Summation - Summation

Aritmetiske operationer v t e

Tilføjelse (+) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {term}} \,+\, {\ text {term}} \\\ scriptstyle {\ text {summand}} \,+\ , {\ text {summand}} \\\ scriptstyle {\ text {addend}} \,+\, {\ text {addend}} \\\ scriptstyle {\ text {augend}} \,+\, {\ text {addend}} \ end {matrix}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {sum}}}$ Subtraktion ( -) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {term}} \,-\, {\ text {term}} \\\ scriptstyle {\ text {minuend}} \,-\ , {\ text {subtrahend}} \ end {matrix}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {difference}}}$ Multiplikation (×) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {factor}} \, \ times \, {\ text {factor}} \\\ scriptstyle {\ text {multiplier}} \, \ gange \, {\ text {multiplicand}} \ end {matrix}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {product}}}$ Division (÷) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ frac {\ scriptstyle {\ text {dividend}}} {\ scriptstyle {\ text {divisor}}}} \\\ scriptstyle {\ text { }} \\\ scriptstyle {\ frac {\ scriptstyle {\ text {numerator}}} {\ scriptstyle {\ text {nævner}}}} \ end {matrix}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {fraction}} \\\ scriptstyle {\ text {quotient}} \\\ scriptstyle {\ text {ratio}} \ end {matrix}}}$ Eksponentiering ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {base}}^{\ text {eksponent}} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {power}}}$ n rod (√) ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt [{\ text {degree}}] {\ scriptstyle {\ text {radicand}}}}} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {root}}}$ Logaritme (log) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ log _ {\ text {base}} ({\ text {anti-logaritme}}) \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {logaritme}}}$

I matematik , summation er tilsætning af en sekvens af enhver form for numre , kaldet addends eller summands ; resultatet er deres sum eller total . Udover tal kan andre typer værdier også summeres: funktioner , vektorer , matricer , polynomier og generelt elementer af enhver form for matematiske objekter, hvor en operation betegnet "+" er defineret.

Summationer af uendelige sekvenser kaldes serier . De involverer begrebet grænse og betragtes ikke i denne artikel.

Summationen af ​​en eksplicit sekvens er betegnet som en række tilføjelser. Eksempelvis betegnes summering af [1, 2, 4, 2] 1 + 2 + 4 + 2 og resulterer i 9, det vil sige 1 + 2 + 4 + 2 = 9 . Fordi tilføjelse er associativ og kommutativ , er der ikke behov for parenteser, og resultatet er det samme uanset rækkefølgen af ​​summen. Summation af en sekvens af kun ét element resulterer i dette element selv. Summation af en tom sekvens (en sekvens uden elementer), efter konvention, resulterer i 0.

Meget ofte defineres elementerne i en sekvens gennem et regelmæssigt mønster som en funktion af deres sted i sekvensen. For enkle mønstre kan summering af lange sekvenser repræsenteres med de fleste summands erstattet af ellipser. Eksempelvis kan summering af de første 100 naturlige tal skrives som 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 99 + 100 . Ellers betegnes summering ved hjælp af Σ -notation , hvor der er et forstørret græsk stort bogstav sigma . For eksempel kan summen af ​​de første n naturlige tal betegnes som${\ textstyle \ sum}$ ${\ textstyle \ sum _ {i = 1}^{n} i.}$

For lange summeringer og summeringer af variabel længde (defineret med ellipser eller Σ notation) er det et almindeligt problem at finde lukkede udtryk for resultatet. For eksempel,

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} i = {\ frac {n (n+1)} {2}}.}$

Selvom sådanne formler ikke altid findes, er der fundet mange summeringsformler - hvor nogle af de mest almindelige og elementære er angivet i resten af ​​denne artikel.

