Lebesgue integration - Lebesgue integration

Integralet af en positiv funktion kan tolkes som området under en kurve.

I matematik kan integralet af en ikke -negativ funktion af en enkelt variabel i det enkleste tilfælde betragtes som arealet mellem grafen for denne funktion og $x$ -aksen. Den Lebesgue integral , opkaldt efter franske matematiker Henri Lebesgue , udvider integral til en større klasse af funktioner. Det udvider også de domæner, som disse funktioner kan defineres på.

Længe før det 20. århundrede, matematikere allerede forstås, at for ikke-negative funktioner med en glat nok graf-såsom kontinuerte funktioner på lukkede bundne intervaller -den arealet under kurven kunne defineres som integralet, og beregnes ved hjælp af en tilnærmet på regionen ved polygoner . Efterhånden som behovet for at overveje mere uregelmæssige funktioner opstod - f.eks. Som følge af de begrænsende processer i matematisk analyse og den matematiske sandsynlighedsteori - blev det imidlertid klart, at der var behov for mere omhyggelige tilnærmelsesteknikker for at definere et passende integral. Man kunne også ønske at integrere på rum mere generelle end den virkelige linje. Lebesgue -integralen giver de nødvendige abstraktioner til dette.

Lebesgue -integralen spiller en vigtig rolle i sandsynlighedsteori , reel analyse og mange andre områder inden for matematik. Det er opkaldt efter Henri Lebesgue (1875–1941), der introducerede integralen ( Lebesgue 1904 ). Det er også en central del af den aksiomatiske sandsynlighedsteori .

Udtrykket Lebesgue-integration kan betyde enten den generelle teori om integration af en funktion med hensyn til en generel foranstaltning , som introduceret af Lebesgue, eller det specifikke tilfælde af integration af en funktion, der er defineret på et underdomæne i den reelle linje med hensyn til Lebesgue -foranstaltning .

Introduktion

Integralet af en positiv funktion $f$ mellem grænserne $a$ og $b$ kan tolkes som arealet under grafen $f$ . Dette er ligetil for funktioner som polynomier , men hvad betyder det for mere eksotiske funktioner? Generelt, for hvilken klasse af funktioner giver "område under kurven" mening? Svaret på dette spørgsmål har stor teoretisk og praktisk betydning.

Som en del af en generel bevægelse mod stringens i matematik i det nittende århundrede forsøgte matematikere at lægge en integreret beregning på et fast grundlag. Den Riemann integral -proposed af Bernhard Riemann (1826-1866) -er et bredt vellykket forsøg på at give et sådant fundament. Riemanns definition starter med konstruktionen af en sekvens af letberegnede områder, der konvergerer til integrationen af en given funktion. Denne definition er vellykket i den forstand, at den giver det forventede svar på mange allerede løste problemer og giver nyttige resultater for mange andre problemer.

Imidlertid interagerer Riemann -integration ikke godt med at tage grænser for sekvenser af funktioner, hvilket gør sådanne begrænsende processer vanskelige at analysere. Dette er for eksempel vigtigt i studiet af Fourier -serier , Fourier -transformationer og andre emner. Lebesgue -integralet er bedre i stand til at beskrive, hvordan og hvornår det er muligt at tage grænser under integraltegnet (via monoton konvergens sætning og domineret konvergens sætning ).

Mens Riemann -integralet betragter området under en kurve som lavet af lodrette rektangler, betragter Lebesgue -definitionen vandrette plader, der ikke nødvendigvis bare er rektangler, og derfor er det mere fleksibelt. Af denne grund gør Lebesgue -definitionen det muligt at beregne integraler for en bredere klasse af funktioner. For eksempel har Dirichlet -funktionen , som er 0, hvor dens argument er irrationel og 1 ellers, et Lebesgue -integral, men ikke har et Riemann -integral. Desuden er Lebesgue -integralen af denne funktion nul, hvilket stemmer overens med intuitionen om, at når man plukker et reelt tal ensartet tilfældigt fra enhedsintervallet, skal sandsynligheden for at vælge et rationelt tal være nul.

Lebesgue opsummerede sin tilgang til integration i et brev til Paul Montel :

Jeg skal betale et bestemt beløb, som jeg har samlet i lommen. Jeg tager regningerne og mønterne op af lommen og giver dem til kreditor i den rækkefølge, jeg finder dem, indtil jeg har nået det samlede beløb. Dette er Riemann -integralet. Men jeg kan gå anderledes frem. Efter at jeg har taget alle pengene op af lommen, bestiller jeg regninger og mønter efter identiske værdier, og derefter betaler jeg de flere bunker efter hinanden til kreditor. Dette er min integral.

