Introduktion til matematikken i generel relativitet - Introduction to the mathematics of general relativity

En del af en serie artikler om
Generel relativitetsteori
${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}$
Introduktion Historie Matematisk formulering Test
Grundlæggende begreber Princippet om relativitet Relativitetsteori Generel kovarians Samtidighed Relativitet af samtidighed Relativ bevægelse Begivenhed Referenceramme Træningsreferenceramme Masse Træningsmasse Hvilestel Center-of-momentum-ramme Krumning Geodesic Geon Ækvivalensprincippet Masse i generel relativitet Mass-energi ækvivalens Invariant Invariant masse Rummet symmetrier Speciel relativitet Dobbelt speciel relativitet de Sitter invariant speciel relativitet Skala relativitet Lysets hastighed Tidsafledt Korrekt tid Korrekt længde Længde sammentrækning Handling på afstand Princip for lokalitet Riemannian geometri Energitilstand
Fænomener Gravitoelektromagnetisme Kepler-problem Tyngdekraft Gravitationsfelt Tyngdekraften godt Gravitationslinser Gravitationsbølger Gravitations rødskift Rødskift Blueshift Tidsudvidelse Gravitationel tidsudvidelse Shapiro tidsforsinkelse Gravitationspotentiale Gravitationel kompression Gravitationel sammenbrud Træk i rammen Geodetisk effekt Tilsyneladende horisont Begivenhedshorisont Gravitationel singularitet Nøgen singularitet Sort hul Hvidt hul Rumtid Tidens pil Let kegle Verdenslinje Tredimensionelt rum Fire-dimensionelt rum Plads Tid Manifold Glat manifold Riemannian manifold Konfigurationsplads Statligt rum Faseplads Hilbert plads Euklidisk rum Topologisk rum Topologisk defekt Rumtidsdiagrammer Minkowski rumtid Lorentz skalar Lukket tidlignende kurve (CTC) Ormehul Ellis ormehul
Ligninger Formalismer Ligninger Lineariseret tyngdekraft Einstein feltligninger Friedmann Geodesik Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Krumning invariant (generel relativitet) Lorentz transformation Lorentzian manifold Globalt hyperbolsk manifold Årsagsforhold Årsagsstruktur Formalismer ADM BSSN Newman – Penrose Post-Newtonian Avanceret teori Brans – Dicke teori Kosmisk censurhypotese Kaluza – Klein teori Kvantegravitation Overvægt
Løsninger Relativistisk disk Schwarzschild ( interiør ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr – Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker pp-bølge van Stockum støv Weyl – Lewis – Papapetrou Vakuumopløsning
Sætninger Birkhoffs sætning Gerochs splittede sætning Goldberg – Sachs sætning Lovelocks sætning No-hair sætning Penrose – Hawking singularitetssætninger Positiv energisætning
Forskere Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Wheeler Robertson Bardeen Walker Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Ny mand Yau Thorne andre
v t e

Den matematik generelle relativitetsteori er kompleks. I Newtons bevægelsesteorier forbliver et objekts længde og den hastighed, hvormed tiden går, konstant, mens objektet accelererer , hvilket betyder, at mange problemer i Newtons mekanik kan løses ved algebra alene. I relativitet ændres imidlertid et objekts længde og den hastighed, hvormed tiden går, mærkbart, når objektets hastighed nærmer sig lysets hastighed , hvilket betyder, at der kræves flere variabler og mere kompliceret matematik for at beregne objektets bevægelse. Som et resultat kræver relativitet brugen af ​​begreber som vektorer , tensorer , pseudotensorer og krumlinjede koordinater .

For en introduktion baseret på eksemplet med partikler, der følger cirkulære baner om en stor masse, gives ikke-relativistiske og relativistiske behandlinger i henholdsvis newtonske motiver for generel relativitet og teoretisk motivation for generel relativitet .

Vektorer og tensorer

Vektorer

Illustration af en typisk vektor.

