Formodning om geometri - Geometrization conjecture

Geometrisering sætning

Mark	Geometrisk topologi
Formodet af	William Thurston
Formodet i	1982
Første bevis ved	Grigori Perelman
Første bevis i	2006
Konsekvenser	Poincaré formodning Thurston elliptisering formodning

I matematik siger Thurstons geometrization formodning , at hvert af tre tredimensionelle topologiske rum har en unik geometrisk struktur, der kan forbindes med det. Det er en analog af uniformeringsteoremet for todimensionale overflader , der siger, at hver enkelt forbundet Riemann-overflade kan få en af ​​tre geometrier ( euklidisk , sfærisk eller hyperbolsk ). I tre dimensioner er det ikke altid muligt at tildele en enkelt geometri til et helt topologisk rum. I stedet siger geometrization formodning, at hver lukket 3-manifold kan nedbrydes på en kanonisk måde i stykker, der hver har en af ​​otte typer geometrisk struktur. Formodningen blev foreslået af William Thurston  ( 1982 ), og indebærer flere andre formodninger, såsom Poincaré -formodningen og Thurstons elliptiseringsformodning .

Thurstons hyperboliseringsteorem indebærer, at Haken -manifolder tilfredsstiller geometrization -formodningen. Thurston annoncerede et bevis i 1980'erne, og siden da er der kommet flere komplette beviser på tryk.

Grigori Perelman skitserede et bevis på den fulde geometrization formodning i 2003 ved hjælp af Ricci flow med kirurgi . Der er nu flere forskellige manuskripter (se nedenfor) med detaljer om beviset. Poincaré -formodningen og den sfæriske rumformformodning er konsekvenser af geometrization -formodningen, selvom der er kortere beviser på førstnævnte, der ikke fører til geometrization -formodningen.

Formodningen

En 3-manifold kaldes lukket, hvis den er kompakt og ikke har nogen grænse .

Hver lukket 3-manifold har en primær dekomponering : det betyder, at den er den forbundne sum af prime 3-manifolds (denne dekomponering er i det væsentlige unik bortset fra et lille problem i tilfælde af ikke-orienterbare manifolder ). Dette reducerer meget af studiet af 3-manifolder til tilfælde af prime 3-manifolds: dem, der ikke kan skrives som en ikke-triviel forbundet sum.

Her er en erklæring om Thurstons formodning:

Hver orienteret prime lukket 3-manifold kan skæres langs tori , så det indre af hver af de resulterende manifolds har en geometrisk struktur med begrænset volumen.

Der er 8 mulige geometriske strukturer i 3 dimensioner, beskrevet i det næste afsnit. Der er en unik minimal måde at skære en irreducerbar orienteret 3-manifold langs tori i stykker, der er Seifert-manifolder eller atoroidale kaldet JSJ-nedbrydning , hvilket ikke er det samme som nedbrydningen i geometrization-formodningen, fordi nogle af stykkerne i JSJ -nedbrydning har muligvis ikke geometriske strukturer med begrænset volumen. (For eksempel har mapping torus af et Anosov -kort over en torus en endelig volumenopløsningsstruktur, men dens JSJ -nedbrydning skærer den op langs en torus for at producere et produkt af en torus og et enhedsinterval, og det indre af dette har ingen endelig geometrisk struktur.)

For ikke-orienterede manifolds er den nemmeste måde at angive en geometrization formodning først at tage det orienterede dobbeltdæksel . Det er også muligt at arbejde direkte med ikke-orienterbare manifolder, men dette giver nogle ekstra komplikationer: det kan være nødvendigt at skære langs projektive fly og Klein-flasker samt kugler og tori, og manifolder med en projektiv plangrænsekomponent har normalt ingen geometrisk struktur.

I 2 dimensioner siger den analoge udsagn, at hver overflade (uden grænse) har en geometrisk struktur bestående af en metrik med konstant krumning; det er ikke nødvendigt at skære manifolden op først.

De otte Thurston -geometrier

En modelgeometri er en enkelt forbundet glat manifold X sammen med en transitiv handling af en Lie -gruppe G på X med kompakte stabilisatorer.