- Kilde : ( Siegmund-Schultze 2008 )

Indsigten er, at man frit skal kunne omarrangere værdierne for en funktion, samtidig med at værdien af integralet bevares. Denne omlejringsproces kan omdanne en meget patologisk funktion til en, der er "pæn" set fra integrationssynspunktet og dermed lade sådanne patologiske funktioner integreres.

Intuitiv fortolkning

Riemann-Darboux's integration (i blå) og Lebesgue-integration (i rødt).

For at få noget intuition om de forskellige tilgange til integration, lad os forestille os, at vi ønsker at finde et bjergs volumen (over havets overflade).

Riemann – Darboux tilgangen: Opdel bunden af bjerget i et gitter på 1 meter firkanter. Mål bjergets højde i midten af hver firkant. Lydstyrken på et enkelt gitterfirkant er cirka 1 m ² × (kvadratets højde), så det samlede volumen er 1 m ² gange summen af højderne.

Lebesgue -tilgangen: Tegn et konturkort over bjerget, hvor tilstødende konturer er 1 meters højde fra hinanden. Volumenet indeholdt i en kontur er cirka 1 m × (konturens område), så det samlede volumen er summen af disse områder gange 1 m.

Folland opsummerer forskellen mellem Riemann- og Lebesgue -tilgange således: "for at beregne Riemann -integralet af $f$ , opdeler man domænet $[a, b]$ i subintervaller", mens man i Lebesgue -integralet "i realiteten opdeler området $f$ . "

En målbar funktion vises sammen med sættet (på x -aksen). Lebesgue -integralen opnås ved at skære langs y -aksen ved hjælp af det 1 -dimensionelle Lebesgue -mål til at måle "bredden" af skiverne.

{\ displaystyle \ {x: f (x)> t \}}

At definere Lebesgue integral kræver formelle forestilling om en foranstaltning , der groft, associates til hvert sæt $A$ af reelle tal et positivt tal $u (A)$ repræsenterer "størrelse" af $A$ . Denne opfattelse af "størrelse" bør stemme overens med den sædvanlige længde af et interval eller usammenhængende forening af intervaller. Antag at $f : R \to R +$ er en ikke-negativ realværdifunktion. Arealet af en lille vandret plade under grafen f , i højden dt , er lig med bredden af strimmel gange dt . Dette elementære område kan skrives som

{\ displaystyle \ mu \ venstre (\ {x \ midt f (x)> t \} \ højre) \, dt,}

og Lebesgue -integralen kan bestemmes ved at sammenlægge disse elementære områder.

Lebesgue (1904) konstruerer sin integral ved at afgrænse mellem øvre og nedre sum tilnærmelser til denne sum af elementære områder, på samme måde som Riemann - Darboux tilgangen. Dette svarer til moderne behandlinger via enkle funktioner . Alternativt kan Lebesgue -integralet defineres ved at tage en forkert Riemann -integral af elementarområderne.

Målteori

Målteori blev oprindeligt skabt for at give en nyttig abstraktion af forestillingen om længden af delmængder af den virkelige linje - og mere generelt areal og volumen af undersæt af euklidiske rum. Det gav især et systematisk svar på spørgsmålet om, hvilke undersæt af $R der$ har en længde. Som senere sætsteoriudviklinger viste (se ikke-målbart sæt ), er det faktisk umuligt at tildele en længde til alle undergrupper af $R$ på en måde, der bevarer nogle naturlige additivitet og translation invariance egenskaber. Dette tyder på, at det er en væsentlig forudsætning at vælge en passende klasse målbare undersæt.

Riemann -integralet bruger udtrykket længde eksplicit. Beregningselementet for Riemann -integralet er faktisk rektanglet $[a, b] \times [c, d]$ , hvis areal er beregnet til at være $(b - a) (d - c)$ . Mængden $b - a$ er længden af rektanglets bund og $d - c$ er rektangelets højde. Riemann kunne kun bruge plane rektangler til at tilnærme området under kurven, fordi der ikke var tilstrækkelig teori til måling af mere generelle sæt.

