Projektiv geometri - Projective geometry

I matematik er projektiv geometri undersøgelsen af geometriske egenskaber, der er invariante med hensyn til projektive transformationer . Dette betyder, at i forhold til elementær euklidisk geometri har projektiv geometri en anden indstilling, projektivt rum og et selektivt sæt grundlæggende geometriske begreber. De grundlæggende intuitioner er, at projektivt rum har flere punkter end det euklidiske rum , for en given dimension, og at geometriske transformationer er tilladt, der omdanner de ekstra punkter (kaldet " punkter ved uendeligt ") til euklidiske punkter og omvendt.

Egenskaber, der er betydningsfulde for projektiv geometri, respekteres af denne nye idé om transformation, som er mere radikal i dens virkninger, end der kan udtrykkes ved en transformationsmatrix og translationer (de affine transformationer ). Det første problem for geometre er, hvilken slags geometri der er tilstrækkelig til en ny situation. Det er ikke muligt at henvise til vinkler i projektiv geometri, som det er i euklidisk geometri , fordi vinkel er et eksempel på et begreb, der ikke er invariant med hensyn til projektive transformationer, som det ses i perspektivtegning . En kilde til projektiv geometri var faktisk teorien om perspektiv. En anden forskel fra elementær geometri er den måde, hvorpå parallelle linjer kan siges at mødes på et punkt i det uendelige , når konceptet først er oversat til projektiv geometri. Igen har denne forestilling et intuitivt grundlag, såsom jernbanespor, der mødes i horisonten i en perspektivtegning. Se det projektive plan for det grundlæggende i projektiv geometri i to dimensioner.

Selvom idéerne var tilgængelige tidligere, var projektiv geometri hovedsageligt en udvikling fra 1800 -tallet. Dette omfattede teorien om komplekst projektivt rum , idet de anvendte koordinater ( homogene koordinater ) er komplekse tal. Flere store typer af flere abstrakte matematik (herunder invariant teori , den italienske skole af algebraisk geometri , og Felix Klein 's Erlangen-programmet resulterer i studiet af de klassiske grupper ) var baseret på Projektiv geometri. Det var også et emne med mange udøvere for sin egen skyld, som syntetisk geometri . Et andet emne, der udviklede sig fra aksiomatiske undersøgelser af projektiv geometri, er endelig geometri .

Emnet for projektiv geometri er i sig selv nu opdelt i mange forskningsundemner, hvoraf to eksempler er projektiv algebraisk geometri (undersøgelse af projektive sorter ) og projektiv differentialgeometri (undersøgelse af differentielle invarianter af de projektive transformationer).

Oversigt

Den grundlæggende teori om projektiv geometri

Projektiv geometri er en elementær ikke- metrisk form for geometri, hvilket betyder, at den ikke er baseret på et afstandsbegreb. I to dimensioner begynder det med studiet af konfigurationer af punkter og linjer . At der virkelig er en vis geometrisk interesse for disse sparsomme rammer, blev først fastslået af Desargues og andre i deres udforskning af principperne for perspektivisk kunst . I rum med højere dimension betragtes der som hyperplaner (der altid mødes) og andre lineære underrum, der udviser dualitetsprincippet . Den enkleste illustration af dualitet er i det projektive plan, hvor udsagnene "to forskellige punkter bestemmer en unik linje" (dvs. linjen gennem dem) og "to forskellige linjer bestemmer et unikt punkt" (dvs. deres skæringspunkt) viser det samme struktur som forslag. Projektiv geometri kan også ses som en geometri af konstruktioner med en lige kant alene. Da projektiv geometri udelukker kompasskonstruktioner , er der ingen cirkler, ingen vinkler, ingen målinger, ingen paralleller og intet begreb om mellemled . Det blev indset, at de sætninger, der gælder for projektiv geometri, er enklere udsagn. For eksempel er de forskellige keglesnit alle ækvivalente i (kompleks) projektiv geometri, og nogle sætninger om cirkler kan betragtes som særlige tilfælde af disse generelle sætninger.

