Total derivat - Total derivative

En del af en serie artikler om
Calculus
Grundlæggende sætning Leibniz integreret regel Funktionsgrænser Kontinuitet Gennemsnitlig værdi sætning Rolle's sætning
Differentiale Definitioner Afledte  ( generaliseringer ) Differentiale uendelig af en funktion Total Begreber Differentieringsnotation Andet afledt Implicit differentiering Logaritmisk differentiering Relaterede priser Taylors sætning Regler og identiteter Sum Produkt Kæde Strøm Kvotient L'Hôpitals regel Omvendt General Leibniz Faà di Brunos formel
Integreret Lister over integraler Integreret transformation Definitioner Antiderivativ Integreret  ( forkert ) Riemann integreret Lebesgue integration Konturintegration Integreret af inverse funktioner Integration af Dele Skiver Cylindriske skaller Substitution  ( trigonometrisk , Weierstrass , Euler ) Eulers formel Delvise fraktioner Ændrer rækkefølge Reduktionsformler Differentiering under det integrerede tegn Risch algoritme
Serie Geometrisk  ( aritmetisk-geometrisk ) Harmonisk Skiftende Strøm Binomial Taylor Konvergens test Summand limit (term test) Forhold Rod Integreret Direkte sammenligning Begræns sammenligning Skiftende serier Cauchy kondens Dirichlet Abel
Vektor Gradient Divergens Krølle Laplacian Retningsafledt Identiteter Sætninger Gradient Green's Stokes ' Divergens generaliserede Stokes
Multivariabel Formalismer Matrix Tensor Ydre Geometrisk Definitioner Delvis afledt Flere integrerede Linje integreret Overflade integreret Volumen integreret Jacobian Hessian
Specialiseret Brøk Malliavin Stokastisk Variationer
Diverse Precalculus Historie Ordliste Liste over emner Integrationsbi Analyse
v t e

I matematik er det samlede afledte af en funktion f ved et punkt den bedste lineære tilnærmelse nær dette punkt af funktionen med hensyn til dens argumenter. I modsætning til delvise derivater tilnærmer det samlede derivat funktionen med hensyn til alle dens argumenter, ikke kun en enkelt. I mange situationer er dette det samme som at overveje alle delderivater samtidigt. Udtrykket "totalderivat" bruges primært, når f er en funktion af flere variabler, for når f er en funktion af en enkelt variabel, er det samlede derivat det samme som det almindelige derivat af funktionen.

Det samlede afledte som et lineært kort

Lad være et åbent undersæt . Så siges en funktion at være ( fuldstændig ) differentierbar på et punkt, hvis der findes en lineær transformation sådan, at ${\ displaystyle U \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ displaystyle a \ in U}$ ${\ displaystyle df_ {a}: \ mathbb {R} ^ {n} \ til \ mathbb {R} ^ {m}}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to a} {\ frac {\ | f (x) -f (a) -df_ {a} (xa) \ |} {\ | xa \ |}} = 0.}$

Det lineære kort kaldes ( total ) derivat eller ( total ) differens på at . Andre notationer for det samlede derivat inkluderer og . En funktion kan ( helt ) differentieres, hvis dens samlede afledte findes på hvert punkt i dens domæne. ${\ displaystyle df_ {a}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle D_ {a} f}$${\ displaystyle Df (a)}$

Begrebsmæssigt udtrykker definitionen af ​​det samlede derivat den idé, der er den bedste lineære tilnærmelse til det punkt . Dette kan præciseres ved at kvantificere fejlen i den lineære tilnærmelse bestemt af . For at gøre det skal du skrive ${\ displaystyle df_ {a}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle df_ {a}}$

${\ displaystyle f (a + h) = f (a) + df_ {a} (h) + \ varepsilon (h),}$

hvor er lig med fejlen i tilnærmelsen. At sige, at den afledede af på er svarer til redegørelsen ${\ displaystyle \ varepsilon (h)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle df_ {a}}$