I udviklingen af teorien i de fleste moderne lærebøger (efter 1950) er tilgangen til måling og integration aksiomatisk . Dette betyder, at et mål er enhver funktion μ defineret på en bestemt klasse $X$ af undersæt af et sæt $E$ , som opfylder en bestemt egenskabsliste. Disse egenskaber kan vises i mange forskellige tilfælde.

Målbare funktioner

Vi starter med en foranstaltning rum $(E, X, μ)$ hvor $E$ er et sæt , $X$ er en σ-algebra af delmængder af $E$ , og μ er en (ikke negativ ) foranstaltning på $E$ defineret på sættene af $X$ .

For eksempel $E$ kan være euklidisk $n$ -space $R n$ eller nogle Lebesgue målelig delmængde af det, $X$ er σ-algebra af alle Lebesgue målelige delmængder af $E$ , og μ er Lebesguemålet. I den matematiske teori om sandsynlighed, vi begrænser vores undersøgelse til en sandsynlighed foranstaltning $μ$ , som tilfredsstiller $μ (E) = 1$ .

Lebesgue's teori definerer integraler for en klasse af funktioner kaldet målbare funktioner . En reelt værdsat funktion $f$ på $E$ kan måles, hvis forbilledet for hvert interval i formen $(t, \infty)$ er i $X$ :

{\ displaystyle \ {x \, \ mid \, f (x)> t \} \ i X \ quad \ forall t \ in \ mathbb {R}.}

Vi kan vise, at det svarer til at kræve, at den før-billede af enhver Borel delmængde af R være i $X$ . Sættet af målbare funktioner er lukket under algebraiske operationer, men endnu vigtigere er det lukket under forskellige former for punktvise sekventielle grænser :

{\ displaystyle \ sup _ {k \ in \ mathbb {N}} f_ {k}, \ quad \ liminf _ {k \ in \ mathbb {N}} f_ {k}, \ quad \ limsup _ {k \ in \ mathbb {N}} f_ {k}}

er målbare, hvis den originale sekvens $(f k) k$ , hvor $k \in N$ , består af målbare funktioner.

Der er flere metoder til at definere en integral:

{\ displaystyle \ int _ {E} f \, d \ mu = \ int _ {E} f \ venstre (x \ højre) \, d \ mu \ venstre (x \ højre)}

til målbare reelle funktioner $f$ defineret på $E$ .

Definition

Teorien om Lebesgue -integralet kræver en teori om målbare sæt og mål på disse sæt, samt en teori om målbare funktioner og integraler på disse funktioner.

Via enkle funktioner

Tilnærmelse af en funktion ved hjælp af enkle funktioner.

En tilgang til at konstruere Lebesgue-integralet er at gøre brug af såkaldte simple funktioner : begrænsede real-lineære kombinationer af indikatorfunktioner . For en målingsteori nybegynder giver denne konstruktion af Lebesgue -integralet mere intuitiv mening, når den sammenlignes med den måde, Riemann -sum bruges med definitionen/konstruktionen af Riemann -integralet . Enkle funktioner kan bruges til at tilnærme en målbar funktion ved at opdele området i lag. Integralet af en simpel funktion er lig med målingen af et givet lag, gange højden af dette lag. Integralet af en ikke-negativ generel målbar funktion defineres derefter som et passende overskud af tilnærmelser ved simple funktioner, og integralet af en (ikke nødvendigvis positiv) målbar funktion er forskellen mellem to integraler af ikke-negative målbare funktioner.

Indikatorfunktioner

For at tildele en værdi til integralet af indikatorfunktionen $1 S$ i et målbart sæt $S i$ overensstemmelse med det givne mål μ, er det eneste rimelige valg at indstille:

{\ displaystyle \ int 1_ {S} \, d \ mu = \ mu (S).}

Bemærk, at resultatet kan være lig med $+\infty$ , medmindre $μ$ er et begrænset mål.

Enkle funktioner

En endelig lineær kombination af indikatorfunktioner

{\ displaystyle \ sum _ {k} a_ {k} 1_ {S_ {k}}}

hvor koefficienterne $a k$ er reelle tal og $S k$ er uens målbare sæt, kaldes en målbar enkel funktion . Vi udvider integralet ved linearitet til ikke-negative målbare enkle funktioner. Når koefficienterne $a k$ er positive, sætter vi

{\ displaystyle \ int \ left (\ sum _ {k} a_ {k} 1_ {S_ {k}} \ right) \, d \ mu = \ sum _ {k} a_ {k} \ int 1_ {S_ { k}} \, d \ mu = \ sum _ {k} a_ {k} \, \ mu (S_ {k})}

om denne sum er endelig eller +∞. En simpel funktion kan skrives på forskellige måder som en lineær kombination af indikatorfunktioner, men integralet vil være det samme ved additivitet af mål.