I begyndelsen af 1800-tallet etablerede Jean-Victor Poncelets arbejde , Lazare Carnot og andre projektiv geometri som et uafhængigt matematikfelt . Dens strenge fonde blev adresseret af Karl von Staudt og perfektioneret af italienerne Giuseppe Peano , Mario Pieri , Alessandro Padoa og Gino Fano i slutningen af 1800 -tallet. Projektiv geometri, ligesom affin og euklidisk geometri , kan også udvikles fra Erlangen -programmet til Felix Klein; projektiv geometri er kendetegnet ved invarianter under transformationer af den projektive gruppe .

Efter meget arbejde med det meget store antal sætninger i emnet blev grundlæggende i projektiv geometri derfor forstået. Den forekomst struktur og cross-forholdet er grundlæggende invariants under projektive transformationer. Projektiv geometri kan modelleres af affineplanet (eller affinrummet) plus en linje (hyperplan) "i det uendelige" og derefter behandle denne linje (eller hyperplan) som "almindelig". En algebraisk model til at lave projektiv geometri i stil med analytisk geometri er givet af homogene koordinater. På den anden side afslørede aksiomatiske undersøgelser eksistensen af ikke-desarguesiske planer , eksempler på, at forekomstens aksiomer kan modelleres (kun i to dimensioner) af strukturer, der ikke er tilgængelige for ræsonnement gennem homogene koordinatsystemer.

Vækstmåling og polarhvirvlerne. Baseret på Lawrence Edwards arbejde

I en grundlæggende forstand er projektiv geometri og ordnet geometri elementær, da de involverer et minimum af aksiomer og enten kan bruges som fundament for affin og euklidisk geometri . Projektiv geometri er ikke "ordnet", og det er derfor et tydeligt fundament for geometri.

Historie

De første geometriske egenskaber af projektiv karakter blev opdaget i løbet af det 3. århundrede af Pappus fra Alexandria . Filippo Brunelleschi (1404–1472) begyndte at undersøge perspektivets geometri i løbet af 1425 (se perspektivets historie for en mere grundig diskussion af det kunstværk, der motiverede meget af udviklingen af projektiv geometri). Johannes Kepler (1571–1630) og Gérard Desargues (1591–1661) udviklede uafhængigt af begrebet ”punktet i det uendelige”. Desargues udviklede en alternativ måde at konstruere perspektivtegninger ved at generalisere brugen af forsvindingspunkter til at omfatte sagen, når disse er uendeligt langt væk. Han gjorde euklidisk geometri , hvor parallelle linjer virkelig er parallelle, til et specielt tilfælde af et altomfattende geometrisk system. Desargues's undersøgelse af keglesnit tiltrak opmærksomheden fra den 16-årige Blaise Pascal og hjalp ham med at formulere Pascals sætning . Gaspard Monges værker i slutningen af det 18. og begyndelsen af det 19. århundrede var vigtige for den efterfølgende udvikling af projektiv geometri. Desargues 'arbejde blev ignoreret, indtil Michel Chasles fandt på en håndskrevet kopi i løbet af 1845. I mellemtiden havde Jean-Victor Poncelet offentliggjort den grundlæggende afhandling om projektiv geometri i løbet af 1822. Poncelet undersøgte objekternes projektive egenskaber (de invariante under central projektion) og, ved at basere sin teori på betonpolen og polarforholdet med hensyn til en cirkel, etablerede en relation mellem metriske og projektive egenskaber. De ikke-euklidiske geometrier, der blev opdaget kort tid efter, blev efterhånden vist at have modeller, såsom Klein-modellen for hyperbolisk rum , der vedrører projektiv geometri.

I 1855 skrev AF Möbius en artikel om permutationer, nu kaldet Möbius -transformationer , af generaliserede cirkler i det komplekse plan . Disse transformationer repræsenterer projektiviteter af den komplekse projektive linje . I studiet af linjer i rummet brugte Julius Plücker homogene koordinater i sin beskrivelse, og linjesættet blev set på Klein -quadricen , et af de tidlige bidrag fra projektiv geometri til et nyt felt kaldet algebraisk geometri , et udløber af analytisk geometri med projektive ideer.

