Differentierbar manifold - Differentiable manifold

Et uforståeligt atlas af diagrammer for kloden. Resultaterne af beregningen er muligvis ikke kompatible mellem diagrammer, hvis atlaset ikke er differentierbart. I midter- og højre diagrammer er Kræftens Trope en glat kurve, hvorimod den i venstre diagram har et skarpt hjørne. Forestillingen om en differentierbar manifold forfinerer en manifold ved at kræve, at de funktioner, der transformerer mellem diagrammer, er differentierbare.

I matematik er en differentierbar manifold (også differential manifold ) en type manifold , der lokalt ligner nok et vektorrum til, at man kan lave en beregning . Enhver manifold kan beskrives ved en samling af diagrammer, også kendt som et atlas . Man kan derefter anvende ideer fra beregning, mens man arbejder inden for de individuelle diagrammer, da hvert diagram ligger inden for et vektorrum, som de sædvanlige beregningsregler gælder for. Hvis diagrammerne er passende kompatible (nemlig at overgangen fra et diagram til et andet er differentierbar ), så er beregninger udført i et diagram gyldige i ethvert andet differentierbart diagram.

Formelt set er en differentierbar manifold en topologisk manifold med en globalt defineret differentialstruktur . Enhver topologisk manifold kan gives en differentiel struktur lokalt ved hjælp af homeomorphismen i dets atlas og standarddifferentialestrukturen på et vektorrum. For at fremkalde en global differentialstruktur på de lokale koordinatsystemer fremkaldt af homeomorfierne, skal deres sammensætninger på kortkryds i atlas være differentierbare funktioner på det tilsvarende vektorrum. Med andre ord, hvor diagrammernes domæner overlapper hinanden, skal koordinaterne, der er defineret af hvert diagram, være differentierbare med hensyn til koordinaterne, der er defineret af hvert diagram i atlaset. Kortene, der relaterer koordinaterne, der er defineret af de forskellige kort til hinanden, kaldes overgangskort.

Evnen til at definere en sådan lokal differentiel struktur på et abstrakt rum gør det muligt at udvide definitionen af ​​differentierbarhed til rum uden globale koordinatsystemer. En lokalt differentiel struktur gør det muligt at definere det globalt differentierede tangensrum , differentierbare funktioner og differentierbare tensor- og vektorfelter .

Differentierbare manifolder er meget vigtige i fysik . Særlige former for differentierbare manifolder danner grundlaget for fysiske teorier såsom klassisk mekanik , generel relativitet og Yang – Mills teori . Det er muligt at udvikle en beregning for differentierbare manifolder. Dette fører til sådanne matematiske maskiner som den ydre beregning. Undersøgelsen af ​​beregning på differentierbare manifolder er kendt som differentialgeometri.

"Differentierbarhed" af en manifold har fået flere betydninger, herunder: kontinuerlig differentierbar , k -tid differentierbar, glat (som selv har mange betydninger) og analytisk .

Historie

Fremkomsten af ​​differential geometri som en særskilt disciplin krediteres generelt Carl Friedrich Gauss og Bernhard Riemann . Riemann beskrev først mangfoldigheder i sit berømte habiliteringsforedrag for fakultetet i Göttingen . Han motiverede tanken om en mangfoldighed ved en intuitiv proces med at variere et givet objekt i en ny retning og beskrev på forhånd rollen som koordinatsystemer og diagrammer i efterfølgende formelle udviklinger:

Efter at have konstrueret forestillingen om en mangfoldighed af n dimensioner og fundet ud af, at dens sande karakter består i den egenskab, at bestemmelsen af ​​position i den kan reduceres til n størrelsesbestemmelser, ... - B. Riemann

Fysikernes værker som James Clerk Maxwell og matematikere Gregorio Ricci-Curbastro og Tullio Levi-Civita førte til udviklingen af tensoranalyse og begrebet kovarians , der identificerer en iboende geometrisk egenskab som en, der er invariant med hensyn til at koordinere transformationer . Disse ideer fandt en central anvendelse i Albert Einsteins teori om generel relativitetsteori og dens underliggende ækvivalensprincip . En moderne definition af en 2-dimensionel manifold blev givet af Hermann Weyl i sin bog fra Riemann-overflader fra 1913 . Den almindeligt accepterede generelle definition af en manifold i form af et atlas skyldes Hassler Whitney .

Definition

Atlas

Lad M være et topologisk rum . Et diagram ( U , φ) på M består af et åbent delmængde U af M og en homeomorfisme φ fra U til en åben delmængde af noget euklidisk rum R ⁿ . Lidt uformelt kan man henvise til et diagram φ: U → R ⁿ , hvilket betyder, at billedet af φ er en åben delmængde af R ⁿ , og at φ er en homøomorfisme på dets billede; i brugen af ​​nogle forfattere kan dette i stedet betyde, at φ: U → R ⁿ i sig selv er en homomorfisme.

Tilstedeværelsen af ​​et diagram antyder muligheden for at foretage differentialregning på M ; for eksempel hvis man får en funktion u  : M → R og et diagram ( U , φ) på M , kunne man overveje sammensætningen u ∘ φ ⁻¹ , som er en reelt værdsat funktion, hvis domæne er en åben delmængde af en euklidisk plads; som sådan, hvis det tilfældigvis er differentierbart, kan man overveje dets partielle derivater .

Denne situation er ikke fuldt ud tilfredsstillende af følgende årsag. Overvej et andet diagram ( V , ψ) på M , og antag, at U og V indeholder nogle punkter til fælles. De to tilsvarende funktioner u ∘ φ ⁻¹ og u ∘ ψ ⁻¹ er forbundet i den forstand, at de kan repareres i hinanden:

${\ displaystyle u \ circ \ varphi ^{-1} = {\ big (} u \ circ \ psi ^{-1} {\ big)} \ circ {\ big (} \ psi \ circ \ varphi ^{- 1} {\ big)},}$

det naturlige domæne i højre side er φ ( U ∩ V ) . Da φ og ψ er homeomorfismer, følger det, at ψ ∘ φ ⁻¹ er en homomorfisme fra φ ( U ∩ V ) til ψ ( U ∩ V ) . Derfor, selvom begge funktioner u ∘ φ ⁻¹ og u ∘ ψ ⁻¹ er differentierbare, vil deres differentielle egenskaber ikke nødvendigvis være stærkt knyttet til hinanden, da ψ ∘ φ ⁻¹ ikke nødvendigvis er tilstrækkeligt differentieret til, at kædereglen er gældende. Det samme problem findes, hvis man i stedet betragter funktioner c  : R → M ; den ene føres til reparametriseringsformlen

${\ displaystyle \ varphi \ circ c = {\ big (} \ varphi \ circ \ psi ^{-1} {\ big)} \ circ {\ big (} \ psi \ circ c {\ big)},}$

på hvilket tidspunkt kan man foretage den samme observation som før.

Dette løses ved indførelsen af ​​et "differentierbart atlas" af diagrammer, som specificerer en samling af diagrammer på M, for hvilke overgangskortene ψ ∘ φ ⁻¹ alle er differentierbare. Dette gør situationen ganske ren: hvis u ∘ φ ⁻¹ er differentierbar, er kortet u ∘ ψ ⁻¹ også differentieret på regionen ψ ( U ∩ V ) på grund af reparametriseringsformlen . Desuden er derivaterne af disse to kort forbundet med hinanden af ​​kædereglen. I forhold til det givne atlas letter dette en forestilling om differentierbare kortlægninger, hvis domæne eller område er M , samt en forestilling om derivatet af sådanne kort.