Der er brug for en vis omhu, når man definerer integralet af en reelt værdsat enkel funktion, for at undgå det udefinerede udtryk $\infty-\infty$ : man antager, at repræsentationen

{\ displaystyle f = \ sum _ {k} a_ {k} 1_ {S_ {k}}}

er sådan, at $μ (S k) <\infty$ når $a k \neq 0$ . Så giver ovenstående formel for integralet af f mening, og resultatet afhænger ikke af den særlige repræsentation af $f, der$ opfylder antagelserne.

Hvis $B$ er en målbar delmængde af $E$ og $s$ er en målelig enkel funktion, man definerer

{\ displaystyle \ int _ {B} s \, d \ mu = \ int 1_ {B} \, s \, d \ mu = \ sum _ {k} a_ {k} \, \ mu (S_ {k} \ cap B).}

Ikke-negative funktioner

Lad $f$ være en ikke-negativ målbar funktion på $E$ , som vi tillader at opnå værdien $+\infty$ , med andre ord, $f$ tager ikke-negative værdier i den udvidede reelle talelinje . Vi definerer

{\ displaystyle \ int _ {E} f \, d \ mu = \ sup \ left \ {\, \ int _ {E} s \, d \ mu: 0 \ leq s \ leq f, \ s \ {\ tekst {enkel}} \, \ højre \}.}

Vi er nødt til at vise, at dette integral falder sammen med det foregående, defineret på sættet med enkle funktioner, når E er et segment [ a , b ]. Der er også spørgsmålet om, hvorvidt dette på nogen måde svarer til en Riemann -opfattelse af integration. Det er muligt at bevise, at svaret på begge spørgsmål er ja.

Vi har defineret integralet af f for enhver ikke-negativ udvidet real-værdsat målbar funktion på E . For nogle funktioner er denne integrale $\int E f dμ$ uendelig.

Det er ofte nyttigt at have en bestemt sekvens af enkle funktioner, der tilnærmer Lebesgue -integralbrønden (analogt med en Riemann -sum). For en ikke-negativ målbar funktion $f$ , lad være den simple funktion, hvis værdi er når som helst , for k et ikke-negativt heltal mindre end (siger) . Så kan det bevises direkte, at ${\ displaystyle s_ {n} (x)}$ ${\ displaystyle k/2^{n}}$ ${\ displaystyle k/2^{n} \ leq f (x) <(k+1)/2^{n}}$ ${\ displaystyle 4^{n}}$

{\ displaystyle \ int f \, d \ mu = \ lim _ {n \ to \ infty} \ int s_ {n} \, d \ mu}

og at grænsen på højre side eksisterer som et udvidet reelt tal. Dette bygger bro over forbindelsen mellem tilgangen til Lebesgue -integralet ved hjælp af enkle funktioner og motivationen for Lebesgue -integralet ved hjælp af en opdeling af området.

Signerede funktioner

For at håndtere signerede funktioner har vi brug for et par flere definitioner. Hvis $f$ er en målelig funktion af sættet $E$ til realerne (inklusive $\pm \infty$ ), så kan vi skrive

{\ displaystyle f = f^{+}-f^{-},}

hvor

{\ displaystyle f^{+} (x) = {\ begin {cases} f (x) & {\ text {if}} f (x)> 0 \\ 0 & {\ text {ellers}} \ end {cases }}}

{\ displaystyle f^{-} (x) = {\ begin {cases} -f (x) & {\ text {if}} f (x) <0 \\ 0 & {\ text {ellers}} \ end { sager}}}

Bemærk, at både $f +$ og $f -$ er ikke-negative målbare funktioner. Bemærk også det

{\ displaystyle | f | = f^{+}+f^{-}. \ quad}

Vi siger, at Lebesgue -integralet af den målbare funktion $f$ eksisterer , eller er defineret, hvis mindst en af og er endelig: ${\ textstyle \ int f^{+} \, d \ mu}$ ${\ textstyle \ int f^{-} \, d \ mu}$

{\ displaystyle \ min \ venstre (\ int f^{+} \, d \ mu, \ int f^{-} \, d \ mu \ right) <\ infty.}

I dette tilfælde definerer vi

{\ displaystyle \ int f \, d \ mu = \ int f^{+} \, d \ mu -\ int f^{ -} \, d \ mu.}

Hvis

{\ displaystyle \ int | f | \, d \ mu <\ infty,}

vi siger, at $f$ er Lebesgue -integrerbar .