Projektiv geometri var medvirkende til validering af spekulationer om Lobachevski og Bolyai vedrørende hyperbolsk geometri ved at tilvejebringe modeller til det hyperboliske plan : for eksempel Poincaré -diskmodellen, hvor generaliserede cirkler vinkelret på enhedscirklen svarer til "hyperboliske linjer" ( geodesik ), og "oversættelserne" af denne model er beskrevet af Möbius -transformationer, der kortlægger enhedsdisken til sig selv. Afstanden mellem punkter er givet af en Cayley-Klein-metrik , der vides at være invariant under oversættelserne, da den afhænger af krydsforhold , en vigtig projektiv invariant. Oversættelserne beskrives forskelligt som isometrier i metrisk rumteori, som lineære fraktionelle transformationer formelt og som projektive lineære transformationer af den projektive lineære gruppe , i dette tilfælde SU (1, 1) .

Arbejde Poncelet , Jakob Steiner blev og andre ikke til formål at udvide analytisk geometri. Teknikker skulle være syntetiske : i virkeligheden skulle projektionsrum som nu forstået indføres axiomatisk. Som et resultat kan det være noget svært at omformulere tidligt arbejde inden for projektiv geometri, så den opfylder de nuværende standarder for strenghed. Selv i tilfælde af det projektive plan alene kan den aksiomatiske tilgang resultere i modeller, der ikke kan beskrives via lineær algebra .

Denne periode i geometri blev overhalet af forskning om den generelle algebraiske kurve af Clebsch , Riemann , Max Noether og andre, som strakte eksisterende teknikker og derefter af invariant teori . Mod slutningen af århundredet brød den italienske skole i algebraisk geometri ( Enriques , Segre , Severi ) ud af det traditionelle emne til et område, der krævede dybere teknikker.

I løbet af den senere del af 1800 -tallet blev det detaljerede studie af projektiv geometri mindre moderigtigt, selvom litteraturen er omfangsrig. Noget vigtigt arbejde blev udført i opregningsgeometri især af Schubert, der nu anses for at foregribe teorien om Chern -klasser , taget som repræsenterende den algebraiske topologi af Grassmannians .

Paul Dirac studerede projektiv geometri og brugte den som et grundlag for at udvikle sine begreber om kvantemekanik , selvom hans offentliggjorte resultater altid var i algebraisk form. Se en blogartikel, der refererer til en artikel og en bog om dette emne, også til en tale Dirac holdt for et generelt publikum i løbet af 1972 i Boston om projektiv geometri uden specifikke oplysninger om dens anvendelse i hans fysik.

Beskrivelse

Projektiv geometri er mindre restriktiv end enten euklidisk geometri eller affin geometri . Det er en iboende ikke- metrisk geometri, hvilket betyder, at fakta er uafhængige af enhver metrisk struktur. Under de projektive transformationer bevares forekomststrukturen og forholdet mellem projektive harmoniske konjugater . Et projektivt område er det endimensionelle fundament. Projektiv geometri formaliserer et af de centrale principper for perspektivisk kunst: at parallelle linjer mødes i det uendelige , og derfor tegnes på den måde. I det væsentlige kan en projektiv geometri betragtes som en forlængelse af euklidisk geometri, hvor "retning" for hver linje er opsummeret inden for linjen som et ekstra "punkt", og hvor en "horisont" af retninger svarende til koplanære linjer betragtes som en "linje". Således mødes to parallelle linjer på en horisontlinje i kraft af, at de inkorporerer den samme retning.

Idealiserede retninger omtales som punkter i det uendelige, mens idealiserede horisonter omtales som linjer i det uendelige. Til gengæld ligger alle disse linjer i planet i det uendelige. Uendelighed er imidlertid et metrisk begreb, så en rent projektiv geometri adskiller ikke punkter, linjer eller planer i denne henseende - dem i det uendelige behandles ligesom alle andre.

Fordi en euklidisk geometri er indeholdt i en projektiv geometri - med projektiv geometri med et enklere fundament - kan generelle resultater i euklidisk geometri afledes på en mere gennemsigtig måde, hvor separate men lignende sætninger for euklidisk geometri kan håndteres kollektivt inden for rammerne af projektiv geometri. F.eks. Behøver parallelle og ikke -parallelle linjer ikke at blive behandlet som separate sager; snarere er et vilkårligt projektivt plan udpeget som det ideelle plan og placeret "i det uendelige" ved hjælp af homogene koordinater .

Yderligere egenskaber af grundlæggende betydning omfatter Desargues 'sætning og sætningen om Pappus . I projektive rum af dimension 3 eller større er der en konstruktion, der gør det muligt at bevise Desargues 'sætning . Men for dimension 2 skal den postuleres separat.

