Fiktiv kraft - Fictitious force

Del af en serie om
Klassisk mekanik
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (m {\ textbf {v}})}$ Anden lov om bevægelse
Historie Tidslinje Lærebøger
Grene
Grundlæggende
Formuleringer
Kerneemner
Rotation
Forskere
Fysik portal  Kategori
v t e

En fiktiv kraft (også kaldet en pseudokraft , d'Alembert-kraft eller inertialkraft ) er en kraft, der ser ud til at virke på en masse, hvis bevægelse beskrives ved hjælp af en ikke-inertial referenceramme , såsom en accelererende eller roterende referenceramme . Et eksempel ses i et personbil, der accelererer i fremadgående retning - passagerer opfatter, at de bliver påvirket af en kraft i bagudrettet retning, der skubber dem tilbage på deres sæder. Et eksempel i en roterende referenceramme er den kraft, der ser ud til at skubbe genstande udad mod kanten af ​​en centrifuge. Disse tilsyneladende kræfter er eksempler på fiktive kræfter.

Den fiktive kraft F skyldes et objekts inerti, når referencerammen ikke bevæger sig inertisk og dermed begynder at accelerere i forhold til det frie objekt. Den fiktive kraft stammer således ikke fra nogen fysisk interaktion mellem to objekter, såsom elektromagnetisme eller kontaktkræfter , men derimod fra accelerationen a af selve den ikke-inertielle referenceramme , der ud fra rammens synspunkt nu ser ud til at være en acceleration af objektet i stedet, hvilket kræver en "kraft" for at få dette til at ske. Som anført af Iro:

En sådan yderligere kraft på grund af ikke-ensartet relativ bevægelse af to referencerammer kaldes en pseudokraft .

-  H. Iro i en moderne tilgang til klassisk mekanik s. 180

Forudsat Newtons anden lov i formen F  =  m a , er fiktive kræfter altid proportionale med massen m .

Den fiktive kraft på et objekt opstår som en imaginær indflydelse, når den referenceramme, der bruges til at beskrive objektets bevægelse, accelererer i forhold til en ikke-accelererende ramme. Den fiktive kraft "forklarer" ved hjælp af Newtons mekanik, hvorfor et objekt ikke følger Newtons love og "flyder frit" som om det er vægtløst. Som en ramme kan accelerere på enhver vilkårlig måde, kan fiktive kræfter være lige så vilkårlige (men kun som direkte reaktion på accelerationen af ​​rammen). Imidlertid er fire fiktive kræfter defineret for rammer, der accelereres på almindeligt forekommende måder: en forårsaget af en relativ acceleration af oprindelsen i en lige linje (retlinet acceleration ); to involverende rotation: centrifugalkraft og Coriolis -kraft ; og en fjerde, kaldet Euler -kraften , forårsaget af en variabel rotationshastighed, hvis det skulle ske.

Gravitationskraft ville også være en fiktiv kraft baseret på en feltmodel, hvor partikler forvrænger rumtiden på grund af deres masse, såsom generel relativitet .

I inertial referenceramme (øverste del af billedet) bevæger den sorte kugle sig i en lige linje. Observatøren (brun prik), der står i den roterende/ikke-inertielle referenceramme (nederste del af billedet) ser objektet som følge af en krum sti på grund af Coriolis eller centrifugalkræfter til stede i denne ramme.

Baggrund

Rollen som fiktive kræfter i den newtonske mekanik er beskrevet af Tonnelat :

For Newton angiver fremkomsten af ​​acceleration altid eksistensen af ​​absolut bevægelse - absolut bevægelse af materie, hvad reelle kræfter angår; absolut bevægelse af referencesystemet, hvor der er tale om såkaldte fiktive kræfter, såsom træghedskræfter eller Coriolis.

-  Marie-Antoinette Tonnelat i The Principles of elektromagnetisk teori og relativitet , s. 113

Fiktive kræfter opstår i klassisk mekanik og særlig relativitet i alle ikke-inertielle rammer. Trægte rammer er privilegerede frem for ikke-inertielle rammer, fordi de ikke har fysik, hvis årsager er uden for systemet, mens ikke-inertielle rammer har det. Fiktive kræfter eller fysik, hvis årsag er uden for systemet, er ikke længere nødvendige i generel relativitet , da denne fysik forklares med geodetikken i rumtiden .

På jorden

Jordens overflade er en roterende referenceramme . For at løse klassiske mekanikproblemer nøjagtigt i en jordbunden referenceramme skal tre fiktive kræfter indføres: Coriolis-kraften , centrifugalkraften (beskrevet nedenfor) og Euler-kraften . Eulerkraften ignoreres typisk, fordi variationerne i vinkelhastigheden på den roterende jordoverflade normalt er ubetydelige. Begge de andre fiktive kræfter er svage i forhold til de fleste typiske kræfter i hverdagen, men de kan opdages under omhyggelige forhold. For eksempel brugte Léon Foucault sit Foucault -pendul til at vise, at en Coriolis -kraft skyldes jordens rotation. Hvis Jorden skulle rotere tyve gange hurtigere (hvilket gør hver dag kun ~ 72 minutter lang), kunne folk let få det indtryk, at sådanne fiktive kræfter trak på dem, som på en snurrende karrusel; mennesker på tempererede og tropiske breddegrader ville i virkeligheden skulle holde på for at undgå at blive affyret i kredsløb af centrifugalkraften.

Påvisning af ikke-inertial referenceramme

Observatører inde i en lukket kasse, der bevæger sig med en konstant hastighed, kan ikke registrere deres egen bevægelse; observatører inden for en accelererende referenceramme kan imidlertid opdage, at de befinder sig i en ikke-inertial referenceramme fra de fiktive kræfter, der opstår. For eksempel fremviser lineær acceleration Vladimir Arnold følgende sætning:

I et koordinatsystem K, der bevæger sig ved translation i forhold til et inertiesystem k , foregår bevægelsen af ​​et mekanisk system som om koordinatsystemet var inerti, men på hvert massepunkt m virkede en yderligere "inertial kraft": F  = - m en , hvor en er accelerationen af systemet K .

Andre accelerationer giver også anledning til fiktive kræfter, som beskrevet matematisk nedenfor . Den fysiske forklaring af bevægelser i en inertial ramme er den enkleste mulige og kræver ingen fiktive kræfter: fiktive kræfter er nul, hvilket giver et middel til at skelne inertialrammer fra andre.

