Algebraisk topologi - Algebraic topology

En torus , et af de mest undersøgte objekter inden for algebraisk topologi

Algebraisk topologi er en gren af matematik, der bruger værktøjer fra abstrakt algebra til at studere topologiske rum . Det grundlæggende mål er at finde algebraiske invarianter, der klassificerer topologiske rum op til homomorfisme , selvom de normalt klassificeres op til homotopækvivalens .

Selvom algebraisk topologi primært bruger algebra til at studere topologiske problemer, er det undertiden også muligt at bruge topologi til at løse algebraiske problemer. Algebraisk topologi giver for eksempel et bekvemt bevis på, at enhver undergruppe af en fri gruppe igen er en fri gruppe.

Hovedgrener inden for algebraisk topologi

Nedenfor er nogle af de hovedområder, der studeres inden for algebraisk topologi:

Homotopigrupper

I matematik bruges homotopigrupper i algebraisk topologi til at klassificere topologiske rum . Den første og enkleste homotopigruppe er den grundlæggende gruppe , som registrerer oplysninger om sløjfer i et rum. Intuitivt registrerer homotopigrupper oplysninger om den grundlæggende form eller huller i et topologisk rum.

Homologi

I algebraisk topologi og abstrakt algebra , homologi (delvis fra græsk ὁμός homos "identisk") er en vis generel fremgangsmåde til at associere en sekvens af abelske grupper eller moduler med en given matematisk genstand, såsom en topologisk rum eller en gruppe .

Kohomologi

I homologiteori og algebraisk topologi er kohomologi en generel betegnelse for en sekvens af abelske grupper defineret ud fra et co-chain-kompleks . Det vil sige, at kohomologi defineres som den abstrakte undersøgelse af cochains , cocycles og coboundaries . Cohomology kan ses som en metode til at tildele algebraiske invarianter til et topologisk rum, der har en mere raffineret algebraisk struktur end homologi . Cohomology stammer fra den algebraiske dualisering af konstruktionen af ​​homologi. I et mindre abstrakt sprog bør cochains i den grundlæggende forstand tildele 'mængder' til kæderne i homologiteorien.

Fordelere

En manifold er et topologisk rum, der nær hvert punkt ligner euklidisk rum . Eksempler omfatter flyet , kuglen og torus , som alle kan realiseres i tre dimensioner, men også Klein -flasken og et reelt projektivt plan, der ikke kan realiseres i tre dimensioner, men kan realiseres i fire dimensioner. Resultaterne i algebraisk topologi fokuserer typisk på globale, ikke-differentierbare aspekter af manifolder; for eksempel Poincaré -dualitet .

Knude teori

Knudeori er studiet af matematiske knuder . Mens den er inspireret af knuder, der optræder i dagligdagen i snørebånd og reb, adskiller en matematikers knude sig ved, at enderne er forbundet sammen, så det ikke kan fortrydes. I præcist matematisk sprog, en knude er en indlejring af en cirkel i 3-dimensionalt euklidisk rum , . To matematiske knuder er ækvivalente, hvis den ene kan transformeres til den anden via en deformation af sig selv (kendt som en omgivende isotopi ); disse transformationer svarer til manipulationer af en knyttet streng, der ikke indebærer at skære snoren eller passere strengen gennem sig selv. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Komplekser

Et simpelt 3-kompleks.

Et forenklet kompleks er et topologisk rum af en bestemt art, konstrueret ved at "lime sammen" punkter , linjesegmenter , trekanter og deres n -dimensionelle modstykker (se illustration). Enkle komplekser bør ikke forveksles med den mere abstrakte opfattelse af et forenklet sæt, der optræder i moderne forenklet homotopiteori. Det rent kombinatoriske modstykke til et forenklet kompleks er et abstrakt forenklet kompleks .

Et CW -kompleks er en type topologisk rum, der blev introduceret af JHC Whitehead for at imødekomme behovene i homotopiteori . Denne klasse af rum er bredere og har nogle bedre kategoriske egenskaber end simple komplekser , men bevarer stadig en kombinatorisk karakter, der giver mulighed for beregning (ofte med et meget mindre kompleks).