Formelt set er ordet "differentierbar" noget tvetydigt, da det menes at betyde forskellige ting af forskellige forfattere; nogle gange betyder det eksistensen af ​​første derivater, nogle gange eksistensen af ​​kontinuerlige første derivater, og nogle gange eksistensen af ​​uendeligt mange derivater. Det følgende giver en formel definition af forskellige (ikke -entydige) betydninger af "differentierbart atlas". Generelt vil "differentierbar" blive brugt som et overordnet begreb inklusive alle disse muligheder, forudsat at k ≥ 1 .

${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle U _ {\ alpha}}$

${\ displaystyle U _ {\ beta}}$

${\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha}}$

${\ displaystyle \ varphi _ {\ beta}}$

${\ displaystyle \ varphi _ {\ beta \ alpha}}$

${\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha \ beta}}$

${\ displaystyle \ mathbf {R} ^{n}}$

${\ displaystyle \ mathbf {R} ^{n}}$

Overgangskortet over to diagrammer. φ _αβ betegner φ _α ∘ φ⁻¹
_βog φ _α betegner φ _β ∘ φ⁻¹
_α

Da hvert real-analytisk kort er glat, og hvert glat kort er C ^k for enhver k , kan man se, at ethvert analytisk atlas også kan ses som et glat atlas, og hvert glat atlas kan ses som et C ^k- atlas. Denne kæde kan udvides til at omfatte holomorfe atlas, med den forståelse, at enhver holomorf kort mellem åbne delmængder af C ⁿ kan ses som en real-analytisk kort mellem åbne delmængder af R ^{2 n} .

I betragtning af et differentierbart atlas på et topologisk rum siger man, at et diagram er differentierbart kompatibelt med atlaset, eller differentierbart i forhold til det givne atlas, hvis optagelsen af ​​diagrammet i den samling af diagrammer, der indeholder det givne differentierbare atlas, resulterer i et differentierbart atlas . Et differentierbart atlas bestemmer et maksimalt differentierbart atlas , der består af alle diagrammer, der er differentierbart kompatible med det givne atlas. Et maksimalt atlas er altid meget stort. For eksempel givet et diagram i et maksimalt atlas, vil dets begrænsning til en vilkårlig åben delmængde af dets domæne også være indeholdt i det maksimale atlas. Et maksimalt glat atlas er også kendt som en glat struktur ; et maksimalt holomorft atlas er også kendt som en kompleks struktur .

En alternativ, men ækvivalent definition, der undgår direkte brug af maksimale atlas, er at overveje ækvivalensklasser af differentierbare atlas, hvor to differentierbare atlas betragtes som ækvivalente, hvis hvert diagram over et atlas er differentierbart kompatibelt med det andet atlas. Uformelt, hvad dette betyder, er, at man ved håndtering af en glat manifold kan arbejde med et enkelt differentierbart atlas, der kun består af få diagrammer, med den implicitte forståelse for, at mange andre diagrammer og differentierbare atlas er lige legitime.

Ifølge domænes invariance har hver forbundet komponent i et topologisk rum, der har et differentierbart atlas, en veldefineret dimension n . Dette forårsager en lille tvetydighed i tilfælde af et holomorft atlas, da den tilsvarende dimension vil være halvdelen af ​​værdien af ​​dens dimension, når den betragtes som et analytisk, glat eller C ^k- atlas. Af denne grund henviser man separat til den "virkelige" og "komplekse" dimension af et topologisk rum med et holomorft atlas.

Fordelere

En differentiable manifold er en Hausdorff og anden tællelig topologisk rum M , sammen med en maksimal differentiable atlas på M . Meget af grundteorien kan udvikles uden behov for Hausdorff og andre tællbarhedsbetingelser, selvom de er afgørende for meget af den avancerede teori. De svarer i det væsentlige til den generelle eksistens af bumpfunktioner og enhedens skillevægge , som begge bruges allestedsnærværende.

Begrebet en C ⁰ manifold er identisk med en topologisk manifold . Der er imidlertid en bemærkelsesværdig sondring, der skal gøres. I betragtning af et topologisk rum er det meningsfuldt at spørge, om det er et topologisk mangfoldighed eller ej. Derimod er det ikke meningsfuldt at spørge, om et givet topologisk rum (f.eks.) Er en glat manifold, da forestillingen om en glat manifold kræver specifikation af et glat atlas, som er en yderligere struktur. Det kunne imidlertid være meningsfuldt at sige, at et bestemt topologisk rum ikke kan tildeles strukturen som en glat manifold. Det er muligt at omformulere definitionerne, så denne form for ubalance ikke er til stede; kan man starte med et sæt M (snarere end en topologisk rum M ) ved anvendelse af naturlige analoge en glat atlas i denne indstilling at definere strukturen af et topologisk rum på M .

Sammenlægning af euklidiske stykker til en manifold

Man kan reverse-manipulere ovenstående definitioner for at opnå ét perspektiv på konstruktionen af ​​manifolder. Ideen er at starte med billederne af diagrammerne og overgangskortene og konstruere manifolden udelukkende ud fra disse data. Som i ovenstående diskussion bruger vi den "glatte" kontekst, men alt fungerer lige så godt i andre indstillinger.

Givet et indekseringssæt lad være en samling af åbne undersæt af og for hver lad være et åbent (muligvis tomt) delsæt af og lad være et glat kort. Antag, at det er identitetskortet, det er identitetskortet, og det er identitetskortet. Definer derefter et ækvivalensforhold på den usammenhængende forening ved at erklære at være ækvivalent med Med noget teknisk arbejde kan man vise, at sættet af ækvivalensklasser naturligvis kan tildeles en topologisk struktur, og at de diagrammer, der bruges til at danne det, danner et glat atlas. ${\ displaystyle A,}$${\ displaystyle V _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ i A}$${\ displaystyle V _ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle V _ {\ beta}}$${\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha \ beta}: V _ {\ alpha \ beta} \ til V _ {\ beta \ alpha}}$${\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha \ alpha}}$${\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha \ beta} \ circ \ varphi _ {\ beta \ alpha}}$${\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha \ beta} \ circ \ varphi _ {\ beta \ gamma} \ circ \ varphi _ {\ gamma \ alpha}}$${\ textstyle \ bigsqcup _ {\ alpha \ i A} V _ {\ alpha}}$${\ displaystyle p \ i V _ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha \ beta} (p) \ i V _ {\ beta \ alpha}.}$

Differentierbare funktioner

En reel værdsat funktion f på en n -dimensionel differentierbar manifold M kaldes differentierbar ved et punkt p ∈ M, hvis den er differentierbar i et koordinatdiagram, der er defineret omkring p . I mere præcise termer, hvis er et differentierbart diagram, hvor er et åbent sæt indeholdende p og er kortet, der definerer diagrammet, så er f differentieret ved p, hvis og kun hvis${\ displaystyle (U, \ varphi)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ varphi: U \ til {\ mathbf {R}}^{n}}$