Ved hjælp af Desargues 'sætning kombineret med de andre aksiomer er det muligt at definere de grundlæggende operationer i aritmetik, geometrisk. De resulterende operationer tilfredsstiller aksiomerne i et felt - bortset fra at multiplikationens kommutativitet kræver Pappus hexagon -sætning . Som følge heraf er punkterne på hver linje i en-til-en-korrespondance med et givet felt, $F$ , suppleret med et yderligere element, ∞, således at $r \cdot \infty = \infty$ , $-\infty = \infty$ , $r + \infty = \infty$ , $r / 0 = \infty$ , $r / \infty = 0$ , $\infty - r = r - \infty = \infty$ , bortset fra at $0 /0$ , $\infty / \infty$ , $\infty + \infty$ , $\infty - \infty$ , $0 \cdot \infty$ og $\infty \cdot 0$ forbliver udefineret .

Projektiv geometri inkluderer også en fuld teori om keglesnit , et emne, der også er omfattende udviklet i euklidisk geometri. Der er fordele ved at være i stand til at tænke på en hyperbola og en ellipse, som kun udmærker sig ved den måde, hvorpå hyperbola ligger på tværs af linjen i det uendelige ; og at en parabel kun skelnes ved at være tangent til den samme linje. Hele familien af cirkler kan betragtes som kegler, der passerer gennem to givne punkter på linjen i det uendelige - på bekostning af at kræve komplekse koordinater. Da koordinater ikke er "syntetiske", erstatter man dem ved at fastsætte en linje og to punkter på den og betragte det lineære system for alle kegler, der passerer gennem disse punkter, som det grundlæggende objekt for undersøgelsen. Denne metode viste sig meget attraktiv for talentfulde geometre, og emnet blev undersøgt grundigt. Et eksempel på denne metode er afhandlingen med flere bind af HF Baker .

Der er mange projektive geometrier, som kan opdeles i diskret og kontinuerlig: en diskret geometri omfatter et sæt punkter, som måske er endeligt i antal, mens en kontinuerlig geometri har uendeligt mange punkter uden huller imellem.

Den eneste projektive geometri af dimension 0 er et enkelt punkt. En projektiv geometri af dimension 1 består af en enkelt linje, der indeholder mindst 3 punkter. Den geometriske konstruktion af aritmetiske operationer kan ikke udføres i nogen af disse tilfælde. For dimension 2 er der en rig struktur i kraft af fraværet af Desargues 'sætning .

Den Fano flyet er den projektive plan med færrest punkter og linjer.

Den mindste 2-dimensionelle projektive geometri (der med færrest punkter) er Fano-planet , der har 3 punkter på hver linje, med 7 punkter og 7 linjer i alt, der har følgende kollineariteter:

[ABC]
[ADE]
[AFG]
[BDG]
[BEF]
[CDF]
[CEG]

med homogene koordinater $A = (0,0,1)$ , $B = (0,1,1)$ , $C = (0,1,0)$ , $D = (1,0,1)$ , $E = (1,0, 0)$ , $F = (1,1,1)$ , $G = (1,1,0)$ eller, i affine koordinater, $A = (0,0)$ , $B = (0,1)$ , $C = (\infty)$ , $D = (1,0)$ , $E = (0)$ , $F = (1,1)$ og $G = (1)$ . De affinere koordinater i et desarguesisk plan for de punkter, der er udpeget til at være punkterne i det uendelige (i dette eksempel: C, E og G) kan defineres på flere andre måder.

I standardnotation skrives en endelig projektiv geometri $PG (a, b)$ hvor:

a

er den projektive (eller geometriske) dimension, og

b

er et mindre end antallet af punkter på en linje (kaldet geometriens rækkefølge ).

Således er eksemplet med kun 7 point skrevet $PG (2, 2)$ .

Udtrykket "projektiv geometri" bruges undertiden til at angive den generaliserede underliggende abstrakte geometri, og nogle gange til at angive en bestemt geometri af stor interesse, såsom den metriske geometri af fladt rum, som vi analyserer ved brug af homogene koordinater , og hvor euklidisk geometri kan være indlejret (deraf dets navn, udvidet euklidisk plan ).

