Omvendte funktioner og differentiering - Inverse functions and differentiation

Del af en række artikler om
Regning
Grundlæggende sætning Leibniz integreret regel Funktionsgrænser Kontinuitet Middelværdisætning Rolles sætning
Differentiale Definitioner Afledt  ( generaliseringer ) Differentiale uendelig af en funktion i alt Begreber Differentieringsnotation Andet derivat Implicit differentiering Logaritmisk differentiering Relaterede priser Taylors sætning Regler og identiteter Sum Produkt Kæde Strøm Kvotient L'Hôpital's regel Omvendt General Leibniz Faà di Brunos formel Reynolds
Integreret Lister over integraler Integreret transformation Definitioner Antiderivativ Integreret  ( forkert ) Riemann integreret Lebesgue integration Kontur integration Integration af inverse funktioner Integration af Dele Diske Cylindriske skaller Substitution  ( trigonometrisk , Weierstrass , Euler ) Eulers formel Delvise fraktioner Ændrer rækkefølge Reduktionsformler Differentiering under det integrerede tegn Risch algoritme
Serie Geometrisk  ( aritmetisk-geometrisk ) Harmonisk Skiftevis Strøm Binomial Taylor Konvergens test Summand limit (term test) Forhold Rod Integreret Direkte sammenligning Begræns sammenligning Skiftevis serie Cauchy kondens Dirichlet Abel
Vektor Gradient Divergens Krølle Laplacian Retningsbestemt derivat Identiteter Sætninger Gradient Green's Stokes ' Divergens generaliserede Stokes
Multivariabel Formalisme Matrix Tensor Ydre Geometrisk Definitioner Delvist afledt Flere integrerede Linje integreret Overflade integreret Volumen integreret Jacobian Hessian
Specialiseret Brøk Malliavin Stokastisk Variationer
Diverse Precalculus Historie Ordliste Liste over emner Integrationsbi Analyse
v t e

I matematik er inversen af en funktion en funktion, der på en eller anden måde "fortryder" effekten af (se invers funktion for en formel og detaljeret definition). Den omvendte af betegnes som , hvor hvis og kun hvis . ${\ displaystyle y = f (x)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f^{-1}}$${\ displaystyle f^{-1} (y) = x}$${\ displaystyle f (x) = y}$

Deres to derivater, forudsat at de eksisterer, er gensidige , som Leibniz -notationen antyder; det er:

${\ displaystyle {\ frac {dx} {dy}} \, \ cdot \, {\ frac {dy} {dx}} = 1.}$

Denne relation opnås ved at differentiere ligningen i form af x og anvende kædereglen , hvilket giver: ${\ displaystyle f^{-1} (y) = x}$

${\ displaystyle {\ frac {dx} {dy}} \, \ cdot \, {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {dx} {dx}}}$

i betragtning af at derivatet af x med hensyn til x er 1.

Ved eksplicit at skrive afhængigheden af y på x og det punkt, hvor differentieringen finder sted, bliver formlen for derivatet af det inverse (i Lagranges notation):

${\ displaystyle \ left [f^{-1} \ right] '(a) = {\ frac {1} {f' \ left (f^{-1} (a) \ right)}}}}$.

Denne formel gælder generelt, når den er kontinuerlig og injicerbar på et interval I , idet den kan differentieres ved ( ) og hvor . Den samme formel svarer også til udtrykket ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f^{-1} (a)}$${\ displaystyle \ i I}$${\ displaystyle f '(f^{-1} (a)) \ neq 0}$

${\ displaystyle {\ mathcal {D}} \ venstre [f^{-1} \ right] = {\ frac {1} {({\ mathcal {D}} f) \ circ \ left (f^{-1 }\ret)}},}$

hvor betegner den unære derivatoperator (om funktionsrummet) og betegner funktionssammensætning . ${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$${\ displaystyle \ circ}$

Geometrisk har en funktion og invers funktion grafer, der er refleksioner , i linjen . Denne refleksionsoperation forvandler gradienten af enhver linje til dens gensidige . ${\ displaystyle y = x}$

Forudsat at der har en invers i nærheden af og at dens derivat på det tidspunkt er ikke-nul, er dens inverse garanteret at være differentierbar ved og have et derivat givet ved ovenstående formel. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$

Eksempler

• ${\ displaystyle y = x^{2}}$(for positiv x ) har invers .${\ displaystyle x = {\ sqrt {y}}}$

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = 2x {\ mbox {}} {\ mbox {}} {\ mbox {}} {\ mbox {}}; {\ mbox {}} {\ mbox { }} {\ mbox {}} {\ mbox {}} {\ frac {dx} {dy}} = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {y}}}} = {\ frac {1} { 2x}}}$

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} \, \ cdot \, {\ frac {dx} {dy}} = 2x \ cdot {\ frac {1} {2x}} = 1.}$

Ved er der imidlertid et problem: grafen for kvadratrodsfunktionen bliver lodret, svarende til en vandret tangent for kvadratfunktionen. ${\ displaystyle x = 0}$