Det viser sig, at denne definition giver integralets ønskelige egenskaber.

Via forkert Riemann -integral

Forudsat at det er målbart og ikke-negativt, funktionen ${\ displaystyle f}$

{\ displaystyle f^{*} (t) \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ \ mu \ venstre (\ {x \ i E \ midt f (x)> t \} \ højre ).}

er monotont ikke-stigende. Lebesgue -integralet kan derefter defineres som det ukorrekte Riemann -integral af : ${\ displaystyle f^{*}}$

{\ displaystyle \ int _ {E} f \, d \ mu \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ \ int _ {0}^{\ infty} f^{*} (t) \, dt.}

Denne integral er forkert på og (muligvis) også på nul. Den eksisterer, med den tilladelse at den kan være uendelig. ${\ displaystyle \ infty}$

Som ovenfor defineres integralen af en Lebesgue-integrerbar (ikke nødvendigvis ikke-negativ) funktion ved at trække integralen af dens positive og negative dele fra.

Komplekse værdsatte funktioner

Komplekse værdiansatte funktioner kan integreres på samme måde ved at overveje den virkelige del og den imaginære del separat.

Hvis h = f + ig for reelt værdsatte integrerbare funktioner f , g , så er integralet af h defineret af

{\ displaystyle \ int h \, d \ mu = \ int f \, d \ mu +i \ int g \, d \ mu.}

Funktionen er Lebesgue -integrerbar, hvis og kun hvis dens absolutte værdi er Lebesgue -integrerbar (se Absolut integrerbar funktion ).

Eksempel

Overvej indikatorfunktionen for de rationelle tal, $1 Q$ , også kendt som Dirichlet -funktionen. Denne funktion er ingen steder kontinuerlig .

${\ displaystyle 1 _ {\ mathbf {Q}}}$ er ikke Riemann-integrerbar på $[0, 1]$ : Uanset hvordan sættet $[0, 1]$ er opdelt i underintervaller, indeholder hver partition mindst et rationelt og mindst et irrationelt tal, fordi rationale og irrationelle begge er tætte i reals. Således er de øvre Darboux -summer alle et, og de nederste Darboux -summer er alle nul.
${\ displaystyle 1 _ {\ mathbf {Q}}}$ er Lebesgue-integrerbar på $[0, 1]$ ved hjælp af Lebesgue-målingen : Faktisk er det rationals indikatorfunktion, så pr. definition ${\ displaystyle \ int _ {[0,1]} 1 _ {\ mathbf {Q}} \, d \ mu = \ mu (\ mathbf {Q} \ cap [0,1]) = 0,}$ fordi $Q$ kan tælles .

Integrationsdomæne

Et teknisk problem i Lebesgue -integration er, at integrationsdomænet er defineret som et sæt (en delmængde af et målerum), uden begrebet orientering. I elementær beregning definerer man integration med hensyn til en orientering :

{\ displaystyle \ int _ {b}^{a} f: =-\ int _ {a}^{b} f.}

Generalisering af dette til højere dimensioner giver integration af differentielle former . Derimod giver Lebesgue -integration en alternativ generalisering, der integreres over delmængder med hensyn til en foranstaltning; dette kan noteres som

{\ displaystyle \ int _ {A} f \, d \ mu = \ int _ {[a, b]} f \, d \ mu}

at indikere integration over en delmængde $A$ . For detaljer om forholdet mellem disse generaliseringer, se Differentiel form § Forhold til foranstaltninger .

Begrænsninger for Riemann -integralet

Med fremkomsten af Fourier -serien opstod der mange analytiske problemer med integraler, hvis tilfredsstillende løsning krævede udskiftning af grænseprocesser og integrale tegn. Dog under hvilke betingelser integralerne

{\ displaystyle \ sum _ {k} \ int f_ {k} (x) dx, \ quad \ int \ left [\ sum _ {k} f_ {k} (x) \ right] dx}

er lige vist sig ganske undvigende i Riemann -rammerne. Der er nogle andre tekniske vanskeligheder med Riemann -integralet. Disse er forbundet med de ovenfor nævnte vanskeligheder med at tage grænser.

