Rodtest - Root test

En del af en serie artikler om
Calculus
Grundlæggende sætning Leibniz integreret regel Funktionsgrænser Kontinuitet Gennemsnitlig værdi sætning Rolle's sætning
Differentiale Definitioner Afledte  ( generaliseringer ) Differentiale uendelig af en funktion Total Begreber Differentieringsnotation Andet afledt Implicit differentiering Logaritmisk differentiering Relaterede priser Taylors sætning Regler og identiteter Sum Produkt Kæde Strøm Kvotient L'Hôpitals regel Omvendt General Leibniz Faà di Brunos formel
Integreret Lister over integraler Integreret transformation Definitioner Antiderivativ Integreret  ( forkert ) Riemann integreret Lebesgue integration Konturintegration Integreret af inverse funktioner Integration af Dele Skiver Cylindriske skaller Substitution  ( trigonometrisk , Weierstrass , Euler ) Eulers formel Delvise fraktioner Ændrer rækkefølge Reduktionsformler Differentiering under det integrerede tegn Risch algoritme
Serie Geometrisk  ( aritmetisk-geometrisk ) Harmonisk Skiftende Strøm Binomial Taylor Konvergens test Summand limit (term test) Forhold Rod Integreret Direkte sammenligning Begræns sammenligning Skiftende serier Cauchy kondens Dirichlet Abel
Vektor Gradient Divergens Krølle Laplacian Retningsafledt Identiteter Sætninger Gradient Green's Stokes ' Divergens generaliserede Stokes
Multivariabel Formalismer Matrix Tensor Ydre Geometrisk Definitioner Delvist afledt Flere integraler Linje integreret Overflade integreret Volumen integreret Jacobian Hessian
Specialiseret Fraktioneret Malliavin Stokastisk Variationer
Diverse Precalculus Historie Ordliste Liste over emner Integrationsbi
v t e

I matematik er rodtesten et kriterium for konvergens (en konvergens test ) af en uendelig serie . Det afhænger af mængden

${\ displaystyle \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}$

hvor er vilkårene for serien og siger, at serien konvergerer absolut, hvis denne mængde er mindre end en, men afviger, hvis den er større end en. Det er især nyttigt i forbindelse med power-serier . ${\ displaystyle a_ {n}}$

Grundtestforklaring

Rodtesten blev først udviklet af Augustin-Louis Cauchy, der offentliggjorde den i sin lærebog Cours d'analyse (1821). Således er det undertiden kendt som Cauchy-rodtesten eller Cauchys radikale test . For en serie

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}.}$

rodtesten bruger nummeret

${\ displaystyle C = \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}$

hvor "lim sup" angiver grænsen superior , muligvis ∞ +. Bemærk, at hvis

${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}$

konvergerer, så er det lig med C og kan bruges i rodtesten i stedet.

Grundtesten siger, at:

• hvis C <1 så konvergerer serien absolut ,
• hvis C > 1 divergerer serien ,
• hvis C = 1 og grænsen nærmer sig strengt ovenfra, adskiller serien sig,
• Ellers er testen ufattelig (serien kan afvige, konvergere absolut eller konvergere betinget ).

Der er nogle serier, for hvilke C = 1, og serien konvergerer, f.eks. , Og der er andre, for hvilke C = 1, og serien divergerer, f.eks . ${\ displaystyle \ textstyle \ sum 1 / {n ^ {2}}}$${\ displaystyle \ textstyle \ sum 1 / n}$

Anvendelse til power-serien

Denne test kan bruges med en strømserie

${\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} (zp) ^ {n}}$

hvor koefficienterne c _n , og centrum p er komplekse tal, og argumentet z er en kompleks variabel.

