Cauchy kondens test - Cauchy condensation test

I matematik er Cauchy-kondensationstesten , opkaldt efter Augustin-Louis Cauchy , en standard konvergens test for uendelige serier . For en ikke-stigende sekvens af ikke-negative reelle tal konvergerer serien, hvis og kun hvis den "kondenserede" serie konvergerer. Desuden, hvis de konvergerer, er summen af ​​den kondenserede serie ikke mere end dobbelt så stor som summen af ​​originalen. ${\ displaystyle f (n)}$${\ displaystyle \ displaystyle \ sum \ limits _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n)}$${\ displaystyle \ displaystyle \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} f (2 ^ {n})}$

Skøn

Cauchy-kondenseringstesten følger af det stærkere skøn,

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n) \ leq \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} f (2 ^ {n}) \ leq \ 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n),}$

som skal forstås som en ulighed mellem udvidede reelle tal . Den væsentlige fremdrift af et bevis følger, mønstret efter Oresmes bevis for divergensen i harmoniske serier .

For at se den første ulighed bliver vilkårene for den originale serie omskrevet til kørsler, hvis længder er kræfter på to, og derefter er hver kørsel afgrænset ovenfor ved at erstatte hver sigt med den største sigt i løbet. Dette udtryk er altid det første, da udtryk formodes at være ikke-stigende.

${\ displaystyle {\ begin {array} {rcccccccl} \ displaystyle \ sum \ limits _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n) & = & f (1) & + & f (2) + f (3) & + & f (4) + f (5) + f (6) + f (7) & + & \ cdots \\ & = & f (1) & + & {\ Big (} f (2) + f (3 ) {\ Big)} & + & {\ Big (} f (4) + f (5) + f (6) + f (7) {\ Big)} & + & \ cdots \\ & \ leq & f ( 1) & + & {\ Big (} f (2) + f (2) {\ Big)} & + & {\ Big (} f (4) + f (4) + f (4) + f (4 ) {\ Big)} & + & \ cdots \\ & = & f (1) & + & 2f (2) & + & 4f (4) & + & \ cdots = \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} f (2 ^ {n}) \ end {array}}}$

At se den anden ulighed, disse to serier igen rebracketed i kørsler af potens af to lange, men "offset" som vist nedenfor, således at kørslen af hvilket begynder med flugter med afslutningen af kørslen af hvilke ender med , så at førstnævnte altid forbliver "foran" sidstnævnte. ${\ displaystyle \ textstyle 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n)}$${\ displaystyle \ textstyle f (2 ^ {n})}$${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} f (2 ^ {n})}$${\ displaystyle \ textstyle f (2 ^ {n})}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} f (2 ^ {n}) & = & f (1) + {\ Big (} f (2) + f (2) {\ Big)} + {\ Big (} f (4) + f (4) + f (4) + f (4) {\ Big)} + \ cdots \ \ & = & {\ Big (} f (1) + f (2) {\ Big)} + {\ Big (} f (2) + f (4) + f (4) + f (4) {\ Stor)} + ​​\ cdots \\ & \ leq & {\ Big (} f (1) + f (1) {\ Big)} + {\ Big (} f (2) + f (2) + f (3 ) + f (3) {\ Big)} + \ cdots = 2 \ sum \ grænser _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n) \ end {array}}}$

Visualisering af ovenstående argument. Delvise summer af serien , og vises overlejret fra venstre mod højre. ${\ displaystyle \ textstyle \ sum f (n)}$${\ displaystyle \ sum 2 ^ {n} f (2 ^ {n})}$${\ displaystyle 2 \ sum f (n)}$

Integreret sammenligning

"Kondens" -transformationen minder om den integrerede variable substitution, der giver . ${\ displaystyle \ textstyle f (n) \ rightarrow 2 ^ {n} f (2 ^ {n})}$${\ displaystyle \ textstyle x \ rightarrow e ^ {x}}$${\ displaystyle \ textstyle f (x) \, \ mathrm {d} x \ rightarrow e ^ {x} f (e ^ {x}) \, \ mathrm {d} x}$