Den grundlæggende egenskab, at singler ud alle projektive geometrier er den elliptisk forekomst egenskab, at enhver to forskellige linjer $L$ og $M$ i projektive plan skærer hinanden i præcis ét punkt $P$ . Det særlige tilfælde i analytisk geometri af parallelle linjer er opsummeret i den jævnere form af en linje i det uendelige, som $P$ ligger på. Den linje til uendeligt er således en linje som alle andre i teorien: Det er på ingen måde særlig eller fornemme. (I den senere ånd af Erlangen -programmet kunne man pege på den måde, gruppen af transformationer kan flytte enhver linje til linjen i det uendelige ).

De parallelle egenskaber ved elliptiske, euklidiske og hyperbolske geometrier kontrasterer som følger:

I betragtning af en linje

l

og et punkt

P, der

ikke er på linjen,

Elliptisk: der eksisterer ingen linje gennem $P$ , der ikke opfylder $l$
Euklidisk: der findes præcis en linje gennem $P$ , der ikke opfylder $l$
Hyperbolisk: der findes mere end en linje gennem $P$ , der ikke opfylder $l$

Parallelle egenskaber ved elliptisk geometri er nøgletanken, der fører til princippet om projektiv dualitet, muligvis den vigtigste egenskab, som alle projektive geometrier har til fælles.

Dualitet

I 1825 bemærkede Joseph Gergonne princippet om dualitet, der kendetegner projektiv plangeometri: givet enhver sætning eller definition af den geometri, erstatter punkt for linje , lig på for passage igennem , collinear for samtidige , skæringspunkt for sammenføjning , eller omvendt, resulterer i en anden sætning eller gyldig definition, den "dobbelte" af den første. Tilsvarende i 3 dimensioner holder dualitetsforholdet mellem punkter og planer, så enhver sætning kan transformeres ved at bytte punkt og plan, er indeholdt af og indeholder. Mere generelt er der for projektive rum af dimension N en dualitet mellem delrum af dimension R og dimension N − R − 1. For N = 2 er dette specialiseret til den mest almindeligt kendte form for dualitet - det mellem punkter og linjer. Dualitetsprincippet blev også opdaget uafhængigt af Jean-Victor Poncelet .

For at etablere dualitet kræver det kun at etablere sætninger, som er de dobbelte versioner af aksiomerne for den pågældende dimension. For tredimensionelle rum skal man således vise, at (1*) hvert punkt ligger i 3 forskellige planer, (2*) hvert andet plan skærer hinanden i en unik linje og en dobbelt version af (3*) til virkningen: hvis skæringspunktet mellem plan P og Q er planplan med skæringspunktet mellem plan R og S, så er de respektive skæringspunkter mellem planerne P og R, Q og S (forudsat at flyene P og S adskiller sig fra Q og R).

I praksis giver dualitetsprincippet os mulighed for at oprette en dobbelt korrespondance mellem to geometriske konstruktioner. Den mest berømte af disse er polariteten eller gensidigheden mellem to figurer i en konisk kurve (i 2 dimensioner) eller en kvadrisk overflade (i 3 dimensioner). Et almindeligt eksempel findes i gengældelsen af et symmetrisk polyeder i en koncentrisk sfære for at opnå det dobbelte polyeder.

Et andet eksempel er Brianchons sætning , det dobbelte af den allerede nævnte Pascals sætning , og et af hvis beviser ganske enkelt består i at anvende dualitetsprincippet på Pascals. Her er komparative udsagn om disse to sætninger (i begge tilfælde inden for rammerne af det projektive plan):

Pascal: Hvis alle seks hjørner af en sekskant ligger på en kegle , så er skæringspunkterne mellem dens modsatte sider (betragtes som hele linjer, da der i det projektive plan ikke er noget, der hedder et "linjesegment"), er tre kollinære punkter. Linjen, der forbinder dem, kaldes derefter sekskantens Pascal -linje .
Brianchon: Hvis alle seks sider af en sekskant er tangent til en kegle, så er dens diagonaler (dvs. linjerne, der forbinder modstående hjørner) tre samtidige linjer. Deres skæringspunkt kaldes derefter sekskantens Brianchon -punkt .

