Diffeomorfisme - Diffeomorphism

Algebraisk struktur → Gruppeteori Gruppeteori
Grundlæggende forestillinger Undergruppe Normal undergruppe Kvotient gruppe (Semi-) direkte produkt Gruppe homomorfier kerne billede direkte sum krans produkt enkel begrænset uendelig sammenhængende multiplikativ tilsætningsstof cyklisk abelsk dihedral nilpotent kan løses handling Ordliste over gruppeteori Liste over emner i gruppeteori
Endelige grupper Klassificering af begrænsede enkle grupper cyklisk skiftevis Løgn type sporadisk Cauchys sætning Lagranges sætning Sylow sætninger Hall's sætning p-gruppe Elementær abelsk gruppe Frobenius-gruppen Schur-multiplikator Symmetrisk gruppe S n Klein firegruppe V Dihedral gruppe D n Kvarternionsgruppe Q Dicyklisk gruppe Dic n
Diskrete grupper Gitter Heltal ( Z ) Gratis gruppe Modulære grupper PSL (2, Z ) SL (2, Z ) Aritmetisk gruppe Gitter Hyperbolisk gruppe
Topologiske grupper og løgnegrupper Solenoid Cirkel Generel lineær GL ( n ) Speciel lineær SL ( n ) Vinkelrette O ( n ) Euklidisk E ( n ) Speciel ortogonal SO ( n ) Enhed U ( n ) Speciel enhed SU ( n ) Symplectic Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Konform Diffeomorfisme Sløjfe Uendelig dimensionel Lie gruppe O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraiske grupper Lineær algebraisk gruppe Reduktiv gruppe Abelsk variation Elliptisk kurve
v t e

Løgnegrupper
Klassiske grupper
Enkle løgnegrupper Klassisk A n B n C n D n Enestående G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Andre løgnegrupper Cirkel Lorentz Poincaré Konform gruppe Diffeomorfisme Sløjfe Euklidisk
Løg algebraer
Semisimple Lie algebra
Repræsentationsteori
Løgnegrupper i fysik
Forskere Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Ordliste Tabel over løgnegrupper
v t e

I matematik er en diffeomorfisme en isomorfisme af glatte manifolder . Det er en inverterbar funktion, der kortlægger en differentierbar manifold til en anden, således at både funktionen og dens inverse er glatte .

Den billede af et rektangulært gitter på en firkant under en diffeomorfi fra square på sig selv.

Definition

Givet to manifolder, og et differentierbart kort kaldes en diffeomorfisme, hvis det er en sammenhæng, og dets inverse er også differentierbar. Hvis disse funktioner er gange, der kontinuerligt kan differentieres , kaldes en -diffeomorfisme .${\ displaystyle M}$${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle f \ colon M \ rightarrow N}$${\ displaystyle f ^ {- 1} \ colon N \ rightarrow M}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle C ^ {r}}$

To manifolder og er diffeomorfe (normalt betegnet ), hvis der er en diffeomorfisme fra til . De er - diffeomorfe, hvis der er et tidskrævende differentierbart bijektivt kort mellem dem, hvis inverse også er tidskrævende differentierbar. ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle M \ simeq N}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle C ^ {r}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r}$

Diffeomorfier af delmængder af manifolder

Givet en delmængde X af en manifold M og en delmængde Y af en manifold N , siges en funktion f  : X  → Y at være glat, hvis der for alle p i X er et kvarter U  ⊆ M af p og en glat funktion g  : U  → N således, at begrænsningerne er enige: (bemærk, at g er en udvidelse af f ). Funktionen f siges at være en diffeomorfisme, hvis den er bijektiv, glat og dens inverse er glat. ${\ displaystyle g_ {| U \ cap X} = f_ {| U \ cap X}}$

Lokal beskrivelse

Hadamard-Caccioppoli sætning

Hvis U , V er forbundet åbne delmængder af R ⁿ , således at V er simpelthen forbundet , en differentiabel kort f  : U  → V er en diffeomorfi hvis det er korrekt , og hvis forskellen Df _x  : R ⁿ  → R ⁿ er bijektiv (og dermed en lineær isomorfi ) ved hvert punkt x i U .

