Tensor - Tensor

Den anden orden Cauchy stress tensor ( ) beskriver spændingskræfterne, som et materiale oplever på et givet tidspunkt. Produktet af spændingstensoren og en enhedsvektor , der peger i en given retning, er en vektor, der beskriver spændingskræfterne, der opleves af et materiale på det punkt, der beskrives af spændingstensoren, langs et plan vinkelret på . Dette billede viser spændingsvektorerne langs tre vinkelrette retninger, hver repræsenteret af en flade af terningen. Da spændingstensoren beskriver en kortlægning, der tager en vektor som input og giver en vektor som output, er det en andenordens tensor.${\ displaystyle \ mathbf {T}}$${\ displaystyle \ mathbf {T} \ cdot \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

I matematik er en tensor et algebraisk objekt, der beskriver et multilinearisk forhold mellem sæt af algebraiske objekter relateret til et vektorrum . Objekter, som tensorer kan kortlægge mellem, omfatter vektorer og skalarer og endda andre tensorer. Der er mange typer af tensorer, herunder skalarer og vektorer (som er de enkleste tensorer), dobbelte vektorer , flerlinjede kort mellem vektorrum og endda nogle operationer såsom prikprodukt . Tensorer defineres uafhængigt af ethvert grundlag , selvom de ofte refereres til af deres komponenter på et grundlag, der er relateret til et bestemt koordinatsystem.

Tensorer er blevet vigtige i fysik, fordi de giver en kortfattet matematisk ramme til formulering og løsning af fysiske problemer på områder som mekanik ( stress , elasticitet , væskemekanik , inertimoment , ...), elektrodynamik ( elektromagnetisk tensor , Maxwell tensor , permittivitet , magnetisk modtagelighed , ...) eller generel relativitet ( stress – energi tensor , krumningstensor , ...) og andre. I applikationer er det almindeligt at studere situationer, hvor en anden tensor kan forekomme på hvert punkt i et objekt; for eksempel kan spændingen i et objekt variere fra et sted til et andet. Dette fører til begrebet et tensorfelt . I nogle områder er tensorfelter så allestedsnærværende, at de ofte ganske enkelt kaldes "tensorer".

Tullio Levi-Civita og Gregorio Ricci-Curbastro populariserede tensorer i 1900-fortsatte det tidligere arbejde med Bernhard Riemann og Elwin Bruno Christoffel og andre-som en del af den absolutte differentialregning . Konceptet muliggjorde en alternativ formulering af en manifolds indre differentialgeometri i form af Riemann -krumningstensoren .

Definition

Selv om de tilsyneladende er forskellige, beskriver de forskellige tilgange til at definere tensorer det samme geometriske koncept ved hjælp af forskellige sprog og på forskellige abstraktionsniveauer. For eksempel defineres og diskuteres tensorer til statistiske og maskinlæringsapplikationer .

Som multidimensionale arrays

En tensor kan repræsenteres som en matrix (potentielt multidimensionel). Ligesom en vektor i et n - dimensionelt rum er repræsenteret af et endimensionelt array med n komponenter i forhold til et givet grundlag , er enhver tensor i forhold til et grundlag repræsenteret af et multidimensionelt array. For eksempel repræsenteres en lineær operator på basis af et todimensionalt firkantet n × n- array. Tallene i det flerdimensionale array er kendt som skalarens komponenter i tensoren eller simpelthen dens komponenter . De betegnes med indekser, der angiver deres position i arrayet, som subscripts og superscripts , efter tensors symbolske navn. For eksempel kan komponenterne i en ordre 2 tensor T betegnes T _ij  , hvor i og j er indekser, der løber fra 1 til n , eller også med T ^jeg
_j. Om et indeks vises som et overskrift eller abonnement, afhænger af tensorens transformationsegenskaber, beskrevet nedenfor. Således mens T _ij og T ^jeg
_jkan begge udtrykkes som n ved n matricer og er numerisk relaterede via indeksjonglering , indikerer forskellen i deres transformationslove, at det ville være forkert at tilføje dem sammen. Det samlede antal indeks, der kræves for at identificere hver komponent entydigt, er lig med arrayets dimension og kaldes tensorens rækkefølge , grad eller rang . Imidlertid har udtrykket "rang" generelt en anden betydning i forbindelse med matricer og tensorer.

Ligesom komponenterne i en vektor ændres, når vi ændrer grundlaget for vektorrummet, ændres komponenterne i en tensor også under en sådan transformation. Hver type tensor er udstyret med en transformationslov, der beskriver, hvordan tensorens komponenter reagerer på en ændring af grundlaget . Komponenterne i en vektor kan reagere på to forskellige måder til en ændring af basis (se kovarians og contravariance af vektorer ), hvor de nye basisvektorer er udtrykt i forhold til de gamle basisvektorer som, ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {e}} _ {i}}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {j}}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} = \ sum _ {j = 1}^{n} \ mathbf {e} _ {j} R_ {i}^{j} = \ mathbf { e} _ {j} R_ {i}^{j}.}$

Her R ^j _jeg er poster i basisændring matrix og i yderste højre udtryk for summation tegn blev undertrykt: dette er Einstein summation konvention , som vil blive brugt i denne artikel. Komponenterne v ⁱ i en søjlevektor v transformerer med inversen af matrixen R ,

${\ displaystyle {\ hat {v}}^{i} = \ venstre (R^{-1} \ højre) _ {j}^{i} v^{j},}$

hvor hatten betegner komponenterne i det nye grundlag. Dette kaldes en kontravariant transformationslov, fordi vektorkomponenterne transformeres ved inversen af grundændringen. I modsætning hertil komponenterne, w _i , af en covector (eller række vektor), w transformation med matricen R selv,

${\ displaystyle {\ hat {w}} _ {i} = w_ {j} R_ {i}^{j}.}$

Dette kaldes en kovariant transformationslov, fordi covektorkomponenterne transformeres ved den samme matrix som ændringen af ​​basismatrixen. Komponenterne i en mere generel tensortransformation ved en kombination af kovariante og kontravariante transformationer med en transformationslov for hvert indeks. Hvis transformationsmatrixen for et indeks er den omvendte matrix for grundtransformationen, kaldes indekset kontravariant og betegnes konventionelt med et øvre indeks (overskrift). Hvis transformationsmatrixen for et indeks er selve grundtransformationen, kaldes indekset kovariant og betegnes med et lavere indeks (subscript).

