Sfærisk geometri - Spherical geometry

Summen af vinklerne i en sfærisk trekant er ikke lig med 180 °. En kugle er en buet overflade, men lokalt er lovene i den flade (plane) euklidiske geometri gode tilnærmelser. I en lille trekant på jordens overflade er summen af vinklerne kun lidt mere end 180 grader.

En kugle med en sfærisk trekant på.

Sfærisk geometri er geometrien af den todimensionale overflade af en kugle . I denne sammenhæng henviser ordet "kugle" kun til den 2-dimensionelle overflade, og andre udtryk som "kugle" eller "solid kugle" bruges til overfladen sammen med dens 3-dimensionelle indre.

Kuglegeometri har længe studeret for sine praktiske anvendelser til navigation og astronomi og har mange ligheder og forhold til og vigtige forskelle fra den euklidiske plangeometri . Kuglen er for det meste blevet undersøgt som en del af den 3-dimensionelle euklidiske geometri (ofte kaldet solid geometri ), overfladen betragtes som placeret inde i et omgivende 3-d rum. Det kan også analyseres ved hjælp af "iboende" metoder, der kun involverer selve overfladen og ikke henviser til eller endog antager eksistensen af noget omgivende rum uden for eller inden for sfæren.

Fordi en kugle og et plan adskiller sig geometrisk, har (iboende) sfærisk geometri nogle funktioner i en ikke-euklidisk geometri og er undertiden beskrevet som værende en. Sfærisk geometri blev imidlertid ikke betragtet som en fuldgyldig ikke-euklidisk geometri, der var tilstrækkelig til at løse det gamle problem med, om det parallelle postulat er en logisk konsekvens af resten af Euklids aksiomer af plangeometri. Løsningen blev i stedet fundet i hyperbolsk geometri .

Oversigt

I plan (euklidisk) geometri er de grundlæggende begreber punkter og (lige) linjer . I sfærisk geometri er de grundlæggende begreber punkt og stor cirkel . Imidlertid krydser to store cirkler på et plan i to antipodale punkter, i modsætning til coplanar linjer i elliptisk geometri .

I det ydre tredimensionelle billede er en stor cirkel krydset mellem kuglen og ethvert plan gennem midten. I den indre tilgang er en stor cirkel en geodesik ; en korteste vej mellem to af dens punkter, forudsat at de er tæt nok. Eller i den (også iboende) aksiomatiske tilgang analog med Euclids aksiomer af plangeometri er "stor cirkel" simpelthen et udefineret udtryk sammen med postulater, der fastlægger de grundlæggende forhold mellem store cirkler og de også udefinerede "punkter". Dette er det samme som Euclids metode til behandling af punkt og linje som udefinerede primitive forestillinger og aksiomatisering af deres forhold.

Store cirkler spiller på mange måder den samme logiske rolle i sfærisk geometri som linjer i euklidisk geometri, fx som siderne i (sfæriske) trekanter. Dette er mere end en analogi; sfærisk og plan geometri og andre kan alle forenes under paraplyen for geometri bygget fra afstandsmåling , hvor "linjer" er defineret til at betyde korteste stier (geodesik). Mange udsagn om geometrien af punkter og sådanne "linjer" er lige så sande i alle disse geometrier, forudsat at linjer er defineret på den måde, og teorien kan let udvides til højere dimensioner. Ikke desto mindre, fordi dens anvendelser og pædagogik er bundet til solid geometri, og fordi generaliseringen mister nogle vigtige egenskaber ved linjer i planet, bruger sfærisk geometri normalt slet ikke udtrykket "linje" til at henvise til noget på selve sfæren. Hvis det udvikles som en del af solid geometri, bruges der punkter, lige linjer og planer (i euklidisk forstand) i det omgivende rum.

I sfærisk geometri defineres vinkler mellem store cirkler, hvilket resulterer i en sfærisk trigonometri, der adskiller sig fra almindelig trigonometri i mange henseender; for eksempel overstiger summen af de indvendige vinkler af en sfærisk trekant 180 grader.

