Riemannian geometri - Riemannian geometry

Geometri
Projicere en kugle til et fly
Omrids Historie
Grene Euklidisk Ikke-euklidisk Elliptisk Sfærisk Hyperbolisk Ikke-arkimæisk geometri Projektiv Affine Syntetisk Analytisk Algebraisk Aritmetik Diophantine Differentiale Riemannian Symplectic Diskret differentiering Kompleks Begrænset Diskret / kombinatorisk Digital Konveks Computational Fraktal Forekomst
Begreber Funktioner Dimension Straightedge og kompas konstruktioner Vinkel Kurve Diagonal Orthogonality ( lodret ) Parallel Hvirvel overensstemmelsen Lighed Symmetri
Nul-dimensionel Punkt
En-dimensionel Linie segment stråle Længde
To-dimensionelle Fly Areal Polygon Trekant Højde Hypotenus Pythagoras sætning Parallelogram Firkant Rektangel Rhombus Rhomboid Firkantet Trapesformet Glente Cirkel Diameter Omkreds Areal
Tredimensionelt Bind Terning cuboid Cylinder Pyramide Kugle
Fire - / andre-dimensionelle Tesseract Hypersfære
Geometre
ved navn Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apollonius Archimedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Euclid Euler Gauss Gromov Hilbert Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pythagoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Zhang Liste over geometre
efter periode BCE Ahmes Baudhayana Manava Pythagoras Euclid Archimedes Apollonius 1–1400s Zhang Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400- 1700 Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700- 1900-tallet Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter Nutidens dag Atiyah Gromov
v t e

Riemannian geometri er den gren af differentiel geometri, der studerer Riemannian manifolds , glatte manifolds med en Riemannian metric , dvs. med et indre produkt på tangentrummet på hvert punkt, der varierer jævnt fra punkt til punkt. Dette giver især lokale forestillinger om vinkel , kurverlængde , overfladeareal og volumen . Heraf kan nogle andre globale mængder udledes ved at integrere lokale bidrag.

Riemannisk geometri stammer fra visionen af Bernhard Riemann udtrykt i hans indledende forelæsning " Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen " ("Om hypoteserne, som geometri er baseret på.") Det er en meget bred og abstrakt generalisering af differencen overflade geometri i R ³ . Udvikling af Riemannian-geometri resulterede i syntese af forskellige resultater vedrørende overfladenes geometri og geodesikens opførsel på dem med teknikker, der kan anvendes til undersøgelse af differentierbare manifolder med højere dimensioner. Det gjorde det muligt for formuleringen af Einstein 's almene relativitetsteori , lavet dybtgående indvirkning på gruppe teori og repræsentation teori , samt analyse , og ansporet til udvikling af algebraisk og differentieret topologi .

Introduktion

Riemannian geometri blev først fremsat i almindelighed af Bernhard Riemann i det 19. århundrede. Det handler om en bred vifte af geometrier, hvis metriske egenskaber varierer fra punkt til punkt, inklusive standardtyperne af ikke-euklidisk geometri .

Hver glat manifold indrømmer en Riemannian-måling , som ofte hjælper med at løse problemer med differentiel topologi . Det fungerer også som et indgangsniveau for den mere komplicerede struktur af pseudo-Riemannian manifolds , som er (i fire dimensioner) er de vigtigste objekter i teorien om generel relativitet . Andre generaliseringer af Riemannian geometri inkluderer Finsler geometri .

Der findes en tæt analogi af differentiel geometri med den matematiske struktur af defekter i regelmæssige krystaller. Dislokationer og disclinationer producerer vridninger og krumning.

Følgende artikler indeholder noget nyttigt introduktionsmateriale:

• Metrisk tensor
• Riemannian manifold
• Levi-Civita forbindelse
• Krumning
• Riemann krumningstensor
• Liste over forskellige geometriemner
• Ordliste over Riemannian og metrisk geometri

Klassiske sætninger

Det følgende er en ufuldstændig liste over de mest klassiske sætninger i Riemannian-geometri. Valget træffes afhængigt af dets betydning og elegance i formuleringen. De fleste af resultaterne findes i den klassiske monografi af Jeff Cheeger og D. Ebin (se nedenfor).

