Fokus (geometri) - Focus (geometry)

Punkt F er et fokuspunkt for den røde ellipse, grønne parabel og blå hyperbola.

I geometri , fokuserer eller foci ( / f oʊ k aɪ / ), ental fokus , er særlige punkter med henvisning til hvilken som helst af en række kurver er konstrueret. For eksempel kan en eller to foci bruges til at definere keglesnit , hvis fire typer er cirklen , ellipse , parabel og hyperbola . Derudover bruges to foci til at definere Cassini -ovalen og den kartesiske oval , og mere end to foci bruges til at definere en n -ellipse .

Keglesnit

Definere kegler i form af to fokuspunkter

Fokus for en ellipse (lilla kryds) er i skæringspunkter mellem hovedaksen (rød) og en cirkel (cyan) med radius svarende til halvstore aksen (blå), centreret på enden af ​​den mindre akse (grå)

En ellipse kan defineres som stedet for punkter, for hvilke summen af ​​afstandene til to givne foci er konstant.

En cirkel er det særlige tilfælde af en ellipse, hvor de to foci falder sammen med hinanden. Således kan en cirkel mere enkelt defineres som stedet for punkter, som hver især er en fast afstand fra et enkelt givet fokus. En cirkel kan også defineres som cirklen af ​​Apollonius i form af to forskellige fokuspunkter, som locus af punkter, der har et fast forhold mellem afstande og de to foci.

En parabel er et begrænsende tilfælde af en ellipse, hvor en af ​​fokuserne er et punkt i det uendelige .

En hyperbola kan defineres som stedet for punkter, for hvilke den absolutte værdi af forskellen mellem afstandene til to givne foci er konstant.

Definere kegler i form af et fokus og en directrix

Det er også muligt at beskrive alle keglesnit i form af et enkelt fokus og en enkelt directrix , som er en given linje, der ikke indeholder fokus. En kegle er defineret som punktet for hver af dem, hvor afstanden til fokus divideret med afstanden til directrix er en fast positiv konstant, kaldet excentriciteten e . Hvis 0 < e <1 er keglen en ellipse, hvis e  = 1 er keglen en parabel, og hvis e  > 1 er keglen en hyperbola. Hvis afstanden til fokus er fast, og directrix er en linje i det uendelige , så excentriciteten er nul, så er keglen en cirkel.

Definere kegler i form af et fokus og en directrix -cirkel

Det er også muligt at beskrive alle de keglesnit som loci af punkter, der er lige langt fra et enkelt fokus og en enkelt, cirkulær directrix. For ellipsen har både fokus og midten af ​​directrixcirklen begrænsede koordinater, og radiusen af ​​directrixcirklen er større end afstanden mellem midten af ​​denne cirkel og fokus; fokus er således inde i directrix -cirklen. Den således genererede ellipse har sit andet fokus i midten af ​​directrix -cirklen, og ellipsen ligger helt inden for cirklen.

For parabolen bevæger midten af ​​directrix sig til det uendelige punkt (se Projektiv geometri ). Directrix "cirkel" bliver en kurve med nul krumning, der ikke kan skelnes fra en lige linje. Parabelens to arme bliver mere og mere parallelle, når de strækker sig, og "i det uendelige" bliver parallelle; ved hjælp af principperne for projektiv geometri skærer de to paralleller sig ved det uendelige, og parabolen bliver en lukket kurve (elliptisk projektion).

For at generere en hyperbola vælges radius af directrix -cirklen til at være mindre end afstanden mellem midten af ​​denne cirkel og fokus; fokus er således uden for directrix -cirklen. Hyperbolas arme nærmer sig asymptotiske linjer og "højre hånd" -arm på den ene gren af ​​en hyperbola møder "venstre-hånden" -armen i den anden gren af ​​en hyperbol ved punktet i det uendelige; dette er baseret på princippet om, at i projektiv geometri møder en enkelt linje sig selv på et tidspunkt i det uendelige. De to grene af en hyperbola er således de to (snoet) halvdele af en kurve lukket over uendeligt.

I projektiv geometri er alle kegler ækvivalente i den forstand, at hver sætning, der kan angives for den ene, kan angives for de andre.

Astronomisk betydning

I gravitations- to-kropsproblemet beskrives de to legemers kredsløb om hinanden af ​​to overlappende keglesnit, hvor en af ​​foci i den ene er sammenfaldende med en af ​​den anden foci i centrum af massen ( barycenter ) af de to kroppe.