• ${\ displaystyle y = e^{x}}$(for ægte x ) har invers (for positiv )${\ displaystyle x = \ ln {y}}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = e^{x} {\ mbox {}} {\ mbox {}} {\ mbox {}} {\ mbox {}}; {\ mbox {}} {\ mbox {}} {\ mbox {}} {\ mbox {}} {\ frac {dx} {dy}} = {\ frac {1} {y}}}$

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} \, \ cdot \, {\ frac {dx} {dy}} = e^{x} \ cdot {\ frac {1} {y}} = {\ frac {e^{x}} {e^{x}}} = 1}$

Yderligere ejendomme

• Integrering af dette forhold giver

${\ displaystyle {f^{-1}} (x) = \ int {\ frac {1} {f '({f^{-1}} (x))}}} \, {dx}+C.}$

Dette er kun nyttigt, hvis integralet findes. Især skal vi være ikke-nul på tværs af integrationsområdet.${\ displaystyle f '(x)}$

Det følger heraf, at en funktion, der har et kontinuerligt derivat, har en invers i nærheden af hvert punkt, hvor derivatet er ikke-nul. Dette behøver ikke at være sandt, hvis derivatet ikke er kontinuerligt.

• En anden meget interessant og nyttig ejendom er følgende:

${\ displaystyle \ int f^{-1} (x) \, {dx} = xf^{-1} (x) -F (f^{-1} (x))+C}$

Hvor betegner antiderivativ af .${\ displaystyle F}$${\ displaystyle f}$

Højere derivater

Ovenstående kæderegel opnås ved at differentiere identiteten med hensyn til x . Man kan fortsætte den samme proces for højere derivater. Man differentierer identiteten to gange med hensyn til x , man opnår ${\ displaystyle f^{-1} (f (x)) = x}$

${\ displaystyle {\ frac {d^{2} y} {dx^{2}}} \, \ cdot \, {\ frac {dx} {dy}}+{\ frac {d} {dx}} \ venstre ({\ frac {dx} {dy}} \ højre) \, \ cdot \, \ venstre ({\ frac {dy} {dx}} \ højre) = 0,}$

der er forenklet yderligere af kædereglen som

${\ displaystyle {\ frac {d^{2} y} {dx^{2}}} \, \ cdot \, {\ frac {dx} {dy}}+{\ frac {d^{2} x} {dy^{2}}} \, \ cdot \, \ venstre ({\ frac {dy} {dx}} \ højre)^{2} = 0.}$

Ved at erstatte det første derivat ved hjælp af den tidligere opnåede identitet får vi

${\ displaystyle {\ frac {d^{2} y} {dx^{2}}} =-{\ frac {d^{2} x} {dy^{2}}} \, \ cdot \, \ venstre ({\ frac {dy} {dx}} \ højre)^{3}.}$

Tilsvarende for det tredje derivat:

${\ displaystyle {\ frac {d^{3} y} {dx^{3}}} =-{\ frac {d^{3} x} {dy^{3}}} \, \ cdot \, \ venstre ({\ frac {dy} {dx}} \ højre)^{4} -3 {\ frac {d^{2} x} {dy^{2}}} \, \ cdot \, {\ frac { d^{2} y} {dx^{2}}} \, \ cdot \, \ venstre ({\ frac {dy} {dx}} \ højre)^{2}}$

eller ved hjælp af formlen for det andet derivat,

${\ displaystyle {\ frac {d^{3} y} {dx^{3}}} =-{\ frac {d^{3} x} {dy^{3}}} \, \ cdot \, \ venstre ({\ frac {dy} {dx}} \ højre)^{4} +3 \ venstre ({\ frac {d^{2} x} {dy^{2}}} \ højre)^{2} \, \ cdot \, \ venstre ({\ frac {dy} {dx}} \ højre)^{5}}$

Disse formler generaliseres af Faà di Brunos formel .

Disse formler kan også skrives ved hjælp af Lagranges notation. Hvis f og g er inverser, så

${\ displaystyle g '' (x) = {\ frac {-f '' (g (x))} {[f '(g (x))]^{3}}}}$

Eksempel

• ${\ displaystyle y = e^{x}}$har det omvendte . Ved hjælp af formlen for det andet derivat af den inverse funktion,${\ displaystyle x = \ ln y}$

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {d^{2} y} {dx^{2}}} = e^{x} = y {\ mbox {}} {\ mbox {}} {\ mbox {}} {\ mbox {}}; {\ mbox {}} {\ mbox {}} {\ mbox {}} {\ mbox {}} \ venstre ({\ frac {dy} { dx}} \ right)^{3} = y^{3};}$

så det

${\ displaystyle {\ frac {d^{2} x} {dy^{2}}} \, \ cdot \, y^{3}+y = 0 {\ mbox {}} {\ mbox {}} { \ mbox {}} {\ mbox {}}; {\ mbox {}} {\ mbox {}} {\ mbox {}} {\ mbox {}} {\ frac {d^{2} x} {dy^ {2}}} =-{\ frac {1} {y^{2}}}}$,

der stemmer overens med den direkte beregning.

Se også

• Regning
• Omvendte funktioner
• Kæderegel
• Sætning om omvendt funktion
• Implicit funktionsteorem
• Integration af inverse funktioner

Referencer