Manglende monoton konvergens . Som vist ovenfor er indikatorfunktionen $1 Q$ på rationalerne ikke Riemann -integrerbar. Især mislykkes den monotone konvergenssætning . For at se hvorfor, lad ${a k}$ være en optælling af alle de rationelle tal i $[0, 1]$ (de kan tælles, så dette kan gøres.) Lad derefter

{\ displaystyle g_ {k} (x) = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} x = a_ {j}, j \ leq k \\ 0 & {\ text {ellers}} \ \ end {cases }}}

Funktionen $g k$ er nul overalt, undtagen på et begrænset sæt punkter. Derfor er dets Riemann -integral nul. Hver $g k$ er ikke-negativ, og denne sekvens af funktioner er monotont stigende, men dens grænse som $k \to \infty$ er $1 Q$ , hvilket ikke er Riemann-integrerbar.

Uegnet til ubegrænsede intervaller . Riemann -integralet kan kun integrere funktioner på et afgrænset interval. Det kan dog udvides til ubegrænsede intervaller ved at tage grænser, så længe dette ikke giver et svar som $\infty - \infty$ .

Integration på andre strukturer end det euklidiske rum . Riemann -integralet er uløseligt forbundet med ordens opbygning af den reelle linje.

Grundlæggende sætninger i Lebesgue -integralet

To funktioner siges at være lige stort set overalt ( for kort), hvis det er en delmængde af et null -sæt . ${\ displaystyle f \ {\ stackrel {\ text {ae}} {=}} \ g}$ ${\ displaystyle \ {x \ mid f (x) \ neq g (x) \}}$

Sættets målbarhed er ikke påkrævet. ${\ displaystyle \ {x \ mid f (x) \ neq g (x) \}}$

Hvis $f, g$ er ikke-negative målbare funktioner (muligvis antaget værdien $+\infty$ ), så $f = g$ næsten overalt, så ${\ displaystyle \ int f \, d \ mu = \ int g \, d \ mu.}$ Integralen respekterer for eksempel ligestillingsforholdet mellem næsten overalt ligestilling.
Hvis $f, g$ er funktioner sådan, at $f = g$ næsten overalt, så er $f$ Lebesgue -integrerbar, hvis og kun hvis $g$ er Lebesgue -integrerbar, og integralerne af $f$ og $g$ er de samme, hvis de findes.
Linearitet : Hvis $f$ og $g$ er Lebesgue -integrerbare funktioner og $a$ og $b$ er reelle tal, så er $af + bg$ Lebesgue -integrerbar og ${\ displaystyle \ int (af +bg) \, d \ mu = a \ int f \, d \ mu +b \ int g \, d \ mu.}$
Monotonicitet : Hvis $f \leq g$ , så ${\ displaystyle \ int f \, d \ mu \ leq \ int g \, d \ mu.}$
Lad være et målrum. Betegne den -algebra af Borel sæt på . (Per definition indeholder sættet og alle Borel -undergrupper af .) Overvej en -målig ikke -negativ funktion . For et sæt , definer ${\ displaystyle (\ Omega, \ Sigma, \ mu)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}}}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle [0,+\ infty]}$ ${\ displaystyle \ operatorname {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}}}$ ${\ displaystyle \ {+\ infty \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {\ geq 0}}$ ${\ displaystyle (\ Sigma, \ operatorname {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}})}$ ${\ displaystyle s: \ Omega \ til [0,+\ infty]}$ ${\ displaystyle S \ in \ Sigma}$ ${\ displaystyle \ nu (S) = \ int _ {S} s \, d \ mu.}$ Så er en Lebesgue -foranstaltning på . ${\ displaystyle \ nu}$ ${\ displaystyle (\ Omega, \ Sigma)}$
Monoton konvergens sætning : Antag at ${f k} k \in N$ er en sekvens af ikke-negative målbare funktioner, således at ${\ displaystyle f_ {k} (x) \ leq f_ {k+1} (x) \ quad \ forall k \ in \ mathbb {N}, \, \ forall x \ i E.}$ Derefter er den punktvise grænse $f$ for $f k$ Lebesgue -målbar og ${\ displaystyle \ lim _ {k} \ int f_ {k} \, d \ mu = \ int f \, d \ mu.}$ Værdien af en hvilken som helst af integralerne må være uendelig.
Fatous lemma : Hvis ${f k} k \in N$ er en sekvens af ikke-negative målbare funktioner, så ${\ displaystyle \ int \ liminf _ {k} f_ {k} \, d \ mu \ leq \ liminf _ {k} \ int f_ {k} \, d \ mu.}$ Igen kan værdien af en hvilken som helst af integralerne være uendelig.
Domineret konvergens sætning : Antag at ${f k} k \in N$ er en sekvens af komplekse målbare funktioner med punktvis grænse $f$ , og der er en Lebesgue integrerbar funktion $g$ (dvs. $g$ tilhører $rummet L 1),$ således at $| f k | \leq g$ for alle $k$ .
Så er $f$ Lebesgue integrerbar og ${\ displaystyle \ lim _ {k} \ int f_ {k} \, d \ mu = \ int f \, d \ mu.}$

