Tensorsammentrækning - Tensor contraction

I multilinear algebra er en tensorkontraktion en operation på en tensor, der stammer fra den naturlige parring af et endeligt- dimensionelt vektorrum og dets dobbelte . I komponenter udtrykkes det som en sum af produkter af skalære komponenter i tensor (erne) forårsaget af at anvende summeringskonventionen på et par dummy -indekser, der er bundet til hinanden i et udtryk. Sammentrækningen af ​​en enkelt blandet tensor opstår, når et par bogstavelige indekser (det ene et abonnement, det andet et overskrift) af tensoren sættes lig med hinanden og summeres. I Einstein -notationen er denne summering indbygget i notationen. Resultatet er en anden tensor med orden reduceret med 2.

Tensorkontraktion kan ses som en generalisering af sporet .

Abstrakt formulering

Lad V være et vektorrum over et felt k . Kernen i sammentrækningsoperationen og det enkleste tilfælde er den naturlige parring af V med dets dobbelte vektorrum V ^∗ . Parringen er den lineære transformation fra tensorproduktet fra disse to mellemrum til feltet k :

${\ displaystyle C: V \ otimes V^{*} \ højre pil k}$

svarende til den bilinære form

${\ displaystyle \ langle f, v \ rangle = f (v)}$

hvor f er i V ^* og v er i V . Kortet C definerer sammentrækningsoperationen på en tensor af typen (1, 1) , som er et element af . Bemærk, at resultatet er en skalar (et element af k ). Ved hjælp af den naturlige isomorfisme mellem og rummet for lineære transformationer fra V til V opnås en grundlæggende definition af sporet . ${\ displaystyle V^{*} \ otimes V}$${\ displaystyle V \ otimes V^{*}}$

Generelt er en tensor af typen ( m , n ) (med m ≥ 1 og n ≥ 1 ) et element i vektorrummet

${\ displaystyle V \ otimes \ cdots \ otimes V \ otimes V^{*} \ otimes \ cdots \ otimes V^{*}}$

(hvor der er m faktorer V og n faktorer V ^∗ ). Anvendelse af den naturlige parring til k th V -faktor og l th V ^∗ -faktor, og brug af identiteten på alle andre faktorer, definerer ( k , l ) kontraktionsoperation, som er et lineært kort, der giver en tensor af typen ( m - 1, n - 1) . I analogi med sagen (1, 1) kaldes den generelle sammentrækning undertiden spor.

Kontraktion i indeksnotation

I tensorindeksnotation betegnes den grundlæggende kontraktion af en vektor og en dobbeltvektor med

${\ displaystyle {\ tilde {f}} ({\ vec {v}}) = f _ {\ gamma} v^{\ gamma}}$

hvilket er stenografi for den eksplicitte koordinatsummering

${\ displaystyle f _ {\ gamma} v^{\ gamma} = f_ {1} v^{1}+f_ {2} v^{2}+\ cdots+f_ {n} v^{n}}$

(hvor v ⁱ er komponenterne i v på et bestemt grundlag og f _i er komponenterne i f i det tilsvarende dobbelte grundlag).

Da en generel blandet dyadisk tensor er en lineær kombination af dekomponerbare tensorer af formen , følger den eksplicitte formel for den dyadiske sag: lad ${\ displaystyle f \ otimes v}$

${\ displaystyle \ mathbf {T} = T ^{i} {} _ {j} \ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {e} ^{j}}$

være en blandet dyadisk tensor. Så er dens sammentrækning

${\ displaystyle T^{i} {} _ {j} \ mathbf {e} _ {i} \ cdot \ mathbf {e}^{j} = T^{i} {} _ {j} \ delta _ { i} {}^{j} = T^{j} {} _ {j} = T^{1} {} _ {1} +\ cdots +T^{n} {} _ {n}}$.

En generel sammentrækning betegnes ved at mærke et kovariant indeks og et kontravariant indeks med samme bogstav, summering over dette indeks er underforstået af summeringskonventionen . Den resulterende kontraherede tensor arver de resterende indekser for den oprindelige tensor. For eksempel skrives kontrakt af en tensor T af type (2,2) på det andet og tredje indeks for at oprette en ny tensor U af type (1,1) som

${\ displaystyle T^{ab} {} _ {bc} = \ sum _ {b} {T^{ab} {} _ {bc}} = T^{a1} {} _ {1c}+T^{ a2} {} _ {2c} +\ cdots +T^{an} {} _ {nc} = U^{a} {} _ {c}.}$

Lad derimod

${\ displaystyle \ mathbf {T} = \ mathbf {e} ^{i} \ otimes \ mathbf {e} ^{j}}$

være en ublandet dyadisk tensor. Denne tensor kontraherer ikke; hvis dens basisvektorer er stiplede, er resultatet den kontravariant metriske tensor ,

${\ displaystyle g ^{ij} = \ mathbf {e} ^{i} \ cdot \ mathbf {e} ^{j}}$,

hvis rang er 2.

Metrisk kontraktion

Som i det foregående eksempel er sammentrækning på et par indekser, der enten er kontravariant eller begge covariant generelt ikke mulig. I nærvær af et indre produkt (også kendt som en metrisk ) g er sådanne sammentrækninger imidlertid mulige. Man bruger metricen til at hæve eller sænke et af indekserne efter behov, og derefter bruger man den sædvanlige funktion af sammentrækning. Den kombinerede operation er kendt som metrisk kontraktion .