(Hvis keglen degenererer til to lige linjer, bliver Pascals sagn til Pappus , som ikke har noget interessant dobbelt, da Brianchon -punktet trivielt bliver de to liniers skæringspunkt.)

Aksiomer for projektiv geometri

Enhver given geometri kan udledes af et passende sæt aksiomer . Projektive geometrier er kendetegnet ved det "elliptiske parallelle" aksiom, at to plan altid mødes i kun en linje , eller i flyet, to linjer altid mødes i kun ét punkt. Med andre ord er der ikke sådanne ting som parallelle linjer eller planer i projektiv geometri.

Mange alternative sæt aksiomer til projektiv geometri er blevet foreslået (se f.eks. Coxeter 2003, Hilbert & Cohn-Vossen 1999, Greenberg 1980).

Whiteheads aksiomer

Disse aksiomer er baseret på Whitehead , "The Axioms of Projective Geometry". Der er to typer, punkter og linjer, og en "forekomst" -relation mellem punkter og linjer. De tre aksiomer er:

G1: Hver linje indeholder mindst 3 punkter
G2: Hvert to forskellige punkter, A og B, ligger på en unik linje, AB.
G3: Hvis linjer AB og CD skærer hinanden, så gør linjer AC og BD det samme (hvor det antages, at A og D adskiller sig fra B og C).

Grunden til, at hver linje formodes at indeholde mindst 3 punkter, er at fjerne nogle degenererede tilfælde. De rum, der opfylder disse tre aksiomer, har enten højst en linje eller er projektive rum af en eller anden dimension over en delingsring , eller er ikke-desarguesiske planer .

Yderligere aksiomer

Man kan tilføje yderligere aksiomer, der begrænser dimensionen eller koordinatringen. For eksempel refererer Coxeters Projektive Geometri til Veblen i de tre aksiomer ovenfor sammen med yderligere 5 aksiomer, der gør dimensionen 3 og koordinatringen til et kommutativt karakterfelt ikke 2.

Aksiomer ved hjælp af en ternær relation

Man kan forfølge aksiomatisering ved at postulere en ternær relation, [ABC] for at angive, når tre punkter (ikke alle nødvendigvis adskilte) er kollinære. En aksiomatisering kan også nedskrives med hensyn til denne relation:

C0: [ABA]
C1: Hvis A og B er to punkter, således at [ABC] og [ABD] derefter [BDC]
C2: Hvis A og B er to punkter, er der et tredje punkt C, således at [ABC]
C3: Hvis A og C er to punkter, B og D også med [BCE], [ADE] men ikke [ABE], er der et punkt F sådan, at [ACF] og [BDF].

For to forskellige punkter, A og B, er linjen AB defineret som bestående af alle punkter C, for hvilke [ABC]. Aksiomerne C0 og C1 tilvejebringer derefter en formalisering af G2; C2 for G1 og C3 for G3.

Begrebet linje generaliserer til fly og højere dimensionelle underrum. Et underrum, AB ... XY kan således defineres rekursivt i form af underrummet AB ... X som det, der indeholder alle punkterne på alle linjer YZ, da Z ligger over AB ... X. Kollinearitet generaliserer derefter til forholdet mellem "uafhængighed". Et sæt {A, B, ..., Z} af punkter er uafhængigt, [AB ... Z] hvis {A, B, ..., Z} er et minimalt genererende delmængde for underrummet AB ... Z .

De projektive aksiomer kan suppleres med yderligere aksiomer, der postulerer grænser for rummets dimension. Minimumsdimensionen bestemmes af eksistensen af et uafhængigt sæt af den nødvendige størrelse. For de laveste dimensioner kan de relevante betingelser angives i tilsvarende form som følger. Et projektivt rum er af:

(L1) mindst dimension 0, hvis den har mindst 1 punkt,
(L2) mindst dimension 1, hvis den har mindst 2 forskellige punkter (og derfor en linje),
(L3) mindst dimension 2, hvis den har mindst 3 ikke-kollinære punkter (eller to linjer eller en linje og et punkt, der ikke er på linjen),
(L4) mindst dimension 3, hvis den har mindst 4 ikke-plane planer.