Første bemærkning

Det er vigtigt for V at være simpelthen forbundet for, at funktionen f er globalt inverterbar (under den eneste betingelse, at dens derivat er et bijektivt kort på hvert punkt). Overvej f.eks. "Realisering" af den komplekse firkantfunktion

${\ displaystyle {\ begin {cases} f: \ mathbf {R} ^ {2} \ setminus \ {(0,0) \} \ to \ mathbf {R} ^ {2} \ setminus \ {(0,0 ) \} \\ (x, y) \ mapsto (x ^ {2} -y ^ {2}, 2xy). \ end {cases}}}$

Så f er surjektiv og det opfylder

${\ displaystyle \ det Df_ {x} = 4 (x ^ {2} + y ^ {2}) \ neq 0.}$

Selvom Df _x er bijektiv på hvert punkt, er f således ikke inverterbar, fordi det ikke er injektivt (f.eks. F (1, 0) = (1, 0) = f (-1, 0)).

Anden bemærkning

Da forskellen på et punkt (for en differentierbar funktion)

${\ displaystyle Df_ {x}: T_ {x} U \ til T_ {f (x)} V}$

er et lineært kort , det har en veldefineret invers, hvis og kun hvis Df _x er en sammenhæng. Den matrix repræsentation af Df _x er n  ×  n matrix af første ordens partielt afledte hvis placering i i 'te række og j -th kolonne er . Denne såkaldte Jacobianske matrix bruges ofte til eksplicitte beregninger. ${\ displaystyle \ partial f_ {i} / \ partial x_ {j}}$

Tredje bemærkning

Diffeomorfismer er nødvendigvis mellem manifolder af samme dimension . Forestil dig f går fra dimension n til dimension k . Hvis n  <  k, så kunne Df _x aldrig være surjektiv, og hvis n  >  k kunne Df _x aldrig være injektiv. I begge tilfælde er Df _{x derfor} ikke en sammenhæng.

Fjerde bemærkning

Hvis Df _x er en bijection på x derefter f siges at være en lokal diffeomorfi (siden, ved kontinuitet, Df _y vil også være bijektiv for alle y tilstrækkelig tæt på x ).

Femte bemærkning

Givet et jævnt kort fra dimension n til dimension k , hvis Df (eller lokalt Df _x ) er surjectiv, siges f at være en nedsænkning (eller lokalt en "lokal nedsænkning"); og hvis Df (eller lokalt Df _x ) er injektionsdygtig, siges f at være en nedsænkning (eller lokalt en "lokal nedsænkning").

Sjette bemærkning

En differentierbar sammenhæng er ikke nødvendigvis en diffeomorfisme. f ( x ) =  x ³ er for eksempel ikke en diffeomorfisme fra R til sig selv, fordi dets derivat forsvinder ved 0 (og dermed dets inverse ikke kan differentieres ved 0). Dette er et eksempel på en homeomorfisme , der ikke er en diffeomorfisme.

Syvende bemærkning

Når f er et kort mellem differentierbare manifolder, er en diffeomorf f en stærkere tilstand end en homeomorf f . For en diffeomorfisme skal f og dets omvendte være differentierbare ; for en homomorfisme behøver f og dens inverse kun være kontinuerlige . Enhver diffeomorfisme er en homeomorfisme, men ikke enhver homeomorfisme er en diffeomorfisme.

f  : M  → N kaldes en diffeomorfisme, hvis den i koordinatdiagrammer opfylder definitionen ovenfor. Mere præcist: Pick nogen dækning af M ved forenelig koordinere diagrammer og gøre det samme for N . Lad φ og ψ være diagrammer på henholdsvis M og N med U og V som henholdsvis billederne af φ og ψ. Kortet ψ f φ ⁻¹  : U  → V er så en diffeomorfisme som i definitionen ovenfor, når f (φ ⁻¹ (U)) ⊆ ψ ⁻¹ (V).

Eksempler

Eftersom enhver manifold kan lokalt parametrised, kan vi overveje nogle eksplicitte kort fra R ² i R ² .

• Lade

${\ displaystyle f (x, y) = \ left (x ^ {2} + y ^ {3}, x ^ {2} -y ^ {3} \ right).}$

Vi kan beregne den Jacobianske matrix:

${\ displaystyle J_ {f} = {\ begin {pmatrix} 2x & 3y ^ {2} \\ 2x & -3y ^ {2} \ end {pmatrix}}.}$

Den Jacobianske matrix har nul determinant, hvis og kun hvis xy = 0. Vi ser, at f kun kan være en diffeomorfisme væk fra x- aksen og y- aksen. Imidlertid er f ikke bindende, da f ( x ,  y ) = f (- x ,  y ), og det kan således ikke være en diffeomorfisme.

