Logaritmisk differentiering - Logarithmic differentiation

I beregning er logaritmisk differentiering eller differentiering ved at tage logaritmer en metode, der bruges til at differentiere funktioner ved at anvende det logaritmiske derivat af en funktion f ,

${\ displaystyle (\ ln f) '= {\ frac {f'} {f}} \ quad \ implicerer \ quad f '= f \ cdot (\ ln f)'.}$

Teknikken udføres ofte i tilfælde, hvor det er lettere at differentiere logaritmen for en funktion snarere end selve funktionen. Dette sker normalt i tilfælde, hvor funktionen af ​​interesse er sammensat af et produkt af et antal dele, så en logaritmisk transformation vil gøre det til en sum af separate dele (som er meget lettere at differentiere). Det kan også være nyttigt, når det anvendes til funktioner, der er styrket af variabler eller funktioner. Logaritmisk differentiering afhængig af kæden regel samt egenskaber af logaritmer (især den naturlige logaritme , eller logaritmen til basen e ) at omdanne varer i beløb og divisioner i subtraktioner. Princippet kan i det mindste delvis implementeres i differentieringen af ​​næsten alle differentierbare funktioner , forudsat at disse funktioner ikke er nul.

Oversigt

Til en funktion

${\ displaystyle y = f (x) \, \!}$

logaritmisk differentiering begynder typisk med at tage den naturlige logaritme eller logaritmen til basen e på begge sider og huske at tage absolutte værdier:

${\ displaystyle \ ln | y | = \ ln | f (x) |. \, \!}$

Efter implicit differentiering :

${\ displaystyle {\ frac {1} {y}} {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {f '(x)} {f (x)}}.}$

Multiplikation med y udføres derefter for at eliminere 1 / y og kun efterlade dy / dx på venstre side :

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = y \ gange {\ frac {f '(x)} {f (x)}} = f' (x).}$

Metoden bruges, fordi egenskaberne ved logaritmer giver veje til hurtigt at forenkle komplicerede funktioner, der skal differentieres. Disse egenskaber kan manipuleres efter optagelse af naturlige logaritmer på begge sider og før den indledende differentiering. De mest anvendte logaritmelove er

${\ displaystyle \ ln (ab) = \ ln (a) + \ ln (b), \ qquad \ ln \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) = \ ln (a) - \ ln (b), \ qquad \ ln (a ^ {n}) = n \ ln (a).}$

Almindelig sag

Brug af kapital pi notation ,

${\ displaystyle f (x) = \ prod _ {i} (f_ {i} (x)) ^ {\ alpha _ {i} (x)}.}$

Anvendelse af naturlige logaritmer resulterer i (med stort sigma-notation )

${\ displaystyle \ ln (f (x)) = \ sum _ {i} \ alpha _ {i} (x) \ cdot \ ln (f_ {i} (x)),}$

og efter differentiering,

${\ displaystyle {\ frac {f '(x)} {f (x)}} = \ sum _ {i} \ left [\ alpha _ {i}' (x) \ cdot \ ln (f_ {i} ( x)) + \ alpha _ {i} (x) \ cdot {\ frac {f_ {i} '(x)} {f_ {i} (x)}} \ højre].}$

Omarranger for at få afledningen af ​​den oprindelige funktion,

${\ displaystyle f '(x) = \ overbrace {\ prod _ {i} (f_ {i} (x)) ^ {\ alpha _ {i} (x)}} ^ {f (x)} \ times \ overbrace {\ sum _ {i} \ left \ {\ alpha _ {i} '(x) \ cdot \ ln (f_ {i} (x)) + \ alpha _ {i} (x) \ cdot {\ frac {f_ {i} '(x)} {f_ {i} (x)}} \ højre \}} ^ {[\ ln (f (x))]'}.}$

Derivater af højere ordre

Ved hjælp af Faà di Brunos formel er den n- ordns logaritmiske derivat,

${\ displaystyle {d ^ {n} \ over dx ^ {n}} \ ln f (x) = \ sum _ {m_ {1} + 2m_ {2} + \ cdots + nm_ {n} = n} {\ frac {n!} {m_ {1}! \, m_ {2}! \, \ cdots \, m_ {n}!}} \ cdot {\ frac {(-1) ^ {m_ {1} + \ cdots + m_ {n} -1} (m_ {1} + \ cdots + m_ {n} -1)!} {f (x) ^ {m_ {1} + \ cdots + m_ {n}}}} \ cdot \ prod _ {j = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {f ^ {(j)} (x)} {j!}} \ right) ^ {m_ {j}}.}$