Betegnelserne for denne serie vil derefter blive givet af en _n = c _n ( z - p ) ⁿ . Man anvender derefter roden test til et _n som ovenfor. Bemærk, at en serie som denne undertiden kaldes en magtserie "omkring p ", fordi konvergensradius er radius R for det største interval eller en disk, der er centreret ved p, således at serien konvergerer for alle punkter z strengt i det indre ( konvergens på grænsen for intervallet eller disken skal generelt kontrolleres separat). En følge af rodtesten anvendt på en sådan magtserie er sætningen Cauchy – Hadamard : konvergensradien er nøjagtigt at passe på, at vi virkelig mener ∞ hvis nævneren er 0. ${\ displaystyle 1 / \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}},}$

Bevis

Beviset for konvergens af en serie Σ a _n er en anvendelse af sammenligningstesten . Hvis for alle n ≥ N ( N nogle faste naturlige tal ) har vi det . Da den geometriske serie konvergerer, gør det også ved sammenligningstesten. Derfor cr a _n konvergerer absolut. ${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} \ leq k <1,}$${\ displaystyle | a_ {n} | \ leq k ^ {n} <1}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = N} ^ {\ infty} k ^ {n}}$${\ displaystyle \ sum _ {n = N} ^ {\ infty} | a_ {n} |}$

Hvis for uendeligt mange n , så konverterer en _{n sig} ikke til 0, hvorfor serien er divergerende. ${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}}> 1}$

Bevis for følge : For en magtserie Σ a _n = Σ c _n ( z  -  p ) ⁿ ser vi ved ovenstående, at serien konvergerer, hvis der findes et N, således at vi for alle n ≥ N har

${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} = {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} (zp) ^ {n} |}} <1,}$

svarende til

${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}} \ cdot | zp | <1}$

for alle n ≥ N , hvilket indebærer, at for at serien skal konvergere, skal vi have for alle tilstrækkeligt store n . Dette svarer til at sige ${\ displaystyle | zp | <1 / {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}}}$

${\ displaystyle | zp | <1 / \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}},}$

så Nu er det eneste andet sted, hvor konvergens er mulig, hvornår ${\ displaystyle R \ leq 1 / \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}}.}$

${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} = {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} (zp) ^ {n} |}} = 1,}$

(da punkter> 1 vil afvige) og dette vil ikke ændre konvergensradiusen, da dette kun er de punkter, der ligger på grænsen for intervallet eller disken, så

${\ displaystyle R = 1 / \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}}.}$

Eksempler

Eksempel 1:

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {i}} {i ^ {9}}}}$

Anvender rodtesten og bruger det faktum, at ${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} n ^ {1 / n} = 1,}$

${\ displaystyle C = {\ sqrt [{n}] {| {\ frac {2 ^ {n}} {n ^ {9}}} |}} = {\ frac {\ sqrt [{n}] {2 ^ {n}}} {\ sqrt [{n}] {n ^ {9}}}} = {\ frac {2} {(n ^ {1 / n}) ^ {9}}} = 2}$

Da serien adskiller sig. ${\ displaystyle C = 2> 1,}$

Eksempel 2:

${\ displaystyle 1 + 1 + 0,5 + 0,5 + 0,25 + 0,25 + 0,125 + 0,125 + ...}$

Rodtesten viser konvergens, fordi

${\ displaystyle r = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n} ] {| .5 ^ {n} |}} =. 5 <1.}$

Dette eksempel viser, hvordan rodtesten er stærkere end forholdstesten . Forholdstesten er ufattelig for denne serie, hvis den er underlig (dog ikke hvis den er jævn), fordi ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle a_ {n} = a_ {n + 1} =. 5 ^ {n}}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle r = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right | = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {2 \ cdot .5 ^ {n}} {2 \ cdot .5 ^ {n}}} \ right | = 1.}$

Se også

• Forholdstest
• Konvergent serie

Referencer

• Knopp, Konrad (1956). "§ 3.2". Uendelige sekvenser og serier . Dover-publikationer, Inc., New York. ISBN   0-486-60153-6 .
• Whittaker, ET & Watson, GN (1963). "§ 2.35". Et kursus i moderne analyse (fjerde udgave). Cambridge University Press. ISBN   0-521-58807-3 .

Denne artikel indeholder materiale fra Proof of Cauchys rodtest på PlanetMath , som er licenseret under Creative Commons Attribution / Share-Alike License .