Den maksimale dimension kan også bestemmes på en lignende måde. For de laveste dimensioner antager de følgende former. Et projektivt rum er af:

(M1) højst dimension 0, hvis den ikke har mere end 1 punkt,
(M2) højst dimension 1, hvis den ikke har mere end 1 linje,
(M3) højst dimension 2, hvis den ikke har mere end 1 plan,

og så videre. Det er en generel sætning (en konsekvens af aksiom (3)), som alle koplanære linjer skærer hinanden - selve princippet Projective Geometry var oprindeligt beregnet til at legemliggøre. Derfor kan ejendom (M3) ligestilles med, at alle linjer skærer hinanden.

Det antages generelt, at projektive rum er af mindst dimension 2. I nogle tilfælde, hvis fokus er på projektive planer, kan en variant af M3 postuleres. Axiomerne i (Eves 1997: 111) omfatter f.eks. (1), (2), (L3) og (M3). Aksiom (3) bliver vakuum sandt under (M3) og er derfor ikke nødvendig i denne sammenhæng.

Aksiomer for projektive fly

I forekomstgeometri giver de fleste forfattere en behandling, der omfavner Fano -planet PG (2, 2) som det mindste endelige projektive plan. Et aksiomsystem, der opnår dette, er som følger:

(P1) Alle to forskellige punkter ligger på en unik linje.
(P2) Alle to forskellige linjer mødes på et unikt punkt.
(P3) Der findes mindst fire punkter, hvoraf ingen tre er kollinære.

Coxeters introduktion til geometri giver en liste over fem aksiomer for et mere restriktivt begreb om et projektivt plan, der tilskrives Bachmann, og tilføjer Pappus sætning til listen over aksiomer ovenfor (hvilket eliminerer ikke-desarguesiske planer ) og ekskluderer projektive planer over felter med karakteristisk 2 ( dem, der ikke tilfredsstiller Fanos aksiom). De begrænsede fly, der er givet på denne måde, ligner mere det virkelige projektive plan .

Perspektivitet og projektivitet

I betragtning af tre ikke- kollinære punkter er der tre linjer, der forbinder dem, men med fire punkter, ikke tre kollinære, er der seks forbindelseslinjer og tre yderligere "diagonale punkter" bestemt af deres skæringspunkter. Videnskaben om projektiv geometri indfanger dette overskud bestemt af fire punkter gennem en kvaternær relation og de projektiviteter, der bevarer den komplette firkantkonfiguration .

En harmonisk firdobling af punkter på en linje opstår, når der er en komplet firkant to, hvis diagonale punkter er i den første og tredje position i firdoble, og de to andre positioner er punkter på linjerne, der forbinder to firkantede punkter gennem det tredje diagonale punkt .

En rumlig perspektivitet af en projektiv konfiguration i et plan giver en sådan konfiguration i et andet, og det gælder konfigurationen af det komplette firkant. Således bevares harmoniske firdoble ved perspektivitet. Hvis den ene perspektivitet følger den anden, følger konfigurationerne med. Sammensætningen af to perspektiver er ikke længere en perspektivitet, men en projektivitet .

Selvom tilsvarende punkter i en perspektivitet alle konvergerer på et tidspunkt, er denne konvergens ikke sand for en projektivitet, der ikke er en perspektivitet. I projektiv geometri er skæringspunktet mellem linjer dannet af tilsvarende punkter i en projektivitet i et plan af særlig interesse. Sættet med sådanne krydsninger kaldes en projektiv kegle , og i anerkendelse af Jakob Steiner 's arbejde betegnes det som en Steiner -kegle .

Antag, at en projektivitet dannes af to perspektiver centreret om punkterne A og B , der relaterer x til X af en mellemmand p :

{\ displaystyle x \ {\ overset {A} {\ doublebarwedge}} \ p \ {\ overset {B} {\ doublebarwedge}} \ X.}

Projektiviteten er derefter givet projektiviteten den inducerede kegle ${\ displaystyle x \ \ barwedge \ X.}$ ${\ displaystyle \ barwedge}$

{\ displaystyle C (\ barwedge) \ = \ \ bigcup \ {xX \ cdot yY: x \ barwedge X \ \ \ land \ \ y \ barwedge Y \}.}

I betragtning af en kegle C og et punkt P der ikke er på den, skærer to adskilte sekantlinjer gennem P C i fire punkter. Disse fire punkter bestemmer et firkant, hvoraf P er et diagonalt punkt. Linjen gennem de to andre diagonale punkter kaldes polar for P, og P er polen på denne linje. Alternativt den polære linje P er sættet af projektive harmoniske konjugater af P på en variabel sekant linje gennem P og C .