• Lade

${\ displaystyle g (x, y) = \ left (a_ {0} + a_ {1,0} x + a_ {0,1} y + \ cdots, \ b_ {0} + b_ {1,0} x + b_ {0,1} y + \ cdots \ right)}$

hvor og er vilkårlige reelle tal , og de udeladte termer er af grad mindst to i x og y . Vi kan beregne den Jacobianske matrix ved 0 : ${\ displaystyle a_ {i, j}}$${\ displaystyle b_ {i, j}}$

${\ displaystyle J_ {g} (0,0) = {\ begin {pmatrix} a_ {1,0} & a_ {0,1} \\ b_ {1,0} & b_ {0,1} \ end {pmatrix} }.}$

Vi ser, at g er en lokal diffeomorfisme ved 0 hvis, og kun hvis,

${\ displaystyle a_ {1,0} b_ {0,1} -a_ {0,1} b_ {1,0} \ neq 0,}$

dvs. de lineære udtryk i komponenterne i g er lineært uafhængige som polynomer .

• Lade

${\ displaystyle h (x, y) = \ left (\ sin (x ^ {2} + y ^ {2}), \ cos (x ^ {2} + y ^ {2}) \ right).}$

Vi kan beregne den Jacobianske matrix:

${\ displaystyle J_ {h} = {\ begin {pmatrix} 2x \ cos (x ^ {2} + y ^ {2}) & 2y \ cos (x ^ {2} + y ^ {2}) \\ - 2x \ sin (x ^ {2} + y ^ {2}) & - 2y \ sin (x ^ {2} + y ^ {2}) \ end {pmatrix}}.}$

Den Jacobianske matrix har nul determinant overalt! Faktisk ser vi, at billedet af h er enhedens cirkel .

Overfladeformationer

I mekanik kaldes en stress-induceret transformation en deformation og kan beskrives ved en diffeomorfisme. En diffeomorfisme f  : U → V mellem to overflader U og V har en jakobisk matrix Df, der er en inverterbar matrix . Faktisk kræves det, at der for p i U er et kvarter af p , hvor den Jacobianske Df forbliver ikke-ental . Antag, at i et diagram over overfladen,${\ displaystyle f (x, y) = (u, v).}$

Den samlede forskel på u er

${\ displaystyle du = {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} dx + {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} dy}$og ligeledes for v .

Derefter er billedet en lineær transformation , der fastgør oprindelsen og udtrykkelig som handlingen af ​​et komplekst antal af en bestemt type. Når ( dx ,  dy ) også fortolkes som den type komplekse tal, er handlingen af ​​kompleks multiplikation i det passende komplekse talplan. Som sådan er der en type vinkel ( euklidisk , hyperbolsk eller hældning ), der bevares i en sådan multiplikation. På grund af at Df er inverterbar, er typen af ​​kompleks nummer ensartet over overfladen. Derfor har en overfladeformation eller diffeomorfisme af overflader den konforme egenskab ved at bevare (den passende type) vinkler. ${\ displaystyle (du, dv) = (dx, dy) Df}$

Diffeomorfisme gruppe

Lad M være en differentierbar manifold, der er nummer to og Hausdorff . Den diffeomorfi gruppe af M er gruppen af alle C ^r diffeomorfi af M til sig selv, angivet med Diff ^r ( M ) eller, når r er forstået, Diff ( M ). Dette er en "stor" gruppe i den forstand, at - forudsat at M ikke er nuldimensionel - er den ikke lokalt kompakt .

Topologi

Diffeomorfismegruppen har to naturlige topologier : svag og stærk ( Hirsch 1997 ). Når manifolden er kompakt , er disse to topologier enige. Den svage topologi er altid metrisk . Når manifolden ikke er kompakt, indfanger den stærke topologi funktionsmådenes funktionsmåde "ved uendelig" og er ikke målbar. Det er dog stadig Baire .