Notation

Capital-sigma notation

Opsummeringssymbolet

Matematisk notation bruger et symbol, der kompakt repræsenterer summation af mange lignende udtryk: den summation symbol , en forstørret form af det opretstående kapital græske bogstav sigma . Dette er defineret som ${\ textstyle \ sum}$

${\ displaystyle \ sum _ {i \ mathop {=} m}^{n} a_ {i} = a_ {m}+a_ {m+1}+a_ {m+2}+\ cdots+a_ {n- 1}+a_ {n}}$

hvor i er summeringsindekset ; a _i er en indekseret variabel, der repræsenterer hvert udtryk i summen; m er den nedre grænse for summering , og n er den øvre grænse for summering . " I = m " under summeringssymbolet betyder, at indekset i starter lig med m . Indekset, i , øges med en for hvert på hinanden følgende udtryk og stopper, når i = n .

Dette læses som "summen af et _i , fra i = m til n ".

Her er et eksempel, der viser summeringen af ​​firkanter:

${\ displaystyle \ sum _ {i = 3}^{6} i^{2} = 3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2} = 86.}$

Generelt mens enhver variabel kan anvendes som indeks for summation (forudsat at ingen tvetydighed opstår), nogle af de mest almindelige indbefatter bogstaver såsom , , og ; sidstnævnte bruges også ofte til den øvre grænse for en summering. ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$

Alternativt udelades indeks og summeringsgrænser undertiden fra definitionen af ​​summering, hvis konteksten er tilstrækkelig klar. Dette gælder især, når indekset løber fra 1 til n . For eksempel kan man skrive, at:

${\ displaystyle \ sum a_ {i}^{2} = \ sum _ {i = 1}^{n} a_ {i}^{2}.}$

Man ser ofte generaliseringer af denne notation, hvori der leveres en vilkårlig logisk betingelse, og summen er beregnet til at blive overtaget af alle værdier, der opfylder betingelsen. For eksempel:

${\ displaystyle \ sum _ {0 \ leq k <100} f (k)}$

er summen af over alle ( heltal ) i det angivne område, ${\ displaystyle f (k)}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle \ sum _ {x \ mathop {\ in} S} f (x)}$

er summen af over alle elementer i sættet , og ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle \ sum _ {d \, | \, n} \; \ mu (d)}$

er summen af over alle positive heltal, der deler sig . ${\ displaystyle \ mu (d)}$${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle n}$

Der er også måder at generalisere brugen af ​​mange sigma -tegn. For eksempel,

${\ displaystyle \ sum _ {i, j}}$

er det samme som

${\ displaystyle \ sum _ {i} \ sum _ {j}.}$

En lignende notation anvendes, når det kommer til at betegne produktet af en sekvens , der ligner dens summering, men som bruger multiplikationsoperationen i stedet for addition (og giver 1 for en tom sekvens i stedet for 0). Den samme grundstruktur bruges sammen med en forstørret form af det græske store bogstav pi , der erstatter . ${\ textstyle \ prod}$${\ textstyle \ sum}$

Særlige tilfælde

Det er muligt at opsummere færre end 2 tal:

• Hvis summeringen har et summand , så er den vurderede sum .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$
• Hvis summeringen ikke har nogen summands, er den evaluerede sum nul , fordi nul er identiteten for addition. Dette er kendt som den tomme sum .

Disse degenererede tilfælde bruges normalt kun, når summeringsnotationen giver et degenereret resultat i et specielt tilfælde. For eksempel, hvis i definitionen ovenfor, er der kun et udtryk i summen; hvis , så er der ingen. ${\ displaystyle n = m}$${\ displaystyle n = m-1}$

Formel definition

Summation kan defineres rekursivt som følger:

${\ displaystyle \ sum _ {i = a}^{b} g (i) = 0}$, for b < a ;

${\ displaystyle \ sum _ {i = a}^{b} g (i) = g (b)+\ sum _ {i = a}^{b-1} g (i)}$, for b ≥ a .