${\ displaystyle \ varepsilon (h) = o (\ lVert h \ rVert),}$

hvor er lidt-o notation og indikerer, at er meget mindre end som . Det samlede derivat er den unikke lineære transformation, for hvilken fejludtrykket er så lille, og dette er den forstand, hvori det er den bedste lineære tilnærmelse til . ${\ displaystyle o}$${\ displaystyle \ varepsilon (h)}$${\ displaystyle \ lVert h \ rVert}$${\ displaystyle h \ til 0}$${\ displaystyle df_ {a}}$${\ displaystyle f}$

Funktionen kan differentieres, hvis og kun hvis hver af dens komponenter er differentierbar, så når man studerer totalderivater, er det ofte muligt at arbejde en koordinat ad gangen i kodemoden. Det samme gælder dog ikke for koordinaterne i domænet. Det er rigtigt, at hvis der kan differentieres ved , så eksisterer hvert delvis derivat ved . Det modsatte er falsk: Det kan ske, at alle de partielle afledede af på eksisterer, men er ikke differentiabel i . Dette betyder, at funktionen er meget "grov" , så ekstremt, at dens adfærd ikke kan beskrives tilstrækkeligt af dens adfærd i koordinatretningerne. Når det ikke er så groft, kan dette ikke ske. Mere præcist, hvis alle delderivaterne af at eksisterer og er kontinuerlige i et kvarter af , så kan der differentieres ved . Når dette sker, er derudover den samlede derivat af den lineære transformation svarende til den Jacobianske matrix af partielle derivater på det tidspunkt. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f_ {i} \ kolon U \ til \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ partial f / \ partial x_ {i}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle f}$

Det samlede afledte som en differentiel form

Når den pågældende funktion reelt vurderes, kan det samlede derivat omarbejdes ved hjælp af differentierede former . Antag for eksempel, at det er en differentierbar funktion af variabler . Det samlede afledte af at kan skrives i form af dets jakobiske matrix, som i dette tilfælde er en række matrix: ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle df_ {a} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {1}}} (a) & \ cdots & {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {n}}} (a) \ end {bmatrix}}.}$

Den lineære tilnærmelsesegenskab for det samlede derivat indebærer, at hvis

${\ displaystyle \ Delta x = {\ begin {bmatrix} \ Delta x_ {1} & \ cdots & \ Delta x_ {n} \ end {bmatrix}} ^ {\ mathsf {T}}}$

er en lille vektor (hvor betegnelserne transponerer, så denne vektor er en søjlevektor), derefter ${\ displaystyle {\ mathsf {T}}}$

${\ displaystyle f (a + \ Delta x) -f (a) \ approx df_ {a} \ cdot \ Delta x = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} \ Delta x_ {i}.}$

Heuristisk antyder dette, at hvis der er uendelige trin i koordinatretningen, så ${\ displaystyle dx_ {1}, \ ldots, dx_ {n}}$

${\ displaystyle df_ {a} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (a) \; dx_ {i}.}$

Faktisk kan begrebet infinitesimal, som kun er symbolsk her, udstyres med omfattende matematisk struktur. Teknikker, såsom teorien om differentierede former , giver effektivt analytiske og algebraiske beskrivelser af objekter som uendelige trin . Kan for eksempel være indskrevet som en lineær funktionel på vektorrummet . Evaluering på en vektor i måler, hvor meget peger i th koordinere retning. Det samlede derivat er en lineær kombination af lineære funktionaliteter og er derfor i sig selv en lineær funktionel. Evalueringen måler, hvor meget der peger i retningen bestemt af at , og denne retning er gradienten . Dette synspunkt gør det samlede derivat til en forekomst af det ydre derivat . ${\ displaystyle dx_ {i}}$${\ displaystyle dx_ {i}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle dx_ {i}}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle df_ {a}}$${\ displaystyle df_ {a} (h)}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$

Antag nu, at er en Vektorfunktion, dvs. . I dette tilfælde er komponenterne i virkelige værdifunktioner, så de har tilknyttede differentierede former . Det samlede derivat samler disse former i et enkelt objekt og er derfor en forekomst af en vektorværdieret differentieret form . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ displaystyle f_ {i}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle df_ {i}}$${\ displaystyle df}$