Fastsættelse af en Riemannian-måling på M , den svage topologi er topologien induceret af familien af ​​målinger

${\ displaystyle d_ {K} (f, g) = \ sup \ nolimits _ {x \ in K} d (f (x), g (x)) + \ sum \ nolimits _ {1 \ leq p \ leq r } \ sup \ nolimits _ {x \ in K} \ left \ | D ^ {p} f (x) -D ^ {p} g (x) \ right \ |}$

som K varierer over kompakte delmængder af M . Faktisk da M er σ-kompakt, er der en sekvens af kompakte delmængder K _n hvis union er M . Derefter:

${\ displaystyle d (f, g) = \ sum \ nolimits _ {n} 2 ^ {- n} {\ frac {d_ {K_ {n}} (f, g)} {1 + d_ {K_ {n} } (f, g)}}.}$

Diffeomorfismegruppen udstyret med sin svage topologi er lokalt homomorf i forhold til C ^r- vektorfelter ( Leslie 1967 ). Over en kompakt delmængde af M følger dette ved at rette en Riemannian-måling på M og bruge det eksponentielle kort til den metriske. Hvis r er endelig, og manifolden er kompakt, er rummet for vektorfelter et Banach-rum . Desuden er overgangskortene fra et kort over dette atlas til et andet glatte, hvilket gør diffeomorfismen til en Banach-manifold med glatte højre oversættelser; venstre oversættelser og inversion er kun kontinuerlige. Hvis r  = ∞, er rummet for vektorfelter et Fréchet-mellemrum . Desuden er overgangskortene glatte, hvilket gør diffeomorfismegruppen til en Fréchet-manifold og endda til en almindelig Fréchet Lie-gruppe . Hvis manifolden er σ-kompakt og ikke kompakt, er den fulde diffeomorfismegruppe ikke lokalt sammentrækkelig for nogen af ​​de to topologier. Man er nødt til at begrænse gruppen ved at kontrollere afvigelsen fra identiteten nær uendelighed for at opnå en diffeomorfisme gruppe, som er en mangfoldighed; se ( Michor & Mumford 2013 ).

Løg algebra

Den Lie algebra af diffeomorphismen gruppe af M består af alle vektorfelter på M udstyret med Lie beslag af vektorfelter . Lidt formelt ses dette ved at foretage en lille ændring af koordinaten på hvert punkt i rummet: ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle x ^ {\ mu} \ mapsto x ^ {\ mu} + \ varepsilon h ^ {\ mu} (x)}$

så de uendelig små generatorer er vektorfelterne

${\ displaystyle L_ {h} = h ^ {\ mu} (x) {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {\ mu}}}.}$

Eksempler

• Når M  = G er en løgngruppe , er der en naturlig inddragelse af G i sin egen diffeomorfismegruppe via venstre-oversættelse. Lad Diff ( G ) betegne diffeomorfismegruppen G , så er der en opdeling Diff ( G ) ≃ G  × Diff ( G ,  e ), hvor Diff ( G ,  e ) er undergruppen til Diff ( G ), der fikser identiteten element i gruppen.
• Diffeomorphismen gruppe af euklidisk rum R ⁿ består af to komponenter, der består af orientering-bevarelse og orientering-reverterende diffeomorfi. Faktisk generelle lineære gruppe er en deformation tilbagetrækning af undergruppen Diff ( R ⁿ , 0) af diffeomorfi fastsættelse oprindelsen under kortet f ( x ) ↦ f ( tx )  / t , t  ∈ (0,1]. I især er den generelle lineære gruppe også en deformationsretraktion af den fulde diffeomorfisme-gruppe. 
• For et endeligt sæt punkter er diffeomorfismen simpelthen den symmetriske gruppe . Tilsvarende, hvis M er en manifold, er der en gruppeudvidelse 0 → Diff ₀ ( M ) → Diff ( M ) → Σ (π ₀ ( M )). Her er Diff ₀ ( M ) undergruppen af ​​Diff ( M ), der bevarer alle komponenterne i M , og Σ (π ₀ ( M )) er permutationsgruppen for sættet π ₀ ( M ) (komponenterne i M ). Desuden er billedet af kortet Diff ( M ) → Σ (π ₀ ( M )) sammenhængene af π ₀ ( M ), der bevarer diffeomorfismeklasser.

Transitivitet

For en tilsluttet manifold M , diffeomorphismen gruppe virker transitivt på M . Mere generelt diffeomorphismen gruppe virker transitivt på konfigurationsrummet C _k M . Hvis M er mindst todimensional, diffeomorphismen gruppe virker transitivt på konfigurationsrummet F _k M og handlingen på M er formere transitiv ( Banyaga 1997 , s. 29).