Alternative formuleringer

Det er muligt at udvikle integralet med hensyn til Lebesgue -målingen uden at stole på det fulde maskineri af målteori. En sådan tilgang leveres af Daniell -integralet .

Der er også en alternativ tilgang til at udvikle integrationsteorien via metoder til funktionel analyse . Riemann -integralet findes for enhver kontinuerlig funktion $f$ af kompakt understøttelse defineret på $R n$ (eller et fast åbent undersæt). Integraler med mere generelle funktioner kan bygges ud fra disse integraler.

Lad $C c$ være rummet af alle reelle værdsat kompakt understøttede kontinuerte funktioner af R . Definer en norm på $C c$ ved

{\ displaystyle \ left \ | f \ right \ | = \ int | f (x) | \, dx.}

Derefter er $C c$ et normeret vektorrum (og især er det et metrisk rum.) Alle metriske rum har Hausdorff -kompletteringer , så lad $L 1$ være dets færdiggørelse. Dette rum er isomorft i forhold til rummet i Lebesgue -integrerbare funktioner modulerer underrummet af funktioner med integreret nul. Desuden er Riemann -integralet $\int$ en ensartet kontinuerlig funktion med hensyn til normen på $C c$ , som er tæt i $L 1$ . Derfor har $\int$ en unik udvidelse til hele $L 1$ . Denne integral er netop Lebesgue -integralen.

Mere generelt, når målerummet, som funktionerne er defineret på, også er et lokalt kompakt topologisk rum (som det er tilfældet med de reelle tal R ), målinger, der er kompatible med topologien i passende forstand ( Radon -målinger , hvoraf Lebesgue måler er et eksempel) en integral med hensyn til dem kan defineres på samme måde, ud fra integralerne i kontinuerlige funktioner med kompakt understøttelse . Mere præcist danner de kompakt understøttede funktioner et vektorrum, der bærer en naturlig topologi , og et (Radon) mål er defineret som en kontinuerlig lineær funktion på dette rum. Værdien af et mål ved en kompakt understøttet funktion er da også pr. Definition integrationen af funktionen. Man fortsætter derefter med at udvide målingen (integralet) til mere generelle funktioner ved kontinuitet og definerer mål for et sæt som integralet af dets indikatorfunktion. Dette er den tilgang, Bourbaki (2004) og et vist antal andre forfattere har taget. For detaljer se Radon -målinger .

Begrænsninger for Lebesgue -integralet

Hovedformålet med Lebesgue -integralet er at tilvejebringe en integreret forestilling, hvor grænser for integraler holder under milde antagelser. Der er ingen garanti for, at hver funktion er Lebesgue -integrerbar. Men det kan ske, at der findes ukorrekte integraler for funktioner, der ikke er Lebesgue -integrerbare. Et eksempel ville være sinc -funktionen :

{\ displaystyle {\ frac {\ sin (x)} {x}}}

over hele den reelle linje. Denne funktion er ikke Lebesgue -integrerbar, som

{\ displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ left | {\ frac {\ sin (x)} {x}} \ right | dx = \ infty.}

På den anden side eksisterer det som et forkert integral og kan beregnes til at være begrænset; det er to gange Dirichlet -integralet .