Et eksempel på detektering af en ikke-inertiel, roterende referenceramme er prækessionen i et Foucault-pendul . I Jordens ikke-inertiske ramme er den fiktive Coriolis-kraft nødvendig for at forklare observationer. I en inertial ramme uden for Jorden er ingen sådan fiktiv kraft nødvendig.

Eksempler

Acceleration i en lige linje

Figur 1: Toppanel : accelerationsbil med masse M med passager med masse m . Kraften fra akslen er ( m + M ) a . I inertialrammen er dette den eneste kraft på bilen og passageren.
Midterpanel : en eksploderet udsigt i inertialrammen. Passageren er underlagt den accelerationskraft m a . Sædet (antaget af ubetydelig masse) komprimeres mellem reaktionskraften - m a og den påførte kraft fra bilen m a . Bilen er underlagt nettoaccelerationskraften M a, der er forskellen mellem den påførte kraft ( m + M ) a fra akslen og reaktionen fra sædet - m a .
Bundpanel : et eksploderet billede i den ikke-inertielle ramme. I den ikke-inertielle ramme, hvor bilen ikke accelererer, afbalanceres kraften fra akslen af ​​en fiktiv bagudkraft-( m + M ) a , en del- M a påført bilen og- m a på passageren . Bilen er underlagt den fiktive kraft - M a og kraften ( m + M ) a fra akslen. Summen af ​​disse kræfter m a påføres sædet, som udøver en reaktion - m a på bilen, så der påføres nul nettokraft på bilen. Sædet (antaget masseløst) overfører kraften m a til passageren, som også er underlagt den fiktive kraft - m a , hvilket resulterer i nul nettokraft på passageren. Passageren udøver en reaktionskraft - m a på sædet, som derfor er komprimeret. I alle rammer er sædekomprimeringen den samme, og kraften leveret af akslen er den samme.

Figur 1 (øverst) viser en accelerationsbil. Når en bil accelererer , føler en passager, at de bliver skubbet tilbage i sædet. I en inertial referenceramme knyttet til vejen er der ingen fysisk kraft, der bevæger rytteren baglæns. Men i rytterens ikke-inertielle referenceramme, der er fastgjort til den accelererende bil, er der en bagudrettet fiktiv kraft. Vi nævner to mulige grunde til, at styrken præciserer dens (styrkens) eksistens:

• Figur 1 (midterpanel). For en observatør i ro på en inertial referenceramme (som jorden) vil bilen synes at accelerere. For at passageren kan blive inde i bilen, skal der udøves en kraft på passageren. Denne kraft udøves af sædet, der er begyndt at bevæge sig fremad med bilen og komprimeres mod passageren, indtil den overfører den fulde kraft for at holde passageren i bevægelse med bilen. Således er de kræfter, der udøves af sædet, ubalancerede, så passageren accelererer i denne ramme.
• Figur 1 (bundpanel). Set fra bilens indre, en accelererende referenceramme, er der en fiktiv kraft, der skubber passageren bagud, med en størrelse svarende til passagerens masse gange bilens acceleration. Denne kraft skubber passageren tilbage i sædet, indtil sædet komprimeres og giver en lige stor og modsatrettet kraft. Derefter er passageren stationær i denne ramme, fordi den fiktive kraft og den virkelige kraft i sædet er afbalanceret.

Den accelererende ramme opdages at være ikke-inert, fordi alt i den accelererende ramme ser ud til at være underlagt nul nettokraft, og intet bevæger sig. Ikke desto mindre observeres kompression af sædet og forklares i accelerationsrammen (og i en inertialramme) af accelerationskraften på sædet fra bilen på den ene side og den modsatte reaktionskraft til acceleration af passageren på passageren på Andet. Identifikation af den accelererende ramme som ikke-inertial kan ikke blot baseres på komprimering af sædet, som alle observatører kan forklare; den er snarere baseret på enkelheden i den fysiske forklaring på denne komprimering.

Forklaringen på sædekomprimering i accelerationsrammen kræver ikke kun tryk fra bilens aksel, men yderligere (fiktive) kræfter. I en inertial ramme er kun tryk fra akslen nødvendig. Derfor har inertirammen en enklere fysisk forklaring (ikke nødvendigvis en enklere matematisk formulering), hvilket indikerer, at den accelererende ramme er en ikke-inertial referenceramme. Med andre ord, i inertialrammen er fiktive kræfter nul. Se inertialramme .

Dette eksempel illustrerer, hvordan fiktive kræfter opstår ved at skifte fra en inertial til en ikke-inertial referenceramme. Beregninger af fysiske størrelser (kompression af sædet, krævet kraft fra akslen) foretaget i en hvilken som helst ramme giver de samme svar, men i nogle tilfælde er beregninger lettere at foretage i en ikke-inertial ramme. (I dette enkle eksempel er beregningerne lige så komplekse for de to beskrevne rammer.)

Animation: kørsel fra blok til blok
Kort og bilramme perspektiver på fysiske (røde) og fiktive (blå) kræfter for en bil, der kører fra det ene stopskilt til det næste I denne illustration accelererer bilen efter et stopskilt indtil midtvejs op ad blokken, hvorefter føreren straks er ude af speederen og på bremsen for at gøre det næste stop.

Cirkulær bevægelse

En lignende effekt forekommer i cirkulær bevægelse , cirkulær set fra en inertial referenceramme fastgjort til vejen. Når den ses fra en ikke-inertial referenceramme, der er knyttet til bilen, vises den fiktive kraft kaldet centrifugalkraften . Hvis bilen bevæger sig med konstant hastighed omkring et cirkulært vejstykke, vil passagererne føle sig skubbet udenfor af denne centrifugalkraft, væk fra midten af ​​svinget. Igen kan situationen ses fra inertielle eller ikke-inertielle rammer:

• Set fra en inertial referenceramme, der er stationær i forhold til vejen, accelererer bilen mod midten af ​​cirklen. Denne acceleration er nødvendig, fordi retningen af hastigheden ændrer sig, på trods af en konstant hastighed. Denne indadgående acceleration kaldes centripetal acceleration og kræver en centripetalkraft for at opretholde cirkulær bevægelse. Denne kraft udøves af jorden på hjulene, i dette tilfælde fra friktionen mellem hjulene og vejen. Bilen accelererer på grund af den ubalancerede kraft, der får den til at bevæge sig i en cirkel. (Se også banked turn .)
• Set fra en roterende ramme, der bevæger sig med bilen, er der en fiktiv centrifugalkraft, der har tendens til at skubbe bilen mod vejens yderside (og til at skubbe passagererne mod bilens yderside). Centrifugalkraften afbalancerer friktionen mellem hjul og vej, hvilket gør bilen stille i denne ikke-inertiske ramme.