En modelgeometri kaldes maksimal, hvis G er maksimal blandt grupper, der fungerer jævnt og transitivt på X med kompakte stabilisatorer. Nogle gange er denne betingelse inkluderet i definitionen af ​​en modelgeometri.

En geometrisk struktur på en manifold M er en diffeomorfisme fra M til X /Γ for en eller anden modelgeometri X , hvor Γ er en diskret undergruppe af G, der virker frit på X  ; dette er et specielt tilfælde af en komplet ( G , X ) -struktur . Hvis en given manifold indrømmer en geometrisk struktur, så indrømmer den en, hvis model er maksimal.

En 3-dimensionel model geometri X er relevant for geometrization formodninger hvis det er maksimal, og hvis der er mindst en kompakt manifold med en geometrisk struktur modelleret på X . Thurston klassificerede de 8 modelgeometrier, der opfylder disse betingelser; de er anført nedenfor og kaldes undertiden Thurston geometrier . (Der er også utallige mange modelgeometrier uden kompakte kvoter.)

Der er en vis forbindelse med Bianchi-grupperne : de tredimensionelle Lie-grupper. De fleste Thurston -geometrier kan realiseres som en venstre invariant måling på en Bianchi -gruppe. Men S ² × R ikke kan være det, euklidisk rum svarer til to forskellige Bianchi-grupper, og der er et utalligt antal opløselige ikke-unimodulære Bianchi-grupper, hvoraf de fleste giver modelgeometrier uden kompakte repræsentanter.

Sfærisk geometri S ³

Punktstabilisatoren er O (3, R ), og gruppen G er den 6-dimensionelle Lie-gruppe O (4, R ) med 2 komponenter. De tilsvarende manifolder er nøjagtigt de lukkede 3-manifolder med en endelig grundlæggende gruppe . Eksempler omfatter 3-kuglen , Poincaré-homologikuglen , Lensrum . Denne geometri kan modelleres som en venstre invariant måling på Bianchi -gruppen af ​​type IX . Manifolds med denne geometri er alle kompakte, orienterbare og har strukturen som et Seifert fiberrum (ofte på flere måder). Den komplette liste over sådanne manifolder er givet i artiklen om sfæriske 3-manifolder . Under Ricci -strømning falder manifolder med denne geometri sammen til et punkt i endelig tid.

Euklidisk geometri E ³

Punktstabilisatoren er O (3, R ), og gruppen G er den 6-dimensionelle Lie-gruppe R ³ × O (3, R ) med 2 komponenter. Eksempler er 3-torus og mere generelt kortlægningstorus for en endelig ordens automorfisme af 2-torus; se torus bundt . Der er præcis 10 endelige lukkede 3-manifolder med denne geometri, 6 orienterbare og 4 ikke-orienterbare. Denne geometri kan modelleres som en venstre invariant metrik på Bianchi -grupperne af type I eller VII ₀ . Endelige volumenmanifolder med denne geometri er alle kompakte og har strukturen som et Seifert fiberrum (nogle gange på to måder). Den komplette liste over sådanne manifolder er givet i artiklen om Seifert fiberrum . Under Ricci -strøm forbliver manifolder med euklidisk geometri uændrede.

Hyperbolisk geometri H ³

Punktstabilisatoren er O (3, R ), og gruppen G er den 6-dimensionelle Lie-gruppe O ⁺ (1, 3, R ) med 2 komponenter. Der er et enormt antal eksempler på disse, og deres klassificering er ikke helt forstået. Eksemplet med den mindste volumen er Weeks manifold . Andre eksempler er givet af Seifert -Weber -rummet eller "tilstrækkeligt komplicerede" Dehn -operationer på links eller de fleste Haken -manifolder . Geometrization formodning indebærer, at en lukket 3-manifold er hyperbolsk, hvis og kun hvis den er irreducerbar, atoroidal og har uendelig grundlæggende gruppe. Denne geometri kan modelleres som en venstre invariant metrisk om Bianchi gruppe af type V . Under Ricci -flow ekspanderer manifolder med hyperbolsk geometri.