${\ displaystyle f \ circ \ varphi ^{-1} \ colon \ varphi (U) \ undersæt {\ mathbf {R}} ^{n} \ til {\ mathbf {R}}}$

er differentierbar ved , det vil sige f er en differentierbar funktion fra det åbne sæt , betragtet som en delmængde af , til . Generelt vil der være mange tilgængelige diagrammer; definitionen af ​​differentierbarhed afhænger imidlertid ikke af valget af diagram på s . Det følger af den kæderegel, der anvendes på overgangsfunktionerne mellem et diagram og et andet, at hvis f er differentierbar i et bestemt diagram på p , så er det differentierbart i alle diagrammer på p . De samme betragtninger gælder for at definere C ^k funktioner, glatte funktioner og analytiske funktioner. ${\ displaystyle \ varphi (p)}$${\ displaystyle \ varphi (U)}$${\ displaystyle {\ mathbf {R}}^{n}}$${\ displaystyle \ mathbf {R}}$

Differentiering af funktioner

Der er forskellige måder at definere derivatet af en funktion på en differentierbar manifold, hvoraf den mest fundamentale er retningsderivatet . Definitionen af ​​retningsderivatet er kompliceret af det faktum, at en manifold vil mangle en passende affin struktur til at definere vektorer på . Derfor ser retningsderivatet på kurver i manifolden i stedet for vektorer.

Retningsdifferentiering

I betragtning af en reel værdsat funktion f på en n dimensionel differentierbar manifold M , er retningsderivatet af f ved et punkt p i M defineret som følger. Antag at γ ( t ) er en kurve i M med γ (0) = p , som er differentierbar i den forstand, at dens sammensætning med et hvilket som helst diagram er en differentierbar kurve i R ⁿ . Så er retningsderivatet af f ved p langs γ

${\ displaystyle \ left. {\ frac {d} {dt}} f (\ gamma (t)) \ right | _ {t = 0}.}$

Hvis γ ₁ og γ ₂ er to kurver, således at γ ₁ (0) = γ ₂ (0) = p , og i et hvilket som helst koordinatdiagram φ ,

${\ displaystyle \ left. {\ frac {d} {dt}} \ varphi \ circ \ gamma _ {1} (t) \ right | _ {t = 0} = \ left. {\ frac {d} {dt }} \ varphi \ circ \ gamma _ {2} (t) \ right | _ {t = 0}}$

derefter, ved kædereglen, har f det samme retningsafledte ved p langs γ ₁ som langs γ ₂ . Det betyder, at den retningsbestemte derivat kun afhænger af tangenten vektor af kurven på p . Således fanger den mere abstrakte definition af retningsdifferentiering tilpasset tilfældet med differentierbare manifolder i sidste ende de intuitive træk ved retningsdifferentiering i et affint rum.

Tangentvektor og differentialet

En tangentvektor ved p ∈ M er en ækvivalensklasse af differentierbare kurver γ med γ (0) = p , modulo ækvivalensforholdet mellem førsteordens kontakt mellem kurverne. Derfor,

${\ displaystyle \ gamma _ {1} \ equiv \ gamma _ {2} \ iff \ left. {\ frac {d} {dt}} \ varphi \ circ \ gamma _ {1} (t) \ right | _ { t = 0} = \ venstre. {\ frac {d} {dt}} \ varphi \ circ \ gamma _ {2} (t) \ højre | _ {t = 0}}$

i hvert koordinatdiagram φ . Derfor er ækvivalensklasserne kurver gennem p med en foreskrevet hastighedsvektor ved p . Indsamling af alle tangentvektorer på p danner et vektorrum : den tangentrummet til M på p , betegnet T _s M .

Hvis X er en tangentvektor ved p og f en differentierbar funktion defineret nær p , giver differentiering f langs en hvilken som helst kurve i ækvivalensklassen, der definerer X, et veldefineret retningsderivat langs X :

${\ displaystyle Xf (p): = \ venstre. {\ frac {d} {dt}} f (\ gamma (t)) \ højre | _ {t = 0}.}$

Igen fastslår kædereglen, at dette er uafhængigt af friheden til at vælge γ fra ækvivalensklassen, da enhver kurve med den samme første ordens kontakt vil give det samme retningsafledte.

Hvis funktionen f er fast, så er kortlægningen

${\ displaystyle X \ mapsto Xf (p)}$

er en lineær funktionel på tangentrummet. Denne lineære funktionelle ofte betegnet med df ( p ) og kaldes forskellen af f på p :

${\ displaystyle df (p) \ colon T_ {p} M \ til {\ mathbf {R}}.}$

Definition af tangentrum og differentiering i lokale koordinater

Lad være en topologisk -manifold med et glat atlas Givet lad betegne En "tangentvektor ved " er en kortlægning her betegnet således, at ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ {(U _ {\ alpha}, \ varphi _ {\ alpha}) \} _ {\ alpha \ i A}.}$${\ displaystyle p \ i M}$${\ displaystyle A_ {p}}$${\ displaystyle \ {\ alpha \ i A: p \ i U _ {\ alpha} \}.}$${\ displaystyle p \ i M}$${\ displaystyle v: A_ {p} \ til \ mathbb {R} ^{n},}$${\ displaystyle \ alpha \ mapsto v _ {\ alpha},}$

${\ displaystyle v _ {\ alpha} = D {\ Big |} _ {\ varphi _ {\ beta} (p)} (\ varphi _ {\ alpha} \ circ \ varphi _ {\ beta}^{-1} ) (v _ {\ beta})}$

for alle Lad samlingen af ​​tangentvektorer ved betegnes med Givet en jævn funktion , definer ved at sende en tangentvektor til det tal, der er givet ved ${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ i A_ {p}.}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle T_ {s} M.}$${\ displaystyle f: M \ til \ mathbb {R}}$${\ displaystyle df_ {p}: T_ {p} M \ til \ mathbb {R}}$${\ displaystyle v: A_ {p} \ til \ mathbb {R} ^{n}}$

${\ displaystyle D {\ Big |} _ {\ varphi _ {\ alpha} (p)} (f \ circ \ varphi _ {\ alpha}^{-1}) (v _ {\ alpha}),}$

som på grund af kædereglen og begrænsningen i definitionen af ​​en tangentvektor ikke afhænger af valget af ${\ displaystyle \ alpha \ i A_ {s}.}$

Man kan kontrollere, at det naturligvis har strukturen i et -dimensionelt virkeligt vektorrum, og at det med denne struktur er et lineært kort. Den centrale observation er, at på grund af den begrænsning, der forekommer i definitionen af ​​en tangentvektor, bestemmer værdien af for et enkelt element af automatisk for alle${\ displaystyle T_ {p} M}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle df_ {p}}$${\ displaystyle v _ {\ beta}}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle A_ {p}}$${\ displaystyle v _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ alpha \ i A.}$

Ovenstående formelle definitioner svarer præcist til en mere uformel notation, der ofte forekommer i lærebøger, specifikt

${\ displaystyle v^{i} = {\ widetilde {v}}^{j} {\ frac {\ delvis x^{i}} {\ delvis {\ widetilde {x}}^{j}}}}}$ og ${\ displaystyle df_ {p} (v) = {\ frac {\ partiel f} {\ delvis x^{i}}} v^{i}.}$

Med ideen om de formelle definitioner forstået, er denne stenografi -notation for de fleste formål meget lettere at arbejde med.

Partitioner af enhed

Et af de topologiske træk ved skiven af ​​differentierbare funktioner på en differentierbar manifold er, at den indrømmer adskillelser af enhed . Dette adskiller differentialstrukturen på en manifold fra stærkere strukturer (såsom analytiske og holomorfe strukturer), der generelt ikke har partitioner af enhed.