Et klassisk eksempel på fiktiv kraft i cirkulær bevægelse er eksperimentet med roterende kugler, der er bundet af en snor og snurrer rundt om deres massecenter. I dette tilfælde, som med det lineært accelererende bileksempel, kan identifikationen af ​​en roterende, ikke-inertial referenceramme være baseret på forsvinden af ​​fiktive kræfter. I en inertial ramme er fiktive kræfter ikke nødvendige for at forklare spændingen i strengen, der forbinder kuglerne. I en roterende ramme skal Coriolis og centrifugalkræfter indføres for at forudsige den observerede spænding.

I den roterende referenceramme, der opfattes på Jordens overflade, reducerer centrifugalkraften den tilsyneladende tyngdekraft med omkring en del i tusind, afhængigt af breddegrad. Denne reduktion er nul ved polerne, maksimum ved ækvator .

Animation: objekt frigivet fra en karrusel

Kort og drej rammeperspektiver af fysiske (røde) og fiktive (blå) kræfter for et objekt frigivet fra en karrusel Fra kortrammens perspektiv kan hastigheden være farlig ved at miste centripetalacceleration. Fra spin -frame -perspektivet kan faren i stedet ligge med den geometriske acceleration, der giver anledning til den fiktive kraft. Bemærk: I nogle browsere fryser bevægelsen ved at trykke på [Esc] for mere detaljeret analyse. Men siden skal muligvis genindlæses for at genstarte.

Den fiktive Coriolis-kraft , der observeres i rotationsrammer, er normalt kun synlig i meget stor bevægelse som projektilbevægelse af langdistancevåben eller cirkulation af Jordens atmosfære (se Rossby-nummer ). Når man forsømmer luftmodstand, falder et objekt ned fra et 50 meter højt tårn ved ækvator 7,7 millimeter øst for stedet nedenfor, hvor det tabes på grund af Coriolis-kraften.

I tilfælde af fjerne objekter og en roterende referenceramme skal der tages hensyn til den resulterende kraft af centrifugalkræfter og Coriolis -kræfter. Overvej en fjern stjerne observeret fra et roterende rumfartøj. I referencerammen, der roterer samtidigt med rumfartøjet, ser den fjerne stjerne ud til at bevæge sig langs en cirkulær bane rundt om rumfartøjet. Stjernens tilsyneladende bevægelse er en tilsyneladende centripetal acceleration. Ligesom i eksemplet ovenfor på bilen i cirkulær bevægelse har centrifugalkraften samme størrelse som den fiktive centripetalkraft, men er rettet i den modsatte, centrifugale retning. I dette tilfælde er Coriolis -kraften dobbelt så stor som centrifugalkraften, og den peger i centripetal retning. Vektorsummen af ​​centrifugalkraften og Coriolis -kraften er den totale fiktive kraft, som i dette tilfælde peger i centripetal retning.

Fiktive kræfter og arbejde

Fiktive kræfter kan anses for at udføre arbejde , forudsat at de flytter et objekt på en bane, der ændrer dets energi fra potentiale til kinetisk . Betragt for eksempel en person i en roterende stol, der holder en vægt i deres udstrakte hånd. Hvis de trækker deres hånd indad mod deres krop, set fra perspektivet af den roterende referenceramme, har de udført arbejde mod centrifugalkraften. Når vægten slippes, flyver den spontant udad i forhold til den roterende referenceramme, fordi centrifugalkraften virker på objektet og omdanner dens potentielle energi til kinetisk. Fra et inertisk synspunkt flyver objektet selvfølgelig væk fra dem, fordi det pludselig får lov til at bevæge sig i en lige linje. Dette illustrerer, at det udførte arbejde, ligesom et objekts samlede potentiale og kinetiske energi, kan være anderledes i en ikke-inert ramme end en inert.

Tyngdekraften som en fiktiv kraft

Begrebet "fiktiv kraft" kommer op i Einsteins generelle relativitetsteori. Alle fiktive kræfter er proportionale med massen af ​​objektet, som de virker på, hvilket også gælder for tyngdekraften . Dette fik Albert Einstein til at spekulere på, om tyngdekraften også var en fiktiv kraft. Han bemærkede, at en frit faldende observatør i en lukket kasse ikke ville være i stand til at opdage tyngdekraften; derfor er frit faldende referencerammer ækvivalente med en inertial referenceramme ( ækvivalensprincippet ). Som opfølgning på denne indsigt, Einstein var i stand til at formulere en teori med tyngdekraften som en fiktiv kraft og tilskrive den tilsyneladende tyngdeaccelerationen til krumning af rumtiden . Denne idé ligger til grund for Einsteins teori om generel relativitet . Se Eötvös eksperiment .

Animation: bold, der ruller ud af en klippe

Regn og skal indrammer perspektiver på fysiske (røde) og fiktive (blå) kræfter for et objekt, der ruller ud af en klippe. Bemærk: Regnrammeperspektivet her, snarere end at være et regndråbe, ligner mere et trampolinsprøjt, hvis bane topper ud lige som bolden når kanten af ​​klinten. Skallerammens perspektiv kan være kendt for planetboere, der minut for minut stoler på fysiske kræfter opad fra deres miljø for at beskytte dem mod den geometriske acceleration på grund af buet rumtid.

Matematisk afledning af fiktive kræfter

Figur 2: Et motiv på x _A i inerti A er placeret på placering x _B i accelererende ramme B . Oprindelsen af rammen B er placeret på X _AB i ramme A . Orienteringen af rammen B bestemmes af enhedsvektorer langs dens koordinere retninger, u _j med j = 1, 2, 3. Ved anvendelse af disse akser, koordinaterne af objektet ifølge ramme B er x _B = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ).

Generel afledning

Mange problemer kræver brug af ikke -inertielle referencerammer, f.eks. Dem, der involverer satellitter og partikelacceleratorer. Figur 2 viser en partikel med masse m og position vektor x _A ( t ) i en bestemt inerti A. Betragt en ikke-inerti B, hvis oprindelse i forhold til den inertielle ene er givet ved X _AB ( t ). Lad partikelens position i ramme B være x _B ( t ). Hvad er kraften på partiklen udtrykt i koordinatsystemet i ramme B?

