Liste over matematiske serier - List of mathematical series

Denne liste over matematiske serier indeholder formler for endelige og uendelige summer. Det kan bruges sammen med andre værktøjer til vurdering af beløb.

• Her tages for at have værdien${\ displaystyle 0 ^ {0}}$ ${\ displaystyle 1}$
• ${\ displaystyle \ {x \}}$ betegner den brøkdel af ${\ displaystyle x}$
• ${\ displaystyle B_ {n} (x)}$er et Bernoulli-polynom .
• ${\ displaystyle B_ {n}}$er et Bernoulli-nummer , og her,${\ displaystyle B_ {1} = - {\ frac {1} {2}}.}$
• ${\ displaystyle E_ {n}}$er et Euler-nummer .
• ${\ displaystyle \ zeta (s)}$er Riemann zeta-funktionen .
• ${\ displaystyle \ Gamma (z)}$er gamma-funktionen .
• ${\ displaystyle \ psi _ {n} (z)}$er en polygammafunktion .
• ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {s} (z)}$er en polylogaritme .
• ${\ displaystyle n \ vælg k}$er binomial koefficient
• ${\ displaystyle \ exp (x)}$betegner eksponentiel af${\ displaystyle x}$

Summer af kræfter

Se Faulhabers formel .

• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {m} k ^ {n-1} = {\ frac {B_ {n} (m + 1) -B_ {n}} {n}}}$

De første få værdier er:

• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {m} k = {\ frac {m (m + 1)} {2}}}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {m} k ^ {2} = {\ frac {m (m + 1) (2m + 1)} {6}} = {\ frac {m ^ {3 }} {3}} + {\ frac {m ^ {2}} {2}} + {\ frac {m} {6}}}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {m} k ^ {3} = \ left [{\ frac {m (m + 1)} {2}} \ right] ^ {2} = {\ frac {m ^ {4}} {4}} + {\ frac {m ^ {3}} {2}} + {\ frac {m ^ {2}} {4}}}$

Se zeta-konstanter .

• ${\ displaystyle \ zeta (2n) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k ^ {2n}}} = (- 1) ^ {n + 1} {\ frac {B_ {2n} (2 \ pi) ^ {2n}} {2 (2n)!}}}$

De første få værdier er:

• ${\ displaystyle \ zeta (2) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k ^ {2}}} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6 }}}$( Basel-problemet )
• ${\ displaystyle \ zeta (4) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k ^ {4}}} = {\ frac {\ pi ^ {4}} {90 }}}$
• ${\ displaystyle \ zeta (6) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k ^ {6}}} = {\ frac {\ pi ^ {6}} {945 }}}$

Power-serien

Polylogaritmer med lav ordre

Endelige summer:

• ${\ displaystyle \ sum _ {k = m} ^ {n} z ^ {k} = {\ frac {z ^ {m} -z ^ {n + 1}} {1-z}}}$, ( geometrisk serie )
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} z ^ {k} = {\ frac {1-z ^ {n + 1}} {1-z}}}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} z ^ {k} = {\ frac {1-z ^ {n + 1}} {1-z}} - 1 = {\ frac {zz ^ {n + 1}} {1-z}}}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} kz ^ {k} = z {\ frac {1- (n + 1) z ^ {n} + nz ^ {n + 1}} {(1 -z) ^ {2}}}}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {2} z ^ {k} = z {\ frac {1 + z- (n + 1) ^ {2} z ^ {n} + (2n ^ {2} + 2n-1) z ^ {n + 1} -n ^ {2} z ^ {n + 2}} {(1-z) ^ {3}}}}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {m} z ^ {k} = \ left (z {\ frac {d} {dz}} \ right) ^ {m} {\ frac {1-z ^ {n + 1}} {1-z}}}$

Uendelige summer, gyldige for (se polylogaritme ): ${\ displaystyle | z | <1}$

• ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {n} (z) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {k}} {k ^ {n}}}}$

Følgende er en nyttig egenskab til at beregne polylogaritmer med lavt helt orden rekursivt i lukket form :

• ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} \ operatorname {Li} _ {n} (z) = {\ frac {\ operatorname {Li} _ {n-1} (z)} {z}}}$
• ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {1} (z) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {k}} {k}} = - \ ln (1- z)}$
• ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {0} (z) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} z ^ {k} = {\ frac {z} {1-z}}}$
• ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {- 1} (z) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} kz ^ {k} = {\ frac {z} {(1-z) ^ { 2}}}}$
• ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {- 2} (z) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} k ^ {2} z ^ {k} = {\ frac {z (1 + z )} {(1-z) ^ {3}}}}$
• ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {- 3} (z) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} k ^ {3} z ^ {k} = {\ frac {z (1 + 4z + z ^ {2})} {(1-z) ^ {4}}}}$
• ${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {- 4} (z) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} k ^ {4} z ^ {k} = {\ frac {z (1 + z ) (1 + 10z + z ^ {2})} {(1-z) ^ {5}}}}$

Eksponentiel funktion

• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {k}} {k!}} = e ^ {z}}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} k {\ frac {z ^ {k}} {k!}} = ze ^ {z}}$(jf. gennemsnit af Poisson-fordeling )
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} k ^ {2} {\ frac {z ^ {k}} {k!}} = (z + z ^ {2}) e ​​^ {z }}$(jf. andet øjeblik af Poisson-distribution)
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} k ^ {3} {\ frac {z ^ {k}} {k!}} = (z + 3z ^ {2} + z ^ {3 }) e ^ {z}}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} k ^ {4} {\ frac {z ^ {k}} {k!}} = (z + 7z ^ {2} + 6z ^ {3 } + z ^ {4}) e ^ {z}}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} k ^ {n} {\ frac {z ^ {k}} {k!}} = z {\ frac {d} {dz}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} k ^ {n-1} {\ frac {z ^ {k}} {k!}} \, \! = e ^ {z} T_ {n} (z) }$

hvor er Touchard polynomierne . ${\ displaystyle T_ {n} (z)}$

Trigonometrisk, invers trigonometrisk, hyperbolsk og invers hyperbolsk funktionsforhold

• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} z ^ {2k + 1}} {(2k + 1)!}} = \ sin z}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {2k + 1}} {(2k + 1)!}} = \ sinh z}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} z ^ {2k}} {(2k)!}} = \ cos z}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {2k}} {(2k)!}} = \ cosh z}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k-1} (2 ^ {2k} -1) 2 ^ {2k} B_ {2k} z ^ {2k-1}} {(2k)!}} = \ Tan z, | z | <{\ frac {\ pi} {2}}}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(2 ^ {2k} -1) 2 ^ {2k} B_ {2k} z ^ {2k-1}} {(2k) !}} = \ tanh z, | z | <{\ frac {\ pi} {2}}}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} 2 ^ {2k} B_ {2k} z ^ {2k-1}} {(2k)! }} = \ cot z, | z | <\ pi}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {2k} B_ {2k} z ^ {2k-1}} {(2k)!}} = \ coth z, | z | <\ pi}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k-1} (2 ^ {2k} -2) B_ {2k} z ^ {2k-1} } {(2k)!}} = \ Csc z, | z | <\ pi}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {- (2 ^ {2k} -2) B_ {2k} z ^ {2k-1}} {(2k)!}} = \ operatorname {csch} z, | z | <\ pi}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} E_ {2k} z ^ {2k}} {(2k)!}} = \ operatorname {sech } z, | z | <{\ frac {\ pi} {2}}}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {E_ {2k} z ^ {2k}} {(2k)!}} = \ sec z, | z | <{\ frac { \ pi} {2}}}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k-1} z ^ {2k}} {(2k)!}} = \ operatorname {ver} z }$( versine )
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k-1} z ^ {2k}} {2 (2k)!}} = \ operatorname {hav} z}$( haversine )
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2k)! z ^ {2k + 1}} {2 ^ {2k} (k!) ^ {2} (2k + 1 )}} = \ arcsin z, | z | \ leq 1}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} (2k)! z ^ {2k + 1}} {2 ^ {2k} (k!) ^ {2} (2k + 1)}} = \ operatornavn {arsinh} {z}, | z | \ leq 1}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} z ^ {2k + 1}} {2k + 1}} = \ arctan z, | z | <1}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {2k + 1}} {2k + 1}} = \ operatorname {artanh} z, | z | <1}$
• ${\ displaystyle \ ln 2+ \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k-1} (2k)! z ^ {2k}} {2 ^ {2k + 1} k (k!) ^ {2}}} = \ ln \ left (1 + {\ sqrt {1 + z ^ {2}}} \ right), | z | \ leq 1}$

