Disk (matematik) - Disk (mathematics)

Disk med omkreds (C) i sort, diameter (D) i cyan, radius (R) i rødt og center (O) i magenta.

I geometri er en disk (også stavet disk ) regionen i et plan afgrænset af en cirkel . En disk siges at være lukket, hvis den indeholder den cirkel, der udgør dens grænse, og åben, hvis den ikke gør det.

Formler

I kartesiske koordinater er den åbne disk med centrum og radius R givet ved formlen ${\ displaystyle (a, b)}$

${\ displaystyle D = \ {(x, y) \ i {\ mathbb {R} ^ {2}} :( xa) ^ {2} + (yb) ^ {2} <R ^ {2} \}}$

mens den lukkede disk i samme center og radius er givet af

${\ displaystyle {\ overline {D}} = \ {(x, y) \ i {\ mathbb {R} ^ {2}} :( xa) ^ {2} + (yb) ^ {2} \ leq R ^ {2} \}.}$

Det område af en lukket eller åben skive med radius R er π R ² (se område af en skive ).

Ejendomme

Disken har cirkulær symmetri .

Den åbne disk og den lukkede disk er ikke topologisk ækvivalente (det vil sige, de er ikke homomorfe ), da de har forskellige topologiske egenskaber fra hinanden. For eksempel er hver lukket disk kompakt, mens hver åben disk ikke er kompakt. Men set fra algebraisk topologis synspunkt deler de mange egenskaber: begge er kontraktible, og det samme er homotopi svarende til et enkelt punkt. Dette indebærer, at deres grundlæggende grupper er trivielt, og alle homologigrupper er trivielle undtagen 0. ene, som er isomorf til Z . Den Euler karakteristisk for et punkt (og dermed også en lukket eller åben disk) er 1.

Hvert kontinuerligt kort fra den lukkede disk til sig selv har mindst et fast punkt (vi kræver ikke, at kortet er bijektivt eller endda surjectivt ); dette er tilfældet n = 2 i Brouwer-fastpunktssætningen . Erklæringen er falsk for den åbne disk:

Overvej for eksempel den funktion, der kortlægger hvert punkt på den åbne enhedsdisk til et andet punkt på den åbne enhedsdisk til højre for den givne. Men for den lukkede enhedsdisk fixer det hvert punkt på halvcirklen${\ displaystyle f (x, y) = \ left ({\ frac {x + {\ sqrt {1-y ^ {2}}}} {2}}, y \ right)}$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1, x> 0.}$

Se også

• Enhedsdisk , en disk med radius en
• Annulus (matematik) , regionen mellem to koncentriske cirkler
• Bold (matematik) , det sædvanlige udtryk for en 3-dimensional analog af en disk
• Diskalgebra , et rum med funktioner på en disk
• Ortocentroidal disk , der indeholder visse centre i en trekant

Referencer