Mål teori notation

I notationen af mål og integrationsteori kan en sum udtrykkes som en bestemt integral ,

${\ displaystyle \ sum _ {k \ mathop {=} a}^{b} f (k) = \ int _ {[a, b]} f \, d \ mu}$

hvor er delmængden af heltalene fra til , og hvor er tællemålet . ${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ mu}$

Beregning af begrænsede forskelle

I betragtning af en funktion f, der er defineret over heltalene i intervallet [ m , n ] , gælder følgende ligning:

${\ displaystyle f (n) -f (m) = \ sum _ {i = m}^{n-1} (f (i+1) -f (i)).}$

Dette er analogen af ​​den grundlæggende sætning i beregning i beregning af begrænsede forskelle , der siger, at:

${\ displaystyle f (n) -f (m) = \ int _ {m}^{n} f '(x) \, dx,}$

hvor

${\ displaystyle f '(x) = \ lim _ {h \ til 0} {\ frac {f (x+h) -f (x)} {h}}}$

er derivatet af f .

Et eksempel på anvendelse af ovenstående ligning er følgende:

${\ displaystyle n^{k} = \ sum _ {i = 0}^{n-1} \ venstre ((i+1)^{k} -i^{k} \ højre).}$

Ved hjælp af binomial sætning kan dette omskrives som:

${\ displaystyle n^{k} = \ sum _ {i = 0}^{n-1} \ venstre (\ sum _ {j = 0}^{i-1} {\ binom {k} {j}} i^{j} \ højre).}$

Ovenstående formel bruges mere almindeligt til invertering af differensoperatoren , defineret af: ${\ displaystyle \ Delta}$

${\ displaystyle \ Delta (f) (n) = f (n+1) -f (n),}$

hvor f er en funktion defineret på de ikke -negative heltal. I betragtning af en sådan funktion f er problemet således at beregne antidifferens af f , en funktion sådan . Det vil sige, at denne funktion er defineret op til tilføjelsen af ​​en konstant, og kan vælges som ${\ displaystyle F = \ Delta ^{-1} f}$${\ displaystyle \ Delta F = f}$${\ displaystyle F (n+1) -F (n) = f (n).}$

${\ displaystyle F (n) = \ sum _ {i = 0}^{n-1} f (i).}$

Der er ikke altid et lukket formudtryk for en sådan summering, men Faulhabers formel giver en lukket form i det tilfælde, hvor og ved lineæritet for hver polynomfunktion af n . ${\ displaystyle f (n) = n^{k}}$

Tilnærmelse af bestemte integraler

Mange sådanne tilnærmelser kan opnås ved følgende forbindelse mellem summer og integraler , som gælder for enhver stigende funktion f :

${\ displaystyle \ int _ {s = a-1}^{b} f (s) \ ds \ leq \ sum _ {i = a}^{b} f (i) \ leq \ int _ {s = a }^{b+1} f (s) \ ds.}$

og for enhver formindskende funktion f :

${\ displaystyle \ int _ {s = a}^{b+1} f (s) \ ds \ leq \ sum _ {i = a}^{b} f (i) \ leq \ int _ {s = a -1}^{b} f (s) \ ds.}$

For mere generelle tilnærmelser, se formlen Euler – Maclaurin .

For summeringer, hvor summen gives (eller kan interpoleres) af en integrerbar funktion af indekset, kan summeringen tolkes som en Riemann -sum, der forekommer i definitionen af ​​det tilsvarende bestemte integral. Man kan derfor forvente det f.eks

${\ displaystyle {\ frac {ba} {n}} \ sum _ {i = 0}^{n-1} f \ venstre (a+i {\ frac {ba} {n}} \ højre) \ approx \ int _ {a}^{b} f (x) \ dx,}$

da højre side per definition er grænsen for venstre side. Men for en given summering er n fast, og der kan ikke siges meget om fejlen i ovennævnte tilnærmelse uden yderligere antagelser om f : det er klart, at for vildt oscillerende funktioner kan Riemann -summen være vilkårligt langt fra Riemann -integralet. ${\ displaystyle n \ to \ infty}$

Identiteter

Nedenstående formler involverer begrænsede summer; for uendelige summeringer eller endelige summeringer af udtryk, der involverer trigonometriske funktioner eller andre transcendentale funktioner , se liste over matematiske serier .