Som et enkelt eksempel er matrixen for en lineær operator i forhold til et grundlag en rektangulær matrix, der transformeres under en ændring af basismatrix med . For de enkelte matrixposter har denne transformationslov formen, så tensoren, der svarer til matrixen for en lineær operator, har en kovariant og et kontravariantindeks: den er af typen (1,1). ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle R = \ venstre (R_ {i}^{j} \ højre)}$${\ displaystyle {\ hat {T}} = R^{-1} TR}$${\ displaystyle {\ hat {T}} _ {j '}^{i'} = \ venstre (R^{-1} \ højre) _ {i}^{i '} T_ {j}^{i} R_ {j '}^{j}}$

Kombinationer af kovariante og kontravariantkomponenter med samme indeks giver os mulighed for at udtrykke geometriske invarianter. For eksempel kan det faktum, at en vektor er det samme objekt i forskellige koordinatsystemer, fanges af følgende ligninger ved hjælp af formlerne defineret ovenfor:

${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ hat {v}}^{i} \, \ mathbf {\ hat {e}} _ {i} = \ venstre (\ venstre (R^{-1} \ højre ) _ {j}^{i} {v}^{j} \ højre) \ venstre (\ mathbf {e} _ {k} R_ {i}^{k} \ højre) = \ venstre (\ venstre (R ^{-1} \ right) _ {j}^{i} R_ {i}^{k} \ right) {v}^{j} \ mathbf {e} _ {k} = \ delta _ {j} ^{k} {v}^{j} \ mathbf {e} _ {k} = {v}^{k} \, \ mathbf {e} _ {k} = {v}^{i} \, \ mathbf {e} _ {i}}$,

hvor er Kronecker -deltaet , der fungerer på samme måde som identitetsmatricen , og har den virkning, at indeks omdøbes ( j til k i dette eksempel). Dette viser flere funktioner i komponentnotationen: evnen til at omarrangere vilkår efter behag ( kommutativitet ), behovet for at bruge forskellige indeks, når der arbejdes med flere objekter i det samme udtryk, evnen til at omdøbe indekser og den måde, hvorpå kontravariant er og kovariante tensorer kombineres, så alle forekomster af transformationsmatricen og dens inverse annulleres, så udtryk som umiddelbart kan ses at være geometrisk identiske i alle koordinatsystemer. ${\ displaystyle \ delta _ {j}^{k}}$${\ displaystyle {v}^{i} \, \ mathbf {e} _ {i}}$

På samme måde afhænger en lineær operator, set som et geometrisk objekt, faktisk ikke af et grundlag: det er bare et lineært kort, der accepterer en vektor som et argument og producerer en anden vektor. Transformationsloven for, hvordan matrixen af ​​komponenter i en lineær operator ændrer sig med grundlaget, er i overensstemmelse med transformationsloven for en kontravariant vektor, så en lineær operators virkning på en kontravariant vektor er repræsenteret i koordinater som matrixproduktet af deres respektive koordinatrepræsentationer. Det vil sige, at komponenterne er givet af . Disse komponenter transformeres kontravariant siden ${\ displaystyle (Tv)^{i}}$${\ displaystyle (Tv)^{i} = T_ {j}^{i} v^{j}}$

${\ displaystyle \ left ({\ widehat {Tv}} \ right)^{i '} = {\ hat {T}} _ {j'}^{i '} {\ hat {v}}^{j' } = \ venstre [\ venstre (R^{-1} \ højre) _ {i}^{i '} T_ {j}^{i} R_ {j'}^{j} \ højre] \ venstre [\ venstre (R^{-1} \ højre) _ {j}^{j '} v^{j} \ højre] = \ venstre (R^{-1} \ højre) _ {i}^{i'} (Tv)^{i}.}$

Transformationsloven for en ordre p + q tensor med p kontravariantindeks og q kovariansindeks er således givet som,

${\ displaystyle {\ hat {T}} _ {j '_ {1}, \ ldots, j' _ {q}}^{i '_ {1}, \ ldots, i' _ {p}} = \ venstre (R^{-1} \ højre) _ {i_ {1}}^{i '_ {1}} \ cdots \ venstre (R^{-1} \ højre) _ {i_ {p}}^{ jeg '_ {p}}}$ ${\ displaystyle T_ {j_ {1}, \ ldots, j_ {q}}^{i_ {1}, \ ldots, i_ {p}}}$ ${\ displaystyle R_ {j '_ {1}}^{j_ {1}} \ cdots R_ {j' _ {q}}^{j_ {q}}.}$

Her betegner de primede indeks komponenter i de nye koordinater, og de ikke -primede indekser betegner komponenterne i de gamle koordinater. En sådan tensor siges at være af orden eller type ( p , q ) . Udtrykkene "rækkefølge", "type", "rang", "valens" og "grad" bruges alle undertiden til det samme koncept. Her vil udtrykket "ordre" eller "samlet ordre" blive brugt til matrixens samlede dimension (eller dens generalisering i andre definitioner), p + q i det foregående eksempel og udtrykket "type" for parret, der giver antallet af kontravariant og kovariant indeks. En tensor af typen ( p , q ) kaldes også en ( p , q ) -tensor for kort.

Denne diskussion motiverer følgende formelle definition:

Definition. En tensor af typen ( p , q ) er en tildeling af et multidimensionelt array

${\ displaystyle T_ {j_ {1} \ dots j_ {q}}^{i_ {1} \ prikker i_ {p}} [\ mathbf {f}]}$

til hvert grundlag f = ( e ₁ , ..., e _n ) i et n -dimensionelt vektorrum, således at hvis vi anvender basisændringen

${\ displaystyle \ mathbf {f} \ mapsto \ mathbf {f} \ cdot R = \ left (\ mathbf {e} _ {i} R_ {1}^{i}, \ dots, \ mathbf {e} _ { i} R_ {n}^{i} \ højre)}$

så adlyder det multidimensionale array transformationsloven

${\ displaystyle T_ {j '_ {1} \ dots j' _ {q}}^{i '_ {1} \ dots i' _ {p}} [\ mathbf {f} \ cdot R] = \ venstre (R^{-1} \ højre) _ {i_ {1}}^{i '_ {1}} \ cdots \ venstre (R^{-1} \ højre) _ {i_ {p}}^{i '_ {p}}}$ ${\ displaystyle T_ {j_ {1}, \ ldots, j_ {q}}^{i_ {1}, \ ldots, i_ {p}} [\ mathbf {f}]}$ ${\ displaystyle R_ {j '_ {1}}^{j_ {1}} \ cdots R_ {j' _ {q}}^{j_ {q}}.}$

Definitionen af ​​en tensor som et multidimensionelt array, der opfylder en transformationslov, spores tilbage til Ricci's arbejde.