Se også

Noter

Referencer

Bachmann, F. (2013) [1959]. Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff (2. udgave). Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-65537-1.
Baer, Reinhold (2005). Lineær algebra og projektiv geometri . Mineola NY: Dover. ISBN 0-486-44565-8.
Bennett, MK (1995). Affin og projektiv geometri . New York: Wiley. ISBN 0-471-11315-8.
Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998). Projektiv geometri: Fra fundamenter til applikationer . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-48277-1.
Casse, Rey (2006). Projektiv geometri: En introduktion . Oxford University Press. ISBN 0-19-929886-6.
Cederberg, Judith N. (2001). Et kursus i moderne geometrier . Springer-Verlag. ISBN 0-387-98972-2.
Coxeter, HSM (2013) [1993]. The Real Projective Plane (3. udgave). Springer Verlag. ISBN 9781461227342.
Coxeter, HSM (2003). Projektiv geometri (2. udgave). Springer Verlag. ISBN 978-0-387-40623-7.
Coxeter, HSM (1969). Introduktion til geometri . Wiley. ISBN 0-471-50458-0.
Dembowski, Peter (1968). Endelige geometrier . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44. Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN 3-540-61786-8. MR 0233275 .
Eves, Howard (2012) [1997]. Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics (3. udgave). Courier Corporation. ISBN 978-0-486-13220-4.
Garner, Lynn E. (1981). En oversigt over projektiv geometri . Nordholland. ISBN 0-444-00423-8.
Greenberg, MJ (2008). Euklidiske og ikke-euklidiske geometrier: udvikling og historie (4. udgave). WH Freeman. ISBN 978-1-4292-8133-1.
Halsted, GB (1906). Syntetisk projektiv geometri . New York Wiley.
Hartley, Richard; Zisserman, Andrew (2003). Multiple view geometry in computer vision (2. udgave). Cambridge University Press. ISBN 0-521-54051-8.
Hartshorne, Robin (2009). Foundations of Projective Geometry (2. udgave). Ishi Press. ISBN 978-4-87187-837-1.
Hartshorne, Robin (2013) [2000]. Geometri: Euclid and Beyond . Springer. ISBN 978-0-387-22676-7.
Hilbert, D .; Cohn-Vossen, S. (1999). Geometri og fantasien (2. udgave). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1998-2.
Hughes, DR; Piper, FC (1973). Projektive fly . Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-90044-3.
Mihalek, RJ (1972). Projektiv geometri og algebraiske strukturer . New York: Academic Press. ISBN 0-12-495550-9.
Polster, Burkard (1998). En geometrisk billedbog . Springer-Verlag. ISBN 0-387-98437-2.
Ramanan, S. (august 1997). "Projektiv geometri". Resonans . Springer Indien. 2 (8): 87–94. doi : 10.1007/BF02835009 . ISSN 0971-8044 . S2CID 195303696 .
Samuel, Pierre (1988). Projektiv geometri . Springer-Verlag. ISBN 0-387-96752-4.
Santaló, Luis (1966) Geometría proyectiva , Editorial Universitaria de Buenos Aires
Veblen, Oswald; Young, JWA (1938). Projektiv geometri . Boston: Ginn & Co. ISBN 978-1-4181-8285-4.

eksterne links

Projektiv geometri til maskinsyn - selvstudium af Joe Mundy og Andrew Zisserman.
Noter baseret på Coxeter's The Real Projective Plane .
Projektiv geometri til billedanalyse - gratis vejledning af Roger Mohr og Bill Triggs.
Projektiv geometri. - gratis vejledning af Tom Davis.
Grassmann-metoden i projektiv geometri En samling af tre noter af Cesare Burali-Forti om anvendelsen af udvendig algebra på projektiv geometri
C. Burali-Forti, "Introduktion til differential geometri, efter H. Grassmanns metode" (engelsk oversættelse af bog)
E. Kummer, "General theory of rectilinear ray systems" (engelsk oversættelse)
M. Pasch, "On the focal surface of ray systems and the singularity overflates of complexes" (engelsk oversættelse)

Languages

In other projects