I matematik , fysik og teknik er en euklidisk vektor (undertiden kaldet en geometrisk eller rumlig vektor eller - som her - simpelthen en vektor) et geometrisk objekt, der både har en størrelse (eller længde ) og retning. En vektor er det, der er nødvendigt for at "bære" punktet A til punktet B ; det latinske ord vektor betyder "en der bærer". Størrelsen af vektoren er afstanden mellem de to punkter og retningen refererer til forskydningsretningen fra A til B . Mange algebraiske operationer på reelle tal som addition , subtraktion , multiplikation og negation har tætte analoger til vektorer, operationer, der adlyder de velkendte algebraiske love om kommutativitet , associativitet og distributionsevne .

Tensorer

Stress er en andenordens tensor, der repræsenterer materialets reaktion på kraft, der påføres i en vinkel. De to retninger af tensoren repræsenterer den "normale" (vinkelret på overfladen) kraften og "forskydning" (parallelt med overfladen) kraften.

En tensor udvider konceptet med en vektor til yderligere retninger. En skalar , det vil sige et simpelt tal uden retning, vil blive vist på en graf som et punkt, et nul-dimensionelt objekt. En vektor, der har en størrelse og retning, vises på en graf som en linje, som er et endimensionelt objekt. En vektor er en første ordens tensor, da den har en retning. En andenordens tensor har to størrelser og to retninger og vises på en graf som to linjer svarende til et ur. "Ordenen" for en tensor er antallet af indeholdte retninger, som er adskilt fra dimensionerne af de enkelte retninger. En anden ordens tensor i to dimensioner kan repræsenteres matematisk af en 2-by-2-matrix og i tre dimensioner af en 3-by-3-matrix, men i begge tilfælde er matrixen "firkantet" for en andenordens tensor . En tredje ordens tensor har tre størrelser og retninger og vil blive repræsenteret af en terning af tal, 3-for-3-for-3 for retninger i tre dimensioner osv.

Ansøgninger

Vektorer er grundlæggende inden for de fysiske videnskaber. De kan bruges til at repræsentere enhver størrelse, der har både en størrelse og retning, såsom hastighed , hvis størrelse er hastighed . For eksempel kunne hastigheden 5 meter pr. Sekund opad være repræsenteret af vektoren (0, 5) (i 2 dimensioner med den positive y- akse som 'op'). En anden størrelse repræsenteret af en vektor er kraft , da den har en størrelse og retning. Vektorer beskriver også mange andre fysiske størrelser, såsom forskydning , acceleration , momentum og vinkelmoment . Andre fysiske vektorer, såsom det elektriske og magnetiske felt , er repræsenteret som et system af vektorer på hvert punkt i et fysisk rum; et vektorfelt .

Tensorer har også omfattende anvendelser inden for fysik:

• Elektromagnetisk tensor (eller Faradays tensor) i elektromagnetisme
• Endelige deformationstensorer til beskrivelse af deformationer og trækstensor til belastning i kontinuummekanik
• Permittivitet og elektrisk modtagelighed er tensorer i anisotrope medier
• Stress-energi tensor i almen relativitet , bruges til at repræsentere momentum flux
• Sfæriske tensor operatører er egenfunktioner af kvante impulsmoment operatør i sfæriske koordinater
• Diffusionstensorer, grundlaget for diffusionstensorbilleddannelse , repræsenterer diffusionshastigheder i biologiske miljøer

Dimensioner

Generelt er relativitet, fire-dimensionelle vektorer eller fire-vektorer påkrævet. Disse fire dimensioner er længde, højde, bredde og tid. Et "punkt" i denne sammenhæng ville være en begivenhed, da det både har en placering og et tidspunkt. I lighed med vektorer kræver tensor i relativitet fire dimensioner. Et eksempel er Riemann-krumningstensoren .

Koordinere transformation

I fysik såvel som matematik identificeres en vektor ofte med en tuple eller en liste over tal, der afhænger af et hjælpekoordinatsystem eller referenceramme . Når koordinaterne transformeres, for eksempel ved rotation eller strækning af koordinatsystemet, transformeres også komponenterne i vektoren. Selve vektoren har ikke ændret sig, men referencerammen har det, så komponenterne i vektoren (eller målinger taget i forhold til referencerammen) skal ændres for at kompensere.

