Binomial-serien - Binomial series

En del af en serie artikler om
Calculus
Grundlæggende sætning Leibniz integreret regel Funktionsgrænser Kontinuitet Gennemsnitlig værdi sætning Rolle's sætning
Differentiale Definitioner Afledte  ( generaliseringer ) Differentiale uendelig af en funktion Total Begreber Differentieringsnotation Andet afledt Implicit differentiering Logaritmisk differentiering Relaterede priser Taylors sætning Regler og identiteter Sum Produkt Kæde Strøm Kvotient L'Hôpitals regel Omvendt General Leibniz Faà di Brunos formel
Integreret Lister over integraler Integreret transformation Definitioner Antiderivativ Integreret  ( forkert ) Riemann integreret Lebesgue integration Konturintegration Integreret af inverse funktioner Integration af Dele Skiver Cylindriske skaller Substitution  ( trigonometrisk , Weierstrass , Euler ) Eulers formel Delvise fraktioner Ændrer rækkefølge Reduktionsformler Differentiering under det integrerede tegn Risch algoritme
Serie Geometrisk  ( aritmetisk-geometrisk ) Harmonisk Skiftende Strøm Binomial Taylor Konvergens test Summand limit (term test) Forhold Rod Integreret Direkte sammenligning Begræns sammenligning Skiftende serier Cauchy kondens Dirichlet Abel
Vektor Gradient Divergens Krølle Laplacian Retningsafledt Identiteter Sætninger Gradient Green's Stokes ' Divergens generaliserede Stokes
Multivariabel Formalismer Matrix Tensor Ydre Geometrisk Definitioner Delvis afledt Flere integrerede Linje integreret Overflade integreret Volumen integreret Jacobian Hessian
Specialiseret Brøk Malliavin Stokastisk Variationer
Diverse Precalculus Historie Ordliste Liste over emner Integrationsbi Analyse
v t e

I matematik , den binomiale serien er Taylor serie for funktionen givet ved hvor er et vilkårligt komplekst tal og | x | <1. Eksplicit ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f (x) = (1 + x) ^ {\ alpha},}$${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} (1 + x) ^ {\ alpha} & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \; {\ binom {\ alpha} {k}} \; x ^ {k} \\ & = 1+ \ alpha x + {\ frac {\ alpha (\ alpha -1)} {2!}} x ^ {2} + {\ frac {\ alpha (\ alpha -1) ( \ alpha -2)} {3!}} x ^ {3} + \ cdots, \ end {justeret}}}$

( 1 )

og binomial-serien er motorserien på højre side af ( 1 ), udtrykt i form af de (generaliserede) binomiale koefficienter

${\ displaystyle {\ binom {\ alpha} {k}}: = {\ frac {\ alpha (\ alpha -1) (\ alpha -2) \ cdots (\ alpha -k + 1)} {k!}} .}$

Særlige tilfælde

Hvis α er et ikke-negativt heltal  n , er ( n  + 2) 2. udtryk og alle senere udtryk i serien 0, da hver indeholder en faktor ( n  -  n ); således er serien i dette tilfælde endelig og giver den algebraiske binomiale formel .

Den følgende variant gælder for vilkårlig kompleks  β , men er især nyttig til håndtering af negative heltal eksponenter i ( 1 ):

${\ displaystyle {\ frac {1} {(1-z) ^ {\ beta +1}}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {k + \ beta \ vælg k} z ^ {k }.}$

For at bevise det skal du erstatte x  = - z i ( 1 ) og anvende den binomiale koefficientidentitet

${\ displaystyle {\ binom {- \ beta -1} {k}} = (- 1) ^ {k} {\ binom {k + \ beta} {k}}.}$

Konvergens

Betingelser for konvergens

Hvorvidt ( 1 ) konvergerer afhænger af værdierne for de komplekse tal α og  x . Mere præcist:

1. Hvis | x | <1 , konvergerer serien absolut for ethvert komplekst tal α .
2. Hvis | x | = 1 , serien konvergerer absolut, hvis og kun hvis enten Re ( α )> 0 eller α = 0 , hvor Re ( α ) betegner den reelle del af α .
3. Hvis | x | = 1 og x ≠ −1 , serien konvergerer, hvis og kun hvis Re ( α )> −1 .
4. Hvis x = −1 , konvergerer serien, hvis og kun hvis enten Re ( α )> 0 eller α = 0 .
5. Hvis | x | > 1 divergerer serien , medmindre α er et ikke-negativt heltal (i hvilket tilfælde serien er en endelig sum).