Ansøgning til tensorfelter

Sammentrækning anvendes ofte på tensorfelter over mellemrum (f.eks. Euklidisk rum , manifolder eller skemaer ). Da kontraktion er en ren algebraisk operation, kan den anvendes punktvis på et tensorfelt, f.eks. Hvis T er et (1,1) tensorfelt på det euklidiske rum, så i enhver koordinat, dets sammentrækning (et skalarfelt) U på et punkt x er givet af

${\ displaystyle U (x) = \ sum _ {i} T_ {i}^{i} (x)}$

Da rollen som x ikke er kompliceret her, undertrykkes den ofte, og notationen for tensorfelter bliver identisk med den for rent algebraiske tensorer.

Over en Riemannian manifold er en metrisk (felt af indre produkter) tilgængelig, og både metriske og ikke-metriske sammentrækninger er afgørende for teorien. For eksempel er Ricci-tensoren en ikke-metrisk kontraktion af Riemann-krumningstensoren , og skalarkrumningen er den unikke metriske kontraktion af Ricci-tensoren.

Man kan også se sammentrækning af et tensorfelt i modulkontekst over en passende ring af funktioner på manifolden eller konteksten af ​​modulskiver over strukturskiven; se diskussionen i slutningen af ​​denne artikel.

Tensor divergens

Som en anvendelse af sammentrækningen af ​​et tensorfelt, lad V være et vektorfelt på et Riemannisk manifold (for eksempel euklidisk rum ). Lad være kovariantderivatet af V (i et eller andet valg af koordinater). I tilfælde af kartesiske koordinater i det euklidiske rum kan man skrive ${\ displaystyle V^{\ alpha} {} _ {\ beta}}$

${\ displaystyle V^{\ alpha} {} _ {\ beta} = {\ delvis V^{\ alpha} \ over \ delvis x^{\ beta}}.}$

Derefter ændrer indekset β til α parret af indekser til at blive bundet til hinanden, så derivatet trækker sig sammen med sig selv for at opnå følgende sum:

${\ displaystyle V^{\ alpha} {} _ {\ alpha} = V^{0} {} _ {0} +\ cdots +V^{n} {} _ {n}}$

der er divergens div V . Derefter

${\ displaystyle \ operatorname {div} V = V^{\ alpha} {} _ {\ alpha} = 0}$

er en kontinuitet ligning for V .

Generelt kan man definere forskellige divergensoperationer på tensorfelter med højere rang som følger. Hvis T er en tensor felt med mindst én kontravariant indeks, idet den covariant forskellen og sammentrække valgte kontravariant indeks med det nye covariant indeks svarer til de differentielle resultater i en ny tensor af rang én lavere end T .

Sammentrækning af et par tensorer

Man kan generalisere kernen sammentrækning operation (vektor med dobbelt vektor) i en lidt anden måde, ved at overveje et par tensorer T og U . Det tensor produkt er en ny tensor, som, hvis det har mindst én covariant og én kontravariant indeks, kan udliciteres. Tilfældet, hvor T er en vektor, og U er en dobbelt vektor, er nøjagtigt kerneoperationen, der blev introduceret først i denne artikel. ${\ displaystyle T \ otimes U}$

I tensorindeksnotation, for at indgå to tensorer med hinanden, placerer man dem side om side (sidestillet) som faktorer af samme udtryk. Dette implementerer tensorproduktet, hvilket giver en sammensat tensor. Kontrahering af to indekser i denne sammensatte tensor implementerer den ønskede kontraktion af de to tensorer.

F.eks. Kan matricer repræsenteres som tensorer af typen (1,1), hvor det første indeks er kontravariant og det andet indeks er kovariant. Lad være komponenterne i en matrix og lad være komponenterne i en anden matrix. Derefter er deres multiplikation givet ved følgende sammentrækning, et eksempel på sammentrækning af et par tensorer: ${\ displaystyle \ Lambda ^{\ alpha} {} _ {\ beta}}$${\ displaystyle \ mathrm {M} ^{\ beta} {} _ {\ gamma}}$

${\ displaystyle \ Lambda ^{\ alpha} {} _ {\ beta} \ mathrm {M} ^{\ beta} {} _ {\ gamma} = \ mathrm {N} ^{\ alpha} {} _ {\ gamma}}$.

Det indre produkt af en vektor med en differentiel form er også et særligt tilfælde af sammentrækning af to tensorer med hinanden.

Mere generelle algebraiske sammenhænge

Lad R være en kommutativ ring og lad M være en begrænset fri modul løbet R . Derefter fungerer sammentrækning på den fulde (blandede) tensoralgebra af M på nøjagtig samme måde, som den gør i tilfælde af vektorrum over et felt. (Det vigtigste er, at den naturlige parring stadig er perfekt i dette tilfælde.)

Mere generelt, lad O _X være et skib af kommutative ringe over et topologisk rum X , fx kan O _X være strukturskiven af et komplekst mangfoldigt , analytisk rum eller skema . Lad M være et lokalt gratis skib af moduler over O _X af begrænset rang. Så er dobbelten af M stadig velopdragen, og sammentrækningsoperationer giver mening i denne sammenhæng.

Se også

• Tensor -produkt
• Delspor
• Interiør produkt
• Hæve og sænke indeks
• Musikalsk isomorfisme
• Ricci -beregning

Noter

Referencer

• Biskop, Richard L .; Goldberg, Samuel I. (1980). Tensoranalyse på fordelere . New York: Dover. ISBN 0-486-64039-6.
• Menzel, Donald H. (1961). Matematisk fysik . New York: Dover. ISBN 0-486-60056-4.