Vektoren kaldes covariant eller kontravariant afhængigt af hvordan transformation af vektorkomponenterne er relateret til transformation af koordinater.

• Kontravariantvektorer har enheder af afstand (såsom en forskydning) eller afstand gange en anden enhed (såsom hastighed eller acceleration) og transformeres på den modsatte måde som koordinatsystemet. For eksempel, ved at skifte enheder fra meter til millimeter, bliver koordinatenhederne mindre, men tallene i en vektor bliver større: 1 m bliver 1000 mm.
• Kovariante vektorer har derimod enheder med en over-afstand (såsom en gradient ) og transformeres på samme måde som koordinatsystemet. For eksempel ved at skifte fra meter til millimeter bliver koordinatenhederne mindre, og antallet, der måler en gradient, bliver også mindre: 1  K / m bliver 0,001 K / mm.

I Einstein-notation vises kontravariant vektorer og komponenter af tensorer med overskrifter, f.eks. X ⁱ , og samvariative vektorer og komponenter af tensorer med abonnementer, f.eks. X _i . Indekser "hæves" eller "sænkes" ved multiplikation med en passende matrix, ofte identitetsmatrixen.

Koordineringstransformation er vigtig, fordi relativitet siger, at der ikke er et referencepunkt (eller perspektiv) i universet, der er mere begunstiget end et andet. På jorden bruger vi dimensioner som nord, øst og højde, som bruges over hele planeten. Der findes ikke et sådant system til plads. Uden et klart referencegitter bliver det mere nøjagtigt at beskrive de fire dimensioner som mod / væk, venstre / højre, op / ned og fortid / fremtid. Antag som eksempel et eksempel på, at Jorden er en bevægelsesfri genstand, og overvej underskrivelsen af uafhængighedserklæringen . For en moderne observatør på Mount Rainier, der kigger mod øst, er begivenheden forude, til højre, nedenunder og i fortiden. Men for en observatør i det middelalderlige England, der kigger nordpå, er begivenheden bag, til venstre, hverken op eller ned og i fremtiden. Selve begivenheden har ikke ændret sig, placeringen af ​​observatøren har.

Skrå akser

Et skråt koordinatsystem er et, hvor akserne ikke nødvendigvis er vinkelrette på hinanden; det vil sige, de mødes i andre vinkler end rette vinkler . Når du bruger koordinatransformationer som beskrevet ovenfor, ser det nye koordinatsystem ofte ud til at have skrå akser sammenlignet med det gamle system.

Nontensorer

En nontensor er en tensorlignende størrelse, der opfører sig som en tensor ved hævning og sænkning af indekser, men der transformeres ikke som en tensor under en koordinattransformation. For eksempel kan Christoffelsymboler ikke være tensorer selv, hvis koordinaterne ikke ændres lineært.

Generelt kan man ikke beskrive tyngdefeltets energi og momentum ved hjælp af en energi – momentum tensor. I stedet introducerer man objekter, der kun opfører sig som tensorer med hensyn til begrænsede koordinatransformationer. Strengt taget er sådanne genstande slet ikke tensorer. Et berømt eksempel på en sådan pseudotensor er Landau – Lifshitz pseudotensor .

Kurvlinære koordinater og buet rumtid

Højpræcisionstest af generel relativitet ved Cassini- rumsonde (kunstnerens indtryk): Radiosignaler, der sendes mellem Jorden og sonden (grøn bølge) forsinkes af vridning af rum og tid (blå linjer) på grund af solens masse . Det vil sige, at solens masse får det regelmæssige gitterkoordinatsystem (i blåt) til at forvrænge og have krumning. Radiobølgen følger derefter denne krumning og bevæger sig mod solen.