Udvidelser af diffeomorfier

I 1926 Tibor Rado spurgte, om harmoniske udvidelse af enhver homeomorfi eller diffeomorfi af enhedscirklen til enheden disken giver en diffeomorfi på den åbne disk. Et elegant bevis blev leveret kort derefter af Hellmuth Kneser . I 1945 producerede Gustave Choquet , tilsyneladende uvidende om dette resultat, et helt andet bevis.

Den (orienteringsbevarende) diffeomorfismegruppe i cirklen er forbundet med stien. Dette kan ses ved at bemærke, at enhver sådan diffeomorfisme kan løftes til en diffeomorfisme f af de realer, der tilfredsstiller [ f ( x  + 1) = f ( x ) + 1]; dette rum er konveks og dermed stiforbundet. En glat, til sidst konstant vej til identiteten, giver en anden mere elementær måde at udvide en diffeomorfisme fra cirklen til den åbne enhedsskive (et specielt tilfælde af Alexander-tricket ). Desuden har diffeomorfismen i cirklen homotopi-typen af ​​den ortogonale gruppe O (2).

Det tilsvarende udvidelsesproblem for diffeomorfier af højere dimensionelle sfærer S ^{n -1} blev meget undersøgt i 1950'erne og 1960'erne med bemærkelsesværdige bidrag fra René Thom , John Milnor og Stephen Smale . En forhindring for sådanne forlængelser er givet ved den endelige abelsk gruppe Γ _n er " gruppe af snoede kugler ", defineret som kvotienten af den abelsk komponent gruppe af diffeomorphismen gruppe af undergruppen af klasser, der strækker sig til diffeomorfi af kuglen B ⁿ .

Forbindelse

For manifolder er diffeomorfismen normalt ikke forbundet. Dens komponentgruppe kaldes kortklassegruppen . I dimension 2 (dvs. overflader ) er kortlægningsgruppegruppen en endeligt præsenteret gruppe genereret af Dehn-vendinger ( Dehn , Lickorish , Hatcher ). Max Dehn og Jakob Nielsen viste, at det kan identificeres med den ydre automorfisme gruppe af den grundlæggende gruppe af overfladen.

William Thurston forfinet denne analyse ved at klassificere elementer i kortlægningsgruppegruppen i tre typer: dem, der svarer til en periodisk diffeomorfisme; dem, der svarer til en diffeomorfisme, der efterlader en simpel lukket kurve invariant; og dem, der svarer til pseudo-Anosov diffeomorfismer . I tilfældet med den torus S ¹  ×  S ¹  = R ² / Z ² , den afbildningsklassegruppe er simpelthen den modulære gruppe SL (2,  Z ) og klassificeringen bliver klassisk i form af elliptisk , parabolske og hyperbolske matricer. Thurston opnåede sin klassificering ved at bemærke, at kortklassegruppen handlede naturligt på en komprimering af Teichmüller-rummet ; da dette forstørrede rum var homomorf til en lukket kugle, blev Brouwer-punktpunktssætningen anvendelig. Smale formodede, at hvis M er en orienteret glat lukket manifold, er identitetskomponenten i gruppen af ​​orienteringsbevarende diffeomorfier enkel . Dette var først blevet bevist for et produkt af cirkler af Michel Herman ; det blev bevist i fuld generalitet af Thurston.

Homotopityper

• Diffeomorphismen gruppe af S ² har den Homotopiteori-type undergruppen O (3). Dette blev bevist af Steve Smale.
• Diffeomorfismen gruppe af torus har homotopy-typen af ​​dens lineære automorfismer : S ¹  ×  S ¹  × GL (2, Z ).
• Diffeomorfismegrupperne på orienterbare overflader af slægten g  > 1 har homotopitypen af ​​deres kortlægningsgrupper (dvs. komponenterne er sammentrækkelige).
• Homotopietypen af ​​diffeomorfismegrupperne på 3-manifolds forstås ret godt gennem arbejdet af Ivanov, Hatcher, Gabai og Rubinstein, selvom der er et par udestående åbne sager (primært 3-manifolds med endelige grundlæggende grupper ).
• Homotopi-typen af ​​diffeomorfisme grupper af n -manifolds for n  > 3 er dårligt forstået. For eksempel er det et åbent problem, om Diff ( S ⁴ ) har mere end to komponenter eller ej . Via Milnor, Kahn og Antonelli er det imidlertid kendt, at forudsat at n  > 6, har Diff ( S ⁿ ) ikke homotopi-typen af ​​et endeligt CW-kompleks .