Navnlig hvis ikke er et ikke-negativt heltal, situationen ved grænsen af skiven af konvergens , , opsummeres som følger: ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle | x | = 1}$

• Hvis Re ( α )> 0 , konvergerer serien absolut.
• Hvis −1 <Re ( α ) ≤ 0 , konvergerer serien betinget, hvis x ≠ −1 og divergerer, hvis x = −1 .
• Hvis Re ( α ) ≤ −1 , adskiller serien sig.

Identiteter, der skal bruges i beviset

Følgende hold for ethvert komplekst tal  α :

${\ displaystyle {\ alpha \ vælg 0} = 1,}$

${\ displaystyle {\ alpha \ vælg k + 1} = {\ alpha \ vælg k} \, {\ frac {\ alpha -k} {k + 1}},}$

( 2 )

${\ displaystyle {\ alpha \ vælg k-1} + {\ alpha \ vælg k} = {\ alpha +1 \ vælg k}.}$

( 3 )

Medmindre et ikke-negativt heltal (i hvilket tilfælde binomialkoefficienterne forsvinder, som er større end ), er et nyttigt asymptotisk forhold for binomialkoefficienterne i Landau-notation : ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle {\ alpha \ vælg k} = {\ frac {(-1) ^ {k}} {\ Gamma (- \ alpha) k ^ {1+ \ alpha}}} \, (1 + o (1 )), \ quad {\ text {as}} k \ to \ infty.}$

( 4 )

Dette svarer i det væsentlige til Eulers definition af Gamma-funktionen :

${\ displaystyle \ Gamma (z) = \ lim _ {k \ to \ infty} {\ frac {k! \; k ^ {z}} {z \; (z + 1) \ cdots (z + k)} },}$

og indebærer straks de grovere grænser

${\ displaystyle {\ frac {m} {k ^ {1+ \ operatorname {Re} \, \ alpha}}} \ leq \ left | {\ alpha \ vælg k} \ right | \ leq {\ frac {M} {k ^ {1+ \ operatorname {Re} \ alpha}}},}$

( 5 )

for nogle positive konstanter m og M .

Formel ( 2 ) for den generelle binomiale koefficient kan omskrives som

${\ displaystyle {\ alpha \ select k} = \ prod _ {j = 1} ^ {k} \ left ({\ frac {\ alpha +1} {j}} - 1 \ right).}$

( 6 )

Bevis

For at bevise (i) og (v) skal du anvende forholdstesten og bruge formlen ( 2 ) ovenfor for at vise, at når som helst ikke er et ikke-negativt heltal, er konvergensradien nøjagtigt 1. Del (ii) følger af formel ( 5 ), ved sammenligning med p -serierne${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \; {\ frac {1} {k ^ {p}}},}$

med . For at bevise (iii) skal du først bruge formel ( 3 ) til at opnå ${\ displaystyle p = 1 + \ operatorname {Re} \ alpha}$

${\ displaystyle (1 + x) \ sum _ {k = 0} ^ {n} \; {\ alpha \ vælg k} \; x ^ {k} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ ; {\ alpha +1 \ vælg k} \; x ^ {k} + {\ alpha \ vælg n} \; x ^ {n + 1},}$

( 7 )

og brug derefter (ii) og formel ( 5 ) igen for at bevise konvergens af højre side, når det antages. På den anden side konvergerer ikke serien, hvis og igen med formlen ( 5 ). Alternativt kan vi konstatere, at for alle , . Således med formel ( 6 ) for alle . Dette fuldender beviset for (iii). Med henvisning til (iv) bruger vi identitet ( 7 ) ovenfor med og i stedet for sammen med formel ( 4 ) for at opnå ${\ displaystyle \ operatorname {Re} \ alpha> -1}$${\ displaystyle | x | = 1}$${\ displaystyle \ operatorname {Re} \ alpha \ leq -1}$${\ displaystyle j}$${\ textstyle \ left | {\ frac {\ alpha +1} {j}} - 1 \ right | \ geq 1 - {\ frac {\ operatorname {Re} \ alpha +1} {j}} \ geq 1}$${\ textstyle k, \ left | {\ alpha \ vælg k} \ right | \ geq 1}$${\ displaystyle x = -1}$${\ displaystyle \ alpha -1}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} \; {\ alpha \ vælg k} \; (- 1) ^ {k} = {\ alpha -1 \ vælg n} \; (- 1) ^ {n} = {\ frac {1} {\ Gamma (- \ alpha +1) n ^ {\ alpha}}} (1 + o (1))}$

