Relaterede priser - Related rates

I differentialregning , relaterede priser involverer problemer med at finde en hastighed, hvormed en mængde ændrer sig ved om denne mængde til andre mængder, hvis satser for forandring er kendt. Ændringshastigheden er normalt med hensyn til tid . Fordi videnskab og teknik ofte relaterer mængder til hinanden, har metoderne til relaterede satser brede anvendelser inden for disse områder. Differentiering med hensyn til tid eller en af ​​de andre variabler kræver anvendelse af kædereglen , da de fleste problemer involverer flere variabler.

Grundlæggende, hvis en funktion er defineret således , at afledningen af ​​funktionen kan tages i forhold til en anden variabel. Vi antager er en funktion af , dvs. . Så , så ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F = f (x)}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle x = g (t)}$${\ displaystyle F = f (g (t))}$

${\ displaystyle F '(t) = f' (g (t)) \ cdot g '(t)}$

Skrevet i Leibniz-notation er dette:

${\ displaystyle {\ frac {dF} {dt}} = {\ frac {df} {dx}} \ cdot {\ frac {dx} {dt}}.}$

Således, hvis det vides, hvordan ændringer i forhold til , så kan vi bestemme, hvordan ændringer i forhold til og omvendt. Vi kan udvide denne anvendelse af kædereglen med summen, forskellen, produkt- og kvotientreglerne for beregning osv. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle t}$

For eksempel hvis så ${\ displaystyle F (x) = G (y) + H (z)}$

${\ displaystyle {\ frac {dF} {dx}} \ cdot {\ frac {dx} {dt}} = {\ frac {dG} {dy}} \ cdot {\ frac {dy} {dt}} + { \ frac {dH} {dz}} \ cdot {\ frac {dz} {dt}}.}$

Procedure

Den mest almindelige måde at nærme sig relaterede satser på er følgende:

1. Identificer de kendte variabler , inklusive ændringshastigheder og den ændringshastighed, der findes. (Tegning af et billede eller en gengivelse af problemet kan hjælpe med at holde alt i orden)
2. Konstruer en ligning, der relaterer til de størrelser, hvis forandringshastigheder er kendt, til den mængde, hvis forandringshastighed skal findes.
3. Differentier begge sider af ligningen med hensyn til tid (eller anden ændringshastighed). Ofte er kæden regel er ansat på dette trin.
4. Udskift de kendte forandringshastigheder og de kendte størrelser i ligningen.
5. Løs for den ønskede ændringshastighed.

Fejl i denne procedure er ofte forårsaget af at tilslutte de kendte værdier for variablerne før (snarere end efter) at finde afledningen med hensyn til tid. Dette vil give et forkert resultat, da hvis disse værdier erstattes af variablerne før differentiering, bliver disse variabler konstanter; og når ligningen er differentieret, vises nuller steder på alle variabler, for hvilke værdierne blev tilsluttet.

Eksempler

Skæve stigeeksempel

En stige på 10 meter læner sig mod en bygnings væg, og stigenes bund glider væk fra bygningen med en hastighed på 3 meter i sekundet. Hvor hurtigt glider toppen af ​​stigen ned ad væggen, når stigen er 6 meter fra væggen?

Afstanden mellem basen af ​​stigen og væggen, x og stigenes højde på væggen, y , repræsenterer siderne af en højre trekant med stigen som hypotenusen, h . Målet er at finde dy / dt , ændringshastigheden for y med hensyn til tid, t , når h , x og dx / dt , hastigheden for ændring af x , er kendt.

Trin 1:

${\ displaystyle x = 6}$

${\ displaystyle h = 10}$

${\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = 3}$

${\ displaystyle {\ frac {dh} {dt}} = 0}$

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dt}} = {\ tekst {?}}}$

Trin 2: Fra den Pythagoras sætning , ligningen

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = h ^ {2}, \,}$

beskriver forholdet mellem x , y og h for en højre trekant. At differentiere begge sider af denne ligning med hensyn til tid, t , udbytter

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} (x ^ {2} + y ^ {2}) = {\ frac {d} {dt}} (h ^ {2})}$

Trin 3: Når det løses for den ønskede ændringshastighed, giver dy / dt os

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} (x ^ {2}) + {\ frac {d} {dt}} (y ​​^ {2}) = {\ frac {d} {dt}} ( h ^ {2})}$

${\ displaystyle (2x) {\ frac {dx} {dt}} + (2y) {\ frac {dy} {dt}} = (2h) {\ frac {dh} {dt}}}$

${\ displaystyle x {\ frac {dx} {dt}} + y {\ frac {dy} {dt}} = h {\ frac {dh} {dt}}}$

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dt}} = {\ frac {h {\ frac {dh} {dt}} - x {\ frac {dx} {dt}}} {y}}.}$

Trin 4 & 5: Brug af variablerne fra trin 1 giver os:

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dt}} = {\ frac {h {\ frac {dh} {dt}} - x {\ frac {dx} {dt}}} {y}}.}$

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dt}} = {\ frac {10 \ gange 0-6 \ gange 3} {y}} = - {\ frac {18} {y}}.}$

Løsning for y ved hjælp af Pythagoras sætning giver:

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = h ^ {2}}$

${\ displaystyle 6 ^ {2} + y ^ {2} = 10 ^ {2}}$

${\ displaystyle y = 8}$

Tilslutning af 8 til ligningen:

${\ displaystyle - {\ frac {18} {y}} = - {\ frac {18} {8}} = - {\ frac {9} {4}}}$

Det antages generelt, at negative værdier repræsenterer den nedadgående retning. Ved at gøre sådan er toppen af stigen glide ned ad væggen med en hastighed på 9 / 4 meter pr.