Kurvlinære koordinater er koordinater, hvor vinklerne mellem akserne kan ændre sig fra punkt til punkt. Dette betyder, at i stedet for at have et gitter med lige linjer, har gitteret i stedet krumning.

Et godt eksempel på dette er jordens overflade. Mens kort ofte viser nord, syd, øst og vest som et simpelt firkantet gitter, er det faktisk ikke tilfældet. I stedet er længdegraderne, der løber nord og syd, buede og mødes ved nordpolen. Dette skyldes, at Jorden ikke er flad, men i stedet rund.

Generelt har relativitet, energi og masse krumningseffekter på universets fire dimensioner (= rumtid). Denne krumning giver tyngdekraften. En almindelig analogi er at placere en tung genstand på et udstrakt gummiark, der får arket til at bøje sig nedad. Dette kurver koordinatsystemet omkring objektet, ligesom et objekt i universet kurver det koordinatsystem det sidder i. Matematikken her er konceptuelt mere kompleks end på Jorden, da den resulterer i fire dimensioner af buede koordinater i stedet for tre som vant til beskrive en buet 2D-overflade.

Parallel transport

Eksempel: Parallel forskydning langs en cirkel af en tredimensionel kugle indlejret i to dimensioner. Cirklen med radius r er indlejret i et todimensionelt rum præget af koordinaterne z ¹ og z ² . Selve cirklen er kendetegnet ved koordinaterne y ¹ og y ² i det to-dimensionelle rum. Selve cirklen er endimensionel og kan karakteriseres ved dens buelængde x . Koordinaten y er relateret til koordinaten x gennem forholdet y ¹ = r cos x / r og y ² = r synd x / r . Dette giver ∂ y ¹ / ∂ x = −sin x / r og ∂ y ² / ∂ x = cos x / r I dette tilfælde er metricen en skalar og er givet af g = cos ² x / r + synd ² x / r = 1 . Intervallet er derefter ds ² = g dx ² = dx ² . Intervallet er lig med buelængden som forventet.

Intervallet i et højdimensionelt rum

I et euklidisk rum måles adskillelsen mellem to punkter ved afstanden mellem de to punkter. Afstanden er rent rumlig og er altid positiv. I rumtid måles adskillelsen mellem to begivenheder ved det invariante interval mellem de to begivenheder, som ikke kun tager højde for den rumlige adskillelse mellem begivenhederne, men også deres adskillelse i tid. Intervallet, s ² , mellem to begivenheder er defineret som:

${\ displaystyle s ^ {2} = \ Delta r ^ {2} -c ^ {2} \ Delta t ^ {2} \,}$      (rumtidsinterval),

hvor c er lysets hastighed, og Δ r og Δ t betegner forskelle i henholdsvis rum- og tidskoordinaterne mellem begivenhederne. Valget af tegn til s ² ovenfor følger den rumlignende konvention (- +++) . En notation som Δ r ² organer (Δ r ) ² . Årsagen s ² kaldes intervallet og ikke s er, at s ² kan være positiv, nul eller negativ.

Rumtiden intervaller kan klassificeres i tre forskellige typer, baseret på, om den tidsmæssige adskillelse ( c ² Δ t ² ) eller den rumlige adskillelse ( Δ r ² ) af de to hændelser er større: tid-lignende, lys-lignende eller rum-lignende .

Visse typer af verdenslinjer kaldes geodesik for rumtiden - lige linjer i tilfælde af flad Minkowski-rumtid og deres nærmeste ækvivalent i den buede rumtid for generel relativitet. I tilfælde af rent tidslignende stier er geodesik (lokalt) stierne for størst adskillelse (rumtidstidsinterval) målt langs stien mellem to begivenheder, mens geodesik i det euklidiske rum og Riemanniske manifolder er stier med den korteste afstand mellem to punkter . Begrebet geodesik bliver centralt i generel relativitet , da geodesisk bevægelse kan betragtes som "ren bevægelse" ( inerti-bevægelse ) i rumtiden, dvs. fri for enhver ekstern påvirkning.

