Overflade (topologi) - Surface (topology)

En åben overflade med x -, y - og z -contours vist.

I den del af matematikken, der omtales som topologi , er en overflade en todimensionel manifold . Nogle overflader opstår som grænserne for tredimensionelle faste stoffer; for eksempel er kuglen grænsen for den faste kugle. Andre overflader opstår som grafer over funktioner for to variabler; se figuren til højre. Imidlertid kan overflader også defineres abstrakt uden henvisning til omgivelsesrum. F.eks. Er Klein-flasken en overflade, der ikke kan indlejres i et tredimensionelt euklidisk rum .

Topologiske overflader er undertiden udstyret med yderligere oplysninger, såsom en Riemannian -metrik eller en kompleks struktur, der forbinder dem med andre discipliner inden for matematik, såsom differential geometri og kompleks analyse . De forskellige matematiske forestillinger om overflade kan bruges til at modellere overflader i den fysiske verden.

Generelt

I matematik er en overflade en geometrisk form, der ligner et deformeret plan . De mest kendte eksempler opstår som grænser for faste objekter i almindeligt tredimensionelt euklidisk rum R ³ , såsom kugler . Den nøjagtige definition af en overflade kan afhænge af konteksten. I algebraisk geometri kan en overflade typisk krydse sig selv (og kan have andre singulariteter ), mens den i topologi og differentialgeometri muligvis ikke gør det.

En overflade er et todimensionalt rum ; dette betyder, at et bevægeligt punkt på en overflade kan bevæge sig i to retninger (det har to frihedsgrader ). Med andre ord, omkring næsten hvert punkt er der en koordinatplaster, hvorpå et todimensionalt koordinatsystem er defineret. For eksempel ligner Jordens overflade (ideelt set) en todimensionel sfære , og breddegrad og længdegrad giver todimensionelle koordinater på den (undtagen ved polerne og langs 180. meridianen ).

Begrebet overflade er meget udbredt inden for fysik , teknik , computergrafik og mange andre discipliner, primært til at repræsentere overflader af fysiske objekter. For eksempel ved analyse af et flys aerodynamiske egenskaber er den centrale overvejelse luftstrømmen langs dens overflade.

Definitioner og første eksempler

En (topologisk) overflade er et topologisk rum , hvor hvert punkt har et åbent kvarter, der er homomorf til en åben delmængde af det euklidiske plan E ² . Et sådant kvarter er sammen med den tilsvarende homeomorfisme kendt som et (koordinat) diagram . Det er gennem dette diagram, at kvarteret arver standardkoordinaterne på det euklidiske plan. Disse koordinater er kendt som lokale koordinater, og disse homeomorfismer får os til at beskrive overflader som lokalt euklidiske .

I de fleste skrifter om emnet antages det ofte, eksplicit eller implicit, at som et topologisk rum er en overflade også nonempty, second-countable og Hausdorff . Det antages også ofte, at de pågældende overflader er forbundet.

Resten af denne artikel antager, medmindre andet er angivet, at en overflade er ikke-fri, Hausdorff, anden tæller og forbundet.

Mere generelt, en (topologisk) overflade med afgrænsning er en Hausdorff topologisk rum , hvori hvert punkt har en åben kvarter homeomorphic til nogle åbne delmængde af lukningen af den øvre halvplan H ² i C . Disse homomorfier er også kendt som (koordinat) diagrammer . Grænsen for det øvre halvplan er x -aksen. Et punkt på overfladen, der er kortlagt via et diagram til x -aksen, betegnes som et grænsepunkt . Samlingen af sådanne punkter er kendt som overfladens grænse, som nødvendigvis er en en-manifold, det vil sige foreningen af lukkede kurver. På den anden side er et punkt, der er kortlagt til over x -aksen, et indre punkt . Samlingen af indvendige punkter er det indre af overfladen, som altid er tom . Den lukkede disk er et enkelt eksempel på en overflade med grænse. Skivens grænse er en cirkel.