Metode for algebraiske invarianter

Et ældre navn på emnet var kombinatorisk topologi , hvilket indebar en vægt på, hvordan et rum X blev konstrueret af enklere (det moderne standardværktøj til sådan konstruktion er CW -komplekset ). I 1920'erne og 1930'erne var der en stigende vægt på at undersøge topologiske rum ved at finde korrespondancer fra dem til algebraiske grupper , hvilket førte til skift af navn til algebraisk topologi. Det kombinatoriske topologi navn bruges stadig nogle gange til at understrege en algoritmisk tilgang baseret på nedbrydning af rum.

I den algebraiske tilgang finder man en korrespondance mellem rum og grupper, der respekterer forholdet mellem homeomorfisme (eller mere generel homotopi ) af rum. Dette gør det muligt at omformulere udsagn om topologiske rum til udsagn om grupper, som har en meget håndterbar struktur, hvilket ofte gør det lettere at bevise dette udsagn. To hovedmåder, hvorpå dette kan gøres, er gennem grundlæggende grupper eller mere generelt homotopiteori og gennem homologi- og kohomologigrupper . De grundlæggende grupper giver os grundlæggende oplysninger om strukturen i et topologisk rum, men de er ofte nonabeliske og kan være svære at arbejde med. Den grundlæggende gruppe af et (endelig) forenklet kompleks har en endelig præsentation .

Homologi- og kohomologigrupper er derimod abelske og i mange vigtige tilfælde endeligt genereret. Endeligt genererede abelske grupper er fuldstændigt klassificerede og er særligt lette at arbejde med.

Indstilling i kategoriteori

Generelt er alle konstruktioner af algebraisk topologi funktorielle ; forestillinger om kategori , funktor og naturlig transformation opstod her. Grundlæggende grupper og homologi- og kohomologigrupper er ikke kun invarianter af det underliggende topologiske rum, i den forstand at to topologiske rum, der er homomorfe, har de samme tilknyttede grupper, men deres tilhørende morfisme svarer også til - en kontinuerlig kortlægning af rum fremkalder en gruppehomomorfisme på de associerede grupper, og disse homomorfier kan bruges til at vise ikke-eksistens (eller meget dybere eksistens) af kortlægninger.

En af de første matematikere, der arbejdede med forskellige former for kohomologi, var Georges de Rham . Man kan bruge differentialstrukturen af glatte manifolder via de Rham cohomology eller Čech eller sheaf cohomology til at undersøge opløseligheden af differentialligninger defineret på den pågældende manifold. De Rham viste, at alle disse fremgangsmåder var indbyrdes forbundne, og at for et lukket, orienteret mangfoldighed var Betti -tallene, der stammer fra simpel homologi, de samme Betti -tal, som dem, der stammer fra de Rham -kohomologi. Dette blev forlænget i 1950'erne, da Samuel Eilenberg og Norman Steenrod generaliserede denne tilgang. De definerede homologi og kohomologi som funktorer udstyret med naturlige transformationer underlagt bestemte aksiomer (f.eks. Svag ækvivalens mellem rum går over til en isomorfisme af homologigrupper), verificerede, at alle eksisterende (co) homologiteorier tilfredsstilte disse aksiomer og beviste derefter, at sådanne en aksiomatisering karakteriserede teorien unikt.

Anvendelser af algebraisk topologi

Klassiske anvendelser af algebraisk topologi omfatter:

• Den Brouwer fast punkt sætning : hver kontinuerlig kortet fra enheden n -disk til sig selv har et fast punkt.
• Den frie rang af n th homologi gruppe af en Simpliciel kompleks er n th Betti nummer , som gør det muligt at beregne den Euler-Poincaré karakteristik .
• Man kan bruge differentialstrukturen af glatte manifolder via de Rham cohomology eller Čech eller sheaf cohomology til at undersøge opløseligheden af differentialligninger defineret på den pågældende manifold.
• En manifold er orienterbar, når den topdimensionelle integrale homologigruppe er heltal, og er ikke-orienterbar, når den er 0.
• Den n -sphere optager en intetsteds-forsvindende kontinuerlig enhed feltvektor hvis og kun hvis n er ulige. (For n  = 2 kaldes dette undertiden "den hårede kuglesætning ".)
• Den borsuk-ulams sætning : enhver sammenhængende kort fra n -sphere til euklidisk n -Plads identificerer i det mindste et par af antipodiske point.
• Enhver undergruppe af en gratis gruppe er gratis. Dette resultat er ganske interessant, fordi udsagnet er rent algebraisk, men det enkleste kendte bevis er topologisk. Nemlig enhver fri gruppe G kan realiseres som den grundlæggende enhed af en graf X . Hovedsætningen om dækning af mellemrum fortæller os, at hver undergruppe H i G er den grundlæggende gruppe af noget dækkende rum Y for X ; men hvert sådant Y er igen en graf. Derfor er dens grundlæggende gruppe H fri. På den anden side håndteres denne type ansøgning også mere enkelt ved brug af dækkende morfismer af gruppoider , og denne teknik har givet undergruppesætninger, der endnu ikke er bevist ved metoder til algebraisk topologi; se Higgins (1971) .
• Topologisk kombinatorik .