Geometrien af ​​S ² × R

Punktstabilisatoren er O (2, R ) × Z /2 Z , og gruppen G er O (3, R ) × R × Z /2 Z , med 4 komponenter. De fire endelige volumenmanifolder med denne geometri er: S ² × S ¹ , mapping torus af antipode-kortet over S ² , den forbundne sum af to kopier af 3-dimensionelt projektivt rum og produktet af S ¹ med todimensionalt projektivt rum. De to første kortlægger tori af identitetskortet og antipodekortet over 2-kuglen og er de eneste eksempler på 3-manifolder, der er primære, men ikke irreducerbare. Det tredje er det eneste eksempel på en ikke-triviel forbundet sum med en geometrisk struktur. Dette er den eneste modelgeometri, der ikke kan realiseres som en venstre invariant metrik på en tredimensionel Lie-gruppe. Endelige volumenmanifold med denne geometri er alle kompakte og har strukturen som et Seifert fiberrum (ofte på flere måder). Under normaliseret Ricci-strømningsmanifold med denne geometri konvergerer til en 1-dimensionel manifold.

Geometrien for H ² × R

Punktstabilisatoren er O (2, R ) × Z /2 Z , og gruppen G er O ⁺ (1, 2, R ) × R × Z /2 Z , med 4 komponenter. Eksempler omfatter produktet af en hyperbolsk overflade med en cirkel eller mere generelt kortlægningstorus for en isometri af en hyperbolsk overflade. Endelige volumenmanifolder med denne geometri har strukturen af ​​et Seifert fiberrum, hvis de er orienterbare. (Hvis de ikke er orienterbare, er den naturlige fibration ved hjælp af cirkler ikke nødvendigvis en Seifert -fibration: problemet er, at nogle fibre kan "vende orientering"; med andre ord ligner deres kvarterer fiberede massive Klein -flasker frem for faste tori.) Klassificeringen af sådanne (orienterede) manifolder er givet i artiklen om Seifert fiberrum . Denne geometri kan modelleres som en venstre invariant måling på Bianchi -gruppen af ​​type III . Under normaliseret Ricci-strømningsmanifold med denne geometri konvergerer til en 2-dimensionel manifold.

Geometrien til det universelle dæksel til SL (2, "R")

Det universelle dæksel til SL (2, R ) er angivet . It fibre over H ² . Gruppen G har 2 komponenter. Dens identitetskomponent har strukturen . Punktstabilisatoren er O (2, R ). ${\ displaystyle {\ widetilde {\ rm {SL}}} (2, \ mathbf {R})}$${\ displaystyle (\ mathbf {R} \ times {\ widetilde {\ rm {SL}}} _ {2} (\ mathbf {R}))/\ mathbf {Z}}$

Eksempler på disse manifolder omfatter: manifolden af ​​enhedsvektorer i tangentbundtet på en hyperbolsk overflade og mere generelt Brieskorn-homologikuglerne (undtagen 3-kuglen og Poincare dodecahedral-rummet ). Denne geometri kan modelleres som en venstre invariant måling på Bianchi -gruppen af ​​type VIII . Endelige volumenmanifolder med denne geometri er orienterbare og har strukturen som et Seifert fiberrum . Klassificeringen af ​​sådanne manifolder er givet i artiklen om Seifert fiberrum . Under normaliseret Ricci-strømningsmanifold med denne geometri konvergerer til en 2-dimensionel manifold.

Ingen geometri

Denne fiber over E ² , og er geometrien i Heisenberg -gruppen . Punktstabilisatoren er O (2, R ). Gruppen G har 2 komponenter og er et semidirekt produkt af den tredimensionelle Heisenberg-gruppe af gruppen O (2, R ) af isometrier i en cirkel. Kompakte manifolder med denne geometri omfatter kortlægningstorus af et Dehn-twist af en 2-torus, eller kvoten for Heisenberg-gruppen af ​​"integreret Heisenberg-gruppe". Denne geometri kan modelleres som en venstre invariant måling på Bianchi -gruppen af ​​type II . Endelige volumenmanifold med denne geometri er kompakte og orienterbare og har strukturen som et Seifert fiberrum . Klassificeringen af ​​sådanne manifolder er givet i artiklen om Seifert fiberrum . Under normaliseret Ricci -strøm konvergerer kompakte manifolder med denne geometri til R ² med den flade metriske.

