Élie Cartan - Élie Cartan

Élie Cartan
Professor Élie Joseph Cartan
Født	( 1869-04-09 )9. april 1869 Dolomieu, Isère , Frankrig
Døde	6. maj 1951 (1951-05-06)(82 år) Paris, Frankrig
Nationalitet	Frankrig
Alma Mater	Universitetet i Paris
Kendt for	Lie grupper ( Cartans sætning ) Vektorrum og ydre algebra Differentialgeometri Special og generel relativitet Differentialformer Kvantemekanik ( spinorer , roterende vektorer ) Liste over ting opkaldt efter Élie Cartan
Priser	Leconte -prisen (1930) Lobachevsky -prisen (1937) Formand for det franske videnskabsakademi (1946) stipendiat i Royal Society (1947)
Videnskabelig karriere
Felter	Matematik og fysik
Institutioner	University of Paris École Normale Supérieure
Afhandling	Sur la structure des groupes de transformations finis et continus  (1894)
Doktorvejleder	Gaston Darboux Sophus Lie
Doktorander	Charles Ehresmann Mohsen Hashtroodi Kentaro Yano
Andre bemærkelsesværdige studerende	Shiing-Shen Chern

Élie Joseph Cartan, ForMemRS ( fransk:  [kaʁtɑ̃] ; 9. april 1869-6 . maj 1951) var en indflydelsesrig fransk matematiker, der udførte grundlæggende arbejde i teorien om løgngrupper , differentialsystemer (koordinatfri geometrisk formulering af PDE'er ) og differentialer geometri . Han leverede også betydelige bidrag til generel relativitet og indirekte til kvantemekanik . Han betragtes bredt som en af ​​de største matematikere i det tyvende århundrede.

Hans søn Henri Cartan var en indflydelsesrig matematiker, der arbejdede inden for algebraisk topologi .

Liv

Élie Cartan blev født 9. april 1869 i landsbyen Dolomieu, Isère til Joseph Cartan (1837–1917) og Anne Cottaz (1841–1927). Joseph Cartan var landsbyens smed; Élie Cartan mindede om, at hans barndom var gået under "slag af ambolten, der startede hver morgen fra daggry", og at "hans mor i de sjældne minutter, hvor hun var fri for at tage sig af børnene og huset, arbejdede med et snurrehjul ". Élie havde en ældste søster Jeanne-Marie (1867–1931), der blev frisør; en yngre bror Léon (1872–1956), der blev smed, der arbejdede i sin fars smedje; og en yngre søster Anna Cartan (1878–1923), der, delvis under Élies indflydelse, kom ind på École Normale Supérieure (som Élie havde før) og valgte karrieren som matematiklærer på lycée (gymnasium).

Élie Cartan kom ind på en folkeskole i Dolomieu og var den bedste elev på skolen. En af hans lærere, M. Dupuis, mindede om "Élie Cartan var en genert elev, men et usædvanligt lys af stort intellekt skinnede i hans øjne, og dette blev kombineret med en fremragende hukommelse". Antonin Dubost , dengang repræsentanten for Isère , besøgte skolen og var imponeret over Cartans usædvanlige evner. Han anbefalede Cartan at deltage i en konkurrence om et stipendium i en lycée . Cartan forberedte sig til konkurrencen under tilsyn af M. Dupuis og bestod i en alder af ti år. Han tilbragte fem år (1880–1885) på College of Vienne og derefter to år (1885–1887) på Lycée of Grenoble. I 1887 flyttede han til Lycée Janson de Sailly i Paris for at studere videnskab i to år; der mødte han og blev ven med sin klassekammerat Jean-Baptiste Perrin (1870–1942), der senere blev en berømt fysiker i Frankrig.

Cartan meldte sig ind i École Normale Supérieure i 1888. Han deltog der i foredrag af Charles Hermite (1822–1901), Jules Tannery (1848–1910), Gaston Darboux (1842–1917), Paul Appell (1855–1930), Émile Picard ( 1856–1941), Edouard Goursat (1858–1936) og Henri Poincaré (1854–1912), hvis forelæsninger var det, Cartan syntes mest om.

Efter eksamen fra École Normale Superieure i 1891 blev Cartan indkaldt til den franske hær, hvor han tjente et år og opnåede rang som sergent. I de næste to år (1892–1894) vendte Cartan tilbage til ENS, og efter råd fra sin klassekammerat Arthur Tresse (1868–1958), der studerede under Sophus Lie i årene 1888–1889, arbejdede han med emnet klassificering af simple løgngrupper , som blev startet af Wilhelm Killing . I 1892 kom Lie til Paris på invitation af Darboux og garveri og mødte Cartan for første gang.