Antag at M er en manifold af klasse C ^k , hvor 0 ≤ k ≤ ∞ . Lad { U _α } være en åben overdækning af M . Derefter er en deling af enhed underordnet omslaget { U _α } en samling af reelt værdsatte C ^k- funktioner φ _i på M, der opfylder følgende betingelser:

• De understøtninger af φ _jeg er kompakt og lokalt finite ;
• Understøttelsen af φ _i er fuldstændigt indeholdt i U _α for nogle α ;
• Den φ _i sum til en ved hvert punkt i M :
  $${\ displaystyle \ sum _ {i} \ varphi _ {i} (x) = 1.}$$

  

(Bemærk, at denne sidste betingelse faktisk er en endelig sum på hvert punkt på grund af den lokale slutlighed af understøtningerne fra φ _i .)

Hver åben beklædning af et C ^k manifold M har en C ^k partition af enhed. Dette giver mulighed for visse konstruktioner fra topologien af C ^k funktionerne på R ⁿ , der skal fremføres til den kategori af differentiable mangfoldigheder. Især er det muligt at diskutere integration ved at vælge en enhedspartition underordnet et bestemt koordinatatlas og gennemføre integrationen i hvert diagram over R ⁿ . Skillevægge om enhed tillader derfor visse andre former for funktionsrum , der skal overvejes: for eksempel L ^p rum , Sobolev rum , og andre former for rum, der kræver integration.

Differentiering af kortlægninger mellem manifolder

Antag M og N er to differentiable mangfoldigheder med dimensioner m og n hhv og f er en funktion fra M til N . Da differentierbare manifolder er topologiske rum, ved vi, hvad det betyder for f at være kontinuerlig. Men hvad betyder " f er C ^k ( M , N ) " for k ≥ 1 ? Vi ved, hvad det betyder, når f er en funktion mellem euklidiske rum, så hvis vi sammensætter f med et diagram over M og et diagram over N, så vi får et kort, der går fra det euklidiske rum til M til N til det euklidiske rum, ved vi, hvad det betyder, at kortet er C ^k ( R ^m , R ⁿ ) . Vi definerer " f er C ^k ( M , N ) " til at betyde, at alle sådanne sammensætninger af f med diagrammer er C ^k ( R ^m , R ⁿ ) . Igen garanterer kædereglen, at ideen om differentiering ikke afhænger af, hvilke diagrammer over atlaserne på M og N er valgt. Imidlertid er definitionen af ​​selve derivatet mere subtil. Hvis M eller N i sig selv allerede er et euklidisk rum, har vi ikke brug for et diagram for at kortlægge det til et.

Bundler

Tangent bundt

Den tangentrummet af et punkt består af de mulige retningsbestemte derivater på det tidspunkt, og har samme dimension n som gør manifolden. For et sæt (ikke-ental) koordinater x _k lokalt til punktet definerer koordinatderivaterne et holonomisk grundlag for tangensrummet. Samlingen af ​​tangentrum på alle punkter kan igen gøres til en manifold, tangentbundtet , hvis dimension er 2 n . Tangentbundtet er, hvor tangentvektorer ligger, og er i sig selv en differentierbar manifold. Den Lagrange er en funktion på tangenten bundt. Man kan også definere tangenten bundle bundtet af 1- jets fra R (den reelle linje ) til M . ${\ displaystyle \ partial _ {k} = {\ frac {\ partial} {\ delvis x_ {k}}}}$

Man kan konstruere en atlas til tangenten bundtet består af diagrammer baseret på U _α × R ⁿ , hvor U _α betegner en af diagrammerne i atlas for M . Hver af disse nye diagrammer er tangentbundt for diagrammerne U _α . Overgangskortene på dette atlas er defineret ud fra overgangskortene på det originale manifold og bevarer den oprindelige differentieringsklasse.

Cotangent bundt

Det dobbelte rum i et vektorrum er sættet af reelle værdsatte lineære funktioner på vektorrummet. Den cotangens plads på et punkt er det dobbelte af tangenten plads på det tidspunkt, og det cotangens bundt er en samling af alle cotangens rum.

Ligesom tangentbundtet er cotangentbundtet igen en differentierbar manifold. Den hamiltonsk er en skalar på cotangens bundt. Det samlede rum for et cotangent bundt har strukturen af ​​et symplektisk manifold . Cotangentvektorer kaldes undertiden covektorer . Man kan også definere cotangens bundle bundtet af 1- stråler af funktioner fra M til R .

Elementer i cotangentrummet kan betragtes som uendelige små forskydninger: hvis f er en differentierbar funktion, kan vi på hvert punkt p definere en cotangentvektor df _p , som sender en tangentvektor X _p til derivatet af f forbundet med X _p . Imidlertid kan ikke alle kovektorfelt udtrykkes på denne måde. Dem der kan kaldes nøjagtige forskelle . For et givet sæt lokale koordinater x ^k , differentialerne dx^k
_sdanne grundlag for cotangent -rummet på s .

Tensor bundt

Tensorbundtet er den direkte sum af alle tensorprodukter af tangentbundtet og cotangentbundtet. Hvert element i bundtet er et tensorfelt , som kan fungere som en flerlinjet operator på vektorfelter eller på andre tensorfelter.

Tensorbundtet er ikke en differentierbar manifold i traditionel forstand, da den er uendelig dimensionel. Det er imidlertid en algebra over ringen af ​​skalarfunktioner. Hver tensor er kendetegnet ved sine rækker, som angiver, hvor mange tangent- og cotangentfaktorer den har. Nogle gange omtales disse rækker som kovariante og kontravariante rækker, hvilket betyder henholdsvis tangent og cotangent rækker.

Ramme bundt

En ramme (eller mere præcist, en tangentramme) er et ordnet grundlag for et bestemt tangentrum. På samme måde er en tangentramme en lineær isomorfisme af R ⁿ til dette tangentrum. En bevægelig tangentramme er en ordnet liste over vektorfelter, der giver et grundlag på hvert punkt i deres domæne. Man kan også betragte en bevægelig ramme som en del af rammen bundtet F ( M ), en GL ( n , R ) principal bundt består af sættet af alle rammer over M . Rammebundlen er nyttig, fordi tensorfelter på M kan betragtes som ækvivalente vektorværdierede funktioner på F ( M ).

Jet bundter

På en manifold, der er tilstrækkelig glat, kan forskellige slags jetbundter også overvejes. Den (første ordens) tangentbundt af en manifold er samlingen af ​​kurver i manifoldmodulet ækvivalensforholdet mellem førsteordens kontakt . Til analogi er k -t. Ordenens tangentbundt samlingen af ​​kurver, der modulerer forholdet mellem k -ordenens kontakt. På samme måde er cotangent -bundtet bundtet med 1 -jetfly med funktioner på manifolden: k -jet -bundtet er bundtet af deres k -jetfly. Disse og andre eksempler på den generelle idé om jetpakker spiller en væsentlig rolle i undersøgelsen af differentialoperatorer på manifolder.

