Symmetri -Symmetry

Symmetri (venstre) og asymmetri (højre)

En sfærisk symmetrigruppe med oktaedrisk symmetri . Det gule område viser det fundamentale domæne .

En fraktallignende form, der har reflektionssymmetri , rotationssymmetri og selvlighed , tre former for symmetri. Denne form opnås ved en endelig underinddelingsregel .

Symmetri (fra oldgræsk : συμμετρία symmetria "enighed i dimensioner, passende proportioner, arrangement") i dagligsproget refererer til en følelse af harmonisk og smuk proportion og balance. I matematik har "symmetri" en mere præcis definition og bruges normalt til at henvise til et objekt, der er invariant under nogle transformationer ; herunder translation , refleksion , rotation eller skalering . Selvom disse to betydninger af "symmetri" nogle gange kan adskilles, er de indviklet beslægtede og diskuteres derfor sammen i denne artikel.

Matematisk symmetri kan observeres med hensyn til tidens gang ; som et rumligt forhold ; gennem geometriske transformationer ; gennem andre former for funktionelle transformationer; og som et aspekt af abstrakte objekter , herunder teoretiske modeller , sprog og musik .

Denne artikel beskriver symmetri fra tre perspektiver: i matematik , herunder geometri , den mest velkendte type symmetri for mange mennesker; i videnskab og natur ; og inden for kunst, der dækker arkitektur , kunst og musik .

Det modsatte af symmetri er asymmetri , som refererer til fraværet eller en krænkelse af symmetrien.

I matematik

I geometri

Triskelion har 3-fold rotationssymmetri.

En geometrisk form eller et objekt er symmetrisk, hvis det kan opdeles i to eller flere identiske stykker, der er arrangeret på en organiseret måde. Det betyder, at et objekt er symmetrisk, hvis der er en transformation, der flytter individuelle stykker af objektet, men ikke ændrer den overordnede form. Typen af symmetri bestemmes af den måde, stykkerne er organiseret på, eller af typen af transformation:

Et objekt har reflektionssymmetri (linje eller spejlsymmetri), hvis der går en linje (eller i 3D et plan) igennem det, som deler det i to stykker, der er spejlbilleder af hinanden.
Et objekt har rotationssymmetri, hvis objektet kan roteres om et fast punkt (eller i 3D om en linje) uden at ændre den overordnede form.
Et objekt har translationssymmetri, hvis det kan oversættes (bevæger hvert punkt af objektet den samme afstand) uden at ændre dets overordnede form.
Et objekt har spiralformet symmetri , hvis det samtidigt kan translateres og roteres i tredimensionelt rum langs en linje kendt som en skrueakse .
Et objekt har skalasymmetri, hvis det ikke ændrer form, når det udvides eller trækkes sammen. Fraktaler udviser også en form for skalasymmetri, hvor mindre dele af fraktalen ligner større dele i form.
Andre symmetrier omfatter glidereflektionssymmetri (en refleksion efterfulgt af en translation) og rotorefleksionssymmetri (en kombination af en rotation og en refleksion).

I logikken

En dyadisk relation R = S × S er symmetrisk, hvis for alle elementer a , b i S , når det er sandt, at Rab , er det også sandt, at Rba . Således er forholdet "er på samme alder som" symmetrisk, for hvis Paulus er på samme alder som Maria, så er Maria på samme alder som Paulus.

I propositionel logik inkluderer symmetriske binære logiske konnektiviteter og (∧, eller &), eller (∨ eller |) og hvis og kun hvis (↔), mens bindeleddet hvis (→) ikke er symmetrisk. Andre symmetriske logiske forbindelser inkluderer nand (ikke-og eller ⊼), xor (ikke-bibetinget eller ⊻) og nor (ikke-eller eller ⊽).

Andre områder af matematik

Ved at generalisere fra geometrisk symmetri i det foregående afsnit kan man sige, at et matematisk objekt er symmetrisk i forhold til en given matematisk operation , hvis denne operation, når den anvendes på objektet, bevarer en eller anden egenskab ved objektet. Det sæt af operationer, der bevarer en given egenskab for objektet, danner en gruppe .

Generelt vil enhver form for struktur i matematik have sin egen form for symmetri. Eksempler omfatter lige og ulige funktioner i calculus , symmetriske grupper i abstrakt algebra , symmetriske matricer i lineær algebra og Galois-grupper i Galois teori . I statistik manifesterer symmetri sig også som symmetriske sandsynlighedsfordelinger og som skævhed - asymmetrien af fordelinger.