For at besvare dette spørgsmål, lad koordinataksen i B repræsenteres af enhedsvektorer u _j med j en af ​​{1, 2, 3} for de tre koordinatakser. Derefter

${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {\ mathrm {B}} = \ sum _ {j = 1}^{3} x_ {j} \ mathbf {u} _ {j} \.}$

Fortolkningen af ​​denne ligning er, at x _B er partikelens vektorforskydning udtrykt i form af koordinaterne i ramme B på tidspunktet t . Fra ramme A er partiklen placeret på:

${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {\ mathrm {A}} = \ mathbf {X} _ {\ mathrm {AB}}+\ sum _ {j = 1}^{3} x_ {j} \ mathbf { u} _ {j} \.}$

Som en side kan enhedsvektorerne {  u _j  } ikke ændre størrelse, så derivater af disse vektorer udtrykker kun rotation af koordinatsystemet B. På den anden side lokaliserer vektor X _AB simpelthen oprindelsen af ​​ramme B i forhold til ramme A og så kan ikke omfatte rotation af ramme B.

Når man tager et tidsderivat, er partikelhastigheden:

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {x} _ {\ mathrm {A}}} {dt}} = {\ frac {d \ mathbf {X} _ {\ mathrm {AB}}} {dt}} +\ sum _ {j = 1}^{3} {\ frac {dx_ {j}} {dt}} \ mathbf {u} _ {j}+\ sum _ {j = 1}^{3} x_ { j} {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j}} {dt}} \.}$

Det andet udtryk summering er partikelhastigheden, f.eks. V _B målt i ramme B. Det vil sige:

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {x} _ {\ mathrm {A}}} {dt}} = \ mathbf {v} _ {\ mathrm {AB}}+\ mathbf {v} _ {\ mathrm {B}}+\ sum _ {j = 1}^{3} x_ {j} {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j}} {dt}}.}$

Fortolkningen af ​​denne ligning er, at partikelhastigheden set af observatører i ramme A består af, hvad observatører i ramme B kalder hastigheden, nemlig v _B , plus to ekstra termer relateret til ændringshastigheden af ​​rammen-B koordinatakser . En af disse er simpelthen hastigheden af ​​den bevægelige oprindelse v _AB . Den anden er et bidrag til hastighed på grund af det faktum, at forskellige placeringer i den ikke-inertielle ramme har forskellige tilsyneladende hastigheder på grund af rotation af rammen; et punkt set fra en roterende ramme har en roterende komponent af hastighed, der er større, jo længere punktet er fra oprindelsen.

For at finde accelerationen giver en anden tidsdifferentiering:

${\ displaystyle {\ frac {d^{2} \ mathbf {x} _ {\ mathrm {A}}} {dt^{2}}} = \ mathbf {a} _ {\ mathrm {AB}}+{ \ frac {d \ mathbf {v} _ {\ mathrm {B}}} {dt}}+\ sum _ {j = 1}^{3} {\ frac {dx_ {j}} {dt}} {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j}} {dt}}+\ sum _ {j = 1}^{3} x_ {j} {\ frac {d^{2} \ mathbf {u} _ { j}} {dt^{2}}}.}$

Ved hjælp af den samme formel, der allerede blev brugt til tidsderivatet af x _B , er hastighedsderivatet til højre:

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {v} _ {\ mathrm {B}}} {dt}} = \ sum _ {j = 1}^{3} {\ frac {dv_ {j}} {dt }} \ mathbf {u} _ {j}+\ sum _ {j = 1}^{3} v_ {j} {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j}} {dt}} = \ mathbf {a} _ {\ mathrm {B}}+\ sum _ {j = 1}^{3} v_ {j} {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j}} {dt}}.}$

Følgelig,

${\ displaystyle {\ frac {d^{2} \ mathbf {x} _ {\ mathrm {A}}} {dt^{2}}} = \ mathbf {a} _ {\ mathrm {AB}}+\ mathbf {a} _ {\ mathrm {B}} +2 \ \ sum _ {j = 1}^{3} v_ {j} {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j}} {dt}} +\ sum _ {j = 1}^{3} x_ {j} {\ frac {d^{2} \ mathbf {u} _ {j}} {dt^{2}}}.}$

( 1 )

Fortolkningen af ​​denne ligning er som følger: accelerationen af ​​partiklen i ramme A består af, hvad observatører i ramme B kalder partikelaccelerationen for en _B , men derudover er der tre accelerationsudtryk relateret til bevægelsen af ​​frame-B-koordinatakser : et udtryk relateret til accelerationen af ​​rammen B's oprindelse, nemlig et _AB , og to termer relateret til rotation af rammen B. Følgelig vil observatører i B se partikelbevægelsen som besiddende "ekstra" acceleration, som de vil tilskrive "kræfter", der virker på partiklen, men som observatører i A siger er "fiktive" kræfter, der opstår simpelthen fordi observatører i B ikke genkender den ikke-inertielle karakter af ramme B.

Faktoren to i Coriolis -kraften stammer fra to lige store bidrag: (i) den tilsyneladende ændring af en inertielt konstant hastighed med tiden, fordi rotation får hastighedsretningen til at ændre sig (et d v _B /d t -udtryk) og ( ii) en tilsyneladende ændring i et objekts hastighed, når dets position ændres, hvilket bringer det tættere på eller længere fra rotationsaksen (ændringen på grund af ændring i x _j ). ${\ displaystyle \ sum x_ {j} \, d \ mathbf {u} _ {j}/dt}$

For at sætte sager i form af kræfter multipliceres accelerationerne med partikelmassen:

${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {A}} = \ mathbf {F} _ {\ mathrm {B}}+m \ mathbf {a} _ {\ mathrm {AB}}+2m \ sum _ {j = 1}^{3} v_ {j} {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j}} {dt}}+m \ sum _ {j = 1}^{3} x_ {j} {\ frac {d^{2} \ mathbf {u} _ {j}} {dt^{2}}} \.}$

Kraften observeret i ramme B, F _B = m a _B er relateret til den faktiske kraft på partiklen, F _A , ved

${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {B}} = \ mathbf {F} _ {\ mathrm {A}}+\ mathbf {F} _ {\ mathrm {fiktiv}},}$

hvor:

${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {fiktiv}} =-m \ mathbf {a} _ {\ mathrm {AB}} -2m \ sum _ {j = 1}^{3} v_ {j} {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j}} {dt}}-m \ sum _ {j = 1}^{3} x_ {j} {\ frac {d^{2} \ mathbf {u } _ {j}} {dt^{2}}} \.}$

Således kan vi løse problemer i ramme B ved at antage, at Newtons anden lov holder (med hensyn til mængder i denne ramme) og behandle F _fiktiv som en ekstra kraft.