som . Påstand (iv) følger nu af sekvensens asymptotiske opførsel . (Netop, sikkert konvergerer til hvis og divergerer til hvis If. , Så konvergerer, hvis og kun hvis sekvensen konvergerer , hvilket er sikkert rigtigt, hvis men falsk, hvis : i sidstnævnte tilfælde er sekvensen tætte , skyldes det faktum, at divergerer og konvergerer til nul). ${\ displaystyle n \ to \ infty}$${\ displaystyle n ^ {- \ alpha} = e ^ {- \ alpha \ log (n)}}$${\ displaystyle \ left | e ^ {- \ alpha \ log n} \ right | = e ^ {- \ operatorname {Re} \ alpha \, \ log n}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle \ operatorname {Re} \ alpha> 0}$${\ displaystyle + \ infty}$${\ displaystyle \ operatorname {Re} \ alpha <0}$${\ displaystyle \ operatorname {Re} \ alpha = 0}$${\ displaystyle n ^ {- \ alpha} = e ^ {- i \ operatorname {Im} \ alpha \ log n}}$${\ displaystyle \ operatorname {Im} \ alpha \ log n}$${\ displaystyle {\ bmod {2 \ pi}}}$${\ displaystyle \ alpha = 0}$${\ displaystyle \ operatorname {Im} \ alpha \ neq 0}$${\ displaystyle {\ bmod {2 \ pi}}}$${\ displaystyle \ log n}$${\ displaystyle \ log (n + 1) - \ log n}$

Sammenfatning af binomierserien

Det sædvanlige argument for at beregne summen af ​​binomierserien går som følger. At differentiere termomæssigt binomialserien inden for konvergensdisken x | <1 og ved at bruge formel ( 1 ) har man, at summen af ​​serien er en analytisk funktion, der løser den almindelige differentialligning (1 +  x ) u '( x ) = αu ( x ) med startdata u (0) = 1 Den unikke løsning på dette problem er funktionen u ( x ) = (1 +  x ) ^α , som derfor er summen af ​​binomierserien, i det mindste for | x | <1. Ligestillingen strækker sig til | x | = 1 hver gang serien konvergerer som en konsekvens af Abels sætning og ved kontinuitet af (1 +  x ) ^α .

Historie

De første resultater vedrørende binomierserier for andre end positive heltal eksponenter blev givet af Sir Isaac Newton i undersøgelsen af områder, der var lukket under visse kurver. John Wallis byggede på dette arbejde ved at overveje udtryk med formen y = (1 - x ² ) ^m, hvor m er en brøkdel. Han fandt, at (skrevet i moderne termer) de successive koefficienter c _k af (- x ² ) ^k skal findes ved at gange den foregående koefficient medm - ( k - 1)/k(som i tilfældet med heltalsexponenter), derved implicit giver en formel for disse koefficienter. Han skriver eksplicit følgende eksempler

${\ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {1/2} = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2}} - {\ frac {x ^ {4}} {8}} - {\ frac {x ^ {6}} {16}} \ cdots}$

${\ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {3/2} = 1 - {\ frac {3x ^ {2}} {2}} + {\ frac {3x ^ {4}} {8}} + {\ frac {x ^ {6}} {16}} \ cdots}$

${\ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {1/3} = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {3}} - {\ frac {x ^ {4}} {9}} - {\ frac {5x ^ {6}} {81}} \ cdots}$

Binomial-serien kaldes derfor undertiden Newtons binomiale sætning . Newton giver intet bevis og er ikke eksplicit om seriens karakter. Senere, 1826, diskuterede Niels Henrik Abel emnet i et papir, der blev offentliggjort på Crelle's Journal , hvor han især behandlede spørgsmål om konvergens.

Se også

• Binomial tilnærmelse
• Binomial sætning
• Tabel over newtonske serier

Fodnoter

Bemærkninger

Citater

Referencer

• Abel, Niels (1826), "Recherches sur la série 1 + (m / 1) x + (m (m-1) /1.2) x ² + (m (m-1) (m-2) /1.2.3 ) x ³ + ... " , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1 : 311–339
• Coolidge, JL (1949), "The Story of the Binomial Theorem", The American Mathematical Monthly , 56 (3): 147–157, doi : 10.2307 / 2305028 , JSTOR  2305028

eksterne links

• Weisstein, Eric W. "Binomial Series" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Binomial sætning" . MathWorld .
• binomialformel på PlanetMath .
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Binomial series" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press