Pushforward (differential) - Pushforward (differential)

Hvis et kort, φ , bærer hvert punkt på manifold M til manifold N derefter pushforward af φ bærer vektorer i tangentrummet på ethvert punkt på M til en tangent plads på ethvert punkt i N .

I differentialgeometri er pushforward en lineær tilnærmelse af glatte kort på tangentområder . Antag at φ  : M → N er et glat kort mellem glatte manifolder ; derefter forskellen af φ, ,${\ displaystyle d \ varphi}$ ved et punkt x er, i en vis forstand, den bedste lineære tilnærmelse af φ nær x . Det kan ses som en generalisering af det samlede derivat af almindelig beregning. Eksplicit at forskellen er et lineært kort fra tangentrummet af M på x til tangentrummet af N på φ ( x ), . Hvorfor det kan bruges til at skubbe tangentvektorer på M frem til tangentvektorer på N . Forskellen på et kort φ kaldes også af forskellige forfattere for derivatet eller det totale derivat af φ . ${\ displaystyle d \ varphi: T_ {x} M \ til T _ {\ varphi (x)} N}$

Motivering

Lad φ  : U → V være et glat kort fra en åben delmængde U af til en åben delmængde V af . For ethvert punkt x i U er jakobiansk af φ at x (i forhold til standardkoordinaterne) matrixrepræsentationen af det totale derivat af φ at x , som er et lineært kort${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{m}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

${\ displaystyle d \ varphi _ {x}: \ mathbb {R} ^{m} \ to \ mathbb {R} ^{n}.}$

Vi ønsker at generalisere dette til det tilfælde, at φ er en glat funktion mellem eventuelle glatte mangfoldigheder M og N .

Differencen på et glat kort

Lad φ  : M → N være et glat kort over glatte manifolder. I betragtning af nogle x ∈ M er differencen af φ at x et lineært kort

${\ displaystyle d \ varphi _ {x}: T_ {x} M \ til T _ {\ varphi (x)} N \,}$

fra tangentrummet af M på x til tangentrummet af N ved φ ( x ). Anvendelsen af dφ _x på en tangentvektor X kaldes undertiden pushforward for X med φ . Den nøjagtige definition af denne pushforward afhænger af den definition, man bruger til tangentvektorer (for de forskellige definitioner se tangentrum ).

Hvis tangentvektorer defineres som ækvivalensklasser af kurver gennem x, er differentialet givet ved ${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle d \ varphi _ {x} (\ gamma '(0)) = (\ varphi \ circ \ gamma)' (0).}$

Her er γ en kurve i M med γ (0) = x og er tangensvektor til kurven γ ved 0. Med andre ord er tangentvektorens skub fremad til kurven γ ved 0 tangensvektoren til kurven ved 0 . ${\ displaystyle \ gamma '(0)}$${\ displaystyle \ varphi \ circ \ gamma}$

Alternativt, hvis tangentvektorer er defineret som afledninger, der virker på glatte reelle værdifunktioner, så er differentialet givet ved

${\ displaystyle d \ varphi _ {x} (X) (f) = X (f \ circ \ varphi),}$

for en vilkårlig funktion og en vilkårlig afledning ved punkt (en afledning er defineret som et lineært kort, der opfylder Leibniz -reglen , se: definition af tangentrum via afledninger ). Per definition er pushforward of i og derfor i sig selv en afledning , . ${\ displaystyle f \ i C^{\ infty} (N)}$${\ displaystyle X \ i T_ {x} M}$${\ displaystyle x \ i M}$ ${\ displaystyle X: C^{\ infty} (M) \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle T _ {\ varphi (x)} N}$${\ displaystyle d \ varphi _ {x} (X): C^{\ infty} (N) \ til \ mathbb {R}}$

Efter at have valgt to diagrammer omkring x og omkring φ ( x ), bestemmes φ lokalt af et glat kort

${\ displaystyle {\ widehat {\ varphi}}: U \ til V}$

mellem åbne sæt af og , og dφ _x har repræsentation (ved x ) ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{m}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

${\ displaystyle d \ varphi _ {x} \ venstre ({\ frac {\ partiel} {\ delvis u^{a}}} \ højre) = {\ frac {\ partiel {\ widehat {\ varphi}}^{ b}} {\ delvis u^{a}}} {\ frac {\ delvis} {\ delvis v^{b}}},}$

i Einstein -summeringsnotationen , hvor delderivaterne evalueres på det punkt i U svarende til x i det givne diagram.