De givne formuleringer er langt fra meget nøjagtige eller mest generelle. Denne liste er orienteret mod dem, der allerede kender de grundlæggende definitioner og ønsker at vide, hvad disse definitioner handler om.

Generelle sætninger

1. Gauss-Bonnet sætningen Integralet af Gauss krumningen på en kompakt 2-dimensional Riemannsk manifold er lig med 2πχ ( M ) hvor χ ( M ) angiver den Euler karakteristik af M . Denne sætning har en generalisering til ethvert kompakt, selvdimensionelt Riemannian-manifold, se generaliseret Gauss-Bonnet-sætning .
2. Nash indlejring sætninger . De anfører, at hver Riemannske manifold kan isometrisk indlejret i et euklidisk rum R ⁿ .

Geometri i stort

I alle følgende sætninger antager vi en vis lokal opførsel af rummet (normalt formuleret ved hjælp af krumningsantagelse) for at udlede nogle oplysninger om rummets globale struktur, herunder enten nogle oplysninger om den topologiske type af manifolden eller om punkternes opførsel på "tilstrækkeligt store" afstande.

Klemt sektions krumning

1. Sfæresætning . Hvis M er en simpel tilsluttet kompakt n- dimensionel Riemannian manifold med sektions krumning strengt klemt mellem 1/4 og 1, så er M diffeomorf til en sfære.
2. Cheegers finhedssætning. I betragtning af konstanterne C , D og V er der kun endeligt mange (op til diffeomorfisme) kompakte n -dimensionelle Riemannian manifolds med sektions krumning | K | ≤ C , diameter ≤ D og volumen ≥ V .
3. Gromovs næsten flade manifolder . Der er en ε _n > 0 sådan, at hvis en n -dimensional Riemannian-manifold har en metric med sektions krumning | K | ≤ ε _n og diameter ≤ 1 så er dens endelige dækning diffeomorf til en nul manifold .

Sektions krumning begrænset nedenfor

1. Cheeger-Gromoll s sjæl teorem . Hvis M er et ikke-kompakt komplet ikke-negativt buet n- dimensionelt Riemannian manifold, så indeholder M en kompakt, totalt geodesisk submanifold S, således at M er diffeomorf til det normale bundt af S ( S kaldes sjælen til M. ) navnlig hvis M har strengt positiv krumning overalt, så er det diffeomorf til R ⁿ . G. Perelman i 1994 gav en forbavsende elegant / kort bevis for sjælen formodninger: M er diffeomorf til R ⁿ hvis det har positiv krumning på et sted.
2. Gromovs sætning om Betti-numre. Der er en konstant C = C ( n ), således at hvis M er en kompakt tilsluttet n -dimensional Riemannsk manifold med positiv snit krumning derefter summen af dens Betti numre er højst C .
3. Grove – Petersens finitetssætning. Givne konstanter C , D og V , er der kun endeligt mange Homotopiteori typer af kompakte n -dimensionale Riemannske mangfoldigheder med snit krumning K ≥ C , diameter ≤ D og volumen ≥ V .

Sektions krumning afgrænset ovenfor

1. Den Cartan-Hadamard teorem , at en komplet enkeltsammenhængende riemannsk manifold M med nonpositive snit krumning er diffeomorf til euklidisk rum R ⁿ med n = dim M via eksponentielle kort på noget tidspunkt. Det indebærer, at ethvert to punkter i en simpelt forbundet fuldstændig Riemannian manifold med ikke-positiv snitkurvatur er forbundet med en unik geodesik.
2. Den geodetiske strømning af enhver kompakt Riemannian manifold med negativ sektions krumning er ergodisk .
3. Hvis M er en komplet Riemannian manifold med sektions krumning afgrænset ovenfor af en strengt negativ konstant k, er det et CAT ( k ) rum . Derfor er dens fundamentale gruppe Γ =  π ₁ ( M ) Gromov hyperbolsk . Dette har mange implikationer for strukturen i den fundamentale gruppe:

• det præsenteres endeligt ;
• den ordet problem for Γ har en positiv løsning;
• gruppen Γ har en endelig virtuel kohomologisk dimension ;
• den indeholder kun endeligt mange konjugatklasser af elementer af endelig orden ;
• de abelian undergrupper af Γ er næsten cyklisk , således at den ikke indeholder en undergruppe isomorf til Z × Z .