Sol geometri

Denne geometri (også kaldet Solv geometri ) fibre over linjen med fiber flyet, og er geometrien af identitetskomponenten af gruppen G . Punktstabilisatoren er den dihedrale gruppe af orden 8. Gruppen G har 8 komponenter og er gruppen af ​​kort fra det 2-dimensionelle Minkowski-rum til sig selv, der enten er isometrier eller multiplicerer metriket med -1. Identitetskomponenten har en normal undergruppe R ² med kvotient R , hvor R virker på R ² med 2 (reelle) eigenspaces, med adskilte reelle egenværdier af produkt 1. Dette er Bianchi -gruppen af ​​type VI _0, og geometrien kan modelleres som en venstre invariant metrik på denne gruppe. Alle endelige volumenmanifolder med solv -geometri er kompakte. De kompakte manifolder med solv-geometri er enten mapping torus af et Anosov-kort over 2-torus (et sådant kort er en automorfisme af 2-torus givet af en inverterbar 2 til 2 matrix, hvis egenværdier er reelle og tydelige, såsom ) , eller kvotienter af disse efter ordensgrupper højst 8. Egenværdierne for torusens automorfisme genererer en rækkefølge af et reelt kvadratisk felt, og solv -manifolderne kunne i princippet klassificeres i form af enheder og ideelle klasser i denne orden , selvom detaljerne tilsyneladende ikke er skrevet ned nogen steder. Under normaliseret Ricci flow kompakte manifolder med denne geometri konvergerer (ret langsomt) til R ¹ . ${\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {*{20} c} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\\ end {array}} \ right)}$

Unikhed

En lukket 3-manifold har en geometrisk struktur med højst en af ​​de 8 typer ovenfor, men ikke-kompakte 3-manifolders endelige volumen kan lejlighedsvis have mere end én type geometrisk struktur. (Ikke desto mindre kan en manifold have mange forskellige geometriske strukturer af samme type; for eksempel har en overflade af slægt mindst 2 et kontinuum af forskellige hyperboliske metrics.) Mere præcist, hvis M er en manifold med en geometrisk struktur med en endelig volumen, derefter er typen af ​​geometrisk struktur næsten bestemt som følger, hvad angår den grundlæggende gruppe π ₁ ( M ):

• Hvis π ₁ ( M ) er endelig, er den geometriske struktur på M sfærisk, og M er kompakt.
• Hvis π ₁ ( M ) er næsten cyklisk men ikke begrænset så den geometriske struktur på M er S ² × R , og M er kompakt.
• Hvis π ₁ ( M ) er praktisk talt abelsk, men ikke praktisk talt cyklisk, er den geometriske struktur på M euklidisk, og M er kompakt.
• Hvis π ₁ ( M ) er praktisk talt nulpotent, men ikke praktisk talt abelisk, er den geometriske struktur på M nul geometri, og M er kompakt.
• Hvis π ₁ ( M ) er praktisk talt opløselig, men ikke praktisk talt nulpotent, er den geometriske struktur på M solv -geometri, og M er kompakt.
• Hvis π ₁ ( M ) har en uendelig normal cyklisk undergruppe men er ikke praktisk talt løses derefter den geometriske struktur på M er enten H ² × R eller universel dækning af SL (2, R ). Manifolden M kan være enten kompakt eller ikke-kompakt. Hvis det er kompakt, så de 2 geometrier kan skelnes efter hvorvidt π ₁ ( M ) har en endelig indeks undergruppe at splits som et semidirect produkt af den normale cykliske undergruppe og noget andet. Hvis manifolden er ikke-kompakt, kan den grundlæggende gruppe ikke skelne mellem de to geometrier, og der er eksempler (såsom komplementet til en trefoil knude), hvor en manifold kan have en geometrisk struktur med en endelig volumen af ​​begge typer.
• Hvis π ₁ ( M ) ikke har en uendelig normal cyklisk undergruppe og ikke er praktisk talt opløselig, er den geometriske struktur på M hyperbolsk, og M kan være enten kompakt eller ikke-kompakt.