I videnskab og natur

I fysik

Symmetri i fysik er blevet generaliseret til at betyde invarians - det vil sige mangel på forandring - under enhver form for transformation, for eksempel vilkårlige koordinattransformationer . Dette koncept er blevet et af de mest kraftfulde værktøjer inden for teoretisk fysik , da det er blevet tydeligt, at praktisk talt alle naturlove stammer fra symmetrier. Faktisk inspirerede denne rolle nobelpristageren PW Anderson til at skrive i sin meget læste artikel fra 1972, More is Different , at "det er kun lidt overdrivende at sige, at fysik er studiet af symmetri." Se Noethers sætning (som i meget forenklet form siger, at for hver kontinuerlig matematisk symmetri er der en tilsvarende bevaret størrelse såsom energi eller momentum; en bevaret strøm, på Noethers originalsprog); og også, Wigners klassifikation , som siger, at symmetrierne af fysikkens love bestemmer egenskaberne af de partikler, der findes i naturen.

Vigtige symmetrier i fysik omfatter kontinuerlige symmetrier og diskrete symmetrier af rumtid ; indre symmetrier af partikler; og supersymmetri af fysiske teorier.

I biologi

Mange dyr er omtrent spejlsymmetriske, selvom indre organer ofte er arrangeret asymmetrisk.

Leonardo da Vincis ' Vitruvianske mand ' (ca. 1487) bruges ofte som en repræsentation af symmetri i den menneskelige krop og i forlængelse heraf det naturlige univers.

I biologi bruges begrebet symmetri for det meste eksplicit til at beskrive kropsformer. Bilaterale dyr , inklusive mennesker, er mere eller mindre symmetriske i forhold til det sagittale plan , som deler kroppen i venstre og højre halvdel. Dyr, der bevæger sig i én retning, har nødvendigvis øvre og nedre sider, hoved- og haleender, og derfor en venstre og en højre. Hovedet bliver specialiseret med en mund og sanseorganer, og kroppen bliver bilateralt symmetrisk med henblik på bevægelse, med symmetriske par af muskler og skeletelementer, selvom indre organer ofte forbliver asymmetriske.

Planter og fastsiddende (vedhæftede) dyr såsom søanemoner har ofte radial eller rotationssymmetri , hvilket passer dem, fordi mad eller trusler kan ankomme fra enhver retning. Femdobbelt symmetri findes i pighuder , gruppen der omfatter søstjerner , søpindsvin og søliljer .

I biologien bruges symmetribegrebet også som i fysik, det vil sige til at beskrive de undersøgte objekters egenskaber, herunder deres interaktioner. En bemærkelsesværdig egenskab ved biologisk evolution er ændringerne af symmetri, der svarer til udseendet af nye dele og dynamik.

I kemi

Symmetri er vigtig for kemi , fordi den ligger til grund for stort set alle specifikke interaktioner mellem molekyler i naturen (dvs. via interaktionen af naturlige og menneskeskabte chirale molekyler med iboende chirale biologiske systemer). Styringen af symmetrien af molekyler produceret i moderne kemisk syntese bidrager til videnskabsmænds evne til at tilbyde terapeutiske interventioner med minimale bivirkninger . En grundig forståelse af symmetri forklarer grundlæggende observationer inden for kvantekemi og i de anvendte områder spektroskopi og krystallografi . Teorien og anvendelsen af symmetri på disse områder af fysisk videnskab trækker i høj grad på det matematiske område af gruppeteori .

I psykologi og neurovidenskab

For en menneskelig observatør er nogle symmetrityper mere fremtrædende end andre, især den mest fremtrædende er en refleksion med en lodret akse, som den der er til stede i det menneskelige ansigt. Ernst Mach gjorde denne iagttagelse i sin bog "The analysis of sensations" (1897), og dette antyder, at opfattelse af symmetri ikke er en generel reaktion på alle typer regelmæssigheder. Både adfærdsmæssige og neurofysiologiske undersøgelser har bekræftet den særlige følsomhed over for refleksionssymmetri hos mennesker og også hos andre dyr. Tidlige undersøgelser inden for gestalttraditionen antydede, at bilateral symmetri var en af nøglefaktorerne i perceptuel gruppering . Dette er kendt som Symmetriloven . Symmetriens rolle i gruppering og figur/grundorganisation er blevet bekræftet i mange undersøgelser. For eksempel er detektion af refleksionssymmetri hurtigere, når dette er en egenskab for et enkelt objekt. Undersøgelser af menneskelig perception og psykofysik har vist, at detektion af symmetri er hurtig, effektiv og robust over for forstyrrelser. For eksempel kan symmetri detekteres med præsentationer mellem 100 og 150 millisekunder.