Ricci krumning afgrænset nedenfor

1. Myers sætning . Hvis en kompakt Riemannian-manifold har en positiv Ricci-krumning, er dens grundlæggende gruppe endelig.
2. Bochners formel . Hvis en kompakt Riemannian n -manifold har ikke-negativ Ricci-krumning, er dens første Betti-nummer højst n , med ligestilling, hvis og kun hvis Riemannian-manifolden er en flad torus.
3. Opdeling af sætning . Hvis en komplet n- dimensionel Riemannian manifold har ikke-negativ Ricci-krumning og en lige linje (dvs. en geodesik, der minimerer afstanden på hvert interval), er den isometrisk til et direkte produkt af den rigtige linje og en komplet ( n -1) -dimensional Riemannian manifold, der har ikke-negativ Ricci-krumning.
4. Ulighed mellem biskop og Gromov . Volumenet af en metrisk kugle med radius r i en komplet n -dimensional Riemannian-manifold med positiv Ricci-krumning har højst volumen af ​​volumenet af en kugle med samme radius r i det euklidiske rum.
5. Gromovs kompakte sætning . Sættet med alle Riemannian manifolds med positiv Ricci krumning og diameter på højst D er præ-kompakt i Gromov-Hausdorff metricen .

Negativ Ricci-krumning

1. Den isometri gruppe af en kompakt Riemannsk manifold med negativ Ricci krumning er diskret .
2. Enhver glat manifold med dimension n ≥ 3 indrømmer en Riemannian-metrisk med negativ Ricci-krumning. ( Dette gælder ikke for overflader .)

Positiv skalær krumning

1. Den n -dimensionelle torus tillader ikke en måling med positiv skalær krumning.
2. Hvis injektionsradien for en kompakt n -dimensionel Riemannian-manifold er ≥ π, er den gennemsnitlige skalære krumning højst n ( n -1).

Se også

• Form af universet
• Grundlæggende introduktion til matematik i buet rumtid
• Normale koordinater
• Systolisk geometri
• Riemann – Cartan geometri i Einstein – Cartan teori (motivation)
• Riemanns minimale overflade

Bemærkninger

Referencer

Bøger

• Berger, Marcel (2000), Riemannian Geometry Anden halvdel af det tyvende århundrede , University Lecture Series, 17 , Rhode Island: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2052-4. (Giver en historisk gennemgang og undersøgelse inklusive hundreder af referencer.)
• Cheeger, Jeff ; Ebin, David G. (2008), sammenligningssætninger i Riemannian geometri , Providence, RI: AMS Chelsea Publishing; Revideret genoptryk af originalen fra 1975.
• Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004), Riemannian geometry , Universitext (3. udg.), Berlin: Springer-Verlag.
• Jost, Jürgen, Riemannian Geometry and Geometric Analysis , Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-42627-2.
• Petersen, Peter (2006), Riemannian Geometry , Berlin: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98212-4

• Fra Riemann til differentiel geometri og relativitet (Lizhen Ji, Athanase Papadopoulos og Sumio Yamada, red.) Springer, 2017, XXXIV, 647 s. ISBN  978-3-319-60039-0

Papirer

• Brendle, Simon ; Schoen, Richard M. (2007), Klassificering af manifolder med svagt 1/4-klemte krumninger , arXiv : 0705.3963 , Bibcode : 2007arXiv0705.3963B

eksterne links

• Riemannian geometri af VA Toponogov ved Encyclopedia of Mathematics
• Weisstein, Eric W. "Riemannian Geometry" . MathWorld .