Udtrykket overflade brugt uden kvalifikation refererer til overflader uden grænse. Især en overflade med tom grænse er en overflade i sædvanlig forstand. En overflade med tom grænse, som er kompakt, er kendt som en 'lukket' overflade. Den todimensionale sfære, den todimensionale torus og det virkelige projektive plan er eksempler på lukkede overflader.

Den möbiusbånd er en overflade, hvorpå kan defineres sondringen mellem med og mod uret lokalt, men ikke globalt. Generelt siges en overflade at være orienterbar, hvis den ikke indeholder en homeomorf kopi af Möbius -strimlen; intuitivt har den to forskellige "sider". For eksempel er kuglen og torus orienterbar, mens det virkelige projektive plan ikke er det (fordi det virkelige projektive plan med et punkt fjernet er homeomorft i forhold til den åbne Möbius -strimmel).

I differential og algebraisk geometri tilføjes ekstra struktur til overfladens topologi. Denne tilføjede struktur kan være en jævnhedsstruktur (gør det muligt at definere differentierbare kort til og fra overfladen), en Riemannian -metrik (gør det muligt at definere længde og vinkler på overfladen), en kompleks struktur (gør det muligt at definere holomorfe kort til og fra overfladen-i hvilket tilfælde overfladen kaldes en Riemann-overflade ) eller en algebraisk struktur (der gør det muligt at detektere singulariteter , såsom selvkryds og -knusninger, der ikke kan beskrives udelukkende med hensyn til den underliggende topologi ).

Ekstremt definerede overflader og indlejringer

En kugle kan defineres parametrisk (ved x = r sin θ cos φ , y = r sin θ sin φ , z = r cos θ ) eller implicit (ved x ² + y ² + z ² - r ² = 0. )

Historisk set blev overflader oprindeligt defineret som delrum af euklidiske rum. Ofte var disse overflader stedet for nuller af visse funktioner, sædvanligvis polynomiske funktioner. En sådan definition betragtede overfladen som en del af et større (euklidisk) rum, og blev som sådan betegnet ekstrinsisk .

I det foregående afsnit er en overflade defineret som et topologisk rum med visse egenskaber, nemlig Hausdorff og lokalt euklidisk. Dette topologiske rum betragtes ikke som et underrum af et andet rum. I denne forstand er definitionen ovenfor, som er den definition, matematikere bruger i øjeblikket, iboende .

En overflade defineret som iboende er ikke påkrævet for at tilfredsstille den tilføjede begrænsning om at være et underrum af det euklidiske rum. Det kan forekomme muligt for nogle overflader, der er defineret i sig selv, ikke at være overflader i ydre forstand. Imidlertid hævder Whitney -indlejringssætningen , at hver overflade faktisk kan indlejres homeomorf i det euklidiske rum, faktisk i E ⁴ : De ekstrinsiske og iboende tilgange viser sig at være ækvivalente.

Faktisk kan enhver kompakt overflade, der enten er orienterbar eller har en grænse, være indlejret i E ³ ; på den anden side kan det virkelige projektive plan, som er kompakt, ikke-orienterbart og uden grænser, ikke indlejres i E ³ (se Gramain). Steineroverflader , inklusive Boy's overflade , den romerske overflade og cross-cap , er modeller af det virkelige projektive plan i E ³ , men kun Boy-overfladen er en nedsænket overflade . Alle disse modeller er ental på punkter, hvor de skærer sig selv.

Den Alexander hornede sfære er en velkendt patologisk indlejring af de to-sfære ind i den tre-sfære.

En knyttet torus.

Den valgte indlejring (hvis nogen) af en overflade i et andet rum betragtes som ekstern information; det er ikke afgørende for selve overfladen. For eksempel kan en torus indlejres i E ³ på "standard" -måden (som ligner en bagel ) eller på en knyttet måde (se figur). De to indlejrede tori er homeomorfe, men ikke isotopiske : De er topologisk ækvivalente, men deres indlejringer er ikke.