En ækvivalent definition af en tensor bruger repræsentationerne for den generelle lineære gruppe . Der er en handling fra den generelle lineære gruppe på sættet af alle ordnede baser af et n -dimensionelt vektorrum. Hvis er et ordnet grundlag og er en inverterbar matrix, er handlingen givet af ${\ displaystyle \ mathbf {f} = (\ mathbf {f} _ {1}, \ dots, \ mathbf {f} _ {n})}$${\ displaystyle R = \ venstre (R_ {j}^{i} \ højre)}$${\ displaystyle n \ gange n}$

${\ displaystyle \ mathbf {f} R = \ left (\ mathbf {f} _ {i} R_ {1}^{i}, \ dots, \ mathbf {f} _ {i} R_ {n}^{i }\ret).}$

Lad F være sættet for alle ordnede baser. Derefter er F et hovedhomogent rum for GL ( n ). Lad W være et vektorrum og lad være en repræsentation af GL ( n ) på W (det vil sige en gruppehomomorfisme ). Så er en tensor af typen et ækvivalent kort . Ækvivalens her betyder det ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle \ rho: {\ tekst {GL}} (n) \ til {\ tekst {GL}} (W)}$${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle T: F \ til W}$

${\ displaystyle T (FR) = \ rho \ left (R^{-1} \ right) T (F).}$

Hvornår er en tensorrepræsentation af den generelle lineære gruppe, giver dette den sædvanlige definition af tensors som multidimensionale arrays. Denne definition bruges ofte til at beskrive tensorer på manifolder og generaliserer let til andre grupper. ${\ displaystyle \ rho}$

Som multilineariske kort

En ulempe ved definitionen af ​​en tensor ved hjælp af den multidimensionale array -tilgang er, at det ikke fremgår af definitionen, at det definerede objekt faktisk er basisuafhængigt, som det forventes af et iboende geometrisk objekt. Selvom det er muligt at vise, at transformationslove faktisk sikrer uafhængighed fra grundlaget, foretrækkes nogle gange en mere iboende definition. En fremgangsmåde, der er almindelig inden for differential geometri, er at definere tensorer i forhold til et fast (endeligt-dimensionelt) vektorrum V , som normalt anses for at være et bestemt vektorrum med en vis geometrisk betydning som tangentrummet til en manifold. I denne fremgangsmåde er en type ( p , q ) tensor T defineret som et flerlinjet kort ,

${\ displaystyle T: \ underbrace {V^{*} \ times \ dots \ times V^{*}} _ {p {\ text {kopier}}} \ gange \ underbrace {V \ times \ dots \ times V} _ {q {\ tekst {kopier}}} \ højrepil \ mathbf {R},}$

hvor V ^∗ er det tilsvarende dobbelte rum af kovektorer, som er lineært i hvert af dets argumenter. Ovenstående antager, at V er et vektorrum over de reelle tal , ℝ . Mere generelt kan V overtages over ethvert felt F (f.eks. De komplekse tal ), idet F erstatter ℝ som kodomenet for de flerlinjede kort.

Ved at anvende et flerlinjet kort T af typen ( p , q ) på et grundlag { e _j } for V og en kanonisk kobase { ε ⁱ } for V ^∗ ,

${\ displaystyle T_ {j_ {1} \ dots j_ {q}}^{i_ {1} \ dots i_ {p}} \ equiv T \ left ({\ boldsymbol {\ varepsilon}}^{i_ {1}} , \ ldots, {\ boldsymbol {\ varepsilon}}^{i_ {p}}, \ mathbf {e} _ {j_ {1}}, \ ldots, \ mathbf {e} _ {j_ {q}} \ right ),}$

en ( p + q ) -dimensionel række komponenter kan opnås. Et andet valg af grundlag vil give forskellige komponenter. Men fordi T er lineær i alle sine argumenter, tilfredsstiller komponenterne den tensortransformationslov, der bruges i multilinear array definition. Det multidimensionale array af komponenter af T danner således en tensor ifølge denne definition. Desuden kan et sådant array realiseres som komponenterne i nogle multilineær kort T . Dette motiverer at se multilineariske kort som de iboende objekter, der ligger til grund for tensorer.

Ved visning af en tensor som et multilinear kort, er det konventionelt at identificere den dobbelte dobbelt V ^** af vektorrummet V , dvs. rummet af lineære functionals på den dobbelte vektorrum V ^* , med vektorrummet V . Der er altid en naturlig lineær afbildning fra V til dens dobbelte dobbelt, givet ved evaluering af en lineær form i V ^* mod en vektor i V . Denne lineære kortlægning er en isomorfisme i begrænsede dimensioner, og det er ofte hensigtsmæssigt at identificere V med sin dobbelte dual.

Brug af tensorprodukter

For nogle matematiske applikationer er en mere abstrakt tilgang undertiden nyttig. Dette kan opnås ved at definere tensorer i form af elementer i tensorprodukter i vektorrum, som igen er defineret gennem en universel egenskab . En type ( p , q ) tensor er i denne sammenhæng defineret som et element i tensorproduktet af vektorrum,

${\ displaystyle T \ in \ underbrace {V \ otimes \ dots \ otimes V} _ {p {\ text {kopier}}} \ otimes \ underbrace {V^{*} \ otimes \ dots \ otimes V^{*} } _ {q {\ tekst {kopier}}}.}$

En basis v _i i V og basis w _j af W naturligt inducere en basis v _i ⊗ w _j af tensor produkt V ⊗ W . Komponenterne i en tensor T er tensorens koefficienter i forhold til det basis, der opnås fra et grundlag { e _i } for V og dets dobbelte basis { ε ^j } , dvs.

${\ displaystyle T = T_ {j_ {1} \ dots j_ {q}}^{i_ {1} \ dots i_ {p}} \; \ mathbf {e} _ {i_ {1}} \ otimes \ cdots \ otimes \ mathbf {e} _ {i_ {p}} \ otimes {\ boldsymbol {\ varepsilon}}^{j_ {1}} \ otimes \ cdots \ otimes {\ boldsymbol {\ varepsilon}}^{j_ {q} }.}$

Ved hjælp af tensorproduktets egenskaber kan det påvises, at disse komponenter opfylder transformationsloven for en type ( p , q ) tensor. Desuden er den universelle egenskab af tensor produktet giver en 1 -til- 1 korrespondance mellem tensorer defineret på denne måde, og tensorer defineret som multilinear kort.