Generelle identiteter

${\ displaystyle \ sum _ {n = s}^{t} C \ cdot f (n) = C \ cdot \ sum _ {n = s}^{t} f (n) \ quad}$( distribution )

${\ displaystyle \ sum _ {n = s}^{t} f (n) \ pm \ sum _ {n = s}^{t} g (n) = \ sum _ {n = s}^{t} \ venstre (f (n) \ pm g (n) \ højre) \ quad}$( kommutativitet og associativitet )

${\ displaystyle \ sum _ {n = s}^{t} f (n) = \ sum _ {n = s+p}^{t+p} f (np) \ quad}$ (indeksskift)

${\ displaystyle \ sum _ {n \ i B} f (n) = \ sum _ {m \ i A} f (\ sigma (m)), \ quad}$for en bijektion σ fra et begrænset sæt A til et sæt B (indeksændring); dette generaliserer den foregående formel.

${\ displaystyle \ sum _ {n = s}^{t} f (n) = \ sum _ {n = s}^{j} f (n)+\ sum _ {n = j+1}^{t } f (n) \ quad}$(opdeling af et beløb ved hjælp af associativitet )

${\ displaystyle \ sum _ {n = a}^{b} f (n) = \ sum _ {n = 0}^{b} f (n)-\ sum _ {n = 0}^{a-1 } f (n) \ quad}$ (en variant af den foregående formel)

${\ displaystyle \ sum _ {n = s}^{t} f (n) = \ sum _ {n = 0}^{ts} f (tn) \ quad}$ (summen fra det første udtryk til det sidste er lig med summen fra det sidste ned til det første)

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0}^{t} f (n) = \ sum _ {n = 0}^{t} f (tn) \ quad}$ (et bestemt tilfælde af formlen ovenfor)

${\ displaystyle \ sum _ {i = k_ {0}}^{k_ {1}} \ sum _ {j = l_ {0}}^{l_ {1}} a_ {i, j} = \ sum _ { j = l_ {0}}^{l_ {1}} \ sum _ {i = k_ {0}}^{k_ {1}} a_ {i, j} \ quad}$ (kommutativitet og associativitet, igen)

${\ displaystyle \ sum _ {k \ leq j \ leq i \ leq n} a_ {i, j} = \ sum _ {i = k}^{n} \ sum _ {j = k}^{i} a_ {i, j} = \ sum _ {j = k}^{n} \ sum _ {i = j}^{n} a_ {i, j} = \ sum _ {j = 0}^{nk} \ sum _ {i = k}^{nj} a_ {i+j, i} \ quad}$ (en anden anvendelse af kommutativitet og associativitet)

${\ displaystyle \ sum _ {n = 2s}^{2t+1} f (n) = \ sum _ {n = s}^{t} f (2n)+\ sum _ {n = s}^{t } f (2n+1) \ quad}$(opdeling af en sum i sine ulige og lige dele, for lige indekser)

${\ displaystyle \ sum _ {n = 2s+1}^{2t} f (n) = \ sum _ {n = s+1}^{t} f (2n)+\ sum _ {n = s+1 }^{t} f (2n-1) \ quad}$ (opdeling af en sum i sine ulige og lige dele for ulige indekser)

${\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 0}^{n} a_ {i} \ right) \ left (\ sum _ {j = 0}^{n} b_ {j} \ right) = \ sum _ {i = 0}^{n} \ sum _ {j = 0}^{n} a_ {i} b_ {j} \ quad}$( distribution )

${\ displaystyle \ sum _ {i = s}^{m} \ sum _ {j = t}^{n} {a_ {i}} {c_ {j}} = \ venstre (\ sum _ {i = s }^{m} a_ {i} \ højre) \ venstre (\ sum _ {j = t}^{n} c_ {j} \ højre) \ quad}$ (fordeling muliggør faktorisering)