Den billede af en kontinuerlig, Injektiv funktion fra R ² til højere dimensionerede R ⁿ siges at være en parametrisk overflade . Et sådant billede er såkaldte fordi x - og y - retninger af domænet R ² er 2 variable, parametrize billedet. En parametrisk overflade behøver ikke at være en topologisk overflade. En revolutionens overflade kan ses som en særlig slags parametrisk overflade.

Hvis f er en glat funktion fra R ³ til R hvis gradient er intetsteds nul, så den locus af nuller af f betyder definerer en overflade, der er kendt som en implicit overflade . Hvis tilstanden for ikke-forsvindende gradient falder, kan nul-locus udvikle singulariteter.

Konstruktion fra polygoner

Hver lukket overflade kan konstrueres ud fra en orienteret polygon med et lige antal sider, kaldet en grundlæggende polygon af overfladen, ved parvis identifikation af dens kanter. For eksempel i hver polygon nedenfor giver den angivne overflade vedhæftning af siderne med matchende etiketter ( A med A , B med B ), så pilene peger i samme retning.

Enhver grundlæggende polygon kan skrives symbolsk som følger. Begynd ved ethvert toppunkt, og fortsæt rundt om polygonens omkreds i begge retninger, indtil du vender tilbage til startpunktet. Under denne gennemkørsel skal du registrere etiketten på hver kant i rækkefølge med en eksponent på -1, hvis kanten peger modsat kørselsretningen. De fire modeller ovenfor giver, når de krydses med uret fra øverst til venstre

kugle: ${\ displaystyle ABB^{-1} A^{-1}}$
virkeligt projektivt plan: ${\ displaystyle ABAB}$
torus: ${\ displaystyle ABA^{-1} B^{-1}}$
Klein flaske : . ${\ displaystyle ABAB^{-1}}$

Bemærk, at kuglen og det projektive plan begge kan realiseres som kvotienter af 2-gon, mens torus og Klein-flasken kræver en 4-gon (firkant).

Udtrykket, der således stammer fra en grundlæggende polygon på en overflade, viser sig at være det eneste forhold i en præsentation af overfladens grundlæggende gruppe med polygonkantmærkerne som generatorer. Dette er en konsekvens af sætningen Seifert – van Kampen .

Limning af kanter på polygoner er en særlig form for kvotientrumsproces . Kvotientbegrebet kan anvendes i større almenhed til at producere nye eller alternative konstruktioner af overflader. For eksempel kan det virkelige projektive plan opnås som kuglens kvotient ved at identificere alle par modsatte punkter på kuglen. Et andet eksempel på en kvotient er den forbundne sum.

Tilsluttede summer

Den forbundne sum af to overflader M og N , betegnet M # N , opnås ved at fjerne en disk fra hver af dem og lime dem langs de afgrænsningskomponenter, der resulterer. Grænsen for en disk er en cirkel, så disse grænsekomponenter er cirkler. Den Euler karakteristik af M # N er summen af Euler karakteristika for de summands, minus to: ${\ displaystyle \ chi}$

{\ displaystyle \ chi (M {\ mathbin {\#}} N) = \ chi (M)+\ chi (N) -2. \,}

Kuglen S er et identitet element for den tilsluttede sum, hvilket betyder, at S # M = M . Dette skyldes, at sletning af en disk fra kuglen efterlader en disk, som simpelthen erstatter den disk, der er slettet fra M ved limning.

Tilsluttede summation med torus T er også beskrevet som at fastgøre et "håndtag" til den anden summanden M . Hvis M er orienterbar, så er T # M det også . Den forbundne sum er associativ, så den forbundne sum af en endelig samling af overflader er veldefineret.

Den tilsluttede sum af to reelle projektive planer, P # P , er Klein flaske K . Den forbundne sum af det virkelige projektive plan og Klein -flasken er homeomorf med den forbundne sum af det virkelige projektive plan med torus; i en formel, P # K = P # T . Således er den forbundne sum af tre virkelige projektive planer homeomorf med den forbundne sum af det virkelige projektive plan med torus. Enhver forbundet sum, der involverer et reelt projektivt plan, er ikke orienterbar.