Uendelige volumenmanifold kan have mange forskellige former for geometrisk struktur: for eksempel kan R ³ have 6 af de forskellige geometriske strukturer, der er anført ovenfor, da 6 af de 8 modelgeometrier er homeomorfe for det. Desuden hvis volumen ikke behøver at være begrænset, er der et uendeligt antal nye geometriske strukturer uden kompakte modeller; for eksempel geometrien for næsten enhver ikke-unimodulær 3-dimensionel Lie-gruppe.

Der kan være mere end én måde at nedbryde en lukket 3-manifold i stykker med geometriske strukturer. For eksempel:

• At tage forbundne summer med flere kopier af S ³ ændrer ikke en manifold.
• Den forbundne sum af to projektive 3-mellemrum har en S ² × R- geometri og er også den forbundne sum af to stykker med S ^3- geometri.
• Produktet af en overflade med negativ krumning og en cirkel har en geometrisk struktur, men kan også skæres langs tori for at producere mindre stykker, der også har geometriske strukturer. Der er mange lignende eksempler på Seifert fiberrum.

Det er muligt at vælge en "kanonisk" nedbrydning i stykker med geometrisk struktur, for eksempel ved først at skære manifolden i primer på en minimal måde og derefter skære disse op ved hjælp af det mindst mulige antal tori. Denne minimale nedbrydning er imidlertid ikke nødvendigvis den, der produceres af Ricci flow; Faktisk kan Ricci -strømmen skære en manifold op i geometriske stykker på mange ækvivalente måder afhængigt af valget af indledende metrisk.

Historie

Den Fields Medaljen blev tildelt Thurston i 1982 delvist for hans bevis for geometrization formodninger for Haken mangfoldigheder .

Tilfældet med 3-manifolds, der skulle være kugleformet, har været langsommere, men gav den gnist, der var nødvendig for Richard S. Hamilton til at udvikle sit Ricci-flow . I 1982 viste Hamilton, at givet en lukket 3-manifold med en måling af positiv Ricci-krumning , ville Ricci-strømmen kollapse manifolden til et punkt i en endelig tid, hvilket beviser geometrization-formodningen for dette tilfælde, da metricen bliver "næsten rund" lige før sammenbruddet. Han udviklede senere et program til at bevise geometrization formodning af Ricci flow med kirurgi . Ideen er, at Ricci -strømmen generelt vil producere singulariteter, men man kan muligvis fortsætte Ricci -strømmen forbi singulariteten ved at bruge kirurgi til at ændre manifoldens topologi. Groft sagt kontraherer Ricci -strømmen positive krumningsregioner og udvider negative krumningsområder, så det skulle dræbe stykkerne i manifolden med de "positive krumning" -geometrier S ³ og S ² × R , mens det, der er tilbage på store tidspunkter, burde have en tyk -tynd nedbrydning til et "tykt" stykke med hyperbolsk geometri og en "tynd" grafmanifold .

I 2003 skitserede Grigori Perelman et bevis på geometrization -formodningen ved at vise, at Ricci -strømmen faktisk kan fortsættes forbi singulariteterne og har den adfærd, der er beskrevet ovenfor. Den største vanskelighed ved at verificere Perelmans bevis for geometrization formodning var en kritisk brug af hans sætning 7.4 i fortrykket 'Ricci Flow med kirurgi på tre-manifolder'. Denne sætning blev anført af Perelman uden bevis. Der er nu flere forskellige beviser for Perelmans sætning 7.4, eller varianter af den, der er tilstrækkelige til at bevise geometriisering. Der er papiret fra Shioya og Yamaguchi, der bruger Perelmans stabilitetssætning og en fibrationsteorem til Alexandrov -rum . Denne metode med alle detaljer, der fører til bevis på geometriisering, findes i udstillingen af Bruce Kleiner og John Lott .