{\ textstyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} dx}

Se også

Henri Lebesgue , for en ikke-teknisk beskrivelse af Lebesgue-integration
Nul sæt
Integration
Måle
Sigma-algebra
Lebesgue plads
Lebesgue – Stieltjes integration
Riemann integreret
Henstock – Kurzweil integreret

Noter

Referencer

Bartle, Robert G. (1995). Elementerne i integration og Lebesgue måler . Wiley Classics Library. New York: John Wiley & Sons Inc. xii+179. ISBN 0-471-04222-6. MR 1312157 .
Bauer, Heinz (2001). Måling og integrationsteori . De Gruyter Studies in Mathematics 26. Berlin: De Gruyter. 236. ISBN 978-3-11-016719-1.
Bourbaki, Nicolas (2004). Integration. I. Kapitel 1–6. Oversat fra 1959, 1965 og 1967 franske originaler af Sterling K. Berberian . Elements of Mathematics (Berlin). Berlin: Springer-Verlag. xvi+472. ISBN 3-540-41129-1. MR 2018901 .
Dudley, Richard M. (1989). Virkelig analyse og sandsynlighed . Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series. Pacific Grove, CA: Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software. xii+436. ISBN 0-534-10050-3. MR 0982264 . Meget grundig behandling, især for probabilister med gode noter og historiske referencer.
Folland, Gerald B. (1999). Virkelig analyse: Moderne teknikker og deres anvendelser . Ren og anvendt matematik (New York) (Anden udgave). New York: John Wiley & Sons Inc. xvi+386. ISBN 0-471-31716-0. MR 1681462 .
Halmos, Paul R. (1950). Målteori . New York, NY: D. Van Nostrand Company, Inc. s. Xi+304. MR 0033869 . En klassisk, dog lidt dateret præsentation.
"Lebesgue integral" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Lebesgue, Henri (1904). "Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives". Paris: Gauthier-Villars. Citer journal kræver |journal=( hjælp )
Lebesgue, Henri (1972). Oeuvres scientifiques (en cinq volumes) (på fransk). Genève: Institut de Mathématiques de l'Université de Genève. s. 405. MR 0389523 .
Lieb, Elliott ; Loss, Michael (2001). Analyse . Kandidatstudier i matematik . 14 (2. udgave). American Mathematical Society . ISBN 978-0821827833.
Loomis, Lynn H. (1953). En introduktion til abstrakt harmonisk analyse . Toronto-New York-London: D. Van Nostrand Company, Inc. s. X+190. MR 0054173 . Inkluderer en præsentation af Daniell -integralet.
Marsden (1974), Elementary classic analysis , WH Freeman.
Munroe, ME (1953). Introduktion til måling og integration . Cambridge, Mass .: Addison-Wesley Publishing Company Inc. s. X+310. MR 0053186 . God behandling af teorien om ydre mål.
Royden, HL (1988). Virkelig analyse (tredje udgave). New York: Macmillan Publishing Company. s. xx+444. ISBN 0-02-404151-3. MR 1013117 .
Rudin, Walter (1976). Principper for matematisk analyse . International serie i ren og anvendt matematik (tredje udgave). New York: McGraw-Hill Book Co. s. X+342. MR 0385023 . Kendt som Little Rudin , indeholder det grundlæggende i Lebesgue -teorien, men behandler ikke materiale som Fubinis sætning .
Rudin, Walter (1966). Virkelig og kompleks analyse . New York: McGraw-Hill Book Co. s. Xi+412. MR 0210528 .Kendt som Big Rudin . En komplet og omhyggelig præsentation af teorien. God præsentation af Riesz -udvidelsessætningerne. Der er imidlertid en mindre fejl (i den første udgave) i beviset på en af udvidelsessætningerne, hvis opdagelse udgør øvelse 21 i kapitel 2.
Saks, Stanisław (1937). Teorien om integralen . Monografi Matematyczne . 7 (2. udgave). Warszawa - Lwów : GE Stechert & Co. JFM 63.0183.05 . Zbl 0017.30004 .. Engelsk oversættelse af Laurence Chisholm Young , med yderligere to noter af Stefan Banach .
Shilov, GE; Gurevich, BL (1977). Integreret, mål og afledt: en samlet tilgang. Oversat fra russisk og redigeret af Richard A. Silverman . Dover -bøger om avanceret matematik. New York: Dover Publications Inc. xiv+233. ISBN 0-486-63519-8. MR 0466463 .Fremhæver Daniell -integralen .
Siegmund-Schultze, Reinhard (2008), "Henri Lebesgue", i Timothy Gowers; June Barrow-Green; Imre Leader (red.), Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press.
Teschl, Gerald . Emner i reel og funktionel analyse . (forelæsningsnotater).
Yeh, James (2006). Real Analysis: Theory of Measure and Integral 2nd. Edition Paperback . Singapore: World Scientific Publishing Company Pte. Ltd. s. 760. ISBN 978-981-256-6.

Languages

In other projects