Bemærkelsesværdige algebraiske topologer

Vigtige sætninger i algebraisk topologi

Se også

Noter

Referencer

• Allegretti, Dylan GL (2008), Simplicial Sets og van Kampens sætning (Diskuterer generaliserede versioner af van Kampens sætning anvendt på topologiske rum og simple sæt).
• Bredon, Glen E. (1993), Topologi og geometri , kandidattekster i matematik, 139 , Springer, ISBN 0-387-97926-3.
• Brown, R. (2007), Higher dimensional group theory (Giver et bredt overblik over højere-dimensionelle van Kampen-sætninger, der involverer flere gruppoider) .
• Brown, R .; Razak, A. (1984), "A van Kampen-sætning for fagforeninger i ikke-forbundne rum", Arch. Matematik. , 42 : 85–88, doi : 10.1007/BF01198133. "Giver en generel sætning om den grundlæggende gruppeoid med et sæt grundpunkter i et rum, som er foreningen af ​​åbne sæt."
• Brown, R .; Hardie, K .; Kamps, H .; Porter, T. (2002), "The homotopy double groupoid of a Hausdorff space" , Theory Appl. Kategorier , 10 (2): 71–93.
• Brown, R .; Higgins, PJ (1978), "Om forbindelsen mellem de andre relative homotopiegrupper i nogle beslægtede rum", Proc. London Math. Soc. , S3-36 (2): 193–212, doi : 10.1112/plms/s3-36.2.193. "Den første 2-dimensionelle version af van Kampens sætning."
• Brown, Ronald; Higgins, Philip J .; Sivera, Rafael (2011), Nonabelian Algebraic Topology: Filtered Spaces, Crossed Complexes, Cubical Homotopy Groupoids , European Mathematical Society Tracts in Mathematics, 15 , European Mathematical Society, arXiv : math/0407275 , ISBN 978-3-03719-083-8, arkiveret fra originalen 2009-06-04 Dette giver en homotopisk teoretisk tilgang til grundlæggende algebraisk topologi uden behov for et grundlag i ental homologi eller metoden til enkel tilnærmelse. Den indeholder meget materiale på krydsede moduler .
• Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2. udgave), Læsning: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
• Greenberg, Marvin J .; Harper, John R. (1981), Algebraic Topology: A First Course, Revised edition , Mathematics Lecture Note Series, Westview/Perseus, ISBN 9780805335576. En funktional, algebraisk tilgang oprindeligt af Greenberg med geometrisk smag tilføjet af Harper.
• Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0. En moderne, geometrisk aromatiseret introduktion til algebraisk topologi.
• Higgins, Philip J. (1971), Noter om kategorier og groupoids , Van Nostrand Reinhold, ISBN 9780442034061
• Maunder, CRF (1970), Algebraic Topology , London: Van Nostrand Reinhold, ISBN 0-486-69131-4.
• tom Dieck, Tammo (2008), algebraisk topologi , EMS -lærebøger i matematik, European Mathematical Society, ISBN 978-3-03719-048-7
• van Kampen, Egbert (1933), "Om forbindelsen mellem de grundlæggende grupper i nogle beslægtede rum", American Journal of Mathematics , 55 (1): 261–7, JSTOR  51000091

Yderligere læsning

• Hatcher, Allen (2002). Algebraisk topologi . Cambridge University Press . ISBN 0-521-79160-X.og ISBN  0-521-79540-0 .
• "Algebraisk topologi" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Maj JP (1999). Et kortfattet kursus i algebraisk topologi (PDF) . University of Chicago Press . Hentet 2008-09-27 . Afsnit 2.7 giver en kategori-teoretisk præsentation af sætningen som en kolimit i kategorien groupoids.