Cartan forsvarede sin afhandling, Strukturen af ​​endelige kontinuerlige grupper af transformationer i 1894 på Det Videnskabelige Fakultet i Sorbonne. Mellem 1894 og 1896 var Cartan lektor ved University of Montpellier ; i årene 1896 til 1903 var han lektor ved Det Videnskabelige Fakultet ved University of Lyon .

I 1903, mens han var i Lyon, giftede Cartan sig med Marie-Louise Bianconi (1880–1950); samme år blev Cartan professor ved Det Videnskabelige Fakultet ved University of Nancy . I 1904 blev Cartans første søn, Henri Cartan , der senere blev en indflydelsesrig matematiker, født; i 1906 blev en anden søn, Jean Cartan, der blev komponist, født. I 1909 flyttede Cartan sin familie til Paris og arbejdede som lektor ved Det Videnskabelige Fakultet i Sorbonne. I 1912 blev Cartan professor der, baseret på den reference, han modtog fra Poincaré. Han blev i Sorbonne indtil sin pensionering i 1940 og tilbragte de sidste år af sit liv med at undervise i matematik på École Normale Supérieure for piger.

Som studerende i Cartan skrev geometret Shiing-Shen Chern :

Normalt dagen efter [møde med Cartan] ville jeg få et brev fra ham. Han ville sige, "Efter du gik, tænkte jeg mere over dine spørgsmål ..." - han havde nogle resultater, og nogle flere spørgsmål osv. Han kendte alle disse papirer om simple Lie -grupper , Lie -algebraer helt udenad. Når du så ham på gaden, da et bestemt problem ville dukke op, trak han en gammel konvolut frem og skrev noget og gav dig svaret. Og nogle gange tog det mig timer eller endda dage at få det samme svar ... jeg var nødt til at arbejde meget hårdt.

I 1921 blev han udenlandsk medlem af det polske læringsakademi og i 1937 udenlandsk medlem af Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences . I 1938 deltog han i den internationale komité sammensat til at organisere de internationale kongresser for videnskabens enhed.

Han døde i 1951 i Paris efter længere tids sygdom.

I 1976 blev et månekrater opkaldt efter ham. Før blev det betegnet Apollonius D.

Arbejde

I Travaux opdeler Cartan sit arbejde i 15 områder. Ved hjælp af moderne terminologi er de:

1. Løgneteori
2. Repræsentationer af Lie -grupper
3. Hyperkompleks tal , divisionsalgebror
4. Systems of PDEs, Cartan – Kähler theorem
5. Teori om ækvivalens
6. Integrerbare systemer , teori om forlængelse og systemer i involution
7. Uendelige-dimensionelle grupper og pseudogrupper
8. Differentialgeometri og bevægelige rammer
9. Generaliserede rum med strukturgrupper og forbindelser , Cartan -forbindelse , holonomi , Weyl tensor
10. Geometri og topologi af løgn -grupper
11. Riemannisk geometri
12. Symmetriske mellemrum
13. Topologi af kompakte grupper og deres homogene rum
14. Integrale invarianter og klassisk mekanik
15. Relativitet , spinorer

Cartans matematiske arbejde kan beskrives som udviklingen af ​​analyse på differentierbare manifolder, som mange nu betragter som den centrale og mest vitale del af moderne matematik, og som han var fremmest i at forme og fremme. Dette felt centrerer sig om Lie -grupper, partielle differentialsystemer og differential geometri; disse, hovedsageligt gennem Cartans bidrag, er nu tæt sammenvævede og udgør et samlet og kraftfuldt redskab.

Lie grupper

Cartan var praktisk talt alene inden for Lie -grupper i de tredive år efter sin afhandling. Lie havde hovedsageligt betragtet disse grupper som systemer til analytiske transformationer af en analytisk manifold, afhængigt analytisk af et begrænset antal parametre. En meget frugtbar tilgang til studiet af disse grupper blev åbnet i 1888, da Wilhelm Killing systematisk begyndte at studere gruppen i sig selv, uafhængigt af dens mulige handlinger på andre mangfoldigheder. På det tidspunkt (og indtil 1920) blev kun lokale ejendomme overvejet, så hovedstudiet for Killing var gruppens Lie -algebra, som præcist afspejler de lokale egenskaber rent algebraisk. Killings store præstation var bestemmelsen af ​​alle simple komplekse Lie -algebraer; hans beviser var imidlertid ofte defekte, og Cartans speciale var hovedsageligt viet til at give et grundigt grundlag for den lokale teori og til at bevise eksistensen af ​​de usædvanlige Lie -algebraer, der tilhører hver af de typer simple komplekse Lie -algebraer, som Killing havde vist for være muligt. Senere færdiggjorde Cartan den lokale teori ved eksplicit at løse to grundlæggende problemer, som han skulle udvikle helt nye metoder til: klassificering af simple virkelige Lie -algebraer og bestemmelse af alle ureducerbare lineære repræsentationer af simple Lie -algebraer ved hjælp af begrebet vægt af en repræsentation, som han indførte til dette formål. Det var i gang med at bestemme de lineære repræsentationer for de ortogonale grupper, at Cartan i 1913 opdagede spinorerne , som senere spillede en så vigtig rolle i kvantemekanikken.