Nedenfor er en række eksempler, der anvender dette resultat for fiktive kræfter. Flere eksempler findes i artiklen om centrifugalkraft .

Roterende koordinatsystemer

En almindelig situation, hvor ikke -inertielle referencerammer er nyttige, er når referencerammen roterer. Fordi en sådan rotationsbevægelse er ikke-inertiel, på grund af accelerationen i enhver rotationsbevægelse, kan en fiktiv kraft altid påberåbes ved hjælp af en roterende referenceramme. På trods af denne komplikation forenkler brugen af ​​fiktive kræfter ofte de involverede beregninger.

For at udlede udtryk for de fiktive kræfter er der brug for derivater til den tilsyneladende ændringshastighed for vektorer, der tager højde for tidsvariation af koordinataksen. Hvis rotationen af ​​rammen 'B' er repræsenteret af en vektor Ω, der er spidset langs rotationsaksen med orientering givet ved den højre regel , og med størrelsen givet af

${\ displaystyle | {\ boldsymbol {\ Omega}} | = {\ frac {d \ theta} {dt}} = \ omega (t),}$

så er tidsderivatet af en hvilken som helst af de tre enhedsvektorer, der beskriver rammen B,

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j} (t)} {dt}} = {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {u} _ {j} (t),}$

og

${\ displaystyle {\ frac {d^{2} \ mathbf {u} _ {j} (t)} {dt^{2}}} = {\ frac {d {\ boldsymbol {\ Omega}}} {dt }} \ times \ mathbf {u} _ {j}+{\ boldsymbol {\ Omega}} \ times {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j} (t)} {dt}} = {\ frac {d {\ boldsymbol {\ Omega}}} {dt}} \ times \ mathbf {u} _ {j}+{\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ left [{\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {u} _ {j} (t) \ højre],}$

som er verificeret ved hjælp af egenskaberne af vektorkrydsproduktet . Disse afledte formler anvendes nu på forholdet mellem acceleration i en inertial ramme, og den i en koordinatramme, der roterer med tidsvarierende vinkelhastighed ω ( t ). Fra det foregående afsnit, hvor subscript A refererer til inertialrammen og B til den roterende ramme, indstilling af en _AB = 0 for at fjerne enhver translationel acceleration og kun fokusere på rotationsegenskaber (se ligning 1 ):

${\ displaystyle {\ frac {d^{2} \ mathbf {x} _ {\ mathrm {A}}} {dt^{2}}} = \ mathbf {a} _ {\ mathrm {B}} +2 \ sum _ {j = 1}^{3} v_ {j} \ {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j}} {dt}}+\ sum _ {j = 1}^{3} x_ {j} {\ frac {d^{2} \ mathbf {u} _ {j}} {dt^{2}}},}$

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {\ mathrm {A}} = \ mathbf {a} _ {\ mathrm {B}}+\ 2 \ sum _ {j = 1}^{3} v_ {j} { \ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {u} _ {j} (t)+\ sum _ {j = 1}^{3} x_ {j} {\ frac {d {\ boldsymbol {\ Omega} }} {dt}} \ times \ mathbf {u} _ {j} \ +\ sum _ {j = 1}^{3} x_ {j} {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ left [{\ fed symbol {\ Omega}} \ gange \ mathbf {u} _ {j} (t) \ højre]}$

${\ displaystyle = \ mathbf {a} _ {\ mathrm {B}} +2 {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ sum _ {j = 1}^{3} v_ {j} \ mathbf {u} _ {j} (t)+{\ frac {d {\ boldsymbol {\ Omega}}} {dt}} \ times \ sum _ {j = 1}^{3} x_ {j} \ mathbf {u} _ {j}+{\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ left [{\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ sum _ {j = 1}^{3} x_ {j} \ mathbf {u} _ { j} (t) \ højre].}$

Ved at indsamle vilkår er resultatet den såkaldte accelerationstransformationsformel :

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {\ mathrm {A}} = \ mathbf {a} _ {\ mathrm {B}} +2 {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {v} _ {\ mathrm {B}}+{\ frac {d {\ boldsymbol {\ Omega}}} {dt}} \ times \ mathbf {x} _ {\ mathrm {B}}+{\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ venstre ({\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {x} _ {\ mathrm {B}} \ højre) \.}$

Den fysiske acceleration a _{A på} grund af det, som observatører i inertialrammen A kalder reelle ydre kræfter på objektet, er derfor ikke blot accelerationen a _B, som observeres i rotationsrammen B, men har flere yderligere geometriske accelerationsbetingelser forbundet med rotation af B. Som det ses i rotationsrammen, er accelerationen a _B af partiklen givet ved omlægning af ovenstående ligning som:

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {\ mathrm {B}} = \ mathbf {a} _ {\ mathrm {A}} -2 {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {v} _ {\ mathrm {B}}-{\ boldsymbol {\ Omega}} \ times ({\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {x} _ {\ mathrm {B}})-{\ frac {d {\ boldsymbol {\ Omega}}} {dt}} \ times \ mathbf {x} _ {\ mathrm {B}}.}$

Nettokraften på genstand ifølge observatører i roterende ramme er F _B = m en _B . Hvis deres observationer skal resultere i den korrekte kraft på objektet, når de bruger Newtons love, skal de overveje, at den ekstra kraft F _fict er til stede, så slutresultatet er F _B = F _A + F _fikt . Således er den fiktive kraft, der bruges af observatører i B for at få objektets korrekte adfærd fra Newtons love, lig med:

${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {fict}} =-2m {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {v} _ {\ mathrm {B}} -m {\ boldsymbol {\ Omega }} \ times ({\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {x} _ {\ mathrm {B}})-m {\ frac {d {\ boldsymbol {\ Omega}}} {dt}} \ \ gange \ mathbf {x} _ {\ mathrm {B}}.}$

Her er det første udtryk Coriolis -kraften , det andet udtryk er centrifugalkraften , og det tredje udtryk er Euler -kraften .

Kredsløbskoordinatsystemer

Figur 3: Et kredsende, men fast orienteringskoordinatsystem B , vist på tre forskellige tidspunkter. Enhedsvektorerne u _j , j = 1, 2, 3 roterer ikke , men opretholder en fast orientering, mens koordinatsystemets B oprindelse bevæger sig med konstant vinkelhastighed ω omkring den faste akse Ω . Akse Ω passerer gennem oprindelsen af inerti A , så oprindelsen af rammen B er en fast afstand R fra oprindelsen af inerti A .