Lukkede overflader

En lukket overflade er en overflade, der er kompakt og uden grænser . Eksempler er mellemrum som kuglen , torus og Klein -flasken . Eksempler på ikke-lukkede overflader er: en åben disk , som er en kugle med en punktering; en cylinder , som er en kugle med to punkteringer; og Möbius -strimlen . Som med enhver lukket manifold er en overflade indlejret i det euklidiske rum, der er lukket i forhold til den nedarvede euklidiske topologi , ikke nødvendigvis en lukket overflade; for eksempel er en disk, der er indlejret i, og som indeholder dens grænse, en overflade, der er topologisk lukket, men ikke en lukket overflade. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}$

Klassificering af lukkede overflader

Nogle eksempler på orienterbare lukkede overflader (venstre) og overflader med afgrænsning (højre). Til venstre: Nogle orienterbare lukkede overflader er overfladen af en kugle, overfladen af en torus og overfladen af en terning. (Terningen og kuglen er topologisk ækvivalente med hinanden.) Højre: Nogle overflader med grænse er den disk overflade , firkantet overflade, og halvkugle overflade. Grænserne er vist med rødt. Alle tre af disse er topologisk ækvivalente med hinanden.

Den klassificering sætning af lukkede overflader stater at enhver tilsluttet lukket overflade er homeomorphic til nogle medlem af en af disse tre familier:

kuglen,
den tilsluttede sum af g tori for g ≥ 1,
den tilsluttede sum af k reelle projektive planer for k ≥ 1.

Overfladerne i de to første familier er orienterbare . Det er praktisk at kombinere de to familier ved at betragte kuglen som den forbundne sum af 0 tori. Antallet g involverede tori kaldes overfladens slægt . Sfæren og torus har henholdsvis Euler -karakteristika 2 og 0, og generelt er Euler -karakteristikken for den tilsluttede sum af g tori 2 - 2 g .

Overfladerne i den tredje familie er ikke -orienterbare. Euler -karakteristikken for det virkelige projektive plan er 1, og generelt er Euler -karakteristikken for den forbundne sum af k af dem 2 - k .

Det følger heraf, at en lukket overflade bestemmes op til homomorfisme af to oplysninger: dens Euler -karakteristik, og om den er orienterbar eller ej. Med andre ord klassificerer Eulers karakteristik og orienterbarhed fuldstændigt lukkede overflader op til homeomorfisme.

Lukkede overflader med flere tilsluttede komponenter er klassificeret efter klassen af hver af deres tilsluttede komponenter, og derfor antager man generelt, at overfladen er forbundet.

Monoid struktur

Når denne klassificering relateres til forbundne summer, danner de lukkede overflader op til homeomorfisme en kommutativ monoid under drift af tilsluttet sum, ligesom der også gøres mangfoldige af enhver fast dimension. Identiteten er kuglen, mens det virkelige projektive plan og torus genererer denne monoid, med en enkelt relation P # P # P = P # T , som også kan skrives P # K = P # T , da K = P # P . Denne relation er undertiden kendt som Dycks sætning efterWalther von Dyck, der beviste det i (Dyck 1888), og den tredobbelte tværflade P # P # P kaldes derforDycks overflade .

Geometrisk tilføjer connect-sum med en torus ( # T ) et håndtag med begge ender fastgjort til den samme side af overfladen, mens connect-sum med en Klein flaske ( # K ) tilføjer et håndtag med de to ender fastgjort til modsatte sider af en orienterbar overflade; i nærvær af et projektivt plan ( # P ) er overfladen ikke orienterbar (der er ingen forestilling om side), så der er ingen forskel mellem at fastgøre en torus og vedhæfte en Klein -flaske, hvilket forklarer forholdet.

Bevis

Klassificeringen af lukkede overflader har været kendt siden 1860'erne, og i dag findes der en række beviser.

