projektive lineære gruppe PGL (2, C ) .

Hvis man tildeler Riemann -sfæren Fubini – Study metricen , så er ikke alle Möbius -transformationer isometrier; for eksempel er udvidelser og oversættelser ikke. Isometrierne danner en ordentlig undergruppe af PGL (2, C ) , nemlig PSU (2). Denne undergruppe er isomorf for rotationsgruppen SO (3) , som er gruppen af ​​symmetrier for enhedssfæren i R ³ (som, når den er begrænset til kuglen, bliver kuglens isometrier).

Ansøgninger

I kompleks analyse er en meromorf funktion på det komplekse plan (eller på en hvilken som helst Riemann -overflade for den sags skyld) et forhold f/gaf to holomorfe funktioner f og g . Som et kort til de komplekse tal er det udefineret, hvor g er nul. Det inducerer imidlertid et holomorft kort ( f , g ) til den komplekse projektive linje, der er veldefineret, selv hvor g = 0 . Denne konstruktion er nyttig i undersøgelsen af ​​holomorfe og meromorfe funktioner. For eksempel er der på en kompakt Riemann-overflade ingen ikke-konstante holomorfe kort til de komplekse tal, men holomorfe kort til den komplekse projektive linje er rigelige.

Riemann -sfæren har mange anvendelser inden for fysik. I kvantemekanikken punkter på komplekse projektive linie er naturlige værdier for foton polarisering stater, spin- tilstande af massive partikler af spin-1/2, og 2-tilstandspartikler generelt (se også Quantum bit og Bloch sfære ). Riemann -sfæren er blevet foreslået som en relativistisk model for den himmelske sfære . I strengteori , de worldsheets af strengene er Riemann overflader, og Riemann kuglen, er den enkleste Riemann overflade, spiller en væsentlig rolle. Det er også vigtigt i twistor -teorien .

Se også

• Konform geometri
• Krydsforhold
• Dessin d'enfant
• Instrueret uendeligt
• Hopf bundt
• Möbius -fly
• Projektivt udvidet reel linje

Referencer

• Brown, James & Churchill, Ruel (1989). Komplekse variabler og applikationer . New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-010905-2.
• Griffiths, Phillip & Harris, Joseph (1978). Principper for algebraisk geometri . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32792-1.
• Penrose, Roger (2005). Vejen til virkeligheden . New York: Knopf. ISBN 0-679-45443-8.
• Rudin, Walter (1987). Real og kompleks analyse . New York: McGraw – Hill. ISBN 0-07-100276-6.

eksterne links

• "Riemann sfære" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Moebius Transformations Revealed , af Douglas N. Arnold og Jonathan Rogness (en video af to professorer fra University of Minnesota, der forklarer og illustrerer Möbius -transformationer ved hjælp af stereografisk projektion fra en kugle)