Som et beslægtet eksempel, antag at det bevægelige koordinatsystem B roterer med en konstant vinkelhastighed ω i en cirkel med radius R omkring den faste oprindelse af inertialramme A , men bevarer sine koordinatakser fast i orientering, som i figur 3. Accelerationen af et observeret legeme er nu (se ligning 1 ):

${\ displaystyle {\ frac {d^{2} \ mathbf {x} _ {A}} {dt^{2}}} = \ mathbf {a} _ {AB}+\ mathbf {a} _ {B} +2 \ \ sum _ {j = 1}^{3} v_ {j} \ {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j}} {dt}}}$ ${\ displaystyle +\ sum _ {j = 1}^{3} x_ {j} \ {\ frac {d^{2} \ mathbf {u} _ {j}} {dt^{2}}} \. }$

${\ displaystyle = \ mathbf {a} _ {AB} \ +\ mathbf {a} _ {B} \,}$

hvor summeringen er nul, for så vidt som enhedsvektorerne ikke har nogen tidsafhængighed. Oprindelsen af ​​system B er placeret i henhold til ramme A på:

${\ displaystyle \ mathbf {X} _ {AB} = R \ venstre (\ cos (\ omega t), \ \ sin (\ omega t) \ højre) \,}$

hvilket fører til en hastighed af rammen B 's oprindelse som:

${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {AB} = {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {X} _ {AB} = \ mathbf {\ Omega \ times X} _ {AB} \,}$

hvilket fører til en acceleration af oprindelsen af B givet ved:

${\ displaystyle \ mathbf {a} _ {AB} = {\ frac {d^{2}} {dt^{2}}} \ mathbf {X} _ {AB}}$ ${\ displaystyle = \ mathbf {\ Omega \ \ times} \ venstre (\ mathbf {\ Omega \ gange X} _ {AB} \ højre)}$ ${\ displaystyle =-\ omega ^{2} \ mathbf {X} _ {AB} \.}$

Fordi det første udtryk, dvs.

${\ displaystyle \ mathbf {\ Omega \ \ times} \ venstre (\ mathbf {\ Omega \ gange X} _ {AB} \ højre) \,}$

er af samme form som det normale centrifugalkraftudtryk:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ left ({\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {x} _ {B} \ right) \,}$

det er en naturlig forlængelse af standardterminologi (selvom der ikke er nogen standardterminologi for dette tilfælde) at kalde dette udtryk for en "centrifugalkraft". Uanset hvilken terminologi der anvendes, skal observatørerne i ramme B indføre en fiktiv kraft, denne gang på grund af accelerationen fra kredsløbets bevægelse for hele deres koordinatramme, der er radialt udad fra rotationscentret for deres koordinatsystems oprindelse:

${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {fict}} = m \ omega ^{2} \ mathbf {X} _ {AB} \,}$

og af størrelse:

${\ displaystyle | \ mathbf {F} _ {\ mathrm {fict}} | = m \ omega ^{2} R \.}$

Bemærk, at denne "centrifugalkraft" har forskelle fra tilfælde af en roterende ramme. I den roterende ramme er centrifugalkraften relateret til objektets afstand fra rammen B 's oprindelse , mens centrifugalkraften i tilfælde af en kredsende ramme er uafhængig af objektets afstand fra rammen B 's oprindelse , men i stedet afhænger af afstanden af oprindelsen af rammen B fra dens omdrejningspunkt, hvilket resulterer i samme centrifugal fiktiv kraft for alle objekter observeret i ramme B .

Bane og rotere

Figur 4: Et kredsløbskoordinatsystem B svarende til figur 3, men hvor enhedsvektorer u _j , j = 1, 2, 3 roterer for at vende rotationsaksen, mens koordinatsystemets B oprindelse bevæger sig med konstant vinkelhastighed ω ca. den faste akse Ω .

Som et kombinationseksempel viser figur 4 et koordinatsystem B, der kredser om inertialramme A som i figur 3, men koordinatakser i ramme B drejer, så enhedsvektor u ₁ altid peger mod rotationscentrum. Dette eksempel kan gælde for et reagensglas i en centrifuge, hvor vektor u ₁ peger langs rørets akse mod dets åbning i toppen. Det ligner også Earth-Moon-systemet, hvor Månen altid præsenterer det samme ansigt for Jorden. I dette eksempel enhedsvektor u ₃ bevarer en fast orientering, mens vektorer u ₁ , u ₂ rotere med samme hastighed som oprindelsen af koordinater. Det er,

${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {1} = ( -\ cos \ omega t, \ -\ sin \ omega t) \; \}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {2} = (\ sin \ omega t, \ -\ cos \ omega t) \.}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {u} _ {1} = \ mathbf {\ Omega \ times u_ {1}} = \ omega \ mathbf {u} _ {2} \;}$ ${\ displaystyle \ {\ frac {d} {dt}} \ mathbf {u} _ {2} = \ mathbf {\ Omega \ gange u_ {2}} =-\ omega \ mathbf {u} _ {1} \ \.}$

Derfor udtrykkes accelerationen af ​​et objekt i bevægelse som (se ligning 1 ):

${\ displaystyle {\ frac {d^{2} \ mathbf {x} _ {A}} {dt^{2}}} = \ mathbf {a} _ {AB}+\ mathbf {a} _ {B} +2 \ \ sum _ {j = 1}^{3} v_ {j} \ {\ frac {d \ mathbf {u} _ {j}} {dt}}}$ ${\ displaystyle +\ \ sum _ {j = 1}^{3} x_ {j} \ {\ frac {d^{2} \ mathbf {u} _ {j}} {dt^{2}}} \ }$

${\ displaystyle = \ mathbf {\ Omega \ \ times} \ venstre (\ mathbf {\ Omega \ times X} _ {AB} \ højre)+\ mathbf {a} _ {B} +2 \ \ sum _ {j = 1}^{3} v_ {j} \ \ mathbf {\ Omega \ gange u_ {j}}}$ ${\ displaystyle \ +\ \ sum _ {j = 1}^{3} x_ {j} \ {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ left ({\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {u } _ {j} \ right) \}$

${\ displaystyle = \ mathbf {\ Omega \ \ times} \ venstre (\ mathbf {\ Omega \ times X} _ {AB} \ right)+\ mathbf {a} _ {B} +2 \ {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {v} _ {B} \}$ ${\ displaystyle \ +\ {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ left ({\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {x} _ {B} \ right) \}$

${\ displaystyle = \ mathbf {\ Omega \ \ times} \ venstre (\ mathbf {\ Omega \ times} (\ mathbf {X} _ {AB}+\ mathbf {x} _ {B}) \ højre)+\ mathbf {a} _ {B} +2 \ {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {v} _ {B} \ \,}$

hvor vinkelaccelerationsterminen er nul for konstant rotationshastighed. Fordi det første udtryk, dvs.