Kædereglen for samlede derivater

Kædereglen har en særlig elegant erklæring med hensyn til samlede derivater. Den siger, at for to funktioner og , den samlede afledte af sammensatte funktion ved tilfredsstiller ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle g \ circ f}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle d (g \ circ f) _ {a} = dg_ {f (a)} \ cdot df_ {a}.}$

Hvis de samlede derivater af og identificeres med deres jakobiske matricer, er kompositten på højre side simpelthen matrixmultiplikation. Dette er enormt nyttigt i applikationer, da det gør det muligt at redegøre for i det væsentlige vilkårlige afhængigheder blandt argumenterne for en sammensat funktion. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$

Eksempel: Differentiering med direkte afhængighed

Antag at f er en funktion af to variabler, x og y . Hvis disse to variable er uafhængige, således at domænet for f er , derefter adfærd f kan forstås ud fra dens partielle afledede i x og y retninger. I nogle situationer kan x og y imidlertid være afhængige. For eksempel kan det ske, at f er begrænset til en kurve . I dette tilfælde er vi faktisk interesserede i kompositfunktionens opførsel . Delafledningen af f med hensyn til x giver ikke den sande ændringshastighed for f med hensyn til ændring af x, fordi ændring af x nødvendigvis ændrer y . Kædereglen for det samlede derivat tager dog sådanne afhængigheder i betragtning. Skriv . Derefter siger kædereglen ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle y = y (x)}$${\ displaystyle f (x, y (x))}$${\ displaystyle \ gamma (x) = (x, y (x))}$

${\ displaystyle d (f \ circ \ gamma) _ {x_ {0}} = df _ {(x_ {0}, y (x_ {0}))} \ cdot d \ gamma _ {x_ {0}}.}$

Ved at udtrykke det samlede derivat ved hjælp af jakobiske matricer bliver dette:

${\ displaystyle {\ frac {df (x, y (x))} {dx}} (x_ {0}) = {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x_ {0}, y ( x_ {0})) \ cdot {\ frac {\ partial x} {\ partial x}} (x_ {0}) + {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} (x_ {0}, y (x_ {0})) \ cdot {\ frac {\ partial y} {\ partial x}} (x_ {0}).}$

Undertrykkelse af evalueringen for læsbarhed kan vi også skrive dette som ${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ displaystyle {\ frac {df (x, y (x))} {dx}} = {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} {\ frac {\ partial x} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} {\ frac {\ partial y} {\ partial x}}.}$

Dette giver en ligetil formel for derivatet af med hensyn til de delvise derivater af og derivatet af . ${\ displaystyle f (x, y (x))}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle y (x)}$

Antag for eksempel

${\ displaystyle f (x, y) = xy.}$

Ændringshastigheden for f med hensyn til x er sædvanligvis den delvise derivat af f med hensyn til x ; I dette tilfælde,

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} = y.}$

Men hvis y afhænger af x , giver den partielle derivat ikke den sande ændringshastighed for f, da x ændres, fordi den delvise derivat antager, at y er fast. Antag, at vi er begrænset til linjen

${\ displaystyle y = x.}$

Derefter

${\ displaystyle f (x, y) = f (x, x) = x ^ {2},}$

og det samlede derivat af f med hensyn til x er

${\ displaystyle {\ frac {df} {dx}} = 2x,}$

som vi ser er ikke lig med den delvise afledte . I stedet for straks at erstatte y i form af x , kan vi dog også bruge kædereglen som ovenfor: ${\ displaystyle \ partial f / \ partial x}$

${\ displaystyle {\ frac {df} {dx}} = {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} {\ frac {dy} { dx}} = y + x \ cdot 1 = x + y = 2x.}$