Modificerede faktor nævnere

• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(4k)!} {2 ^ {4k} {\ sqrt {2}} (2k)! (2k + 1)!}} z ^ {k} = {\ sqrt {\ frac {1 - {\ sqrt {1-z}}} {z}}}, | z | <1}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {2k} (k!) ^ {2}} {(k + 1) (2k + 1)!}} z ^ {2k + 2} = \ left (\ arcsin {z} \ right) ^ {2}, | z | \ leq 1}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ prod _ {k = 0} ^ {n-1} (4k ^ {2} + \ alpha ^ {2})} { (2n)!}} Z ^ {2n} + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ alpha \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} [(2k + 1 ) ^ {2} + \ alpha ^ {2}]} {(2n + 1)!}} Z ^ {2n + 1} = e ^ {\ alpha \ arcsin {z}}, | z | \ leq 1}$

Binomiale koefficienter

• ${\ displaystyle (1 + z) ^ {\ alpha} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ alpha \ vælg k} z ^ {k}, | z | <1}$(se Binomial sætning § Newtons generelle binomiale sætning )
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {{\ alpha + k-1} \ vælg k} z ^ {k} = {\ frac {1} {(1-z) ^ {\ alfa}}}, | z | <1}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k + 1}} {2k \ vælg k} z ^ {k} = {\ frac {1 - {\ sqrt { 1-4z}}} {2z}}, | z | \ leq {\ frac {1} {4}}}$, der genererer funktion af de catalanske tal
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {2k \ vælg k} z ^ {k} = {\ frac {1} {\ sqrt {1-4z}}}, | z | <{ \ frac {1} {4}}}$, der genererer funktion af de centrale binomiale koefficienter
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {2k + \ alpha \ vælg k} z ^ {k} = {\ frac {1} {\ sqrt {1-4z}}} \ venstre ({ \ frac {1 - {\ sqrt {1-4z}}} {2z}} \ højre) ^ {\ alpha}, | z | <{\ frac {1} {4}}}$

Harmoniske numre

(Se harmoniske tal , selv defineret ) ${\ textstyle H_ {n} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {1} {j}}}$

• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} H_ {k} z ^ {k} = {\ frac {- \ ln (1-z)} {1-z}}, | z | < 1}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {H_ {k}} {k + 1}} z ^ {k + 1} = {\ frac {1} {2}} \ venstre [\ ln (1-z) \ højre] ^ {2}, \ qquad | z | <1}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k-1} H_ {2k}} {2k + 1}} z ^ {2k + 1} = { \ frac {1} {2}} \ arctan {z} \ log {(1 + z ^ {2})}, \ qquad | z | <1}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {k = 0} ^ {2n} {\ frac {(-1) ^ {k}} {2k + 1}} {\ frac {z ^ {4n + 2}} {4n + 2}} = {\ frac {1} {4}} \ arctan {z} \ log {\ frac {1 + z} {1-z}}, \ qquad | z | <1}$

Binomiale koefficienter

• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ vælg k} = 2 ^ {n}}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {n \ vælg k} = 0, {\ text {hvor}} n> 0}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} {k \ vælg m} = {n + 1 \ vælg m + 1}}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} {m + k-1 \ vælg k} = {n + m \ vælg n}}$(se Multiset )
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ alpha \ vælg k} {\ beta \ vælg nk} = {\ alpha + \ beta \ vælg n}}$(se Vandermonde identitet )

Trigonometriske funktioner

Sommer af sines og cosinus opstår i Fourier-serien .

• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos (k \ theta)} {k}} = - {\ frac {1} {2}} \ ln (2-2 \ cos \ theta) = - \ ln \ left (2 \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \ right), 0 <\ theta <2 \ pi}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (k \ theta)} {k}} = {\ frac {\ pi - \ theta} {2}}, 0 < \ theta <2 \ pi}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k-1}} {k}} \ cos (k \ theta) = {\ frac {1} { 2}} \ ln (2 + 2 \ cos \ theta) = \ ln \ left (2 \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ right), 0 \ leq \ theta <\ pi}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k-1}} {k}} \ sin (k \ theta) = {\ frac {\ theta} {2}}, - {\ frac {\ pi} {2}} \ leq \ theta \ leq {\ frac {\ pi} {2}}}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos (2k \ theta)} {2k}} = - {\ frac {1} {2}} \ ln (2 \ sin \ theta), 0 <\ theta <\ pi}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (2k \ theta)} {2k}} = {\ frac {\ pi -2 \ theta} {4}}, 0 <\ theta <\ pi}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos [(2k + 1) \ theta]} {2k + 1}} = {\ frac {1} {2}} \ ln \ left (\ cot {\ frac {\ theta} {2}} \ right), 0 <\ theta <\ pi}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin [(2k + 1) \ theta]} {2k + 1}} = {\ frac {\ pi} {4}} , 0 <\ theta <\ pi}$,
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (2 \ pi kx)} {k}} = \ pi \ left ({\ dfrac {1} {2}} - \ {x \} \ højre), \ x \ i \ mathbb {R}}$
• ${\ displaystyle \ sum \ limits _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin \ left (2 \ pi kx \ right)} {k ^ {2n-1}}} = (- 1) ^ {n} {\ frac {(2 \ pi) ^ {2n-1}} {2 (2n-1)!}} B_ {2n-1} (\ {x \}), \ x \ in \ mathbb {R}, \ n \ in \ mathbb {N}}$
• ${\ displaystyle \ sum \ limits _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos \ left (2 \ pi kx \ right)} {k ^ {2n}}} = (- 1) ^ { n-1} {\ frac {(2 \ pi) ^ {2n}} {2 (2n)!}} B_ {2n} (\ {x \}), \ x \ in \ mathbb {R}, \ n \ in \ mathbb {N}}$
• ${\ displaystyle B_ {n} (x) = - {\ frac {n!} {2 ^ {n-1} \ pi ^ {n}}} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k ^ {n}}} \ cos \ left (2 \ pi kx - {\ frac {\ pi n} {2}} \ right), 0 <x <1}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ sin (\ theta + k \ alpha) = {\ frac {\ sin {\ frac {(n + 1) \ alpha} {2}} \ sin (\ theta + {\ frac {n \ alpha} {2}})} {\ sin {\ frac {\ alpha} {2}}}}}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ cos (\ theta + k \ alpha) = {\ frac {\ sin {\ frac {(n + 1) \ alpha} {2}} \ cos (\ theta + {\ frac {n \ alpha} {2}})} {\ sin {\ frac {\ alpha} {2}}}}}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} \ sin {\ frac {\ pi k} {n}} = \ cot {\ frac {\ pi} {2n}}}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} \ sin {\ frac {2 \ pi k} {n}} = 0}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ csc ^ {2} \ left (\ theta + {\ frac {\ pi k} {n}} \ right) = n ^ {2} \ csc ^ {2} (n \ theta)}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} \ csc ^ {2} {\ frac {\ pi k} {n}} = {\ frac {n ^ {2} -1} {3 }}}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} \ csc ^ {4} {\ frac {\ pi k} {n}} = {\ frac {n ^ {4} + 10n ^ {2 } -11} {45}}}$

Rationelle funktioner

• ${\ displaystyle \ sum _ {n = a + 1} ^ {\ infty} {\ frac {a} {n ^ {2} -a ^ {2}}} = {\ frac {1} {2}} H_ {2a}}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2} + a ^ {2}}} = {\ frac {1 + a \ pi \ coth (a \ pi)} {2a ^ {2}}}}$
• ${\ displaystyle \ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {4} + 4a ^ {4}}} = {\ dfrac {1} {8a ^ {4 }}} + {\ dfrac {\ pi (\ sinh (2 \ pi a) + \ sin (2 \ pi a))} {8a ^ {3} (\ cosh (2 \ pi a) - \ cos (2 \ pi a))}}}$
• En uendelig række af enhver rationel funktion af kan reduceres til et endeligt række polygamma funktioner , ved brug af partiel fraktion nedbrydning . Denne kendsgerning kan også anvendes til begrænsede serier af rationelle funktioner, hvilket gør det muligt at beregne resultatet i konstant tid, selv når serien indeholder et stort antal udtryk.${\ displaystyle n}$

Eksponentiel funktion

• ${\ displaystyle \ displaystyle {\ dfrac {1} {\ sqrt {p}}} \ sum _ {n = 0} ^ {p-1} \ exp \ left ({\ frac {2 \ pi in ^ {2} q} {p}} \ right) = {\ dfrac {e ^ {\ pi i / 4}} {\ sqrt {2q}}} \ sum _ {n = 0} ^ {2q-1} \ exp \ left (- {\ frac {\ pi i ^ {2} p} {2q}} \ højre)}$(se forholdet Landsberg-Schaar )
• ${\ displaystyle \ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- \ pi n ^ {2}} = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} { \ Gamma \ left ({\ frac {3} {4}} \ right)}}$

Se også

Bemærkninger

Referencer

• Mange bøger med en liste over integraler har også en liste over serier.