${\ displaystyle \ mathbf {\ Omega \ \ times} \ venstre (\ mathbf {\ Omega \ times} (\ mathbf {X} _ {AB}+\ mathbf {x} _ {B}) \ højre) \,}$

er af samme form som det normale centrifugalkraftudtryk:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ left ({\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {x} _ {B} \ right) \,}$

det er en naturlig forlængelse af standardterminologi (selvom der ikke er nogen standardterminologi for dette tilfælde) at kalde dette udtryk for "centrifugalkraften". Anvendelse af denne terminologi til eksemplet på et rør i en centrifuge, hvis røret er langt nok fra rotationscentrum, | X _AB | = R ≫ | x _B |, ser alt sagen i reagensglas den samme acceleration (den samme centrifugalkraft). I dette tilfælde er den fiktive kraft således primært en ensartet centrifugalkraft langs rørets akse, væk fra rotationscentrum, med en værdi | F _Fikt | = ω ² R , hvor R er stofets afstand i røret fra midten af ​​centrifugen. Det er standardspecifikation for en centrifuge at bruge centrifugens "effektive" radius til at estimere dens evne til at tilvejebringe centrifugalkraft. Således kan et første skøn over centrifugalkraft i en centrifuge være baseret på rørens afstand fra rotationscenteret, og korrektioner kan foretages om nødvendigt.

Også den reagensglas begrænser bevægelse til retningen ned længden af røret, så v _B er modsat u ₁ og Coriolis kraften er modsat u ₂ , altså mod væggen af røret. Hvis røret centrifugeres i lang nok tid, falder hastigheden v _B til nul, da sagen kommer til en ligevægtsfordeling. For flere detaljer, se artiklerne om sedimentering og Lamm -ligningen .

Et relateret problem er centrifugalkræfterne for Earth-Moon-Sun-systemet, hvor tre rotationer vises: Jordens daglige rotation om sin akse, månens månedsrotation af Earth-Moon-systemet omkring deres massecenter og den årlige revolution af Jord-Månesystemet om Solen. Disse tre bevægelser påvirker tidevandet .

Kryds en karrusel

Figur 5: Når man krydser en roterende karrusel, der går med konstant hastighed fra karrusellens centrum til kanten, spores en spiral ud i inertialrammen, mens en simpel lige radial sti ses i karruselens ramme.

Figur 5 viser et andet eksempel, hvor man sammenligner observationer af en inertial observatør med observationer af en observatør på en roterende karrusel . Karrusellen roterer med en konstant vinkelhastighed repræsenteret af vektoren Ω med størrelsen ω og peger opad i henhold til den højre regel . En rytter på karrusellen går radialt hen over den med konstant hastighed, i hvad der for rollatoren ser ud til at være den lige linje, der er skråtstillet ved 45 ° i figur 5. Til den stationære observatør kører rollatoren imidlertid en spiralsti. Punkterne, der er identificeret på begge stier i figur 5, svarer til de samme mellemrum med samme tidsintervaller. Vi spørger, hvordan to observatører, en på karrusellen og en i en inertial ramme, formulerer, hvad de ser ved hjælp af Newtons love.

Trægtsobservatør

Iagttageren i ro beskriver stien, som rullatoren følger, som en spiral. Vedtagelsen af ​​koordinatsystemet vist i figur 5 er banen beskrevet af r ( t ):

${\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = R (t) \ mathbf {u} _ {R} = {\ begin {bmatrix} x (t) \\ y (t) \ end {bmatrix}} = { \ begin {bmatrix} R (t) \ cos (\ omega t+\ pi /4) \\ R (t) \ sin (\ omega t+\ pi /4) \ end {bmatrix}},}$

hvor den tilføjede π/4 sætter vejvinklen til 45 ° til at starte med (bare et vilkårligt valg af retning), er u _R en enhedsvektor i radial retning, der peger fra karrusellens centrum til rollatoren på tidspunktet t . Den radiale afstand R ( t ) øges støt med tiden i henhold til:

${\ displaystyle R (t) = st,}$

med s ganghastighed. Ifølge simpel kinematik er hastigheden derefter det første derivat af banen:

${\ displaystyle \ mathbf {v} (t) = {\ frac {dR} {dt}} {\ begin {bmatrix} \ cos (\ omega t+\ pi /4) \\\ sin (\ omega t+\ pi / 4) \ end {bmatrix}}+\ omega R (t) {\ begin {bmatrix}-\ sin (\ omega t+\ pi /4) \\\ cos (\ omega t+\ pi /4) \ end {bmatrix }}}$

${\ displaystyle = {\ frac {dR} {dt}} \ mathbf {u} _ {R}+\ omega R (t) \ mathbf {u} _ {\ theta},}$

med u _Ø en enhedsvektor vinkelret på u _R på tidspunkt t (som kan verificeres ved at bemærke, at vektoren prikproduktet med de radiale vektor er nul) og peger i køreretningen. Accelerationen er den første afledning af hastigheden:

${\ displaystyle \ mathbf {a} (t) = {\ frac {d^{2} R} {dt^{2}}} {\ begin {bmatrix} \ cos (\ omega t+\ pi /4) \\ \ sin (\ omega t+\ pi /4) \ end {bmatrix}}+2 {\ frac {dR} {dt}} \ omega {\ begin {bmatrix}-\ sin (\ omega t+\ pi /4) \ \\ cos (\ omega t+\ pi /4) \ end {bmatrix}}-\ omega ^{2} R (t) {\ begin {bmatrix} \ cos (\ omega t+\ pi /4) \\\ sin (\ omega t+\ pi /4) \ end {bmatrix}}}$

${\ displaystyle = 2s \ omega {\ begin {bmatrix}-\ sin (\ omega t+\ pi /4) \\\ cos (\ omega t+\ pi /4) \ end {bmatrix}}-\ omega ^{2 } R (t) {\ begin {bmatrix} \ cos (\ omega t+\ pi /4) \\\ sin (\ omega t+\ pi /4) \ end {bmatrix}}}$

${\ displaystyle = 2s \ \ omega \ \ mathbf {u} _ {\ theta}-\ omega ^{2} R (t) \ \ mathbf {u} _ {R} \.}$

Det sidste udtryk i accelerationen er radialt indad i størrelsesorden ω ² R , hvilket derfor er den øjeblikkelige centripetale acceleration af cirkulær bevægelse . Det første udtryk er vinkelret på den radiale retning og peger i kørselsretningen. Dens størrelse er 2 s ω, og det repræsenterer rollatorens acceleration, når kanten af ​​karrusellen nærmer sig, og cirkelbuen, der tilbagelægges på en fast tid, stiger, som det kan ses af den øgede afstand mellem punkter for lige tidstrin på spiralen i figur 5, når karrusellens yderkant nærmer sig.