Eksempel: Differentiering med indirekte afhængigheder

Mens man ofte kan udføre substitutioner at eliminere indirekte afhængigheder, den kæde regel giver en mere effektiv og generelle teknik. Antag, at det er en funktion af tid og variabler, som i sig selv afhænger af tid. Derefter tiden derivat af er ${\ displaystyle L (t, x_ {1}, \ prikker, x_ {n})}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle {\ frac {dL} {dt}} = {\ frac {d} {dt}} L {\ bigl (} t, x_ {1} (t), \ ldots, x_ {n} (t) {\ bigr)}.}$

Kædereglen udtrykker dette derivat i form af de delvise derivater af og tidsderivaterne af funktionerne : ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle x_ {i}}$

${\ displaystyle {\ frac {dL} {dt}} = {\ frac {\ partial L} {\ partial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial L} { \ partial x_ {i}}} {\ frac {dx_ {i}} {dt}} = {\ biggl (} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {dx_ {i}} {dt}} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} {\ biggr)} (L).}$

Dette udtryk bruges ofte i fysik til en målingstransformation af Lagrangian , da to Lagrangians, der kun adskiller sig ved det samlede tidsafledte af en funktion af tiden, og de generelle koordinater fører til de samme bevægelsesligninger. Et interessant eksempel vedrører opløsningen af ​​kausalitet vedrørende Wheeler – Feynman tidssymmetriske teori . Operatøren i parentes (i det sidste udtryk ovenfor) kaldes også den samlede afledte operator (med hensyn til ). ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle t}$

For eksempel den samlede derivat af er ${\ displaystyle f (x (t), y (t))}$

${\ displaystyle {\ frac {df} {dt}} = {\ partial f \ over \ partial x} {dx \ over dt} + {\ partial f \ over \ partial y} {dy \ over dt}.}$

Her er der intet udtryk, da det i sig selv ikke afhænger direkte af den uafhængige variabel . ${\ displaystyle \ partial f / \ partial t}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle t}$

Total differentialligning

En total differentialligning er en differentialligning udtrykt i samlede derivater. Da det udvendige derivat er koordinatfrit, i en forstand, der kan gives en teknisk betydning, er sådanne ligninger iboende og geometriske .

Anvendelse på ligningssystemer

I økonomi er det almindeligt, at det samlede derivat opstår i sammenhæng med et ligningssystem. For eksempel kan et simpelt udbuds- og efterspørgselssystem specificere mængden q af et produkt, der kræves som en funktion D af dets pris p og forbrugernes indkomst I , hvor sidstnævnte er en eksogen variabel , og kan specificere den mængde, der leveres af producenterne som en funktion S for dens pris og to eksogene ressourceomkostningsvariabler r og w . Det resulterende ligningssystem

${\ displaystyle q = D (p, I),}$

${\ displaystyle q = S (p, r, w),}$

bestemmer markedsligevægtsværdierne for variablerne p og q . Det samlede derivat af p med hensyn til r giver for eksempel tegnet og størrelsen af ​​markedsprisens reaktion på den eksogene variabel r . I det angivne system er der i alt seks mulige samlede derivater, også kendt i denne sammenhæng som komparative statiske derivater : dp / dr , dp / dw , dp / dI , dq / dr , dq / dw og dq / dI . De samlede derivater findes ved at differentiere ligningssystemet fuldstændigt, dividere ved f.eks. Dr , behandle dq / dr og dp / dr som de ukendte, indstille dI = dw = 0 og løse de to totalt differentierede ligninger samtidigt, typisk ved ved hjælp af Cramer's regel . ${\ displaystyle dp / dr}$

Se også

• Retningsafledt
• Gradient # Total afledt
• Fréchet-derivat - generalisering af det samlede derivat

Referencer

• AD Polyanin og VF Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2. udgave) , Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN  1-58488-297-2
• Fra thesaurus.maths.org totalafledt

eksterne links

• Weisstein, Eric W. "Total Derivative" . MathWorld .
• Ronald D. Kriz (2007) forestiller sig totalderivater af skalære funktioner i to dimensioner ved hjælp af hævede overflader og tangentplaner fra Virginia Tech