Denne 1 til 1 korrespondance kan arkiveres på følgende måde, fordi der i det endelige dimensionelle tilfælde eksisterer en kanonisk isomorfisme mellem et vektorrum og dets dobbelte dual:

${\ displaystyle U \ otimes V \ cong \ left (U^{**} \ right) \ otimes \ left (V^{**} \ right) \ cong \ left (U^{*} \ otimes V^{ *} \ højre)^{*} \ cong \ operatorname {Hom}^{2} \ venstre (U^{*} \ gange V^{*}; \ mathbb {F} \ højre)}$

Den sidste linje bruger tensorproduktets universelle egenskab, at der er en 1 til 1 korrespondance mellem kort fra og . ${\ displaystyle \ operatorname {Hom}^{2} \ venstre (U^{*} \ gange V^{*}; \ mathbb {F} \ højre)}$${\ displaystyle \ operatorname {Hom} \ left (U^{*} \ otimes V^{*}; \ mathbb {F} \ right)}$

Tensorprodukter kan defineres i stor generalitet - for eksempel ved at involvere vilkårlige moduler over en ring. I princippet kunne man definere en "tensor" blot for at være et element i ethvert tensorprodukt. Imidlertid forbeholder matematiklitteraturen normalt udtrykket tensor for et element af et tensorprodukt af et hvilket som helst antal kopier af et enkelt vektorrum V og dets dual, som ovenfor.

Tensorer i uendelige dimensioner

Denne diskussion af tensorer forudsætter hidtil en endelig dimension af de involverede rum, hvor rumene i tensorer opnået ved hver af disse konstruktioner naturligt er isomorfe . Konstruktioner af rum for tensorer baseret på tensorproduktet og flerlinjære kortlægninger kan generaliseres, i det væsentlige uden modifikation, til vektorbundter eller sammenhængende skiver . For uendelige-dimensionelle vektorrum fører uækvivalente topologier til ulige forestillinger om tensor, og disse forskellige isomorfismer holder måske eller ikke afhængigt af, hvad der præcist menes med en tensor (se topologisk tensorprodukt ). I nogle applikationer er det tensorproduktet fra Hilbert-rum, der er tiltænkt, hvis egenskaber ligner mest den endelige dimensionelle sag. En mere moderne opfattelse er, at det er tensors struktur som en symmetrisk monoid kategori, der koder for deres vigtigste egenskaber, frem for de specifikke modeller af disse kategorier.

Tensor felter

I mange applikationer, især inden for differential geometri og fysik, er det naturligt at overveje en tensor med komponenter, der er funktioner i punktet i et rum. Dette var rammen om Riccis originale værk. I moderne matematisk terminologi kaldes et sådant objekt et tensorfelt , ofte omtalt som en tensor.

I denne sammenhæng vælges ofte et koordinatgrundlag for tangentvektorrummet . Transformationsloven kan derefter udtrykkes i form af partielle derivater af koordinatfunktionerne,

${\ displaystyle {\ bar {x}}^{i} \ venstre (x^{1}, \ ldots, x^{n} \ højre),}$

definere en koordinat transformation,

${\ displaystyle {\ hat {T}} _ {j '_ {1} \ dots j' _ {q}}^{i '_ {1} \ prikker i' _ {p}} \ venstre ({\ bar {x}}^{1}, \ ldots, {\ bar {x}}^{n} \ right) = {\ frac {\ delvis {\ bar {x}}^{i '_ {1}}} {\ delvis x^{i_ {1}}}} \ cdots {\ frac {\ delvis {\ bar {x}}^{i '_ {p}}} {\ delvis x^{i_ {p}}} } {\ frac {\ delvis x^{j_ {1}}} {\ delvis {\ bar {x}}^{j '_ {1}}}} \ cdots {\ frac {\ delvis x^{j_ { q}}} {\ delvis {\ bar {x}}^{j '_ {q}}}} T_ {j_ {1} \ prikker j_ {q}}^{i_ {1} \ prikker i_ {p} } \ venstre (x^{1}, \ ldots, x^{n} \ højre).}$

Eksempler

Et elementært eksempel på en kortlægning, der kan beskrives som en tensor, er prikproduktet , der kortlægger to vektorer til en skalar. Et mere komplekst eksempel er Cauchy -spændingstensoren T , som tager en retningsbestemt enhedsvektor v som input og kortlægger den til spændingsvektoren T ^{( v )} , som er den kraft (pr. Arealenhed), der udøves af materiale på den negative side af plan vinkelret på v mod materialet på den positive side af flyet og udtrykker således et forhold mellem disse to vektorer, vist i figuren (til højre). Den tværs af produkter , hvor to vektorer mappes til en tredje, er strengt taget ikke en tensor fordi den skifter fortegn under disse transformationer som ændrer orienteringen af koordinatsystemet. Det totalt antisymmetriske symbol tillader ikke desto mindre en bekvem håndtering af krydsproduktet i lige orienterede tredimensionelle koordinatsystemer. ${\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk}}$

Denne tabel viser vigtige eksempler på tensorer på vektorrum og tensorfelter på manifolder. Tensorerne er klassificeret efter deres type ( n , m ) , hvor n er antallet af kontravariantindekser, m er antallet af kovarianske indekser, og n + m giver tensorens samlede rækkefølge. For eksempel er en bilinear form det samme som en (0, 2) -tensor; et indre produkt er et eksempel på en (0, 2) -tensor, men ikke alle (0, 2) -tensorer er indre produkter. I (0, M ) -indgangen i tabellen angiver M dimensionaliteten af ​​det underliggende vektorrum eller manifold, fordi der for hver dimension i rummet er brug for et separat indeks for at vælge denne dimension for at få en maksimalt kovariant antisymmetrisk tensor.

At hæve et indeks på en ( n , m ) -tensor producerer en ( n + 1, m -1) -tensor; dette svarer til at bevæge sig diagonalt ned og til venstre på bordet. Symmetrisk svarer sænkning af et indeks til at bevæge sig diagonalt op og til højre på bordet. Sammentrækning af en overdel med et lavere indeks for en ( n , m ) -tensor producerer en ( n -1, m -1) -tensor; dette svarer til at bevæge sig diagonalt op og til venstre på bordet.