Forestillingen om en ramme generaliserer også i tilfælde af jetfly af højere orden. Definere en k -th orden ramme at være k -jet af en diffeomorfi fra R ⁿ til M . Samlingen af ​​alle k -ordenerammer, F ^k ( M ), er et hoved G ^k -bundt over M , hvor G ^k er gruppen af k -jetfly ; dvs. gruppen består af k -stråler af diffeomorfier af R ^n, der fikserer oprindelsen. Bemærk, at GL ( n , R ) naturligt er isomorf for G ¹ og en undergruppe for hver G ^k , k ≥ 2 . Især en sektion af F ² ( M ) giver rammen komponenter af en forbindelse på M . Således kvotienten bundtet F ² ( M ) / GL ( n , R ) er bundtet af symmetriske lineære forbindelser over M .

Regning på manifolder

Mange af teknikkerne fra multivariat beregning gælder også mutatis mutandis for differentierbare manifolder. Man kan for eksempel definere retningsderivatet af en differentierbar funktion langs en tangentvektor til manifolden, og dette fører til et middel til at generalisere det totale derivat af en funktion: differentialet. Fra beregningens perspektiv opfører derivatet af en funktion på en manifold sig stort set på samme måde som det almindelige derivat af en funktion defineret på et euklidisk rum, i det mindste lokalt . For eksempel er der versioner af de implicitte og omvendte funktionsteoremer for sådanne funktioner.

Der er imidlertid vigtige forskelle i beregningen af ​​vektorfelter (og tensorfelter generelt). Kort fortalt er retningsderivatet af et vektorfelt ikke veldefineret eller i det mindste ikke defineret på en ligetil måde. Flere generaliseringer af derivatet af et vektorfelt (eller tensorfelt) eksisterer og fanger visse formelle træk ved differentiering i euklidiske rum. Hovedet blandt disse er:

• Den Lie derivat , som er unikt defineret ved forskellen struktur, men ikke opfylder nogle af de sædvanlige funktioner i retningsbestemt differentiering.
• En affin forbindelse , som ikke er entydigt defineret, men generaliserer på en mere fuldstændig måde træk ved almindelig retningsdifferentiering. Fordi en affin forbindelse ikke er unik, er det et ekstra stykke data, der skal specificeres på manifolden.

Ideer fra integralregning overfører også til differentialmanifold. Disse udtrykkes naturligt i sproget i ydre beregning og differentialformer . De grundlæggende sætninger for integralregning i flere variabler - nemlig Green's sætning , divergenssættet og Stokes 'sætning - generaliserer til en sætning (også kaldet Stokes' sætning) vedrørende det ydre derivat og integration over submanifolds .

Differentiel beregning af funktioner

Differentierbare funktioner mellem to manifolder er nødvendige for at formulere passende forestillinger om submanifolds og andre beslægtede begreber. Hvis f  : M → N er en differentiabel funktion fra en differentiable manifold M af dimension m til en anden differentiable manifold N med dimension n , så forskellen af f er en kortlægning df  : T M → T N . Det er også betegnet med Tf og kaldes tangentkortet . På hvert punkt i M er dette en lineær transformation fra et tangentrum til et andet:

${\ displaystyle df (p) \ colon T_ {p} M \ til T_ {f (p)} N.}$

Den rang af f ved p er rang af denne lineære transformation.

Normalt er en funktions rang en punktvis egenskab. Men hvis funktionen har maksimal rang, vil rangen forblive konstant i nærheden af ​​et punkt. En differentierbar funktion har "normalt" maksimal rang, i en præcis forstand givet af Sards sætning . Funktioner med maksimal rang på et tidspunkt kaldes nedsænkning og nedsænkning :

• Hvis m ≤ n , og f  : M → N har rang m ved p ∈ M , kaldes f en nedsænkning ved p . Hvis f er en nedsænkning på alle punkter af M og er en homomorfisme på sit billede, så er f en indlejring . Indlejringerne formalisere begrebet M er en submanifold af N . Generelt er en indlejring en nedsænkning uden selvkryds og andre former for ikke-lokale topologiske uregelmæssigheder.
• Hvis m ≥ n , og f  : M → N har rang n ved p ∈ M , kaldes f en nedsænkning ved p . Den implicitte funktionsteorem siger, at hvis f er en nedsænkning ved p , så er M lokalt et produkt af N og R ^{m - n} nær p . Formelt set eksisterer der koordinater ( y ₁ , ..., y _n ) i et område af f ( p ) i N , og m - n funktioner x ₁ , ..., x _{m - n} defineret i et kvarter af p i M sådan at
  $${\ displaystyle (y_ {1} \ circ f, \ dotsc, y_ {n} \ circ f, x_ {1}, \ dotsc, x_ {mn})}$$

  
  er et system med lokale koordinater for M i et kvarter på s . Nedsænkninger danner grundlaget for teorien om fibrationer og fiberbundter .

Lie derivat

En Lie derivat , opkaldt efter Sophus Lie , er en afledning på algebra af tensor felter over en manifold M . Den vektorrum af alle Lie derivater på M danner et uendeligt dimensionalt Lie algebra i forhold til Lie beslag defineret ved

${\ displaystyle [A, B]: = {\ mathcal {L}} _ {A} B =-{\ mathcal {L}} _ {B} A.}$

De Lie derivater er repræsenteret ved vektorfelter , som uendeligt generatorer af strømninger ( aktive diffeomorfi ) på M . Når man ser det omvendt, har gruppen af diffeomorfier af M den tilhørende Lie -algebra -struktur af Lie -derivater på en måde, der er direkte analog med Lie -gruppeteorien.

Udvendig beregning

Den udvendige beregning giver mulighed for en generalisering af gradient- , divergens- og krølleoperatører .

Bundtet af differentielle former , på hvert punkt, består af alle totalt antisymmetriske flerlinjære kort over tangentrummet på det tidspunkt. Det er naturligt opdelt i n -former for hver n højst lig med manifoldens dimension; en n -form er en n -variabel form, også kaldet en form for grad n . 1-formerne er cotangent-vektorerne, mens 0-formerne blot er skalarfunktioner. Generelt er en n -form en tensor med cotangent -rang n og tangensrang 0. Men ikke alle sådanne tensor er en form, da en form skal være antisymmetrisk.

Udvendigt derivat

Der er et kort fra skalarer til covektorer kaldet det ydre derivat

${\ displaystyle \ mathrm {d} \ colon {\ mathcal {C}} (M) \ to \ mathrm {T} ^{*} (M): f \ mapsto \ mathrm {d} f}$

sådan

${\ displaystyle \ mathrm {d} f \ colon \ mathrm {T} (M) \ to {\ mathcal {C}} (M): V \ mapsto V (f).}$

Dette kort er det, der relaterer kovektorer til uendelig små forskydninger, nævnt ovenfor; nogle covektorer er de udvendige derivater af skalarfunktioner. Det kan generaliseres til et kort fra n -formerne til ( n +1) -formerne. Anvendelse af dette derivat to gange giver en nulform. Former med nul -derivat kaldes lukkede former, mens former, der selv er udvendige derivater, er kendt som nøjagtige former.

Rummet af differentielle former på et punkt er det arketypiske eksempel på en ydre algebra ; således den har en kile produkt, tilknytning af et k -formen og l -formen til en ( k + l ) -formen. Det udvendige derivat strækker sig til denne algebra og opfylder en version af produktreglen :

$${\ displaystyle \ mathrm {d} (\ omega \ wedge \ eta) = \ mathrm {d} \ omega \ wedge \ eta +(-1)^{\ deg \ omega} (\ omega \ wedge \ mathrm {d} \ eta).}$$

Fra differentialformerne og det udvendige derivat kan man definere manifoldens de Rham -kohomologi . Rang n kohomologigruppen er kvotiegruppen af de lukkede former ved de nøjagtige former.

