Locus (matematik) - Locus (mathematics)

Hver kurve i dette eksempel er et locus defineret som conchoid af punktet P og linjen l . I dette eksempel er P 8 cm fra l .

I geometri er et locus (flertal: loci ) (latinsk ord for "sted", "placering") et sæt af alle punkter (almindeligvis en linje , et linjesegment , en kurve eller en overflade ), hvis placering tilfredsstiller eller er bestemmes af en eller flere specificerede betingelser.

Med andre ord kaldes sæt af punkter, der tilfredsstiller en eller anden ejendom, ofte stedet for et punkt, der tilfredsstiller denne egenskab. Brugen af ​​ental i denne formulering er et vidne om, at matematikere indtil slutningen af ​​det 19. århundrede ikke overvejede uendelige sæt. I stedet for at se linjer og kurver som sæt af punkter, så de dem som steder, hvor et punkt kan være placeret eller kan bevæge sig.

Historie og filosofi

Indtil begyndelsen af ​​det 20. århundrede blev en geometrisk form (for eksempel en kurve) ikke betragtet som et uendeligt sæt punkter; snarere blev det betragtet som en enhed, hvor et punkt kan være, eller som det bevæger sig på. Således blev en cirkel i det euklidiske plan defineret som stedet for et punkt, der er i en given afstand af et fast punkt, centrum af cirklen. I moderne matematik omformuleres lignende begreber hyppigere ved at beskrive former som sæt; for eksempel siger man, at cirklen er det sæt af punkter, der er i en given afstand fra centrum.

I modsætning til den sætteoretiske opfattelse undgår den gamle formulering at overveje uendelige samlinger, da det at undgå den faktiske uendelige var en vigtig filosofisk holdning hos tidligere matematikere.

Når sætteori blev det universelle grundlag, som hele matematikken er bygget over, blev locus-udtrykket ret gammeldags. Ikke desto mindre bruges ordet stadig meget, hovedsageligt til en kort formulering, for eksempel:

• Kritisk locus , sæt af kritiske punkter for en differentierbar funktion .
• Nul locus eller forsvindende locus , det sæt af punkter, hvor en funktion forsvinder, idet den tager værdien nul.
• Enkel locus , sættet med entalpunkterne i en algebraisk sort .
• Connectedness locus , delsættet af parametersættet for en familie af rationelle funktioner, som Julia-sættet for funktionen er tilsluttet.

For nylig er teknikker som teorier om skemaer og brugen af kategoriteori i stedet for sætteori for at give et fundament til matematik vendt tilbage til forestillinger, der mere ligner den oprindelige definition af et locus som et objekt i sig selv snarere end som et sæt af point.

Eksempler inden for plangeometri

Eksempler fra plangeometri inkluderer:

• Sættet med punkter, der er lige langt fra to punkter, er en vinkelret halvdel til linjesegmentet, der forbinder de to punkter.
• Sættet med punkter, der er lige langt fra to linier, der krydser, er vinkeldelen .
• Alle koniske sektioner er lokaliserede:
  • Cirkel : det sæt punkter, hvor afstanden fra et enkelt punkt er konstant ( radius ).
  • Parabel : Sættet med punkter lige langt fra et fast punkt ( fokus ) og en linje ( directrix ).
  • Hyperbola : det sæt af punkter, hvoraf den absolutte værdi af forskellen mellem afstandene til to givne foci er konstant.
  • Ellipse : det sæt punkter, hvor summen af ​​afstande til to givne foci er konstant

Andre eksempler på loci vises i forskellige områder af matematik. For eksempel i komplekse dynamik , den Mandelbrotmængden er en delmængde af den komplekse plan , der kan karakteriseres som den tilknytningsgrad locus af en familie af polynomielle kort.

Bevis for et locus

For at bevise, at en geometrisk form er det rigtige sted for et givet sæt betingelser, deler man generelt beviset i to faser:

• Bevis for, at alle de punkter, der opfylder betingelserne, er i den givne form.
• Bevis for, at alle punkterne i den givne form opfylder betingelserne.

Eksempler

(afstand PA ) = 3. (afstand PB )

Første eksempel

Find stedet for et punkt P, der har et givet forhold mellem afstande k = d ₁ / d ₂ og to givne punkter.

I dette eksempel vælges k = 3, A (−1, 0) og B (0, 2) som de faste punkter.

P ( x ,  y ) er et punkt i locus

${\ displaystyle \ Leftrightarrow | PA | = 3 | PB |}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow | PA | ^ {2} = 9 | PB | ^ {2}}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow (x + 1) ^ {2} + (y-0) ^ {2} = 9 (x-0) ^ {2} +9 (y-2) ^ {2}}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow 8 (x ^ {2} + y ^ {2}) - 2x-36y + 35 = 0}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow \ left (x - {\ frac {1} {8}} \ right) ^ {2} + \ left (y - {\ frac {9} {4}} \ right) ^ {2} = {\ frac {45} {64}}.}$

Denne ligning repræsenterer en cirkel med centrum (1/8, 9/4) og radius . Det er den kreds af Apollonius defineret af disse værdier af k , A , og B . ${\ displaystyle {\ tfrac {3} {8}} {\ sqrt {5}}}$

Andet eksempel

Sted for punkt C

En trekant ABC har en fast side [ AB ] med længde c . Bestem locus for det tredje toppunkt C således, at medianerne fra A og C er ortogonale .

Vælg et ortonormalt koordinatsystem, således at A (- c / 2, 0), B ( c / 2, 0). C ( x ,  y ) er den variable tredje hjørne. Midten af ​​[ BC ] er M ((2 x  +  c ) / 4,  y / 2). Medianen fra C har en hældning y / x . Medianen AM har hældning 2 y / (2 x  + 3 c ).

Stedet er en cirkel

C ( x ,  y ) er et punkt i locus

${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$ medianerne fra A og C er ortogonale

${\ displaystyle \ Leftrightarrow {\ frac {y} {x}} \ cdot {\ frac {2y} {2x + 3c}} = - 1}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow 2y ^ {2} + 2x ^ {2} + 3cx = 0}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow x ^ {2} + y ^ {2} + (3c / 2) x = 0}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow (x + 3c / 4) ^ {2} + y ^ {2} = 9c ^ {2} / 16.}$

Stikpunktet for toppunktet C er en cirkel med centrum (-3 c / 4, 0) og radius 3 c / 4.

Tredje eksempel

Skæringspunktet for de tilknyttede linjer k og l beskriver cirklen

Et locus kan også defineres af to tilknyttede kurver afhængigt af en fælles parameter . Hvis parameteren varierer, beskriver skæringspunkterne for de tilknyttede kurver locus.

I figuren er punkterne K og L faste punkter på en given linje m . Linjen k er en variabel linje gennem K . Linjen l til og med L er vinkelret på k . Vinklen mellem k og m er parameteren. k og l er tilknyttede linjer afhængigt af den fælles parameter. Det variable skæringspunkt S på k og l beskriver en cirkel. Denne cirkel er stedet for skæringspunktet for de to tilknyttede linjer. ${\ displaystyle \ alpha}$

Fjerde eksempel

Et sted med punkter behøver ikke være endimensionelt (som en cirkel, linje osv.). F.eks. Er uligheden 2 x + 3 y - 6 <0 den del af planet, der er under ligningslinjen 2 x + 3 y - 6 = 0 .

Se også

• Algebraisk sort
• Kurve
• Linje (geometri)
• Region (geometri)
• Form (geometri)

Referencer