Orientering defineret af et ordnet sæt vektorer.

Omvendt retning svarer til at negere det udvendige produkt.

Geometrisk fortolkning af klasse n -elementer i en ægte ydre algebra for n = 0 (signeret punkt), 1 (rettet linjesegment eller vektor), 2 (orienteret planelement), 3 (orienteret volumen). Det udvendige produkt af n vektorer kan visualiseres som enhver n -dimensionel form (f.eks. N - parallelotop , n - ellipsoid ); med størrelse ( hypervolumen ) og orientering defineret af den på dens n -1 -dimensionelle grænse, og på hvilken side interiøret er.

Ejendomme

Under forudsætning af et grundlag for et reelt vektorrum, f.eks. En koordinatramme i det omgivende rum, kan en tensor repræsenteres som en organiseret multidimensionel række numeriske værdier med hensyn til dette specifikke grundlag. Ændring af grundlaget transformerer værdierne i arrayet på en karakteristisk måde, der gør det muligt at definere tensorer som objekter, der følger denne transformationsadfærd. For eksempel er der invarianter af tensorer, der skal bevares under enhver ændring af grundlaget, og derved kun gøre visse multidimensionale talarrays til en tensor. Sammenlign dette med arrayet, der repræsenterer ikke at være en tensor, for tegnændringen under transformationer ændrer orienteringen. ${\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk}}$

Fordi komponenterne i vektorer og deres dualer transformeres forskelligt under ændringen af ​​deres dobbelte baser, er der en kovariant og/eller kontravariant transformationslov, der relaterer arraysne, som repræsenterer tensoren med hensyn til det ene grundlag og det med hensyn til det andet . Antallet af henholdsvis vektorer: n ( kontravariantindeks ) og dobbelte vektorer: m ( kovarianteindekser ) i input og output af en tensor bestemmer tensorens type (eller valens ), et par naturlige tal ( n , m ) , som bestemmer den præcise form for transformationsloven. Det rækkefølgen af en tensor er summen af ​​disse to tal.

Rækkefølgen (også grad ellerrang ) af en tensor er således summen af ​​ordenerne i dens argumenter plus rækkefølgen af ​​den resulterende tensor. Dette er også dimensionaliteten af ​​rækken af ​​tal, der er nødvendig for at repræsentere tensoren med hensyn til et specifikt grundlag eller ækvivalent, antallet af indekser, der er nødvendige for at mærke hver komponent i det array. For eksempel på et fast grundlag er et standard lineært kort, der kortlægger en vektor til en vektor, repræsenteret af en matrix (et 2-dimensionelt array) og er derfor en 2.-ordens tensor. En simpel vektor kan repræsenteres som et 1-dimensionelt array og er derfor en 1.-ordens tensor. Skalarer er simple tal og er således Tensors i niende orden. På denne måde har tensoren, der repræsenterer skalarproduktet, der tager to vektorer og resulterer i en skalar, orden2 + 0 = 2, det samme som spændingstensoren, tager en vektor og returnerer en anden1 + 1 = 2. Den-symbolet,kortlægning to vektorer til én vektor, ville have orden2 + 1 = 3.${\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk}}$

Samlingen af ​​tensorer på et vektorrum og dets dobbelte danner en tensoralgebra , som tillader produkter af vilkårlige tensorer. Enkle applikationer af tensorer af orden 2 , som kan repræsenteres som en firkantet matrix, kan løses ved smart arrangement af transponerede vektorer og ved at anvende reglerne for matrixmultiplikation, men tensorproduktet skal ikke forveksles med dette.

Notation

Der er flere notationssystemer, der bruges til at beskrive tensorer og udføre beregninger, der involverer dem.

Ricci -beregning

Ricci calculus er den moderne formalisme og notation for tensorindeks: angiver indre og ydre produkter , kovarians og kontravariation , summeringer af tensorkomponenter, symmetri og antisymmetri og partielle og kovariante derivater .

Einstein summationskonvention

Den Einstein summation konvention dispenserer med at skrive summation skilte , der forlader summation implicitte. Ethvert gentaget indekssymbol opsummeres: hvis indekset i bruges to gange i et givet udtryk i et tensorudtryk, betyder det, at udtrykket skal summeres for alle i . Flere forskellige par indekser kan opsummeres på denne måde.

Penrose grafisk notation

Penrose grafisk notation er en diagrammatisk notation, der erstatter symbolerne for tensorer med former og deres indekser med linjer og kurver. Det er uafhængigt af basiselementer og kræver ingen symboler for indekserne.

Abstrakt indeksnotation

Den abstrakte indeksnotation er en måde at skrive tensorer på, så indekserne ikke længere betragtes som numeriske, men snarere er ubestemte . Denne notation indfanger indeksers udtryksfuldhed og basis-uafhængigheden af ​​indeksfri notation.

Komponentfri notation

En komponentfri behandling af tensorer anvender notation, der understreger, at tensorer ikke er afhængige af noget, og er defineret i form af tensorproduktet af vektorrum .

Operationer

Der er flere operationer på tensorer, der igen producerer en tensor. Den lineære karakter af tensor indebærer, at to tensorer af samme type kan adderes sammen, og at tensorer kan multipliceres med en skalar med resultater, der er analoge med skaleringen af ​​en vektor . På komponenter udføres disse operationer simpelthen komponentmæssigt. Disse operationer ændrer ikke typen af ​​tensor; men der er også operationer, der producerer en tensor af forskellig type.

Tensor -produkt

Det tensor produkt tager to tensorer, S og T , og producerer en ny tensor, S ⊗ T , hvis ordre er summen af ordre fra de oprindelige tensorer. Når det beskrives som multilineariske kort, multiplicerer tensorproduktet ganske enkelt de to tensorer, dvs.

${\ displaystyle (S \ otimes T) (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}, v_ {n+1}, \ ldots, v_ {n+m}) = S (v_ {1}, \ ldots , v_ {n}) T (v_ {n+1}, \ ldots, v_ {n+m}),}$

som igen producerer et kort, der er lineært i alle sine argumenter. På komponenter er effekten at multiplicere komponenterne i de to input -tensorer parvis, dvs.

${\ displaystyle (S \ otimes T) _ {j_ {1} \ ldots j_ {k} j_ {k+1} \ ldots j_ {k+m}}^{i_ {1} \ ldots i_ {l} i_ { l+1} \ ldots i_ {l+n}} = S_ {j_ {1} \ ldots j_ {k}}^{i_ {1} \ ldots i_ {l}} T_ {j_ {k+1} \ ldots j_ {k+m}}^{i_ {l+1} \ ldots i_ {l+n}},}$

Hvis S er af typen ( l , k ) og T er af typen ( n , m ) , har tensorproduktet S ⊗ T typen ( l + n , k + m ) .