En anden vej til den sidste del af Perelmans bevis på geometriisering er metoden ifølge Bessières et al. , Som bruger Thurstons hyperbolization sætning for Haken mangfoldigheder og Gromov 's norm i 3-mangfoldigheder. En bog af de samme forfattere med komplette detaljer om deres version af beviset er udgivet af European Mathematical Society .

Indeholder også beviser for Perelmans sætning 7.4, der er et papir af Morgan og Tian , et andet papir af Kleiner og Lott og et papir af Jianguo Cao og Jian Ge.

Noter

Referencer

• L. Bessieres, G. Besson, M. Boileau, S. Maillot, J. Porti, 'Geometrisation of 3-manifolds', EMS Tracts in Mathematics, bind 13. European Mathematical Society, Zürich, 2010. [1]
• M. Boileau Geometriisering af 3-manifolder med symmetrier
• F. Bonahon Geometriske strukturer på 3-manifolds Handbook of Geometric Topology (2002) Elsevier.
• Allen Hatcher: Bemærkninger om Basic 3-Manifold Topology 2000
• J. Isenberg, M. Jackson, Ricci -strøm af lokalt homogene geometrier på en Riemannian manifold , J. Diff. Geom. 35 (1992) nr. 3 723–741.
• G. Perelman, entropiformel for Ricci -strømmen og dens geometriske anvendelser , 2002
• G. Perelman, Ricci flow med kirurgi på tre-manifolder , 2003
• G. Perelman, Endelig udryddelsestid for løsningerne til Ricci-strømmen på visse tre-manifolder , 2003
• Bruce Kleiner og John Lott, Notes on Perelman's Papers (maj 2006) (udfylder detaljerne i Perelmans bevis for geometrization formodninger).
• Cao, Huai-Dong; Zhu, Xi-Ping (juni 2006). "Et komplet bevis på Poincaré og geometrization-formodninger: Anvendelse af Hamilton-Perelman-teorien om Ricci-strømmen" ( PDF ) . Asian Journal of Mathematics . 10 (2): 165–498. doi : 10.4310/AJM.2006.v10.n2.a2 . Hentet 2006-07-31 .Revideret version (december 2006): Hamilton-Perelman's Proof of the Poincaré Conjecture and the Geometrization Conjecture
• John W. Morgan . Nylige fremskridt med Poincaré-formodningen og klassificeringen af ​​3-manifolder. Bulletin Amer. Matematik. Soc. 42 (2005) nr. 1, 57–78 (eksponeringsartikel forklarer kort sagt de otte geometrier og geometrization -formodninger og giver en oversigt over Perelmans bevis på Poincaré -formodningen)
• Morgan, John W .; Fong, Frederick Tsz-Ho (2010). Ricci Flow og Geometrization of 3-Manifolds . Universitetsforedragsserie. ISBN 978-0-8218-4963-7. Hentet 2010-09-26 .
• Morgan, John W .; Tian, ​​Gang (2014), The Geometrization Conjecture , Clay Mathematics Monographs, 5 , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-5201-9
• Scott, Peter Geometrier af 3-manifolder. ( errata ) Bull. London Math. Soc. 15 (1983), nr. 5, 401–487.
• Thurston, William P. (1982). "Tredimensionelle manifolder, kleinske grupper og hyperbolsk geometri" . Bulletin fra American Mathematical Society . Ny serie. 6 (3): 357–381. doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15003-0 . ISSN  0002-9904 . MR  0648524 . Dette giver den oprindelige erklæring om formodningen.
• William Thurston. Tredimensionel geometri og topologi. Vol. 1 . Redigeret af Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x+311 s.  ISBN  0-691-08304-5 (dybdegående forklaring af de otte geometrier og beviset på, at der kun er otte)
• William Thurston. The Geometry and Topology of Three-Manifolds , 1980 Princeton forelæsningsnotater om geometriske strukturer på 3-manifolds.

eksterne links

• "Geometrien af ​​3-manifolds (video)" . Arkiveret fra originalen den 27. januar 2010 . Hentet 20. januar 2010 .Et offentligt foredrag om Poincaré og geometrization formodninger, holdt af C. McMullen ved Harvard i 2006.