Forfølgelsen af ​​denne idé giver den integrerede test for konvergens os, i tilfælde af monoton , der konvergerer, hvis og kun hvis konvergerer. Erstatningen giver integralet . Vi bemærker derefter, at < , hvor højre side kommer fra at anvende den integrerede test på den kondenserede serie . Konvergerer derfor, hvis og kun hvis konvergerer. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ sum \ limits _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n)}$${\ displaystyle \ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} f (x) \, \ mathrm {d} x}$${\ displaystyle \ textstyle x \ rightarrow 2 ^ {x}}$${\ displaystyle \ displaystyle \ log 2 \ \ int _ {2} ^ {\ infty} \! 2 ^ {x} f (2 ^ {x}) \, \ mathrm {d} x}$${\ displaystyle \ displaystyle \ log 2 \ \ int _ {2} ^ {\ infty} \! 2 ^ {x} f (2 ^ {x}) \, \ mathrm {d} x}$${\ displaystyle \ displaystyle \ log 2 \ \ int _ {0} ^ {\ infty} \! 2 ^ {x} f (2 ^ {x}) \, \ mathrm {d} x}$${\ displaystyle \ displaystyle \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} f (2 ^ {n})}$${\ displaystyle \ sum \ limits _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n)}$${\ displaystyle \ displaystyle \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} f (2 ^ {n})}$

Eksempler

Testen kan være nyttig til serier, hvor n vises som i en nævner i f . For det mest basale eksempel af denne slags omdannes den harmoniske serie til serien , som tydeligt adskiller sig. ${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 1 / n}$${\ displaystyle \ textstyle \ sum 1}$

Tag som et mere komplekst eksempel

${\ displaystyle f (n): = n ^ {- a} (\ log n) ^ {- b} (\ log \ log n) ^ {- c}}$ .

Her konvergerer serien bestemt for a > 1 og divergerer for a <1. Når a = 1, giver kondensationstransformationen serien

${\ displaystyle \ sum n ^ {- b} (\ log n) ^ {- c}}$ .

Logaritmerne 'skifter til venstre'. Så når a = 1, har vi konvergens for b > 1, divergens for b <1. Når b = 1 indføres værdien af c .

Dette resultat generaliserer let: kondensvandstesten, der anvendes gentagne gange, kan bruges til at vise, at for den generaliserede Bertrand-serie ${\ displaystyle k = 1,2,3, \ ldots}$

${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq N} {\ frac {1} {n \ cdot \ log n \ cdot \ log \ log n \ cdots \ log ^ {\ circ (k-1)} n \ cdot ( \ log ^ {\ circ k} n) ^ {\ alpha}}} \ quad \ quad (N = \ lfloor \ exp ^ {\ circ k} (0) \ rfloor +1)}$

konvergerer for og afviger for . Her betegner den m. Kompositionelle iterat af en funktion , således at ${\ displaystyle \ alpha> 1}$${\ displaystyle 0 <\ alpha \ leq 1}$${\ displaystyle f ^ {\ circ m}}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle f ^ {\ circ m} (x): = {\ begin {cases} f (f ^ {\ circ (m-1)} (x)), & m = 1,2,3, \ ldots; \\ x, & m = 0. \ end {cases}}}$

Den nedre grænse for summen blev valgt, så alle vilkår i serien er positive. Navnlig giver disse serier eksempler på uendelige summer, der konvergerer eller divergerer langsomt vilkårligt. For eksempel i tilfælde af og overstiger den delvise sum kun 10 efter (en googolplex ) vilkår; alligevel adskiller serien sig alligevel. ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle k = 2}$${\ displaystyle \ alpha = 1}$${\ displaystyle 10 ^ {10 ^ {100}}}$

Schlömilchs generalisering

Lad u ( n ) være en streng stigende sekvens af positive heltal, således at forholdet mellem successive forskelle er afgrænset: der er et positivt reelt tal N , for hvilket:

${\ displaystyle {\ Delta u (n) \ over \ Delta u (n {-} 1)} \ = \ {u (n {+} 1) -u (n) \ over u (n) -u (n {-} 1)} \ <\ N \ \ {\ text {for alle}} n.}$

Så forudsat at det opfylder de samme forudsætninger som i Cauchys test, er konvergensen af ​​serien ækvivalent med konvergensen af: ${\ displaystyle f (n)}$${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n)}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Delta u (n)} \, f (u (n)) \ = \ \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} { \ Big (} u (n {+} 1) -u (n) {\ Big)} f (u (n)).}$

For at tage Cauchy-kondensvandstesten frem som et specielt tilfælde. ${\ displaystyle \ textstyle u (n) = 2 ^ {n}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Delta u (n) = u (n {+} 1) -u (n) = 2 ^ {n}}$

Referencer

• Bonar, Khoury (2006). Ægte uendelig serie . Mathematical Association of America. ISBN   0-88385-745-6 .

eksterne links

• Cauchy kondens test test