Størrelse (matematik) - Magnitude (mathematics)

I matematik er størrelsen eller størrelsen af et matematisk objekt en egenskab, der afgør, om objektet er større eller mindre end andre objekter af samme slags. Mere formelt er et objekts størrelse det viste resultat af en rækkefølge (eller rangordning) - af klassen af objekter, som det tilhører.

I fysik kan størrelsen defineres som mængde eller afstand.

Historie

Grækerne skelner mellem flere typer størrelser, herunder:

Positive brøker
Linjesegmenter (sorteret efter længde )
Flyfigurer (sorteret efter område )
Tørstof (ordnet efter volumen )
Vinkler (ordnet efter vinkelstørrelse)

De beviste, at de to første ikke kunne være de samme eller endda isomorfe størrelsessystemer. De betragtede ikke negative størrelser som meningsfulde, og størrelsen bruges stadig primært i sammenhænge, hvor nul enten er den mindste størrelse eller mindre end alle mulige størrelser.

Tal

Størrelsen af et hvilket som helst tal kaldes normalt dens absolutte værdi eller modul , angivet med . ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle | x |}$

Reelle tal

Den absolutte værdi af et reelt tal r defineres ved:

{\ displaystyle \ left | r \ right | = r, {\ text {if}} r {\ text {≥}} 0}

{\ displaystyle \ left | r \ right | = -r, {\ text {if}} r <0.}

Absolut værdi kan også betragtes som nummerets afstand fra nul på den reelle talelinje . For eksempel er den absolutte værdi af både 70 og −70 70.

Komplekse tal

Et komplekst tal z kan ses som positionen af et punkt P i et 2-dimensionelt rum , kaldet det komplekse plan . Den absolutte værdi (eller modul) af z kan betragtes som afstanden mellem P og rumets oprindelse. Formlen for den absolutte værdi af z = a + bi ligner formlen for den euklidiske norm for en vektor i et 2-dimensionelt euklidisk rum :

{\ displaystyle \ left | z \ right | = {\ sqrt {a^{2}+b^{2}}}}

hvor de reelle tal a og b er henholdsvis den reelle del og den imaginære del af z . For eksempel elasticitetsmodulet for -3 +4 i er . Alternativt størrelsen af et komplekst tal z kan defineres som kvadratroden af produktet af sig selv og dets kompleks konjugerede , , hvor der for alle komplekse tal , sin komplekse konjugat . ${\ displaystyle {\ sqrt {(-3)^{2}+4^{2}}} = 5}$ ${\ displaystyle {\ bar {z}}}$ ${\ displaystyle z = a+bi}$ ${\ displaystyle {\ bar {z}} = a-bi}$

{\ displaystyle \ left | z \ right | = {\ sqrt {z {\ bar {z}}}} = {\ sqrt {(a+bi) (a-bi)}} = {\ sqrt {a^{ 2} -abi+abi-b^{2} i^{2}}} = {\ sqrt {a^{2}+b^{2}}}}

(hvor ). ${\ displaystyle i^{2} =-1}$

Vektorrum

Euklidisk vektorrum

En euklidisk vektor repræsenterer positionen af et punkt P i et euklidisk rum . Geometrisk kan det beskrives som en pil fra rumets oprindelse (vektorhale) til det punkt (vektortip). Matematisk kan en vektor x i et n -dimensionalt euklidisk rum defineres som en ordnet liste over n reelle tal (de kartesiske koordinater for P ): x = [ x ₁ , x ₂ , ..., x _n ]. Dens størrelse eller længde , betegnet med , defineres oftest som dens euklidiske norm (eller euklidiske længde): ${\ displaystyle \ | x \ |}$

{\ displaystyle \ | \ mathbf {x} \ | = {\ sqrt {x_ {1}^{2}+x_ {2}^{2}+\ cdots+x_ {n}^{2}}}.}

For eksempel i et tredimensionelt rum er størrelsen på [3, 4, 12] 13, fordi dette svarer til kvadratroden af vektorens prikprodukt med sig selv: ${\ displaystyle {\ sqrt {3^{2}+4^{2}+12^{2}}} = {\ sqrt {169}} = 13.}$

{\ displaystyle \ | \ mathbf {x} \ | = {\ sqrt {\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {x}}}.}

Den euklidiske norm for en vektor er bare et specielt tilfælde af euklidisk afstand : afstanden mellem halen og dens spids. To lignende notationer bruges til den euklidiske norm for en vektor x :

${\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {x} \ right \ |,}$
${\ displaystyle \ venstre | \ mathbf {x} \ højre |.}$

En ulempe ved den anden notation er, at den også kan bruges til at angive den absolutte værdi af skalarer og determinanter for matricer , hvilket introducerer et element af tvetydighed.

Normerede vektorrum

Per definition har alle euklidiske vektorer en størrelse (se ovenfor). En vektor i et abstrakt vektorrum besidder imidlertid ikke en størrelse.

Et vektorrum udstyret med en norm , såsom det euklidiske rum, kaldes et normeret vektorrum . Normen for en vektor v i et normeret vektorrum kan betragtes som størrelsen på v .

Pseudo-euklidisk rum

I et pseudo-euklidisk rum er størrelsen af en vektor værdien af den kvadratiske form for den pågældende vektor.

Logaritmiske størrelser

Når man sammenligner størrelser, bruges der ofte en logaritmisk skala. Eksempler indbefatter loudness af en lyd (målt i decibel ) er lysstyrken af en stjerne , og Richter-skalaen af jordskælv intensitet. Logaritmiske størrelser kan være negative og kan ikke tilføjes eller fratrækkes meningsfuldt (da forholdet er ikke-lineært).

Størrelsesorden

Størrelsesordrer angiver forskelle i numeriske størrelser, normalt målinger, med en faktor 10 - det vil sige en forskel på et ciffer i decimalpunktets placering.

Languages

In other projects