Topologi af differentierbare manifolder

Forholdet til topologiske manifolder

Antag, at det er en topologisk -manifold. ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle n}$

Hvis der gives et glat atlas , er det let at finde et glat atlas, der definerer en anden glat mangfoldig struktur på baggrund af en homemorfisme, der ikke er glat i forhold til det givne atlas; for eksempel kan man ændre identitetskortet lokaliseret ikke-glat bump. Overvej derefter det nye atlas, der let kan verificeres som et glat atlas. Imidlertid er diagrammerne i det nye atlas ikke problemfrit kompatible med diagrammerne i det gamle atlas, da dette ville kræve det og er glat for enhver og med disse betingelser nøjagtigt definitionen af, at både og er glatte, i modstrid med hvordan blev valgt . ${\ displaystyle \ {(U _ {\ alpha}, \ varphi _ {\ alpha}) \} _ {\ alpha \ i A}}$${\ displaystyle M;}$${\ displaystyle \ Phi: M \ til M}$${\ displaystyle \ {(\ Phi ^{-1} (U _ {\ alpha}), \ varphi _ {\ alpha} \ circ \ Phi) \} _ {\ alpha \ i A},}$${\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha} \ circ \ Phi \ circ \ varphi _ {\ beta}^{-1}}$${\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha} \ circ \ Phi ^{-1} \ circ \ varphi _ {\ beta} ^{-1}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta,}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ Phi ^{-1}}$${\ displaystyle \ Phi}$

Med denne observation som motivation kan man definere et ækvivalensforhold om rummet med glatte atlasser på ved at erklære, at glatte atlasser og er ækvivalente, hvis der er en homomorfisme , der er gnidningsfrit kompatibel med og sådan, der er glat kompatibel med${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ {(U _ {\ alpha}, \ varphi _ {\ alpha}) \} _ {\ alpha \ i A}}$${\ displaystyle \ {(V _ {\ beta}, \ psi _ {\ beta}) \} _ {\ beta \ i B}}$${\ displaystyle \ Phi: M \ til M}$${\ displaystyle \ {(\ Phi ^{-1} (U _ {\ alpha}), \ varphi _ {\ alpha} \ circ \ Phi) \} _ {\ alpha \ i A}}$${\ displaystyle \ {(V _ {\ beta}, \ psi _ {\ beta}) \} _ {\ beta \ i B},}$${\ displaystyle \ {(\ Phi (V _ {\ beta}), \ psi _ {\ beta} \ circ \ Phi ^{-1}) \} _ {\ beta \ i B}}$${\ displaystyle \ {(U _ {\ alpha}, \ varphi _ {\ alpha}) \} _ {\ alpha \ i A}.}$

Mere kort kunne man sige, at to glatte atlasser er ækvivalente, hvis der findes en diffeomorfisme , hvor det ene glatte atlas tages for domænet, og det andet glatte atlas tages for området. ${\ displaystyle M \ til M,}$

Bemærk, at dette ækvivalensforhold er en forfining af ækvivalensforholdet, der definerer en glat mangfoldig struktur, da alle to jævnt kompatible atlas også er kompatible i den foreliggende forstand; man kan tage for at være identitetskortet. ${\ displaystyle \ Phi}$

Hvis dimensionen er 1, 2 eller 3, eksisterer der en glat struktur på , og alle forskellige glatte strukturer er ækvivalente i ovenstående betydning. Situationen er mere kompliceret i højere dimensioner, selvom den ikke er fuldt ud forstået. ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$

• Nogle topologiske manifolder indrømmer ingen glatte strukturer, som det oprindeligt blev vist med et ti-dimensionelt eksempel af Kervaire (1960) . En større anvendelse af partielle differentialligninger i differentialgeometri på grund af Simon Donaldson , i kombination med resultater fra Michael Freedman , viser, at mange simpelthen forbundne kompakte topologiske 4-manifolder ikke tillader glatte strukturer. Et velkendt særligt eksempel er E _8- manifolden .
• Nogle topologiske manifolder indrømmer mange glatte strukturer, som ikke er ækvivalente i den forstand, der er angivet ovenfor. Dette blev oprindeligt opdaget af John Milnor i form af de eksotiske 7-kugler .

Klassifikation

Hver endimensionel forbundet glat manifold er diffeomorf for enten eller hver med deres standard glatte strukturer. ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle S^{1},}$

For en klassificering af glatte 2-manifolder, se overflade . Et særligt resultat er, at hver todimensionel forbundet, kompakt glat manifold er diffeomorf til et af følgende: eller eller Situationen er mere utrivelig, hvis man overvejer kompleks-differentierbar struktur i stedet for glat struktur. ${\ displaystyle S^{2},}$${\ displaystyle (S^{1} \ times S^{1}) \ sharp \ cdots \ sharp (S^{1} \ times S^{1}),}$${\ displaystyle \ mathbb {RP} ^{2} \ sharp \ cdots \ sharp \ mathbb {RP} ^{2}.}$

Situationen i tre dimensioner er en del mere kompliceret, og kendte resultater er mere indirekte. Et bemærkelsesværdigt resultat, der blev bevist i 2002 ved metoder til partielle differentialligninger , er geometrization-formodningen , der løst angiver, at enhver kompakt glat 3-manifold kan opdeles i forskellige dele, som hver især indrømmer Riemanniske metrik, der besidder mange symmetrier. Der er også forskellige "genkendelsesresultater" for geometriserbare 3-manifolder, såsom Mostow-stivhed og Selas algoritme til isomorfisme-problem for hyperboliske grupper.

Klassificeringen af n -manifolds for n større end tre vides at være umulig, selv op til homotopiækvivalens . I betragtning af enhver endelig præsenteret gruppe kan man konstruere en lukket 4-manifold, der har den gruppe som grundlæggende gruppe. Da der ikke er nogen algoritme til at afgøre isomorfisme-problemet for endelig præsenterede grupper, er der ingen algoritme til at afgøre, om to 4-manifolder har den samme grundlæggende gruppe. Da den tidligere beskrevne konstruktion resulterer i en klasse med 4-manifolder, der er homomorfe, hvis og kun hvis deres grupper er isomorfe, er homeomorfismeproblemet for 4-manifolder uafgjort . Hertil kommer, at da selv erkender triviel gruppe er uafgørbar, er det ikke engang muligt generelt at afgøre, om en manifold har trivielt grundlæggende gruppe, dvs. er simpelthen forbundet .

Simpelthen tilsluttede 4-manifolder er blevet klassificeret op til homeomorfisme af Freedman ved hjælp af skæringsformen og Kirby-Siebenmann invariant . Smooth 4-manifold teori er kendt for at være meget mere kompliceret, som de eksotiske glatte strukturer på R ⁴ demonstrerer.

Situationen bliver imidlertid mere håndterbar for simpelthen tilsluttede glatte manifolder af dimension ≥ 5, hvor h-cobordismesætningen kan bruges til at reducere klassificeringen til en klassificering op til homotopiækvivalens, og kirurgiteori kan anvendes. Dette er blevet udført for at give en eksplicit klassificering af simpelthen tilsluttede 5-manifolder af Dennis Barden.