Efter 1925 blev Cartan mere og mere interesseret i topologiske spørgsmål. På grund af Weyls strålende resultater på kompakte grupper udviklede han nye metoder til undersøgelse af globale egenskaber for Lie -grupper; især viste han, at topologisk en forbundet Lie -gruppe er et produkt af et euklidisk rum og en kompakt gruppe, og for kompakte Lie -grupper opdagede han, at de mulige grundlæggende grupper i den underliggende manifold kan aflæses fra strukturen af ​​Lie -algebraen i gruppe. Endelig skitserede han en metode til at bestemme Betti -antallet af kompakte Lie -grupper og reducerede igen problemet til et algebraisk spørgsmål om deres Lie -algebraer, som siden er blevet fuldstændig løst.

Løgne pseudogrupper

Efter at have løst problemet med strukturen af ​​Lie -grupper, som Cartan (efter Lie) kaldte "endelige kontinuerlige grupper" (eller "begrænsede transformationsgrupper"), stillede Cartan det lignende problem for "uendelige kontinuerlige grupper", som nu kaldes Lie pseudogrupper, en uendelig-dimensionel analog af Lie-grupper (der er andre uendelige generaliseringer af Lie-grupper). Lie pseudogruppen betragtet af Cartan er et sæt transformationer mellem delmængder af et rum, der indeholder den identiske transformation og besidder den egenskab, at resultatet af sammensætningen af ​​to transformationer i dette sæt (når dette er muligt) tilhører det samme sæt. Da sammensætningen af ​​to transformationer ikke altid er mulig, er transformationssættet ikke en gruppe (men en groupoid i moderne terminologi), og dermed navnet pseudogruppe. Cartan betragtede kun de transformationer af manifolder, for hvilke der ikke er nogen inddeling af manifolds i de klasser, der er transponeret af transformationerne i betragtning. Sådanne pseudogrupper af transformationer kaldes primitive. Cartan viste, at hver uendelig-dimensionelle primitive pseudogruppe af komplekse analytiske transformationer tilhører en af ​​de seks klasser: 1) pseudogruppen for alle analytiske transformationer af n komplekse variabler; 2) pseudogruppen af ​​alle analytiske transformationer af n komplekse variabler med en konstant Jacobian (dvs. transformationer, der multiplicerer alle volumener med det samme komplekse tal); 3) pseudogruppen for alle analytiske transformationer af n komplekse variabler, hvis jakobiske er lig med en (dvs. transformationer, der bevarer mængder); 4) pseudogruppen for alle analytiske transformationer af 2n> 4 komplekse variabler, der bevarer et bestemt dobbeltintegral (den symplektiske pseudogruppe); 5) pseudogruppen af ​​alle analytiske transformationer af 2n> 4 komplekse variabler, der multiplicerer ovennævnte dobbeltintegral med en kompleks funktion; 6) pseudogruppen for alle analytiske transformationer af 2n + 1 komplekse variabler, der multiplicerer en bestemt form med en kompleks funktion (kontaktpseudogruppen). Der er lignende klasser af pseudogrupper for primitive pseudogrupper af reelle transformationer defineret af analytiske funktioner af reelle variabler.

Differentialesystemer

Cartans metoder i teorien om differentielle systemer er måske hans dybeste præstation. I modstrid med traditionen søgte han fra starten at formulere og løse problemerne på en fuldstændig uforanderlig måde, uafhængigt af et bestemt valg af variabler og ukendte funktioner. Han var således i stand til for første gang at give en præcis definition af, hvad der er en "generel" løsning af et vilkårligt differentielt system. Hans næste skridt var også at forsøge at bestemme alle "ental" -løsninger ved en metode til "forlængelse", der består i at tilslutte nye ukendte og nye ligninger til det givne system på en sådan måde, at enhver entalløsning af det originale system bliver til en generel løsning af det nye system. Selvom Cartan viste, at i ethvert eksempel, som han behandlede hans metode, førte til fuldstændig fastlæggelse af alle entydige løsninger, lykkedes det ham ikke generelt at bevise, at dette altid ville være tilfældet for et vilkårligt system; et sådant bevis blev opnået i 1955 af Masatake Kuranishi .

Cartans hovedværktøj var beregningen af ​​udvendige differentialformer, som han var med til at skabe og udvikle i de ti år efter hans speciale og derefter fortsatte med at gælde for en række problemer inden for differential geometri, løgn grupper, analytisk dynamik og generel relativitet. Han diskuterede et stort antal eksempler og behandlede dem i en ekstremt elliptisk stil, der kun blev muliggjort af hans uhyggelige algebraiske og geometriske indsigt.