Topologiske og kombinatoriske beviser er generelt afhængige af det vanskelige resultat, at hver kompakt 2-manifold er homeomorf til et forenklet kompleks , som er af interesse i sig selv. Det mest almindelige bevis for klassificeringen er ( Seifert & Threlfall 1934 ) , som bringer hver trekantet overflade til en standardform. Et forenklet bevis, der undgår en standardform, blev opdaget af John H. Conway omkring 1992, som han kaldte "Zero Irrelevancy Proof" eller "ZIP proof" og præsenteres i ( Francis & Weeks 1999 ).

Et geometrisk bevis, som giver et stærkere geometrisk resultat, er uniformeringssætningen . Dette blev oprindeligt kun bevist for Riemann -overflader i 1880'erne og 1900'erne af Felix Klein , Paul Koebe og Henri Poincaré .

Overflader med grænse

Kompakte overflader, muligvis med afgrænsning, er simpelthen lukkede overflader med et begrænset antal huller (åbne skiver, der er blevet fjernet). Således klassificeres en tilsluttet kompakt overflade efter antallet af grænsekomponenter og slægten for den tilsvarende lukkede overflade - ækvivalent efter antallet af grænsekomponenter, orienterbarheden og Euler -karakteristikken. Slægten på en kompakt overflade er defineret som slægten for den tilsvarende lukkede overflade.

Denne klassificering følger næsten øjeblikkeligt af klassificeringen af lukkede overflader: fjernelse af en åben skive fra en lukket overflade giver en kompakt overflade med en cirkel til grænsekomponent, og fjernelse af k åbne skiver giver en kompakt overflade med k usammenhængende cirkler for grænsekomponenter. De præcise placeringer af hullerne er irrelevante, fordi homeomorfismen gruppen virker k -transitivt på enhver tilsluttet manifold af dimension mindst 2.

Omvendt er grænsen for en kompakt overflade en lukket 1-manifold, og er derfor den uensartede forening af et begrænset antal cirkler; udfyldning af disse cirkler med diske (formelt taget keglen ) giver en lukket overflade.

Den unikke kompakte orienterbare overflade af slægt g og med k grænsekomponenter er ofte betegnet for eksempel i studiet af kortlægningsgruppen . ${\ displaystyle \ Sigma _ {g, k},}$

Ikke-kompakte overflader

Ikke-kompakte overflader er vanskeligere at klassificere. Som et enkelt eksempel kan en ikke-kompakt overflade opnås ved at punktere (fjerne et begrænset sæt punkter fra) en lukket manifold. På den anden side er enhver åben delmængde af en kompakt overflade i sig selv en ikke-kompakt overflade; overvej for eksempel komplementet til et Cantor -sæt i kuglen, ellers kendt som Cantor -træets overflade . Imidlertid er ikke alle ikke-kompakte overflader en delmængde af en kompakt overflade; to kanoniske modeksempler er Jacobs stige og Loch Ness-monsteret , som er ikke-kompakte overflader med uendelig slægt.

En ikke-kompakt overflade M har et ikke-tomt rum med ender E ( M ), som uformelt beskriver måderne, hvorpå overfladen "går ud i det uendelige". Rummet E ( M ) svarer altid topologisk til et lukket underrum af Cantorsættet . M kan have et begrænset eller taleligt uendeligt antal N _h af håndtag, samt et begrænset eller uendeligt antal N _p af projektive fly . Hvis både N _h og N _p er begrænsede, klassificerer disse to tal og den topologiske type rum af ender overfladen M op til topologisk ækvivalens. Hvis en eller begge af N _h og N _p er uendelig, afhænger den topologiske type M ikke kun af disse to tal, men også af hvordan den uendelige en (e) nærmer sig endenes rum. Generelt bestemmes den topologiske type M af de fire underrum af E ( M ), der er grænsepunkter for uendeligt mange håndtag og uendeligt mange projektive planer, grænsepunkter for kun håndtag og grænsepunkter for ingen af dem.

Antagelse om anden tællbarhed

Hvis man fjerner antagelsen om anden tællbarhed fra definitionen af en overflade, findes der (nødvendigvis ikke-kompakte) topologiske overflader, der ikke har nogen tællelig base for deres topologi. Måske er det enkleste eksempel det kartesiske produkt af den lange linje med rummet af reelle tal.