Sammentrækning

Tensorkontraktion er en operation, der reducerer en type ( n , m ) tensor til en type ( n - 1, m - 1) tensor, hvoraf sporet er et specielt tilfælde. Det reducerer derved den samlede rækkefølge af en tensor med to. Operationen opnås ved at summere komponenter, for hvilke et specificeret kontravariantindeks er det samme som et specificeret kovariantindeks for at producere en ny komponent. Komponenter, for hvilke de to indeks er forskellige, kasseres. For eksempel kan en (1, 1) -tensor kontraheres til en skalar igennem . Hvor summeringen igen antydes. Når (1, 1) -tensoren fortolkes som et lineært kort, er denne operation kendt som sporet . ${\ displaystyle T_ {i}^{j}}$${\ displaystyle T_ {i}^{i}}$

Sammentrækningen bruges ofte i forbindelse med tensorproduktet til at indgå et indeks fra hver tensor.

Sammentrækningen kan også forstås ved hjælp af definitionen af ​​en tensor som et element i et tensorprodukt af kopier af rummet V med rummet V ^∗ ved først at nedbryde tensoren til en lineær kombination af simple tensorer og derefter anvende en faktor fra V ^* til en faktor fra V . For eksempel kan en tensor skrives som en lineær kombination ${\ displaystyle T \ i V \ otimes V \ otimes V^{*}}$

${\ displaystyle T = v_ {1} \ otimes w_ {1} \ otimes \ alpha _ {1}+v_ {2} \ otimes w_ {2} \ otimes \ alpha _ {2}+\ cdots+v_ {N} \ otimes w_ {N} \ otimes \ alpha _ {N}.}$

Kontraktionen af T på den første og sidste plads er derefter vektoren

${\ displaystyle \ alpha _ {1} (v_ {1}) w_ {1}+\ alpha _ {2} (v_ {2}) w_ {2}+\ cdots+\ alpha _ {N} (v_ {N) }) w_ {N}.}$

I et vektorrum med et indre produkt (også kendt som en metrisk ) g bruges udtrykket kontraktion til at fjerne to kontravariant eller to kovariante indekser ved at danne et spor med den metriske tensor eller dens inverse. For eksempel kan en (2, 0) -tensor kontraheres til en skalar gennem (endnu en gang under forudsætning af summationskonventionen). ${\ displaystyle T^{ij}}$${\ displaystyle T^{ij} g_ {ij}}$

Hæve eller sænke et indeks

Når et vektorrum er udstyret med en ikke -genereret bilinear form (eller metrisk tensor, som det ofte kaldes i denne sammenhæng), kan der defineres operationer, der konverterer et kontravariant (øvre) indeks til et kovariant (lavere) indeks og omvendt. En metrisk tensor er en (symmetrisk) ( 0, 2) -tensor; det er således muligt at indgå et øvre indeks for en tensor med et af de nedre indekser for den metriske tensor i produktet. Dette producerer en ny tensor med samme indeksstruktur som den tidligere tensor, men med lavere indeks generelt vist i samme position som det kontraherede øvre indeks. Denne operation er ganske grafisk kendt som at sænke et indeks .

Omvendt kan den inverse operation defineres, og kaldes at hæve et indeks . Dette svarer til en lignende sammentrækning på produktet med en (2, 0) -tensor. Denne inverse metriske tensor har komponenter, der er matrixinversen for dem i den metriske tensor.

Ansøgninger

Kontinuummekanik

Vigtige eksempler leveres af kontinuummekanik . Spændingerne inde i et fast legeme eller en væske er beskrevet af et tensorfelt. Den stress tensoren og stamme tensor er begge anden ordens tensor felter, og er forbundne i en generel lineær elastisk materiale ved en fjerde ordens elasticitet tensor felt. I detaljer har tensor-kvantificeringsspændingen i et tredimensionelt fast objekt komponenter, der bekvemt kan repræsenteres som et 3 × 3-array. De tre flader på et kubeformet uendeligt lille volumensegment af det faste stof er hver især underlagt en given kraft. Kraftens vektorkomponenter er også tre i antal. Således kræves 3 × 3 eller 9 komponenter for at beskrive spændingen ved dette kubeformede uendelige segment. Inden for dette faststofs grænser er en hel masse af varierende spændingsmængder, der hver kræver 9 størrelser for at beskrive. Således er en andenordens tensor nødvendig.

Hvis et bestemt overfladeelement inden i materialet er skilt ud, vil materialet på den ene side af overfladen anvende en kraft på den anden side. Generelt vil denne kraft ikke være ortogonal i forhold til overfladen, men den vil afhænge af overfladens orientering på en lineær måde. Dette beskrives af en tensor af typen (2, 0) , i lineær elasticitet eller mere præcist af et tensorfelt af typen (2, 0) , da spændingerne kan variere fra punkt til punkt.

Andre eksempler fra fysik

Almindelige applikationer omfatter:

• Elektromagnetisk tensor (eller Faraday tensor) i elektromagnetisme
• Endelige deformationstensorer til beskrivelse af deformationer og belastningstensor for stamme i kontinuummekanik
• Permittivitet og elektrisk modtagelighed er tensorer i anisotrope medier
• Fire-tensorer i almen relativitet (f.eks stress-energi tensor ), bruges til at repræsentere momentum flux
• Sfæriske tensor operatører er egenfunktioner af kvante impulsmoment operatør i sfæriske koordinater
• Diffusionstensorer, grundlaget for diffusionstensorbilleddannelse , repræsenterer diffusionshastigheder i biologiske miljøer
• Kvantemekanik og kvanteberegning anvender tensorprodukter til kombination af kvantetilstande

Anvendelse af ordretensorer> 2

Begrebet en tensor af rækkefølge to er ofte i konflikt med en matrix. Tensorer af højere orden fanger dog ideer, der er vigtige inden for videnskab og teknik, som det har vist sig successivt på mange områder, efterhånden som de udvikler sig. Dette sker f.eks. Inden for computersyn , hvor den trifokale tensor generaliserer den grundlæggende matrix .