Konstruktioner på glatte manifolder

(Pseudo-) Riemanniske manifolds

En Riemannian manifold består af en glat manifold sammen med et positivt bestemt indre produkt på hvert af de enkelte tangentrum. Denne samling af indre produkter kaldes Riemannian metric og er naturligvis et symmetrisk 2-tensor felt. Denne "metriske" identificerer en naturlig vektorrumsomorfisme for hver På en Riemannian manifold kan man definere forestillinger om længde, volumen og vinkel. Enhver glat manifold kan gives mange forskellige Riemanniske metrics. ${\ displaystyle T_ {p} M \ til T_ {p}^{\ ast} M}$${\ displaystyle p \ i M.}$

En pseudo-Riemannian manifold er en generalisering af forestillingen om Riemannian manifold, hvor de indre produkter får lov til at have en ubestemt signatur , i modsætning til at være positiv-bestemt ; de skal stadig være ikke-degenererede. Hver glat pseudo-Riemannian og Riemmannian manifold definerer et antal tilhørende tensorfelter, såsom Riemann-krumningstensoren . Pseudo-Riemanniske mangfoldige signaturer (3, 1) er grundlæggende i generel relativitet . Ikke alle glatte manifolder kan gives en (ikke-riemannisk) pseudo-Riemannian struktur; der er topologiske begrænsninger for at gøre det.

Et Finsler -manifold er en anden generalisering af et Riemannian -manifold , hvor det indre produkt erstattes med en vektornorm ; som sådan tillader dette definition af længde, men ikke vinkel.

Symplektiske manifolder

En symplektisk manifold er en manifold udstyret med en lukket , ikke - degenereret 2-form . Denne tilstand tvinger symplektiske manifolder til at være lige-dimensionelle, fordi skæv-symmetriske matricer alle har nul-determinant. Der er to grundlæggende eksempler: ${\ displaystyle (2n+1) \ times (2n+1)}$

• Cotangent -bundter, der opstår som faserum i hamiltons mekanik , er et motiverende eksempel, da de indrømmer en naturlig symplektisk form .
• Alle orienterede todimensionale Riemanniske manifolder er på en naturlig måde symplektisk ved at definere formen, hvor for enhver betegner vektoren sådan, at den er et orienteret -orthonormalt grundlag for${\ displaystyle (M, g)}$${\ displaystyle \ omega (u, v) = g (u, J (v))}$${\ displaystyle v \ i T_ {p} M,}$ ${\ displaystyle J (v)}$${\ displaystyle v, J (v)}$${\ displaystyle g_ {p}}$${\ displaystyle T_ {s} M.}$

Lie grupper

En Lie -gruppe består af en C ^∞ -manifold sammen med en gruppestruktur på en sådan måde, at produktet og inversionen kortlægger og er glatte som kort over manifolds. Disse objekter opstår ofte naturligt i beskrivelsen af ​​(kontinuerlige) symmetrier, og de danner en vigtig kilde til eksempler på glatte manifolder. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle m: G \ gange G \ til G}$${\ displaystyle i: G \ til G}$

Mange ellers velkendte eksempler på glatte manifolder kan imidlertid ikke gives en Lie -gruppestruktur, da man i betragtning af en Lie -gruppe og enhver kunne overveje det kort, der sender identitetselementet til og derfor ved at overveje differentialet giver en naturlig identifikation mellem enhver to tangentrum i en Lie -gruppe. Især ved at overveje en vilkårlig ikke-nul-vektor i en kan man bruge disse identifikationer til at give et jævnt ikke-forsvindende vektorfelt på Dette viser f.eks., At ingen lige-dimensionelle kugler kan understøtte en Lie-gruppestruktur. Det samme argument viser mere generelt, at hver Lie -gruppe skal være paralleliserbar . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle g \ i G}$${\ displaystyle m (g, \ cdot): G \ til G}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle T_ {e} G \ til T_ {g} G,}$${\ displaystyle T_ {e} G,}$${\ displaystyle G.}$

Alternative definitioner

Pseudogrupper

Forestillingen om en pseudogruppe giver en fleksibel generalisering af atlasser for at tillade en række forskellige strukturer at blive defineret på manifolder på en ensartet måde. En pseudogruppe består af et topologisk rum S og en samling Γ bestående af homeomorfismer fra åbne undersæt af S til andre åbne undergrupper af S, således at

1. Hvis f ∈ Γ , og U er en åben delmængde af domænet f , så er begrænsningen f | _U er også i Γ.
2. Hvis f er en homomorfisme fra en forening af åbne delmængder af S , til et åbent undersæt af S , så er f ∈ Γ tilvejebragt for hver i .${\ displaystyle \ cup _ {i} \, U_ {i}}$${\ displaystyle f | _ {U_ {i}} \ i \ Gamma}$
3. For hvert åbent U ⊂ S er identitetstransformationen af U i Γ.
4. Hvis f ∈ Γ , så f ⁻¹ ∈ Γ .
5. Sammensætningen af ​​to elementer af Γ er i Γ.

Disse tre sidste betingelser er analoge med definitionen af ​​en gruppe . Bemærk, at Γ ikke behøver at være en gruppe, men da de funktioner ikke er globalt defineret på S . For eksempel danner samlingen af ​​alle lokale C ^k -diffeomorfier på R ⁿ en pseudogruppe. Alle biholomorfier mellem åbne sæt i C ⁿ danner en pseudogruppe. Flere eksempler inkluderer: orientering, der bevarer kort over R ⁿ , symplectomorphisms , Möbius -transformationer , affine transformationer og så videre. Således bestemmer en lang række funktionsklasser pseudogrupper.

Et atlas ( U _i , φ _i ) af homeomorfismer φ _i fra U _i ⊂ M for at åbne undersæt af et topologisk rum S siges at være kompatibelt med en pseudogruppe Γ forudsat at overgangen fungerer φ _j ∘ φ _i ⁻¹  : φ _i ( U _i ∩ U _j ) → φ _j ( U _i ∩ U _j ) er alle i Γ.

En differentierbar manifold er derefter et atlas, der er kompatibelt med pseudogruppen af C ^k -funktioner på R ⁿ . En kompleks manifold er et atlas, der er kompatibelt med de biholomorfe funktioner på åbne sæt i C ⁿ . Og så videre. Således tilvejebringer pseudogrupper en enkelt ramme, hvori der kan beskrives mange strukturer på mangfoldige elementer af betydning for differential geometri og topologi.

Strukturskår

Nogle gange kan det være nyttigt at bruge en alternativ tilgang til at forsyne en manifold med en C ^k -struktur. Her k = 1, 2, ..., ∞ eller ω for rigtige analytiske manifolder. I stedet for at overveje koordinatdiagrammer er det muligt at starte med funktioner defineret på selve manifolden. Den struktur neg af M , betegnet C ^k , er en slags functor at definerer for hvert åbent sæt U ⊂ M , en algebra C ^k ( U ) af kontinuerte funktioner U → R . En struktur neg C ^k siges at give M strukturen af en C ^k manifold med dimension n forudsat at for enhver p ∈ M eksisterer der et kvarter U af p og n funktioner x ¹ , ..., x ⁿ ∈ C ^k ( U ) sådan, at kortet f = ( x ¹ , ..., x ⁿ ): U → R ⁿ er en homomorfisme på et åbent sæt i R ⁿ , og sådan at C ^k | _U er tilbagetrækningen af k -k -tiderne kontinuerligt differentierbare funktioner på R ⁿ .