Homeomorfisme og diffeomorfisme

I modsætning til ikke-diffeomorfe homeomorfier er det relativt vanskeligt at finde et par homeomorfe manifolder, der ikke er diffeomorfe. I dimensionerne 1, 2 og 3 er ethvert par homomorfe glatte manifolder diffeomorfe. I dimension 4 eller derover er der fundet eksempler på homomorfe, men ikke diffeomorfe par. Det første eksempel blev konstrueret af John Milnor i dimension 7. Han konstruerede en glat 7-dimensionel manifold (kaldet nu Milnors kugle ), der er homomorf til standard 7-kuglen, men ikke diffeomorf til den. Der er faktisk 28 orienterede diffeomorfismeklasser af manifolder, der er homomorfe til 7-sfæren (hver af dem er det samlede rum for et fiberbundt over 4-sfæren med 3-sfæren som fiber).

Mere usædvanlige fænomener forekommer for 4-manifolds . I begyndelsen af 1980'erne, en kombination af resultater på grund af Simon Donaldson og Michael Freedman førte til opdagelsen af eksotiske R ⁴ s : der er uncountably mange parvise ikke-diffeomorf åbne delmængder af R ⁴ hver er homeomorphic til R ⁴ , og også der er uncountably mange parvis ikke-diffeomorf differentiable mangfoldigheder homeomorphic til R ⁴ , som ikke integrerer gnidningsløst i R ⁴ .

Se også

• Anosov diffeomorphism som Arnolds kattekort
• Diffeo anomali også kendt som en gravitationel anomali , en type anomali i kvantemekanik
• Diffeologi , glatte parametreringer på et sæt, der skaber et diffeologisk rum
• Diffeomorfometri , metrisk undersøgelse af form og form i beregningsanatomi
• Étale morfisme
• Stor diffeomorfisme
• Lokal diffeomorfisme
• Superdiffeomorfisme

Bemærkninger

Referencer

• Krantz, Steven G .; Parks, Harold R. (2013). Den implicitte funktionssætning: historie, teori og applikationer . Moderne Birkhäuser-klassikere. Boston. ISBN 978-1-4614-5980-4.
• Chaudhuri, Shyamoli; Kawai, Hikaru; Tye, S.-H. Henry (1987-08-15). "Sti-integreret formulering af lukkede strenge" (PDF) . Physical Review D . 36 (4): 1148–1168. Bibcode : 1987PhRvD..36.1148C . doi : 10.1103 / physrevd.36.1148 . ISSN  0556-2821 . PMID  9958280 .
• Banyaga, Augustin (1997), Strukturen i klassiske diffeomorfiske grupper , Matematik og dens anvendelser, 400 , Kluwer Academic, ISBN 0-7923-4475-8
• Duren, Peter L. (2004), Harmonic Mappings in the Plane , Cambridge Mathematical Tracts, 156 , Cambridge University Press, ISBN 0-521-64121-7
• "Diffeomorphism" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Hirsch, Morris (1997), Differential Topology , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90148-0
• Kriegl, Andreas; Michor, Peter (1997), Den bekvemme indstilling af global analyse , Matematiske undersøgelser og monografier, 53 , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0780-3
• Leslie, JA (1967), "On a different structure for the group of diffeomorphisms", Topology , 6 (2): 263-271, doi : 10.1016 / 0040-9383 (67) 90038-9 , ISSN  0040-9383 , MR  0210147
• Michor, Peter W .; Mumford, David (2013), "A zoo of diffeomorphism groups on R ⁿ .", Annals of Global Analysis and Geometry , 44 (4): 529-540, arXiv : 1211.5704 , doi : 10.1007 / s10455-013-9380-2 , S2CID  118624866
• Milnor, John W. (2007), Collected Works Vol. III, Differential Topology , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4230-0
• Omori, Hideki (1997), Infinite-dimensional Lie groups , Translations of Mathematical Monographs, 158 , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4575-6
• Kneser, Hellmuth (1926), "Lösung der Aufgabe 41.", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (på tysk), 35 (2): 123