Ved at anvende Newtons love, multiplicere accelerationen med rollatorens masse, konkluderer inertobservatøren, at rollatoren er underlagt to kræfter: den indadgående, radialt rettet centripetalkraft og en anden kraft vinkelret på den radiale retning, der er proportional med hastigheden på rollatoren.

Roterende observatør

Den roterende observatør ser rollatoren bevæge sig en lige linje fra midten af ​​karrusellen til periferien, som vist i figur 5. Desuden ser den roterende observatør, at rollatoren bevæger sig med en konstant hastighed i samme retning, og derfor anvender Newtons lov om inerti, er der nul kraft på rollatoren. Disse konklusioner er ikke enige med inertial -observatøren. For at opnå enighed skal den roterende observatør indføre fiktive kræfter, der ser ud til at eksistere i den roterende verden, selvom der ikke er nogen åbenbar grund til dem, ingen tilsyneladende gravitationsmasse, elektrisk ladning eller hvad du har, der kan redegøre for disse fiktive kræfter .

For at være enig med inertiobservatøren skal de kræfter, der påføres rollatoren, være præcis dem, der findes ovenfor. De kan relateres til de generelle formler, der allerede er afledt, nemlig:

${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {fict}} =-2m {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {v} _ {\ mathrm {B}} -m {\ boldsymbol {\ Omega }} \ times ({\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {x} _ {\ mathrm {B}})-m {\ frac {d {\ boldsymbol {\ Omega}}} {dt}} \ \ gange \ mathbf {x} _ {\ mathrm {B}}.}$

I dette eksempel er hastigheden set i den roterende ramme:

${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ mathrm {B}} = s \ mathbf {u} _ {R},}$

med u _R en enhedsvektor i radial retning. Rollatorens position set på karrusellen er:

${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {\ mathrm {B}} = R (t) \ mathbf {u} _ {R},}$

og tidsderivatet af Ω er nul for ensartet vinkelrotation. Bemærk det

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {u} _ {R} = \ omega \ mathbf {u} _ {\ theta} \}$

og

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Omega}} \ times \ mathbf {u} _ {\ theta} =-\ omega \ mathbf {u} _ {R} \,}$

vi finder:

${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {fict}} =-2m \ omega s \ mathbf {u} _ {\ theta}+m \ omega ^{2} R (t) \ mathbf {u} _ {R}.}$

For at opnå en lineær bevægelse i den roterende verden skal der påføres en kraft, der er helt modsat i tegn til den fiktive kraft, for at reducere nettokraften på rollatoren til nul, så Newtons inertilov vil forudsige en lige line-bevægelse i overensstemmelse med hvad den roterende observatør ser. De fiktive kræfter, der skal bekæmpes, er Coriolis -kraften (første periode) og centrifugalkraften (anden periode). (Disse udtryk er omtrentlige.) Ved at anvende kræfter til at imødegå disse to fiktive kræfter, ender den roterende observatør med at anvende nøjagtigt de samme kræfter på rollatoren, som inertiobservatøren forudsagde var nødvendig.

Fordi de kun adskiller sig ved den konstante ganghastighed, ser rollatoren og den roterende observatør de samme accelerationer. Fra rollatorens perspektiv opleves den fiktive kraft som reel, og bekæmpelse af denne kraft er nødvendig for at blive på en radial linie med konstant hastighed. Det er som at kæmpe med en sidevind, mens man bliver kastet til kanten af ​​karrusellen.

Observation

Bemærk, at denne kinematiske diskussion ikke går i dybden med den mekanisme, hvormed de krævede kræfter genereres. Det er emnet kinetik . I tilfælde af karrusellen ville den kinetiske diskussion måske indebære en undersøgelse af rollatorens sko og den friktion, de har brug for at generere mod gulvet i karrusellen, eller måske dynamikken i skateboarding, hvis rollatoren skiftede til at rejse med skateboard. Uanset transportmidler over karrusellen skal de kræfter, der er beregnet ovenfor, realiseres. En meget grov analogi er opvarmning af dit hus: Du skal have en bestemt temperatur for at være behagelig, men om du opvarmer ved at brænde gas eller ved at brænde kul, er et andet problem. Kinematik sætter termostaten, kinetik brænder ovnen.

Se også

Noter

Yderligere læsning

• Lev D. Landau og EM Lifshitz (1976). Mekanik . Kursus i teoretisk fysik . Vol. 1 (3. udgave). Butterworth-Heinenan. s. 128–130. ISBN 0-7506-2896-0. |volume=har ekstra tekst ( hjælp )
• Keith Symon (1971). Mekanik (3. udgave). Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7.
• Jerry B. Marion (1970). Klassisk dynamik i partikler og systemer . Academic Press. ISBN 0-12-472252-0.
• Marcel J. Sidi (1997). Rumfartøjsdynamik og -kontrol: En praktisk teknisk tilgang . Cambridge University Press. Kapitel 4.8. ISBN 0-521-78780-7.

eksterne links

• Q og A fra Richard C. Brill, Honolulu Community College
• NASAs David Stern: Lektionsplaner for lærere #23 om inertialstyrker
• Coriolis Force
• Bevægelse over en flad Java -fyslet af Brian Fiedler, der illustrerer fiktive kræfter. Physlet viser både perspektivet set fra et roterende og fra et ikke-roterende synspunkt.
• Bevægelse over en parabolsk overflade Java physlet af Brian Fiedler, der illustrerer fiktive kræfter. Physlet viser både perspektivet set fra en roterende og set fra et ikke-roterende synspunkt.