${\ displaystyle \ sum _ {n = s}^{t} \ log _ {b} f (n) = \ log _ {b} \ prod _ {n = s}^{t} f (n) \ quad }$( logaritmen for et produkt er summen af ​​faktorernes logaritmer)

${\ displaystyle C^{\ sum \ limit _ {n = s}^{t} f (n)} = \ prod _ {n = s}^{t} C^{f (n)} \ quad}$( eksponentialet for et beløb er produktet af summenes eksponentiale)

Beføjelser og logaritme for aritmetiske fremskridt

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} c = nc \ quad}$for hver c , der ikke afhænger af i

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} i = \ sum _ {i = 1}^{n} i = {\ frac {n (n+1)} {2}} \ qquad}$(Summen af ​​den enkleste aritmetiske progression , bestående af de første n naturlige tal.)

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} (2i-1) = n^{2} \ qquad}$ (Summen af ​​de første ulige naturlige tal)

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} 2i = n (n+1) \ qquad}$ (Summen af ​​de første lige naturlige tal)

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} \ log i = \ log n! \ qquad}$(En sum af logaritmer er produktets logaritme)

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} i^{2} = \ sum _ {i = 1}^{n} i^{2} = {\ frac {n (n+1) ( 2n+1)} {6}} = {\ frac {n^{3}} {3}}+{\ frac {n^{2}} {2}}+{\ frac {n} {6}} \ qquad}$(Summen af ​​de første firkanter , se firkantet pyramidetal .)

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} i^{3} = \ venstre (\ sum _ {i = 0}^{n} i \ højre)^{2} = \ venstre ({\ frac {n (n+1)} {2}} \ right)^{2} = {\ frac {n^{4}} {4}}+{\ frac {n^{3}} {2}} +{\ frac {n^{2}} {4}} \ qquad}$( Nicomachos sætning )

Mere generelt har man Faulhabers formel for${\ displaystyle p> 1}$

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1}^{n} k^{p} = {\ frac {n^{p+1}} {p+1}}+{\ frac {1} {2}} n^{p}+\ sum _ {k = 2}^{p} {\ binom {p} {k}} {\ frac {B_ {k}} {p-k+1}} \, n^{ p-k+1},}$

hvor betegner et Bernoulli -tal , og er en binomial koefficient . ${\ displaystyle B_ {k}}$${\ displaystyle {\ binom {p} {k}}}$

Summationsindeks i eksponenter

I de følgende summationer, en antages at være forskellig fra 1.

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n-1} a^{i} = {\ frac {1-a^{n}} {1-a}}}$(summen af ​​en geometrisk progression )

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n-1} {\ frac {1} {2^{i}}} = 2-{\ frac {1} {2^{n-1}}} }$(special case for a = 1/2 )

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n-1} ia^{i} = {\ frac {a-na^{n}+(n-1) a^{n+1}} {( 1-a)^{2}}}}$( en gange derivatet med hensyn til a af den geometriske progression)

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {i = 0}^{n-1} \ venstre (b+id \ højre) a^{i} & = b \ sum _ {i = 0}^{ n-1} a^{i}+d \ sum _ {i = 0}^{n-1} ia^{i} \\ & = b \ venstre ({\ frac {1-a^{n}} {1-a}} \ højre)+d \ venstre ({\ frac {a-na^{n}+(n-1) a^{n+1}} {(1-a)^{2}} } \ højre) \\ & = {\ frac {b (1-a^{n})-(n-1) da^{n}} {1-a}}+{\ frac {da (1-a ^{n-1})} {(1-a)^{2}}} \ end {justeret}}}$

(summen af ​​en aritmetisk -geometrisk sekvens )

Binomiske koefficienter og faktorier

Der findes meget mange summeringsidentiteter, der involverer binomiske koefficienter (et helt kapitel i betonmatematik er afsat til bare de grundlæggende teknikker). Nogle af de mest basale er følgende.