Forhold til lignende geometrier

Sfærisk geometri er tæt forbundet med elliptisk geometri .

En vigtig geometri relateret til sfærens er den af det virkelige projicerende plan ; det opnås ved at identificere antipodale punkter (par af modsatte punkter) på sfæren. Lokalt har det projicerende plan alle egenskaber ved sfærisk geometri, men det har forskellige globale egenskaber. Især er den ikke-orienterbar eller ensidig, og i modsætning til sfæren kan den ikke tegnes som en overflade i et 3-dimensionelt rum uden at krydse sig selv.

Begreber med sfærisk geometri kan også anvendes på den aflange sfære , selvom mindre ændringer skal implementeres på visse formler.

Der findes højere dimensionelle sfæriske geometrier; se elliptisk geometri .

Historie

Græsk antik

Det tidligste matematiske arbejde fra oldtiden for at komme ned til vores tid er På den roterende kugle (Περὶ κινουμένης σφαίρας, Peri kinoumenes sphairas ) af Autolycus af Pitane , der boede i slutningen af det fjerde århundrede f.Kr.

Sfærisk trigonometri blev undersøgt af tidlige græske matematikere som Theodosius fra Bithynia , en græsk astronom og matematiker, der skrev Sphaerics , en bog om sfæreens geometri, og Menelaus af Alexandria , der skrev en bog om sfærisk trigonometri kaldet Sphaerica og udviklede Menelaus sætning .

Islamisk verden

Bogen med ukendte buer i en kugle skrevet af den islamiske matematiker Al-Jayyani betragtes som den første afhandling om sfærisk trigonometri. Bogen indeholder formler til højrehåndede trekanter, den generelle lov om sines og løsningen af en sfærisk trekant ved hjælp af den polære trekant.

Bogen On Triangles af Regiomontanus , skrevet omkring 1463, er det første rene trigonometriske arbejde i Europa. Men Gerolamo Cardano bemærkede et århundrede senere, at en stor del af sit materiale på sfæriske trigonometri blev taget fra det tolvte århundrede arbejde Andalusi lærde Jabir ibn Aflah .

Eulers arbejde

Leonhard Euler udgav en række vigtige erindringer om sfærisk geometri:

L. Euler, Principes de la trigonométrie sphérique tirés de la méthode des plus grands et des plus petits, Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 9 (1753), 1755, s. 233-257; Opera Omnia, serie 1, bind. XXVII, s. 277–308.
L. Euler, Eléments de la trigonométrie sphéroïdique tirés de la méthode des plus grands et des plus petits, Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 9 (1754), 1755, s. 258-293; Opera Omnia, serie 1, bind. XXVII, s. 309–339.
L. Euler, De curva rectificabili in superficie sphaerica, Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 15, 1771, s. 195-216; Opera Omnia, serie 1, bind 28, s. 142–160.
L. Euler, De mensura angulorum solidorum, Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 2, 1781, s. 31-54; Opera Omnia, serie 1, bind. XXVI, s. 204-223.
L. Euler, Problematis cuiusdam Pappi Alexandrini constructio, Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 4, 1783, s. 91–96; Opera Omnia, serie 1, bind. XXVI, s. 237-242.
L. Euler, Geometrica et sphaerica quaedam, Mémoires de l'Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg 5, 1815, s. 96-114; Opera Omnia, serie 1, bind. XXVI, s. 344–358.
L. Euler, Trigonometria sphaerica universa, ex primis principiis breviter et dilucide derivata, Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 3, 1782, s. 72–86; Opera Omnia, serie 1, bind. XXVI, s. 224-236.
L. Euler, Variae speculationses super area triangulorum sphaericorum, Nova Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 10, 1797, s. 47–62; Opera Omnia, serie 1, bind. XXIX, s. 253-266.