Nyere neuroimaging undersøgelser har dokumenteret, hvilke hjerneområder der er aktive under opfattelse af symmetri. Sasaki et al. brugt funktionel magnetisk resonansbilleddannelse (fMRI) til at sammenligne responser for mønstre med symmetriske eller tilfældige prikker. En stærk aktivitet var til stede i ekstrastriate områder af den occipitale cortex, men ikke i den primære visuelle cortex. De ekstrastriate regioner inkluderede V3A, V4, V7 og det laterale occipitale kompleks (LOC). Elektrofysiologiske undersøgelser har fundet en sen posterior negativitet, der stammer fra de samme områder. Generelt synes en stor del af det visuelle system at være involveret i at behandle visuel symmetri, og disse områder involverer lignende netværk som dem, der er ansvarlige for at opdage og genkende objekter.

I sociale interaktioner

Folk observerer den symmetriske karakter, ofte inklusive asymmetrisk balance, af sociale interaktioner i en række forskellige sammenhænge. Disse omfatter vurderinger af gensidighed , empati , sympati , undskyldning , dialog , respekt, retfærdighed og hævn . Reflekterende ligevægt er den balance, der kan opnås gennem deliberativ gensidig tilpasning mellem generelle principper og specifikke vurderinger . Symmetriske interaktioner sender det moralske budskab "vi er alle ens", mens asymmetriske interaktioner kan sende beskeden "Jeg er speciel; bedre end dig." Peer-forhold, som kan styres af den gyldne regel , er baseret på symmetri, hvorimod magtforhold er baseret på asymmetri. Symmetriske relationer kan til en vis grad opretholdes af simple ( spilteori ) strategier set i symmetriske spil som f.eks. tit for tat .

I kunsten

Loftet i Lotfollah-moskeen , Isfahan , Iran har 8-fold symmetri.

Det findes en liste over tidsskrifter og nyhedsbreve, der vides at beskæftige sig, i det mindste for en del, med symmetri og kunst.

I arkitektur

Symmetriske arkader af en portik i den store moske i Kairouan også kaldet Uqba-moskeen i Tunesien .

Set fra siden har Taj Mahal bilateral symmetri; fra toppen (i plan) har den firedobbelt symmetri.

Symmetri finder vej ind i arkitekturen i alle skalaer, fra de overordnede ydre udsigter over bygninger som gotiske katedraler og Det Hvide Hus , gennem layoutet af de individuelle plantegninger og ned til designet af individuelle bygningselementer som flisemosaikker . Islamiske bygninger som Taj Mahal og Lotfollah-moskeen gør udførligt brug af symmetri både i deres struktur og i deres udsmykning. Mauriske bygninger som Alhambra er udsmykket med komplekse mønstre lavet ved hjælp af translations- og reflektionssymmetrier samt rotationer.

Det er blevet sagt, at kun dårlige arkitekter stoler på et "symmetrisk layout af blokke, masser og strukturer"; Modernistisk arkitektur , startende med international stil , er i stedet afhængig af "vinger og balance mellem masserne".

I keramik og metalkar

Lerpotter kastet på et keramikhjul opnår rotationssymmetri.

Siden de tidligste anvendelser af keramikhjul til at hjælpe med at forme lerkar, har keramik haft et stærkt forhold til symmetri. Keramik fremstillet ved hjælp af et hjul opnår fuld rotationssymmetri i dets tværsnit, samtidig med at det tillader væsentlig formfrihed i lodret retning. På dette iboende symmetriske udgangspunkt har pottemagere fra oldtiden og fremefter tilføjet mønstre, der modificerer rotationssymmetrien for at opnå visuelle mål.

Støbte metalkar manglede den iboende rotationssymmetri af hjulfremstillet keramik, men gav ellers en lignende mulighed for at dekorere deres overflader med mønstre, der var behagelige for dem, der brugte dem. De gamle kinesere brugte for eksempel symmetriske mønstre i deres bronzestøbninger allerede i det 17. århundrede f.Kr. Bronzekar udstillede både et bilateralt hovedmotiv og et gentaget oversat kantdesign.

I tæpper og tæpper

Persisk tæppe med rektangulær symmetri

En lang tradition for brug af symmetri i tæppe- og tæppemønstre spænder over en række kulturer. Amerikanske Navajo- indianere brugte dristige diagonaler og rektangulære motiver. Mange orientalske tæpper har indviklede reflekterede centre og kanter, der oversætter et mønster. Ikke overraskende har rektangulære tæpper typisk symmetrierne af et rektangel - det vil sige motiver , der reflekteres på tværs af både den vandrette og lodrette akse (se Klein fire-gruppe § Geometri ).

I dyner

Køkken kalejdoskop quilt blok

Da dyner er lavet af firkantede blokke (normalt 9, 16 eller 25 stykker til en blok), hvor hvert mindre stykke normalt består af stoftrekanter, egner håndværket sig let til anvendelse af symmetri.