Differentialgeometri

Cartans bidrag til differential geometri er ikke mindre imponerende, og det kan siges, at han revitaliserede hele emnet, for det første arbejde af Riemann og Darboux var ved at gå tabt i kedelige beregninger og mindre resultater, ligesom det var sket med elementær geometri og invariant teori en generation tidligere. Hans vejledende princip var en betydelig forlængelse af metoden til at "flytte rammer" af Darboux og Ribaucour, hvortil han gav en enorm fleksibilitet og kraft, langt ud over alt hvad der var blevet gjort i klassisk differentialgeometri. I moderne termer består metoden i at forbinde et fiberbundt E med det primære fiberbundt med den samme base og have på hvert punkt i basen en fiber svarende til gruppen, der virker på fiberen af ​​E på samme punkt. Hvis E er tangentbundtet over basen (som siden Lie i det væsentlige var kendt som manifolden af ​​"kontaktelementer"), er den tilsvarende gruppe den generelle lineære gruppe (eller den ortogonale gruppe i klassisk euklidisk eller Riemannisk geometri). Cartans evne til at håndtere mange andre typer fibre og grupper tillader en at kreditere ham den første generelle idé om et fiberbundt, selvom han aldrig definerede det eksplicit. Dette koncept er blevet et af de vigtigste inden for alle områder af moderne matematik, hovedsageligt inden for global differentialgeometri og i algebraisk og differential topologi. Cartan brugte den til at formulere sin definition af en forbindelse, som nu bruges universelt og har afløst tidligere forsøg fra flere geometre, foretaget efter 1917, for at finde en type "geometri" mere generel end den riemanniske model og måske bedre tilpasset en beskrivelse af universet i retning af generel relativitet.

Cartan viste, hvordan han kunne bruge sit koncept for forbindelse til at opnå en meget mere elegant og enkel præsentation af Riemannian geometri. Hans hovedbidrag til sidstnævnte var imidlertid opdagelsen og studiet af de symmetriske Riemann -rum, et af de få tilfælde, hvor initiativtageren til en matematisk teori også var den, der bragte den til dens afslutning. Symmetriske Riemann -rum kan defineres på forskellige måder, hvoraf den enkleste postulerer eksistensen omkring hvert punkt i rummet af en "symmetri", der er involutiv, efterlader punktet fast og bevarer afstande. Den uventede kendsgerning, Cartan opdagede, er, at det er muligt at give en fuldstændig beskrivelse af disse rum ved hjælp af klassificeringen af ​​de enkle Lie -grupper; det burde derfor ikke være overraskende, at disse rum spiller en rolle, der bliver stadig vigtigere inden for forskellige matematiske områder, såsom automatiske funktioner og analytisk talteori (tilsyneladende langt væk fra differentialgeometri).

Alternativ teori til generel relativitet

Cartan skabte en konkurrent teori om tyngdekraften også Einstein -Cartan teori .

Publikationer

Cartans papirer er blevet samlet i hans Oeuvres complètes, 6 bind. (Paris, 1952–1955). To glimrende nekrologmeddelelser er SS Chern og C. Chevalley i Bulletin of the American Mathematical Society, 58 (1952); og JHC Whitehead i Obituary Notices of the Royal Society (1952).

Se også

• Udvendigt derivat
• Integrationsbetingelser for differentielle systemer
• Isotrop linje
• CAT ( k ) plads
• Einstein - Cartan teori
• Hermitisk symmetrisk rum
• Bevægelig ramme
• Pseudogruppe
• Ren spinor

Referencer

eksterne links

• Medier relateret til Élie Cartan på Wikimedia Commons
• MA Akivis & BA Rosenfeld (1993) Élie Cartan (1869–1951) , oversat fra russisk original af VV Goldberg, American Mathematical Society ISBN  0-8218-4587-X .
  • Shiing-Shen Chern (1994) Boganmeldelse: Elie Cartan af Akivis & Rosenfeld Bulletin fra American Mathematical Society 30 (1)
• Chern, Shiing-Shen; Chevalley, Claude (1952). "Élie Cartan og hans matematiske arbejde" . Bulletin fra American Mathematical Society . 58 (2): 217–250. doi : 10.1090/s0002-9904-1952-09588-4 .

Engelske oversættelser af nogle af hans bøger og artikler:

• "Om visse differentialudtryk og Pfaff -problemet"
• "Om integration af systemer med samlede differentialligninger"
• Lektioner om integrale invarianter .
• "Uendelige gruppers struktur"
• "Rum med konforme forbindelser"
• "På manifolder med projektive forbindelser"
• "Enhedsteorien om Einstein - Mayer"
• "E. Cartan, Exterior Differential Systems and its Applications, (oversat til engelsk af M. Nadjafikhah)"