Antipodalt punkt - Antipodal point

For det geografiske antipodale punkt på et sted på Jorden, se antipoder .
Antipodale punkter på en cirkel er 180 grader fra hinanden.

I matematik er antipodale punkter i en kugle dem, der er diametralt modsat hinanden (de specifikke kvaliteter ved en sådan definition er, at en linje trukket fra den ene til den anden passerer gennem kuglens centrum, så der dannes en sand diameter).

Dette udtryk gælder for modsatte punkter på en cirkel eller en hvilken som helst n-kugle .

Et antipodalt punkt kaldes undertiden en antipode , en back-formation fra det græske lånord antipoder , der betyder "modsatte (de) fødder", da det sande ord ental er antipus .

Teori

I matematik er begrebet antipodale punkter generaliseret til sfærer af enhver dimension: to punkter på sfæren er antipodale, hvis de er modsatte gennem midten ; for eksempel, hvis man tager midten som oprindelse , er de punkter med relaterede vektorer v og - v . På en cirkel kaldes sådanne punkter også diametralt modsat . Med andre ord skærer hver linje gennem midten kuglen i to punkter, en for hver stråle ud fra midten, og disse to punkter er antipodale.

Den borsuk-ulams sætning er et resultat fra algebraisk topologi håndtering af sådanne par af punkter. Det siger, at enhver kontinuerlig funktion fra S n til R n kortlægger nogle par antipodale punkter i S n til det samme punkt i R n . Her betegner S n den n -dimensionelle sfære i ( n  + 1) -dimensionale rum (så den "almindelige" sfære er S 2 og en cirkel er S 1 ).

Det antipodale kort A  : S n → S n , defineret af A ( x ) = - x , sender hvert punkt på kuglen til dets antipodale punkt. Det er homotopisk til identitetskortet, hvis n er ulige, og dets grad er (-1) n +1 .

Hvis man vil betragte antipodale punkter som identificeret, går man over til projektivt rum (se også projektivt Hilbert -rum , for denne idé som anvendt i kvantemekanik ).

Antipodalt par punkter på en konveks polygon

Et antipodalt par af en konveks polygon er et par på 2 punkter, der indrømmer, at 2 uendelige parallelle linjer er tangent til begge punkter, der er inkluderet i den antipodale uden at krydse nogen anden linje i den konvekse polygon.

Referencer

  1. ^ Chisholm, Hugh, red. (1911). "Antipoder"  . Encyclopædia Britannica . 2 (11. udgave). Cambridge University Press. s. 133–34.

eksterne links