Kovariantderivatet

Det covariante derivat er en generalisering af retningsderivatet fra vektorberegning. Som med retningsderivatet er det covariante derivat en regel, der tager sine input: (1) en vektor, u , (langs hvilken derivatet er taget) defineret ved et punkt P , og (2) et vektorfelt, v , defineret i et kvarter af P . Outputtet er en vektor, også ved punktet P . Den primære forskel fra det sædvanlige retningsderivat er, at det covariante derivat i en bestemt præcis forstand skal være uafhængig af den måde, hvorpå det udtrykkes i et koordinatsystem.

Parallel transport

I betragtning af den covariant derivat, kan man definere parallelle transport af en vektor v i et punkt P langs en kurve γ starter ved P . For hvert punkt x af γ vil den parallelle transport af v ved x være en funktion af x og kan skrives som v ( x ) , hvor v (0) = v . Funktionen v bestemmes af kravet om, at det covariante derivat af v ( x ) langs γ er 0. Dette svarer til det faktum, at en konstant funktion er en, hvis derivat konstant er 0.

Christoffel symboler

Ligningen for det covariante derivat kan skrives i form af Christoffel-symboler. Christoffel-symbolerne finder hyppig anvendelse i Einsteins generelle relativitetsteori , hvor rumtiden er repræsenteret af en buet 4-dimensionel Lorentz manifold med en Levi-Civita forbindelse . De Einstein feltligninger - som bestemmer rumtidens geometri i nærvær af stof - indeholde Ricci tensor . Da Ricci-tensoren er afledt af Riemann-krumningensensoren, som kan skrives i form af Christoffel-symboler, er en beregning af Christoffel-symbolerne afgørende. Når geometrien er bestemt, beregnes stierne for partikler og lysstråler ved at løse de geodesiske ligninger , hvor Christoffel-symbolerne eksplicit vises.

Geodesik

I generel relativitet generaliserer en geodesik forestillingen om en "lige linje" til buet rumtid . Vigtigere er, at verdenslinjen for en partikel, der er fri for al ekstern, ikke-tyngdekraft, er en bestemt type geodesik. Med andre ord bevæger en frit bevægende eller faldende partikel altid sig langs en geodesik.

I generel relativitet kan tyngdekraften ikke betragtes som en kraft, men som en konsekvens af en buet rumtidsgeometri, hvor krumningskilden er stress-energitensoren (f.eks. Repræsenterer stof). Således er stien til en planet, der kredser omkring en stjerne, for eksempel projicering af en geodesik med den buede 4-dimensionelle rumtidsgeometri omkring stjernen på et 3-dimensionelt rum.

En kurve er en geodesik, hvis kurvens tangentvektor på et hvilket som helst punkt er lig med den parallelle transport af basispunktets tangentvektor .

Krumningstensor

Riemann-krumningstensoren fortæller os matematisk, hvor meget krumning der er i et givet område af rummet. Kontrahering af tensoren producerer 2 flere matematiske objekter:

1. Den Riemann krumning tensor : R ^p _σμν , der giver det mest oplysninger om krumningen af et rum og er afledt af derivater af metriske tensor . I fladt rum er denne tensor nul.
2. Den Ricci tensor : R _σν , kommer fra behovet i Einsteins teori til en krumning tensor med kun 2 indekser. Det opnås ved at beregne et gennemsnit af visse dele af Riemann-krumningstensoren.
3. Den skalære krumning : R , det enkleste mål for krumning, tildeler en enkelt skalarværdi til hvert punkt i et rum. Det opnås ved gennemsnit af Ricci-tensoren.

Riemann-krumningstensoren kan udtrykkes som et covariantderivat.

Einstein tensor G er en rang-2 tensor defineret over pseudo-Riemannian manifolds . I indeksfri notation er det defineret som

${\ displaystyle \ mathbf {G} = \ mathbf {R} - {\ tfrac {1} {2}} \ mathbf {g} R,}$

hvor R er Ricci-tensoren , g er den metriske tensor og R er den skalære krumning . Det bruges i Einstein-feltligningerne .