Inden for ulineær optik studerer ændringer materiale polarisering tæthed under ekstreme elektriske felter. De genererede polarisationsbølger er relateret til de genererende elektriske felter gennem den ikke -lineære følsomhedstensor. Hvis polarisationen P ikke er lineært proportional med det elektriske felt E , betegnes mediet ikke -lineært . Til en god tilnærmelse (for tilstrækkeligt svage felter, forudsat at der ikke er permanente dipolmomenter), er P givet af en Taylor -serie i E, hvis koefficienter er de ikke -lineære følsomheder:

${\ displaystyle {\ frac {P_ {i}} {\ varepsilon _ {0}}} = \ sum _ {j} \ chi _ {ij}^{(1)} E_ {j}+\ sum _ {jk } \ chi _ {ijk}^{(2)} E_ {j} E_ {k}+\ sum _ {jk \ ell} \ chi _ {ijk \ ell}^{(3)} E_ {j} E_ { k} E _ {\ ell}+\ cdots. \!}$

Her er den lineære modtagelighed, giver Pockels -effekten og anden harmonisk generation og giver Kerr -effekten . Denne ekspansion viser den måde, hvorpå højere ordens tensorer opstår naturligt i emnet. ${\ displaystyle \ chi ^{(1)}}$${\ displaystyle \ chi ^{(2)}}$${\ displaystyle \ chi ^{(3)}}$

Generaliseringer

Tensorprodukter af vektorrum

Vektorrummene i et tensorprodukt behøver ikke at være de samme, og nogle gange kaldes elementerne i et sådant mere generelt tensorprodukt "tensors". For eksempel er et element i tensorproduktrummet V ⊗ W en andenordens "tensor" i denne mere generelle betydning, og en ordnet d tensor kan ligeledes defineres som et element i et tensorprodukt af d forskellige vektorrum. En type ( n , m ) tensor, i den tidligere definerede betydning, er også en tensor af orden n + m i denne mere generelle forstand. Begrebet tensor -produkt kan udvides til vilkårlige moduler over en ring .

Tensorer i uendelige dimensioner

Forestillingen om en tensor kan generaliseres på forskellige måder til uendelige dimensioner . Den ene er f.eks. Via tensorproduktet fra Hilbert -rum . En anden måde at generalisere ideen om tensor, almindelig i ikke-lineær analyse , er via den multilineariske kortdefinition, hvor man i stedet for at bruge endelige-dimensionelle vektorrum og deres algebraiske dualer bruger uendeligt-dimensionelle Banach-rum og deres kontinuerlige dual . Tensorer lever således naturligt på Banach -manifolder og Fréchet -manifolder .

Tensortætheder

Antag, at en homogen medium udfyldninger R ³ , således at densiteten af mediet er beskrevet af en enkelt skalar værdi ρ i kg m ^-3 . Massen i kg af en region Ω opnås ved at multiplicere ρ med volumenet af regionen Ω eller ækvivalent integrere konstanten ρ over regionen:

${\ displaystyle m = \ int _ {\ Omega} \ rho \, dx \, dy \, dz}$

hvor de kartesiske koordinater xyz måles i m. Hvis længdeenhederne ændres til cm, skal koordinatfunktionernes numeriske værdier skaleres med en faktor 100:

${\ displaystyle x '= 100x, \ quad y' = 100y, \ quad z '= 100z}$

Den numeriske værdi af tætheden ρ skal derefter også transformeres med for at kompensere, så den numeriske værdi af massen i kg stadig er givet ved integral af . Således (i enheder på kg cm ⁻³ ). ${\ displaystyle 100^{-3} \ mathrm {m^{3}/cm^{3}}}$${\ displaystyle \ rho \, dx \, dy \, dz}$${\ displaystyle \ rho '= 100^{-3} \ rho}$

Mere generelt, hvis de kartesiske koordinater xyz gennemgår en lineær transformation, så skal den numeriske værdi af tætheden ρ ændre sig med en faktor i reciprokken af ​​den absolutte værdi af determinanten for koordinattransformationen, så integralen forbliver invariant, af ændring af variabler formel for integration. En sådan størrelse, der skaleres med det gensidige af den absolutte værdi af determinanten af ​​koordinatovergangskortet, kaldes en skalartæthed . For at modellere en ikke-konstant tæthed er ρ en funktion af variablerne xyz (et skalarfelt ), og under en krumlinjet ændring af koordinaterne transformeres det ved det gensidige af Jacobian for koordinatændringen. For mere om den iboende betydning, se Density on a manifold .

En tensortæthed transformeres som en tensor under en koordinatændring, bortset fra at den derudover opfanger en faktor for den absolutte værdi af determinanten for koordinatovergangen:

${\ displaystyle T_ {j '_ {1} \ dots j' _ {q}}^{i '_ {1} \ dots i' _ {p}} [\ mathbf {f} \ cdot R] = | \ det R |^{-w} \ venstre (R^{-1} \ højre) _ {i_ {1}}^{i '_ {1}} \ cdots \ venstre (R^{-1} \ højre) _ {i_ {p}}^{i '_ {p}}}$ ${\ displaystyle T_ {j_ {1}, \ ldots, j_ {q}}^{i_ {1}, \ ldots, i_ {p}} [\ mathbf {f}]}$ ${\ displaystyle R_ {j '_ {1}}^{j_ {1}} \ cdots R_ {j' _ {q}}^{j_ {q}}.}$

Her kaldes w vægten. Generelt kaldes enhver tensor ganget med en effekt af denne funktion eller dens absolutte værdi en tensortæthed eller en vægtet tensor. Et eksempel på en tensor massefylde er den strømtæthed af elektromagnetisme .

Under en affin transformation af koordinaterne transformeres en tensor af den lineære del af selve transformationen (eller dens inverse) på hvert indeks. Disse stammer fra de rationelle repræsentationer af den generelle lineære gruppe. Men dette er ikke helt den mest generelle lineære transformationslov, som et sådant objekt kan have: tensortætheder er ikke-rationelle, men er stadig halvenkelige repræsentationer. En yderligere klasse af transformationer kommer fra den logaritmiske repræsentation af den generelle lineære gruppe, en reducerbar men ikke halvenkel repræsentation, der består af en ( x , y ) ∈ R ² med transformationsloven

${\ displaystyle (x, y) \ mapsto (x+y \ log \ venstre | \ det R \ højre |, y).}$

Geometriske objekter

Transformationsloven for en tensor opfører sig som en funktor i kategorien af ​​tilladte koordinatsystemer under generelle lineære transformationer (eller andre transformationer inden for en bestemt klasse, f.eks. Lokale diffeomorfier .) Dette gør en tensor til et specielt tilfælde af et geometrisk objekt i den tekniske forstand, at det er en funktion af koordinatsystemet, der funktionelt ændrer sig under koordinatændringer. Eksempler på objekter, der adlyder mere generelle former for transformationslove, er jetfly og mere generelt stadig naturlige bundter .