Således har f.eks. Minorplaneten Plutos største måne Charon en elliptisk bane, der har ét fokus på Pluto-Charonsystemets barycenter, som er et punkt, der er i rummet mellem de to kroppe; og Pluto bevæger sig også i en ellipse med en af ​​dens foci på det samme barycenter mellem ligene. Plutos ellipse er helt inde i Charons ellipse, som vist i denne animation af systemet.

Til sammenligning bevæger Jordens måne sig i en ellipse med en af ​​dens foci ved månens og Jordens barycenter, idet dette barycenter er inde i selve Jorden, mens Jorden (mere præcist dens centrum) bevæger sig i en ellipse med ét fokus på det samme barycenter inden for Jorden. Barycenteret er cirka tre fjerdedele af afstanden fra Jordens centrum til dens overflade.

Desuden bevæger Pluto-Charon-systemet sig i en ellipse omkring sit barycenter med Solen , ligesom Earth-Moon-systemet (og ethvert andet planet-månesystem eller måneløs planet i solsystemet). I begge tilfælde er barycenteret godt inde i Solens krop.

To binære stjerner bevæger sig også i ellipser og deler fokus på deres barycenter; for en animation, se her .

Ovaler fra Cartesian og Cassini

En kartesisk oval er det sæt af punkter for hver af dem, hvor den vægtede sum af afstandene til to givne fokusområder er konstant. Hvis vægten er ens, resulterer det særlige tilfælde af en ellipse.

En Cassini -oval er et sæt af punkter for hvert produkt af afstande til to givne fokusområder er konstant.

Generaliseringer

En n -ellipse er det sæt af punkter, der alle har den samme sum af afstande til n foci ( n = 2 -tilfældet er den konventionelle ellipse).

Begrebet fokus kan generaliseres til vilkårlige algebraiske kurver . Lad C være en kurve af klasse m, og lad I og J betegne de cirkulære punkter i det uendelige . Tegn m tangenter til C gennem hver af I og J . Der er to sæt af m linjer, som vil have m ² skæringspunkter, med undtagelser i nogle tilfælde på grund af singulariteter, etc. Disse skæringspunkter er det defineret til at være den foci af C . Med andre ord, et punkt P er et fokus, hvis både PI og PJ er tangent til C . Når C er en reel kurve, er kun skæringspunkterne mellem konjugerede par reelle, så der er m i en reel foci og m ² - m imaginære foci. Når C er en konisk, den virkelige foci defineret på denne måde er nøjagtigt de foci, som kan anvendes i den geometriske konstruktion af C .

Konfokale kurver

Lad P ₁ , P ₂ , ..., P _m angives som fokus for en kurve C i klasse m . Lad P være produktet af tangentialligningerne for disse punkter og Q produktet af tangentialligningerne for de cirkulære punkter i det uendelige. Derefter alle linjer, der er fælles tangenter til både P  = 0 og Q  = 0 tangerer C . Så ved AF + BG -sætningen har tangentialligningen for C formen HP + KQ = 0. Da C har klasse m , skal H være en konstant og K, men have en grad mindre end eller lig med m  - 2. Case H  = 0 kan elimineres som degenereret, så tangentialligningen for C kan skrives som P + fQ = 0, hvor f er et vilkårligt polynom af grad m   2.

Lad f.eks. M = 2, P ₁ = (1,0) og P ₂ = (-1,0). Tangentialligningerne er X  + 1 = 0 og X  - 1 = 0, så P = X ² - 1 = 0. Tangentialligningerne for de cirkulære punkter ved uendeligt er X + iY = 0 og X - iY = 0, så Q = X ²  +  Y ² . Derfor er tangentialligningen for en kegle med de givne foci X ² - 1 + c  ( X ²  +  Y ² ) = 0 eller (1 +  c )  X ² + cY ² = 1, hvor c er en vilkårlig konstant. I punktkoordinater bliver dette til

${\ displaystyle {\ frac {x^{2}} {1+c}}+{\ frac {y^{2}} {c}} = 1.}$

Referencer

• Hilton, Harold (1920). Plane algebraiske kurver . Oxford. s. s. 69 .
• Weisstein, Eric W. "Fokus" . MathWorld .