Involvering af binomial sætning

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} {n \ vælg i} a^{ni} b^{i} = (a+b)^{n},}$den binomiale sætning

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} {n \ vælg i} = 2^{n},}$det særlige tilfælde, hvor a = b = 1

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} {n \ vælg i} p^{i} (1-p)^{ni} = 1}$, det særlige tilfælde, hvor p = a = 1 - b , som for udtrykker summen af ​​den binomiske fordeling${\ displaystyle 0 \ leq p \ leq 1,}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} i {n \ vælg i} = n (2^{n-1}),}$værdien ved a = b = 1 for derivatet med hensyn til a af binomial sætningen

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} {\ frac {n \ vælg i} {i+1}} = {\ frac {2^{n+1} -1} {n+1} },}$værdien ved a = b = 1 af antiderivatet i forhold til a i binomial sætningen

Involvering af permutationstal

I de følgende summeringer er antallet af k -permutationer af n . ${\ displaystyle {} _ {n} P_ {k}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} {} _ {i} P_ {k} {n \ vælg i} = {} _ {n} P_ {k} (2^{nk})}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} {} _ {i+k} P_ {k+1} = \ sum _ {i = 1}^{n} \ prod _ {j = 0} ^{k} (i+j) = {\ frac {(n+k+1)!} {(n-1)! (k+2)}}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} i! \ cdot {n \ vælg i} = \ sum _ {i = 0}^{n} {} _ {n} P_ {i} = \ lfloor n! \ cdot e \ rfloor, \ quad n \ in \ mathbb {Z} ^{+}}$, hvor og betegner gulvfunktionen .${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$

Andre

${\ displaystyle \ sum _ {k = 0}^{m} {\ binom {n+k} {n}} = {\ binom {n+m+1} {n+1}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = k}^{n} {i \ vælg k} = {n+1 \ vælg k+1}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} i \ cdot i! = (n+1)!-1}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} {m+i-1 \ vælg i} = {m+n \ vælg n}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} {n \ vælg i}^{2} = {2n \ vælg n}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} {\ frac {1} {i!}} = {\ frac {\ lfloor n! \; e \ rfloor} {n!}}}$

Harmoniske tal

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} {\ frac {1} {i}} = H_ {n}}$(dvs. den n th harmoniske nummer )

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} {\ frac {1} {i^{k}}} = H_ {n}^{k}}$(det er et generaliseret harmonisk tal )

Væksthastigheder

Følgende er nyttige tilnærmelser (ved hjælp af theta -notation ):

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} i^{c} \ in \ Theta (n^{c+1})}$for reel c større end -1

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} {\ frac {1} {i}} \ in \ Theta (\ log _ {e} n)}$(Se Harmonisk nummer )

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} c^{i} \ in \ Theta (c^{n})}$for reel c større end 1

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} \ log (i)^{c} \ in \ Theta (n \ cdot \ log (n)^{c})}$for ikke-negative reelle c

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} \ log (i)^{c} \ cdot i^{d} \ in \ Theta (n^{d+1} \ cdot \ log (n) ^{c})}$for ikke-negativ reel c , d

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} \ log (i)^{c} \ cdot i^{d} \ cdot b^{i} \ in \ Theta (n^{d} \ cdot \ log (n)^{c} \ cdot b^{n})}$for ikke-negativ reel b > 1, c , d

Se også

• Einstein notation
• Iverson beslag
• Itereret binær operation
• Kahan summeringsalgoritme
• Produkter af sekvenser
• Produkt (matematik)
• Opsummering af dele
• Σ summation enkelt glyph (U + 2211 N-ARY summering )
• ⎲ den parrede glyfs begyndelse (U+23B2 SUMMATION TOP )
• ⎳ den parrede glyfs ende (U+23B3 SUMMATION BOTTOM )

Noter

Kilder

eksterne links

• Medier relateret til Summation på Wikimedia Commons