Udvidelse ved linearitet giver følgende matrix

${\ displaystyle \ left (d \ varphi _ {x} \ right) _ {a}^{\; b} = {\ frac {\ partiel {\ widehat {\ varphi}}^{b}} {\ delvis u ^{a}}}.}$

Differentialet er således en lineær transformation mellem tangensrum, der er knyttet til det glatte kort φ på hvert punkt. Derfor er det i nogle udvalgte lokale koordinater repræsenteret af den jacobiske matrix af det tilsvarende glatte kort fra til . Generelt behøver forskellen ikke at være inverterbar. Hvis φ er en lokal diffeomorfi , derefter pushforward ved x er invertibel og dens inverse giver tilbagetrækning af T _{φ ( x )} N . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{m}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

Differencen udtrykkes ofte ved hjælp af en række andre notationer som f.eks

${\ displaystyle D \ varphi _ {x}, \ venstre (\ varphi _ {*} \ højre) _ {x}, \ varphi '(x), T_ {x} \ varphi.}$

Det følger af definitionen, at differentialet af et komposit er sammensætningen af ​​differentialerne (dvs. funktional adfærd). Dette er kædereglen for glatte kort.

Også forskellen på en lokal diffeomorfisme er en lineær isomorfisme af tangentrum.

Differencen på tangentbundtet

Differensen af en glat kort φ inducerer, på et synligt måde, et bundt kort (i virkeligheden en vektor bundt homomorfi ) fra tangenten bundt af M til tangenten bundt af N , betegnet med dφ eller φ _* , som passer ind i det følgende kommutativt diagram :

hvor π _M og π _N betegner bundle projektioner af tangenten bundter af M og N respektivt.

${\ displaystyle \ operatorname {d} \! \ varphi}$inducerer et bundtkort fra TM til tilbagetrækningsbundtet φ ^∗ TN over M via

${\ displaystyle (m, v_ {m}) \ mapsto (m, \ operatorname {d} \! \ varphi (m, v_ {m})),}$

hvor og Den sidstnævnte kort kan igen ses som en del af vektoren bundtet Hom ( TM , φ ^* TN ) i løbet M . Pakken kort dφ er også angivet ved Tø og kaldes tangenten kortet . På denne måde er T en funktor . ${\ displaystyle m \ i M}$${\ displaystyle v_ {m} \ i T_ {m} M.}$

Skub fremad af vektorfelter

Givet et glat kort φ  : M → N og et vektorfelt X på M , er det normalt ikke muligt at identificere en pushforward af X ved φ med nogle vektorfelt Y på N . For eksempel, hvis kortet φ ikke er surjektivt, er der ingen naturlig måde at definere et sådant skub fremad uden for billedet af φ . Hvis φ ikke er injektiv, kan der også være mere end ét valg af fremadrettet på et givet tidspunkt. Ikke desto mindre kan man gøre denne vanskelighed præcis ved at bruge begrebet et vektorfelt langs et kort.

En sektion af φ ^∗ TN over M kaldes et vektorfelt langs φ . For eksempel, hvis M er en undermanifold af N, og φ er inklusionen, så er et vektorfelt langs φ blot et snit af tangentbundtet af N langs M ; især et vektorfelt på M definerer en sådan sektion via inklusion af TM inde i TN . Denne idé generaliserer til vilkårlige glatte kort.

Antag, at X er et vektorfelt på M , dvs. et snit af TM . Derefter, udbytter, i ovennævnte forstand, den pushforward φ _* X , som er en vektor felt langs φ , dvs. en del af φ ^* TN løbet M . ${\ displaystyle \ operatorname {d} \! \ phi \ circ X}$

Ethvert vektorfelt Y på N definerer en tilbagetrækningssektion φ ^∗ Y på φ ^∗ TN med ( φ ^∗ Y ) _x = Y _{φ ( x )} . Et vektorfelt X på M og et vektorfelt Y på N siges at være φ -relateret, hvis φ _∗ X = φ ^∗ Y som vektorfelter langs φ . Med andre ord, for alle x i M , dφ _x ( X ) = Y _{φ ( x )} .

I nogle situationer givet en X vektor felt på M , der er en unik vektor felt Y på N som er φ -relaterede at X . Dette gælder især, når φ er en diffeomorfisme . I dette tilfælde definerer pushforward et vektorfelt Y på N , givet af

${\ displaystyle Y_ {y} = \ phi _ {*} \ venstre (X _ {\ phi ^{-1} (y)} \ højre).}$

En mere generel situation opstår, når φ er surjektiv (f.eks. Bundtprojektionen af et fiberbundt). Derefter et vektorfelt X på M siges at være rage hvis for alle y i N , dφ _x ( X _x ) er uafhængigt af valget af x i φ ^-1 ({ y }). Dette er netop den betingelse, der garanterer, at et skub fremad af X , som et vektorfelt på N , er veldefineret.

Se også

• Træk tilbage

Referencer

• Lee, John M. (2003). Introduktion til Smooth Manifolds . Springer kandidattekster i matematik. 218 .
• Jost, Jürgen (2002). Riemannian geometri og geometrisk analyse . Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2. Se afsnit 1.6 .
• Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978). Grundlaget for mekanik . London: Benjamin-Cummings. ISBN 0-8053-0102-X. Se afsnit 1.7 og 2.3 .