En anden overflade, der ikke kan tælles med sin topologi, men som ikke kræver Axiom of Choice for at bevise dens eksistens, er Prüfer-manifolden , som kan beskrives ved simple ligninger, der viser, at den er en realanalytisk overflade. Prüfer -manifolden kan betragtes som det øverste halvplan sammen med en ekstra "tunge" T _{x, der} hænger ned fra den direkte under punktet ( x , 0), for hvert reelt x .

I 1925 beviste Tibor Radó, at alle Riemann-overflader (dvs. endimensionale komplekse manifolder ) nødvendigvis er andet tællelige ( Radós sætning ). Hvis man derimod erstatter de reelle tal i konstruktionen af Prüfer-overfladen med de komplekse tal, opnår man en todimensionel kompleks manifold (som nødvendigvis er en 4-dimensionel reel manifold) uden tællbar base.

Overflader i geometri

Polyhedra , såsom grænsen for en terning , er blandt de første overflader, man møder i geometri. Det er også muligt at definere glatte overflader , hvor hvert punkt har et kvarter, der er diffeomorft i forhold til et åbent sæt i E ² . Denne uddybning gør det muligt at anvende beregning på overflader for at bevise mange resultater.

To glatte overflader er diffeomorfe, hvis og kun hvis de er homeomorfe. (Det analoge resultat gælder ikke for højere-dimensionelle manifolder.) Således er lukkede overflader klassificeret op til diffeomorfisme efter deres Euler-karakteristik og orienterbarhed.

Glatte overflader udstyret med Riemannian metrics er af grundlæggende betydning i differential geometri . En Riemannisk metrik giver en overflade forestillinger om geodesik , afstand , vinkel og areal. Det giver også anledning til gaussisk krumning , som beskriver hvor buet eller bøjet overfladen er på hvert punkt. Krumning er en stiv, geometrisk egenskab, idet den ikke bevares af generelle diffeomorfier i overfladen. Den berømte Gauss -Bonnet -sætning for lukkede overflader siger imidlertid, at integrationen af den gaussiske krumning K over hele overfladen S bestemmes af Euler -karakteristikken:

{\ displaystyle \ int _ {S} K \; dA = 2 \ pi \ chi (S).}

Dette resultat eksemplificerer det dybe forhold mellem geometri og topologi af overflader (og i mindre grad højere dimensionelle manifolder).

En anden måde, hvorpå overflader opstår i geometri, er ved at passere ind i det komplekse domæne. En kompleks en-manifold er en glat orienteret overflade, også kaldet en Riemann-overflade . Enhver kompleks ikke -enkeltalgebraisk kurve, der ses som en kompleks manifold, er en Riemann -overflade. Faktisk kan hver kompakt orienterbar overflade realiseres som en Riemann -overflade. Således er kompakte Riemann -overflader karakteriseret topologisk af deres slægt: 0, 1, 2, .... På den anden side karakteriserer slægten ikke den komplekse struktur. For eksempel er der utallige mange ikke-isomorfe kompakte Riemann-overflader af slægt 1 ( elliptiske kurver ).

Komplekse strukturer på en lukket orienteret overflade svarer til konforme ækvivalensklasser af Riemanniske metrik på overfladen. En version af uniformeringsteoremet (på grund af Poincaré ) siger, at enhver Riemannian -metrik på en orienteret, lukket overflade svarer til en i det væsentlige unik måling af konstant krumning . Dette giver et udgangspunkt for en af tilgange til Teichmüller -teorien , som giver en finere klassificering af Riemann -overflader end den topologiske af Euler -karakteristikken alene.

En kompleks overflade er en kompleks to-manifold og dermed en rigtig fire-manifold; det er ikke en overflade i denne artikels forstand. Algebraiske kurver er heller ikke defineret over andre felter end de komplekse tal, og heller ikke er algebraiske overflader defineret over andre felter end de reelle tal.