I anden kunst og håndværk

Keltisk knudeværk , der viser p4-symmetri

Symmetrier opstår i design af genstande af enhver art. Eksempler omfatter perlebeklædning , møbler , sandmalerier , knuder , masker og musikinstrumenter . Symmetrier er centrale for MC Eschers kunst og de mange anvendelser af tessellation i kunst og håndværksformer såsom tapet , keramisk flisebeklædning, såsom i islamisk geometrisk dekoration , batik , ikat , tæppefremstilling og mange slags tekstil- og broderimønstre .

Symmetri bruges også til at designe logoer. Ved at skabe et logo på et gitter og bruge symmetriteorien kan designere organisere deres arbejde, skabe et symmetrisk eller asymmetrisk design, bestemme mellemrummet mellem bogstaver, bestemme hvor meget negativ plads der kræves i designet, og hvordan man fremhæver dele af logoet for at få det til at skille sig ud.

I musik

Dur- og moltreklanger på de hvide klavertangenter er symmetriske med D. (sammenlign artikel) (fil)

Symmetri er ikke begrænset til billedkunst. Dens rolle i musikkens historie berører mange aspekter af skabelsen og opfattelsen af musik.

Musikalsk form

Symmetri er blevet brugt som en formel begrænsning af mange komponister, såsom bue (swell) form (ABCBA) brugt af Steve Reich , Béla Bartók og James Tenney . I klassisk musik brugte Bach symmetribegreberne permutation og invarians.

Pitch strukturer

Symmetri er også en vigtig overvejelse i dannelsen af skalaer og akkorder , traditionel eller tonal musik består af ikke-symmetriske grupper af tonehøjder , såsom den diatoniske skala eller durakkorden . Symmetriske skalaer eller akkorder, såsom hele toneskalaen , forstærket akkord eller formindsket septimakkord (formindsket-formindsket septim), siges at mangle retning eller en følelse af fremadgående bevægelse, er tvetydige med hensyn til toneart eller tonecenter og har en mindre specifik diatonisk funktionalitet . Imidlertid har komponister som Alban Berg , Béla Bartók og George Perle brugt symmetriakser og/eller intervalcyklusser på en analog måde med tangenter eller ikke -tonale tonale centre . George Perle forklarer "C–E, D–F♯, [og] Eb–G, er forskellige forekomster af det samme interval … den anden form for identitet … har at gøre med symmetriakser. C–E tilhører en familie af symmetrisk relaterede dyader som følger:"

D

D♯

E

F

F♯

G

G♯

D

C♯

C

B

A♯

EN

G♯

Ud over at være en del af interval-4-familien er C–E således også en del af sum-4-familien (med C lig med 0).

+	2	3	4	5	6	7	8
	2	1	0	11	10	9	8
	4	4	4	4	4	4	4

Intervalcyklusser er symmetriske og dermed ikke-diatoniske. Imidlertid vil et segment med syv tonehøjde af C5 (cyklussen af kvinter, som er enharmonisk med cyklussen af fjerdedele) producere den diatoniske durskala. Cykliske tonale progressioner i værker af romantiske komponister som Gustav Mahler og Richard Wagner danner en forbindelse med de cykliske tonerækkefølger i den atonale musik af modernister som Bartók, Alexander Scriabin , Edgard Varèse og Wienerskolen. Samtidig signalerer disse progressioner slutningen af tonalitet.

Den første udvidede komposition, der konsekvent var baseret på symmetriske tonehøjdeforhold, var sandsynligvis Alban Bergs Quartet , Op. 3 (1910).

Ækvivalens

Tonerækker eller tonehøjdeklassesæt , som er invariante under retrograd , er vandret symmetriske, under inversion lodret. Se også Asymmetrisk rytme .

I æstetik

Forholdet mellem symmetri og æstetik er komplekst. Mennesker finder bilateral symmetri i ansigter fysisk attraktive; det indikerer sundhed og genetisk kondition. Modsat dette er tendensen til, at overdreven symmetri opfattes som kedeligt eller uinteressant. Rudolf Arnheim foreslog, at folk foretrækker former, der har en vis symmetri og tilstrækkelig kompleksitet til at gøre dem interessante.

I litteraturen

Symmetri kan findes i forskellige former i litteraturen , et simpelt eksempel er palindromet , hvor en kort tekst læser det samme fremad eller bagud. Historier kan have en symmetrisk struktur, såsom Beowulfs stignings- og faldmønster .

Se også

Noter

Referencer

Yderligere læsning

Ligningen, der ikke kunne løses: Hvordan matematisk geni opdagede symmetriens sprog , Mario Livio , Souvenir Press 2006, ISBN 0-285-63743-6

eksterne links

Hollandsk: Symmetri omkring et punkt i flyet arkiveret 2004-01-02 på Wayback Machine
Chapman: Symmetriens æstetik
ISIS symmetri
Symmetry , BBC Radio 4 diskussion med Fay Dowker, Marcus du Sautoy & Ian Stewart ( In Our Time , 19. april 2007)

Languages

In other projects