Ejendomme

Sfærisk geometri har følgende egenskaber:

Enhver to store cirkler krydser hinanden i to diametralt modsatte punkter, kaldet antipodale punkter .
Eventuelle to punkter, der ikke er antipodale punkter, bestemmer en unik stor cirkel.
Der er en naturlig enhed for vinkelmåling (baseret på en omdrejning), en naturlig længdeenhed (baseret på omkredsen af en stor cirkel) og en naturlig arealeenhed (baseret på området for kuglen).
Hver stor cirkel er forbundet med et par antipodale punkter, kaldet dens poler, som er de almindelige skæringspunkter for sættet med store cirkler vinkelret på den. Dette viser, at en stor cirkel med hensyn til afstandsmåling på kuglens overflade er en cirkel: stedet for punkter alt sammen i en bestemt afstand fra et centrum.
Hvert punkt er forbundet med en unik stor cirkel, kaldet polens cirkel for punktet, som er den store cirkel på planet gennem midten af kuglen og vinkelret på kuglens diameter gennem det givne punkt.

Da der er to buer bestemt af et par punkter, som ikke er antipodale, bestemmer tre ikke-kollinære punkter på den store cirkel ikke en unik trekant. Men hvis vi kun overvejer trekanter, hvis sider er mindre buer af store cirkler, har vi følgende egenskaber:

Vinkelsummen af en trekant er større end 180 ° og mindre end 540 °.
Arealet af en trekant er proportionalt med overskuddet af vinkelsummen over 180 °.
To trekanter med samme vinkelsum er ens i areal.
Der er en øvre grænse for området med trekanter.
Sammensætningen (produktet) af to refleksioner-over-en-stor-cirkel kan betragtes som en rotation omkring et af skæringspunkterne for deres akser.
To trekanter er kongruente, hvis og kun hvis de svarer til under et endeligt produkt af sådanne refleksioner.
To trekanter med tilsvarende vinkler ens er kongruente (dvs. alle lignende trekanter er kongruente).

Forholdet til Euclids postulater

Hvis "linje" anses for at betyde stor cirkel, adlyder sfærisk geometri to af Euclids postulater : det andet postulat ("for at producere [udvide] en endelig lige linje kontinuerligt i en lige linje") og det fjerde postulat ("at alle rette vinkler er lig med hinanden "). Imidlertid er det i strid med de andre tre: i modsætning til det første postulat er der ikke en unik korteste rute mellem to punkter ( antipodale punkter såsom nord- og sydpolen på en sfærisk klode er modeksempler); i modsætning til det tredje postulat indeholder en kugle ikke cirkler med vilkårligt stor radius; og i modsætning til det femte (parallelle) postulat er der intet punkt, hvorigennem en linje kan trækkes, som aldrig skærer en given linje.

En erklæring, der svarer til det parallelle postulat, er, at der findes en trekant, hvis vinkler tilføjes op til 180 °. Da sfærisk geometri overtræder det parallelle postulat, findes der ikke en sådan trekant på overfladen af en kugle. Summen af vinklerne på en trekant på en kugle er 180 ° (1 + 4 f ) , hvor f er den brøkdel af kuglens overflade, der er omsluttet af trekanten. For enhver positiv værdi på f overstiger dette 180 °.

Se også

Bemærkninger

Referencer

Meserve, Bruce E. (1983) [1959], Fundamental Concepts of Geometry , Dover, ISBN 0-486-63415-9
Papadopoulos, Athanase (2015), Euler, la géométrie sphérique et le calcul des variationer. I: Leonhard Euler: Mathématicien, physicien et théoricien de la musique (dir. X. Hascher et A. Papadopoulos) , CNRS Editions, Paris, ISBN 978-2-271-08331-9
Van Brummelen, Glen (2013). Himmelsk matematik: Den glemte kunst af sfærisk trigonometri . Princeton University Press . ISBN 9780691148922. Hentet 31. december 2014 .
Roshdi Rashed og Athanase Papadopoulos (2017) Menelaus 'Sfærik: Tidlig oversættelse og al-Mahani' / alHarawis version. Kritisk udgave af Menelaus 'Kugler fra de arabiske manuskripter med historiske og matematiske kommentarer , De Gruyter- serien: Scientia Graeco-Arabica 21 ISBN 978-3-11-057142-4

Languages

In other projects