Især denne sidstnævnte betingelse betyder, at enhver funktion h i C ^k ( V ), for V , kan skrives entydigt som h ( x ) = H ( x ¹ ( x ), ..., x ⁿ ( x )) , hvor H er en k -gange differentierbar funktion på f ( V ) (et åbent sæt i R ⁿ ). Således neg-teoretisk synspunkt er, at funktionerne på en differentiable manifold kan udtrykkes i lokale koordinater som differentiable funktioner på R ⁿ , og så meget desto mere er tilstrækkelig til at karakterisere forskellen struktur på manifolden.

Skiver af lokale ringe

En lignende, men mere teknisk, tilgang til at definere differentierbare manifolder kan formuleres ved hjælp af begrebet et ringet rum . Denne fremgangsmåde er stærkt påvirket af teorien om skemaer i algebraisk geometri , men bruger lokale ringe af bakterierne til differentierbare funktioner. Det er især populært i forbindelse med komplekse manifolder.

Vi begynder med at beskrive den grundlæggende strukturskive på R ⁿ . Hvis U er et åbent sæt i R ⁿ , lad

O ( U ) = C ^k ( U , R )

består af alle real-værdsat k -Times løbende differentiable funktioner på U . Da U varierer, bestemmer dette et ring af ringe på R ⁿ . Stilken O _p for p ∈ R ⁿ består af bakterier af funktioner nær p , og er en algebra løbet R . Især er dette en lokal ring, hvis unikke maksimale ideal består af de funktioner, der forsvinder på s . Parret ( R ⁿ , O ) er et eksempel på et lokalt ringet rum : det er et topologisk rum udstyret med et skår, hvis stilke hver er lokale ringe.

En differentierbar manifold (i klasse C ^k ) består af et par ( M , O _M ), hvor M er et andet tællbart Hausdorff -rum , og O _M er et skib af lokale R -algebraer defineret på M , således at det lokalt ringede rum ( M , O _M ) er lokalt isomorf til ( R ⁿ , O ) . På denne måde kan differentierbare manifolder betragtes som skemaer modelleret på R ⁿ . Det betyder, at der for hvert punkt p ∈ M er et kvarter U af p og et par funktioner ( f , f ^# ) , hvor

1. f  : U → f ( U ) ⊂ R ⁿ er en homeomorfisme på et åbent sæt i R ⁿ .
2. f ^# : O | _{f ( U )} → f _∗ ( O _M | _U ) er en isomorfisme af skiver.
3. Lokaliseringen af f ^# er en isomorfisme af lokale ringe

f ^# _{f ( p )}  : O _{f ( p )} → O _{M , s} .

Der er en række vigtige motiver til at studere differentierbare manifolds inden for denne abstrakte ramme. For det første er der ingen a priori årsag til, at modelrummet skal være R ⁿ . For eksempel (især i algebraisk geometri ) kan man antage, at dette er rummet for komplekse tal C ⁿ udstyret med skiven af holomorfe funktioner (derved når frem til rumene i kompleks analytisk geometri ) eller skiven af polynomier (altså ankommer til interesseområder i kompleks algebraisk geometri). I bredere termer kan dette koncept tilpasses enhver passende forestilling om et skema (se topos teori ). For det andet er koordinater ikke længere eksplicit nødvendige for konstruktionen. Analogen af ​​et koordinatsystem er parret ( f , f ^# ) , men disse kvantificerer blot ideen om lokal isomorfisme frem for at være central i diskussionen (som i tilfælde af diagrammer og atlas). For det tredje er skiven O _M åbenbart slet ikke et antal funktioner. Den fremstår snarere som en række funktioner som en konsekvens af konstruktionen (via kvoterne af lokale ringe efter deres maksimale idealer). Derfor er det en mere primitiv definition af strukturen (se syntetisk differentialgeometri ).

En sidste fordel ved denne tilgang er, at den giver mulighed for naturlige direkte beskrivelser af mange af de grundlæggende undersøgelsesobjekter til differential geometri og topologi.

• Den cotangens plads i et punkt er I _p / I _p ² , hvor jeg _p er den maksimale ideal af stokken O _{M , s} .
• Generelt kan hele cotangent -bundtet opnås ved en relateret teknik (se cotangent -bundt for detaljer).
• Taylor -serier (og jetfly ) kan kontaktes på en koordinatuafhængig måde ved hjælp af I _p -adisk filtrering på O _{M , s} .
• Den tangent bundt (eller mere præcist dens neg af sektioner) kan identificeres med neg af morfier af O _M i ringen af dobbelte numre .

Generaliseringer

Den kategori af glatte mangfoldigheder med glatte kort mangler visse ønskelige egenskaber, og folk har forsøgt at generalisere glatte mangfoldigheder for at rette op på dette. Diffeologiske rum bruger en anden forestilling om diagram kendt som et "plot". Frölicher rum og orbifolds er andre forsøg.

Et sæt, der kan rettes på, generaliserer ideen om en stykkevis jævn eller ensartet kurve til højere dimensioner; sæt, der kan korrigeres, er imidlertid ikke i almindelige manifolder.

Banachmanifold og Fréchet manifolds , især manifolds af mappings er uendelige dimensionelle differentierbare manifolds.

Ikke-kommutativ geometri

For et C ^k- manifold M danner sættet af reelt værdsatte C ^k- funktioner på manifolden en algebra under punktvis tilføjelse og multiplikation, kaldet algebra for skalarfelter eller simpelthen algebra af skalarer . Denne algebra har den konstante funktion 1 som multiplikativ identitet og er en differentierbar analog af ringen af regulære funktioner i algebraisk geometri.

Det er muligt at rekonstruere en mangfoldighed fra dens algebra af skalarer, først som et sæt, men også som et topologisk rum-dette er en anvendelse af Banach – Stone-sætningen og er mere formelt kendt som spektret af en C*-algebra . For det første er der en en-til-en-korrespondance mellem punkterne i M og algebrahomomorfismerne φ : C ^k ( M ) → R , da en sådan homomorfisme φ svarer til en kodimension et ideal i C ^k ( M ) (nemlig kernel af φ ), hvilket nødvendigvis er et maksimalt ideal. På den modsatte side er hvert maksimalt ideal i denne algebra et ideal om funktioner, der forsvinder på et enkelt punkt, hvilket viser, at MSpec (Max Spec) for C ^k ( M ) genopretter M som et punktsæt , selvom det faktisk genopretter M som et topologisk rum.

Man kan definere forskellige geometriske strukturer algebraisk med hensyn til skaleres algebra, og disse definitioner generaliserer ofte til algebraisk geometri (fortolkning af ringe geometrisk) og operatorteori (fortolkning af Banach -rum geometrisk). For eksempel tangenten bundtet til M kan defineres som derivater af den algebra af glatte funktioner på M .

Denne "algebraisering" af en manifold (udskiftning af et geometrisk objekt med en algebra) fører til forestillingen om en C*-algebra -en kommutativ C*-algebra er netop ringen af ​​skaler i en manifold, af Banach – Stone, og tillader en til at betragte ikke- kommutative C*-algebraer som ikke-kommutative generaliseringer af manifolder. Dette er grundlaget for feltet ikke -kommutativ geometri .

Se også

Noter

Referencer

Bibliografi