Ved hjælp af dette er de første fire derivater,

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ ln f (x) = {\ frac {f '' (x)} {f (x)}} - \ left ( {\ frac {f '(x)} {f (x)}} \ højre) ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {3}} {dx ^ {3}}} \ ln f (x) = {\ frac {f '' '(x)} {f (x)}} - 3 { \ frac {f '(x) f' '(x)} {f (x) ^ {2}}} + 2 \ venstre ({\ frac {f' (x)} {f (x)}} \ højre ) ^ {3}}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {4}} {dx ^ {4}}} \ ln f (x) = {\ frac {f '' '' (x)} {f (x)}} - 4 {\ frac {f '(x) f' '' (x)} {f (x) ^ {2}}} - 3 \ venstre ({\ frac {f '' (x)} {f (x)} } \ højre) ^ {2} +12 {\ frac {f '(x) ^ {2} f' '(x)} {f (x) ^ {3}}} - 6 \ venstre ({\ frac { f '(x)} {f (x)}} \ højre) ^ {4}}$

Ansøgninger

Produkter

En naturlig logaritme anvendes på et produkt med to funktioner

${\ displaystyle f (x) = g (x) h (x) \, \!}$

at omdanne produktet til en sum

${\ displaystyle \ ln (f (x)) = \ ln (g (x) h (x)) = \ ln (g (x)) + \ ln (h (x)). \, \!}$

At differentiere ved at anvende kæden og sumreglerne giver

${\ displaystyle {\ frac {f '(x)} {f (x)}} = {\ frac {g' (x)} {g (x)}} + {\ frac {h '(x)} { h (x)}},}$

og efter omarrangering giver udbytterne

${\ displaystyle f '(x) = f (x) \ times {\ Bigg \ {} {\ frac {g' (x)} {g (x)}} + {\ frac {h '(x)} { h (x)}} {\ Bigg \}} = g (x) h (x) \ gange {\ Bigg \ {} {\ frac {g '(x)} {g (x)}} + {\ frac {h '(x)} {h (x)}} {\ Bigg \}}.}$

Kvoter

En naturlig logaritme anvendes til en kvotient af to funktioner

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {g (x)} {h (x)}} \, \!}$

at omdanne divisionen til en subtraktion

${\ displaystyle \ ln (f (x)) = \ ln {\ Bigg (} {\ frac {g (x)} {h (x)}} {\ Bigg)} = \ ln (g (x)) - \ ln (h (x)) \, \!}$

At differentiere ved at anvende kæden og sumreglerne giver

${\ displaystyle {\ frac {f '(x)} {f (x)}} = {\ frac {g' (x)} {g (x)}} - {\ frac {h '(x)} { h (x)}},}$

og efter omarrangering giver udbytterne

${\ displaystyle f '(x) = f (x) \ times {\ Bigg \ {} {\ frac {g' (x)} {g (x)}} - {\ frac {h '(x)} { h (x)}} {\ Bigg \}} = {\ frac {g (x)} {h (x)}} \ gange {\ Bigg \ {} {\ frac {g '(x)} {g ( x)}} - {\ frac {h '(x)} {h (x)}} {\ Bigg \}}.}$

Efter multiplikation og brug af fællesnævnerformlen er resultatet det samme som efter anvendelse af kvotientreglen direkte på . ${\ displaystyle f (x)}$

Komposit eksponent

For en funktion af formularen

${\ displaystyle f (x) = g (x) ^ {h (x)} \, \!}$

Den naturlige logaritme omdanner eksponentieringen til et produkt

${\ displaystyle \ ln (f (x)) = \ ln \ left (g (x) ^ {h (x)} \ right) = h (x) \ ln (g (x)) \, \!}$

At differentiere ved at anvende kæden og produktreglerne giver

${\ displaystyle {\ frac {f '(x)} {f (x)}} = h' (x) \ ln (g (x)) + h (x) {\ frac {g '(x)} { g (x)}},}$

og efter omarrangering giver udbytterne

${\ displaystyle f '(x) = f (x) \ times {\ Bigg \ {} h' (x) \ ln (g (x)) + h (x) {\ frac {g '(x)} { g (x)}} {\ Bigg \}} = g (x) ^ {h (x)} \ gange {\ Bigg \ {} h '(x) \ ln (g (x)) + h (x) {\ frac {g '(x)} {g (x)}} {\ Bigg \}}.}$

Det samme resultat kan opnås ved at omskrive f i form af eksp og anvende kædereglen.

Se også

• Darboux-derivat
• Maurer – Cartan form
• Løgn gruppe
• Liste over emner for logaritme
• Liste over logaritmiske identiteter

Bemærkninger