Spinorer

Når man skifter fra et orthonormalt grundlag (kaldet en ramme ) til en anden ved en rotation, transformeres komponenterne i en tensor ved den samme rotation. Denne transformation afhænger ikke af den vej, der er taget gennem rammerne. Imidlertid er rummets rum ikke bare forbundet (se orienteringsfiltring og pladetrick ): der er kontinuerlige stier i rummet med rammer med de samme begyndelses- og slutkonfigurationer, der ikke er deformerbare i hinanden. Det er muligt at vedhæfte en ekstra diskret invariant til hver ramme, der inkorporerer denne stiafhængighed, og som viser sig (lokalt) at have værdier på ± 1. En spinor er et objekt, der transformerer sig som en tensor under rotationer i rammen, bortset fra et muligt tegn, der bestemmes af værdien af ​​denne diskrete invariant.

Kortfattet, spinors er elementer af spin-repræsentation af rotationen gruppe, mens tensorer er elementer af sine tensor repræsentationer . Andre klassiske grupper har tensorrepræsentationer, og så også tensorer, der er kompatible med gruppen, men alle ikke-kompakte klassiske grupper har også uendelig-dimensionelle enhedsrepræsentationer.

Historie

Begreberne senere tensoranalyse opstod fra Carl Friedrich Gauss 'arbejde i differential geometri , og formuleringen var meget påvirket af teorien om algebraiske former og invarianter udviklet i midten af ​​det nittende århundrede. Selve ordet "tensor" blev introduceret i 1846 af William Rowan Hamilton for at beskrive noget andet end det, der nu menes med en tensor. Den nutidige brug blev introduceret af Woldemar Voigt i 1898.

Tensor calculus blev udviklet omkring 1890 af Gregorio Ricci-Curbastro under titlen absolute differential calculus , og oprindeligt præsenteret af Ricci-Curbastro i 1892. Det blev gjort tilgængeligt for mange matematikere ved udgivelsen af ​​Ricci-Curbastro og Tullio Levi-Civitas 1900 klassisk tekst Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applikationer (Metoder til absolut differentialregning og deres anvendelser).

I det 20. århundrede, emnet blev kendt som tensor analyse , og opnåede bredere accept med introduktionen af Einsteins teori om almen relativitet , er omkring 1915. Den generelle relativitetsteori formuleret helt på det sprog, tensorer. Einstein havde med store vanskeligheder lært om dem fra geometret Marcel Grossmann . Levi-Civita indledte derefter en korrespondance med Einstein for at rette fejl, Einstein havde begået i sin brug af tensoranalyse. Korrespondancen varede 1915–17 og var præget af gensidig respekt:

Jeg beundrer elegancen i din beregningsmetode; det må være rart at ride gennem disse felter på den ægte matematikkes hest, mens vi ligner os nødt til at gøre vejen møjsommeligt til fods.

-  Albert Einstein

Tensorer viste sig også at være nyttige på andre områder såsom kontinuummekanik . Nogle kendte eksempler på tensorer i differentialgeometri er kvadratiske former såsom metriske tensorer og Riemann-krumningstensoren . Den udvendige algebra af Hermann Grassmann , fra midten af ​​det nittende århundrede, er i sig selv en tensorteori og meget geometrisk, men det var et stykke tid, før den blev set med teorien om differentielle former , som naturligt forenet med tensorregning. Arbejdet i Élie Cartan gjort differentialformer en af de grundlæggende former for tensorer anvendes i matematik.

Fra omkring 1920'erne og frem blev det klar over, at tensorer spiller en grundlæggende rolle i algebraisk topologi (f.eks. I Künneth -sætningen ). Tilsvarende findes der typer af tensorer i mange grene af abstrakt algebra , især inden for homologisk algebra og repræsentationsteori . Flerlinjær algebra kan udvikles i større generalitet end for skalarer, der kommer fra et felt . F.eks. Kan skalarer komme fra en ring . Men teorien er da mindre geometrisk og beregninger mere tekniske og mindre algoritmiske. Tensorer generaliseres inden for kategoriteori ved hjælp af begrebet monoid kategori fra 1960'erne.

Se også

• Array datatype , til tensor opbevaring og manipulation

Grundlæggende

• Cartesian tensor
• Fiberbundt
• Ordliste over tensor teori
• Flerlinjær projektion
• En-form
• Tensorprodukt af moduler

Ansøgninger

• Anvendelse af tensor teori i teknik
• Kontinuummekanik
• Kovariant derivat
• Krumning
• Diffusion tensor MR
• Einstein feltligninger
• Flydende mekanik
• Tyngdekraft
• Multilinear subspace learning
• Riemannisk geometri
• Struktur tensor
• Tensor nedbrydning
• Tensor -derivat
• Tensor software

Noter

Referencer

Bestemt

Generel

• Denne artikel indeholder materiale fra tensor på PlanetMath , som er licenseret under Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

eksterne links

• Weisstein, Eric W. "Tensor" . MathWorld .
• Ray M. Bowen og CC Wang (1976). Introduktion til vektorer og tensorer, bind 1: Lineær og multilinær algebra . New York, NY .: Plenum Press. HDL : 1969,1 / 2502 .CS1 maint: bruger forfatterparameter ( link )
• Ray M. Bowen og CC Wang (2006). Introduction to Vectors and Tensors, Vol 2: Vector and Tensor Analysis . HDL : 1969,1 / 3609 .CS1 maint: bruger forfatterparameter ( link )
• En introduktion til Tensors for Students of Physics and Engineering af Joseph C. Kolecki, Glenn Research Center, Cleveland, Ohio, udgivet af NASA
• Foundations of Tensor Analysis for Students of Physics and Engineering With a Introduction to theory of relativity af Joseph C. Kolecki, Glenn Research Center, Cleveland, Ohio, udgivet af NASA
• En diskussion af de forskellige tilgange til undervisning i tensorer og anbefalinger af lærebøger
• Sharipov, Ruslan (2004). "Hurtig introduktion til tensoranalyse". arXiv : matematik.HO/0403252 .
• Richard Feynmans foredrag om tensorer.