Stress – energi tensor

Kontravariant komponenter i stress-energitensoren.

Den stress-energi tensor (undertiden stress-energi-impuls tensor eller energi-impuls tensor ) er en tensor mængde i fysik , der beskriver densiteten og flux af energi og momentum i rumtiden , generalisere stress tensor af newtonsk fysik. Det er en egenskab ved stof , stråling , og ikke-gravitationelle kraftfelter . Stress-energitensoren er kilden til tyngdefeltet i Einstein-feltligningerne med generel relativitet , ligesom massefylde er kilden til et sådant felt i Newtons tyngdekraft . Da denne tensor har 2 indekser (se næste afsnit), skal Riemann-krumningstensoren kontraheres i Ricci-tensoren, også med 2 indekser.

Einstein ligning

De Einstein feltligninger ( EFE ) eller Einsteins ligninger er et sæt af 10 ligninger i Albert Einsteins almene relativitetsteori som beskriver naturkræfter af gravitation som følge af rumtiden blive krummet af stof og energi . Først udgivet af Einstein i 1915 som en tensorligning , sidestiller EFE lokal rumtidstids krumning (udtrykt af Einstein-tensoren ) med den lokale energi og momentum inden for den rumtid (udtrykt ved stress-energitensoren ).

Einstein feltligningerne kan skrives som

${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ over c ^ {4}} T _ {\ mu \ nu},}$

hvor G _μν er Einstein tensor og T _μν er stress – energi tensor .

Dette indebærer, at rumets krumning (repræsenteret af Einstein-tensoren) er direkte forbundet med tilstedeværelsen af ​​stof og energi (repræsenteret af stress-energitensoren).

Schwarzschild-løsning og sorte huller

I Einstein teori om generelle relativitetsteori , den Schwarzschild metriske (også Schwartzschild vakuum eller Schwarzschild opløsning ), er en løsning på de Einstein feltligninger som beskriver den gravitationsfelt uden en sfærisk masse, ud fra den antagelse, at den elektriske ladning af massen, den impulsmoment af massen, og den universelle kosmologiske konstant er alle nul. Løsningen er en nyttig tilnærmelse til beskrivelse af langsomt roterende astronomiske objekter såsom mange stjerner og planeter , inklusive Jorden og Solen. Løsningen er opkaldt efter Karl Schwarzschild , der først offentliggjorde løsningen i 1916, lige før hans død.

Ifølge Birkhoff sætning , Schwartzschild variabel er den mest generelle sfærisk symmetrisk , vakuum opløsning af Einstein feltligninger . Et Schwarzschild-sort hul eller statisk sort hul er et sort hul, der ikke har nogen ladning eller vinkelmoment . Et Schwarzschild-sort hul er beskrevet af Schwarzschild-metricen og kan ikke skelnes fra noget andet Schwarzschild-sort hul undtagen ved dets masse.

Se også

• Differentierbar manifold
• Christoffel symbol
• Riemannian geometri
• Ricci-beregning
• Differentiel geometri og topologi
• Liste over forskellige geometriemner
• Generel relativitetsteori
• Gauge gravitationsteori
• Generelle kovariante transformationer
• Afledninger af Lorentz-transformationerne

Bemærkninger

Referencer

• PAM Dirac (1996). Generel relativitetsteori . Princeton University Press . ISBN   0-691-01146-X .
• Misner, Charles; Thorne, Kip S .; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation . San Francisco: WH Freeman. ISBN   0-7167-0344-0 .
• Landau, LD; Lifshitz, EM (1975). Klassisk feltteori (fjerde revideret engelsk udgave). Oxford: Pergamon. ISBN   0-08-018176-7 .
• RP Feynman; FB Moringo; WG Wagner (1995). Feynman Forelæsninger om Gravitation . Addison-Wesley . ISBN   0-201-62734-5 .
• Einstein, A. (1961). Relativitet: Den særlige og generelle teori . New York: Crown. ISBN   0-517-02961-8 .