Se også

Grænse (topologi)
Volumenform , til mængder af overflader i E ⁿ
Poincaré -metrisk , for metriske egenskaber ved Riemann -overflader
Romersk overflade
Drengens overflade
Tetrahemihexahedron
Krøllet overflade , en ikke-differentierbar overflade opnået ved at deformere (krølle) en differentierbar overflade

Noter

Referencer

Dyck, Walther (1888), "Beiträge zur Analysis situs I", Math. Ann. , 32 : 459–512, doi : 10.1007/bf01443580

Enkle beviser for klassificering op til homeomorfisme

Seifert, Herbert; Threlfall, William (1980), A textbook of topology , Pure and Applied Mathematics, 89 , Academic Press, ISBN 0126348502, Engelsk oversættelse af klassisk tysk lærebog fra 1934
Ahlfors, Lars V .; Sario, Leo (1960), Riemann overflader , Princeton Mathematical Series, 26 , Princeton University Press, Kapitel I
Maunder, CRF (1996), Algebraisk topologi , Dover Publications, ISBN 0486691314, Cambridge bacheloruddannelse
Massey, William S. (1991). Et grundkursus i algebraisk topologi . Springer-Verlag. ISBN 0-387-97430-X.
Bredon, Glen E. (1993). Topologi og geometri . Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3.
Jost, Jürgen (2006), Compact Riemann overflader: en introduktion til moderne matematik (3. udgave), Springer, ISBN 3540330658, til lukkede orienterede Riemanniske manifolds

Morse teoretiske beviser for klassificering op til diffeomorfisme

Hirsch, M. (1994), Differentialtopologi (2. udgave), Springer
Gauld, David B. (1982), Differentialtopologi: en introduktion , Monografier og lærebøger i ren og anvendt matematik, 72 , Marcel Dekker, ISBN 0824717090
Shastri, Anant R. (2011), Elements of differential topology , CRC Press, ISBN 9781439831601, omhyggeligt bevis rettet mod studerende
Gramain, André (1984). Topologi af overflader . BCS Associates. ISBN 0-914351-01-X. (Original 1969-70 Orsay kursusnotater på fransk for "Topologie des Surfaces")
A. Champanerkar; et al., Klassificering af overflader via Morse Theory (PDF) , en redegørelse for Gramains noterCS1 maint: efterskrift ( link )

Andre beviser

Lawson, Terry (2003), Topologi: en geometrisk tilgang , Oxford University Press, ISBN 0-19-851597-9, ligner Morse teoretisk bevis ved hjælp af glidning af vedhæftede håndtag
Francis, George K .; Weeks, Jeffrey R. (maj 1999), "Conway's ZIP Proof" (PDF) , American Mathematical Monthly , 106 (5): 393, doi : 10.2307/2589143 , JSTOR 2589143 , arkiveret fra originalen (PDF) den 2010-06 -12, side, der diskuterer papiret: On Conways ZIP ProofCS1 maint: efterskrift ( link )
Thomassen, Carsten (1992), "Jordan-Schönflies sætning og klassificering af overflader", Amer. Matematik. Månedligt , 99 (2): 116–13, doi : 10.2307/2324180 , JSTOR 2324180, kort elementært bevis ved hjælp af spændende grafer
Prasolov, VV (2006), Elements of combinatorial and differential topology , Graduate Studies in Mathematics, 74 , American Mathematical Society, ISBN 0821838091, indeholder kort redegørelse for Thomassens bevis

eksterne links

Klassificering af kompakte overflader i Mathifold -projekt
Klassificeringen af overflader og Jordan Curve Theorem på Andrew Ranickis hjemmeside
Math Surfaces Gallery, med 60 ~ overflader og Java Applet til live rotation
Math Surfaces Animation med JavaScript (Canvas HTML) til visning af titals overflader
Klassificeringen af overflader Forelæsningsnotater af Z.Fiedorowicz
Overfladernes historie og kunst og deres matematiske modeller
2-manifolder ved manifoldatlaset

Languages

In other projects