Summen regel i differentiering - Sum rule in differentiation

I beregningen er sumreglen i differentiering en metode til at finde derivatet til en funktion, der er summen af ​​to andre funktioner, som derivater findes for. Dette er en del af differentieringens linearitet . Den sum regel i integrationen følger af det. Selve reglen er en direkte konsekvens af differentiering fra de første principper .

Summereglen siger, at for to funktioner u og v :

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} (u + v) = {\ frac {du} {dx}} + {\ frac {dv} {dx}}}$

Denne regel gælder også for subtraktion og tilføjelser og subtraktioner af mere end to funktioner

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} (u_ {1} + u_ {2} + \ cdots + u_ {n}) = {\ frac {du_ {1}} {dx}} + {\ frac {du_ {2}} {dx}} + \ cdots + {\ frac {du_ {n}} {dx}}.}$

Bevis

Lad h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) , og antag, at f og g hver især kan differentieres ved x . Anvendelse af definitionen af ​​derivatet og egenskaber ved grænser giver følgende bevis for, at h kan differentieres ved x, og at dets derivat er givet af h ′ ( x ) = f ′ ( x ) + g ′ ( x ) .

${\ displaystyle {\ begynde {rettet} h '(x) & = \ lim _ {\ Delta x \ til 0} {\ frac {h (x + \ Delta x) -h (x)} {\ Delta x}} \\ & = \ lim _ {\ Delta x \ til 0} {\ frac {[f (x + \ Delta x) + g (x + \ Delta x)] - [f (x) + g (x)]} { \ Delta x}} \\ & = \ lim _ {\ Delta x \ til 0} {\ frac {f (x + \ Delta x) -f (x) + g (x + \ Delta x) -g (x)} {\ Delta x}} \\ & = \ lim _ {\ Delta x \ til 0} {\ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}} + \ lim _ {\ Delta x \ til 0} {\ frac {g (x + \ Delta x) -g (x)} {\ Delta x}} \\ & = f '(x) + g' (x). \ Ende {justeret} }}$

Et lignende argument viser det analoge resultat for forskelle i funktioner. Ligeledes kan man enten bruge induktion eller tilpasse dette argument for at bevise det analoge resultat for en endelig sum af funktioner. Men summen regel gør, ikke i almindelighed omfatte uendelige summer af funktioner, medmindre man antager noget som ensartet konvergens af summen.

Referencer

• Gilbert Strang: Calculus . SIAM 1991, ISBN  0-9614088-2-0 , s. 71 ( begrænset online version (google bøger) )
• sum regel på PlanetMath