Eksempler på fysik

Fordi en fysisk mængde ofte afhænger af en anden, hvilket igen afhænger af andre, såsom tid, har relaterede hastighedsmetoder brede anvendelser i fysik. Dette afsnit præsenterer et eksempel på relaterede hastigheder kinematik og elektromagnetisk induktion .

Fysikeksempel I: relativ kinematik for to køretøjer

Et køretøj er på vej mod nord og befinder sig i øjeblikket ved (0,3); det andet køretøj er på vej mod vest og ligger i øjeblikket på (4,0). Kædereglen kan bruges til at finde ud af, om de kommer tættere på eller længere fra hinanden.

For eksempel kan man overveje kinematikproblemet, hvor et køretøj er på vej mod vest mod et kryds ved 80 miles i timen, mens et andet er på vej mod nord væk fra krydset med 60 miles i timen. Man kan spørge, om køretøjerne kommer tættere på eller længere fra hinanden, og i hvilken hastighed i det øjeblik, hvor det nordbundne køretøj er 3 miles nord for krydset, og det vestbundne køretøj er 6 km øst for krydset.

Stor idé: Brug kæderegel til at beregne hastigheden for ændring af afstanden mellem to køretøjer.

Plan:

1. Vælg koordinatsystem
2. Identificer variabler
3. Tegn billede
4. Stor idé: Brug kæderegel til at beregne hastigheden for ændring af afstanden mellem to køretøjer
5. Udtryk c i form af x og y via Pythagoras sætning
6. Udtryk dc / dt ved hjælp af kæderegel i form af dx / d t og dy / dt
7. Erstat i x , y , dx / dt , dy / dt
8. Forenkle.

Vælg koordinatsystem: Lad y- aksen pege mod nord og x- aksepunktet øst.

Identificer variabler: Definer y ( t ) til at være afstanden for køretøjet mod nord fra oprindelsen og x ( t ) for at være afstanden for køretøjet mod vest fra oprindelsen.

Udtryk c med hensyn til x og y via Pythagoras sætning:

${\ displaystyle c = (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {1/2}}$

Express dc / dt ved hjælp af kæderegel i form af dx / dt og dy / dt:

${\ displaystyle {\ frac {dc} {dt}} = {\ frac {d} {dt}} (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {1/2}}$	Anvend derivatoperatør på hele funktionen
${\ displaystyle = {\ frac {1} {2}} (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {- 1/2} {\ frac {d} {dt}} (x ^ {2} + y ^ {2})}$	Kvadratrod er udenfor funktion; Summen af ​​firkanter er inde i funktionen
${\ displaystyle = {\ frac {1} {2}} (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {- 1/2} \ left [{\ frac {d} {dt}} (x ^ {2}) + {\ frac {d} {dt}} (y ​​^ {2}) \ højre]}$	Distribuer differentieringsoperatør
${\ displaystyle = {\ frac {1} {2}} (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {- 1/2} \ left [2x {\ frac {dx} {dt}} + 2y {\ frac {dy} {dt}} \ højre]}$	Anvend kæderegel på x ( t ) og y ( t )}
${\ displaystyle = {\ frac {x {\ frac {dx} {dt}} + y {\ frac {dy} {dt}}} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} }$	Forenkle.

Erstat i x = 4 mi, y = 3 mi, dx / dt = −80 mi / hr, dy / dt = 60 mi / hr og forenkle

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dc} {dt}} & = {\ frac {4 {\ text {mi}} \ cdot (-80 {\ text {mi}} / {\ text { hr}}) + 3 {\ text {mi}} \ cdot (60) {\ text {mi}} / {\ text {hr}}} {\ sqrt {(4 {\ text {mi}}) ^ { 2} + (3 {\ text {mi}}) ^ {2}}}} \\ & = {\ frac {-320 {\ text {mi}} ^ {2} / {\ text {hr}} + 180 {\ text {mi}} ^ {2} / {\ text {hr}}} {5 {\ text {mi}}}} \\ & = {\ frac {-140 {\ text {mi}} ^ {2} / {\ text {hr}}} {5 {\ text {mi}}}} \\ & = - 28 {\ text {mi}} / {\ text {hr}} \ end {align}} }$

Derfor kommer de to køretøjer tættere sammen med en hastighed på 28 mi / time.

Fysikeksempel II: Elektromagnetisk induktion af ledende sløjfe, der drejer i magnetfelt

Den magnetiske flux gennem en sløjfe af område A, hvis normale er i en vinkel θ til et magnetfelt med styrke B er

${\ displaystyle \ Phi _ {B} = BA \ cos (\ theta),}$

Faradays lov om elektromagnetisk induktion siger, at den inducerede elektromotoriske kraft er den negative ændringshastighed for magnetisk flux gennem en ledende sløjfe. ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ displaystyle \ Phi _ {B}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {E}} = - {{d \ Phi _ {B}} \ over dt},}$

Hvis sløjfeområdet A og magnetfeltet B holdes konstant, men sløjfen roteres således, at vinklen θ er en kendt funktion af tiden, kan ændringshastigheden for θ relateres til ændringshastigheden for (og derfor den elektriske motor kraft) ved at tage tidsderivatet af fluxrelationen ${\ displaystyle \ Phi _ {B}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {E}} = - {\ frac {d \ Phi _ {B}} {dt}} = BA \ sin \ theta {\ frac {d \ theta} {dt}}}$

Hvis sløjfen for eksempel roterer med en konstant vinkelhastighed ω , så at θ  =  ωt , så

${\ displaystyle {\ mathcal {E}} = \ omega BA \ sin \ omega t}$

Referencer