Affin geometri - Affine geometry

I affin geometri bruger man Playfairs aksiom til at finde linjen gennem C1 og parallelt med B1B2, og til at finde linjen gennem B2 og parallelt med B1C1: deres skæringspunkt C2 er resultatet af den angivne oversættelse.

I matematik er affin geometri det, der er tilbage af den euklidiske geometri, når man ignorerer (matematikere siger ofte "glemmer") de metriske forestillinger om afstand og vinkel.

Da forestillingen om parallelle linjer er en af de vigtigste egenskaber, der er uafhængig af enhver metrisk, betragtes affin geometri ofte som studiet af parallelle linjer. Derfor er Playfairs aksiom (givet en linje L og et punkt P ikke på L, der er præcis en linje parallelt med L, der passerer gennem P.) grundlæggende i affin geometri. Sammenligninger af figurer i affin geometri foretages med affine transformationer , som er kortlægninger, der bevarer justering af punkter og parallelitet af linjer.

Affin geometri kan udvikles på to måder, der i det væsentlige er ækvivalente.

I syntetisk geometri er et affin rum et sæt punkter, hvortil der er knyttet et sæt linjer, som tilfredsstiller nogle aksiomer (såsom Playfairs aksiom).

Affin geometri kan også udvikles på basis af lineær algebra . I denne sammenhæng er et affin -rum et sæt punkter udstyret med et sæt transformationer (det vil sige bijektive kortlægninger ), oversættelserne, som danner et vektorrum (over et givet felt , sædvanligvis de reelle tal ), og sådan at det for enhver given bestilte par punkter der er en unik oversættelse, der sender det første punkt til det andet; den sammensætning af to oversættelser er deres sum i vektorrum af oversættelserne.

Mere konkret betyder det at have en operation, der associerer til et hvilket som helst ordnet punktpar en vektor og en anden operation, der tillader translation af et punkt med en vektor at give et andet punkt; disse operationer er påkrævet for at tilfredsstille et antal aksiomer (især at to på hinanden følgende translationer har virkningen af translation af sumvektoren). Ved at vælge et hvilket som helst punkt som "oprindelse", er punkterne i en-til-en-korrespondance med vektorerne, men der er ikke noget foretrukket valg for oprindelsen; således kan et affint rum ses som opnået fra dets tilknyttede vektorrum ved at "glemme" oprindelsen (nulvektor).

Ideen om at glemme metriket kan anvendes i teorien om manifolds . Det er udviklet i artiklen om affineforbindelsen .

Historie

I 1748 introducerede Leonhard Euler udtrykket affine (latin affinis , "beslægtet") i sin bog Introductio in analysin infinitorum (bind 2, kapitel XVIII). I 1827 skrev August Möbius om affin geometri i sin Der barycentrische Calcul (kapitel 3).

Efter Felix Klein 's Erlangen program blev affine geometri anerkendt som en generalisering af euklidisk geometri .

I 1918 henviste Hermann Weyl til affin geometri for sin tekst Space, Time, Matter . Han brugte affin geometri til at indføre vektortilsætning og subtraktion på de tidligste stadier af hans udvikling af matematisk fysik . Senere skrev ET Whittaker :

Weyls geometri er historisk interessant som værende den første af de affine geometrier, der blev udarbejdet i detaljer: den er baseret på en særlig type paralleltransport [... ved hjælp] af verdenssignaler af lyssignaler i fire-dimensionel rumtid. Et kort element i en af disse verdenslinjer kan kaldes en null-vektor ; så er den pågældende paralleltransport sådan, at den bærer enhver null-vektor på et tidspunkt i positionen af en null-vektor på et nabopunkt.

Axiomer

Flere aksiomatiske tilgange til affin geometri er blevet fremsat:

Pappus lov

Pappus lov: hvis de røde linjer er parallelle, og de blå linjer er parallelle, skal de sorte stiplede linjer være parallelle.

Da affin geometri omhandler parallelle linjer, er en af egenskaberne ved paralleller bemærket af Pappus fra Alexandria blevet taget som en forudsætning:

Antag at de er på en linje og på en anden. Hvis linjerne og er parallelle og linjerne og er parallelle, så er linjerne og parallelle. ${\ displaystyle A, B, C}$ ${\ displaystyle A ', B', C '}$ ${\ displaystyle AB '}$ ${\ displaystyle A'B}$ ${\ displaystyle BC '}$ ${\ displaystyle B'C}$ ${\ displaystyle CA '}$ ${\ displaystyle C'A}$

Hele det foreslåede aksiomsystem har punkt , linje og linje, der indeholder punkt som primitive forestillinger :

To punkter er indeholdt i kun en linje.
For enhver linje l og ethvert punkt P , ikke på l , er der kun en linje, der indeholder P og ikke indeholder noget punkt på l . Denne linje siges at være parallel med l .
Hver linje indeholder mindst to punkter.
Der er mindst tre punkter, der ikke tilhører en linje.

Ifølge HSM Coxeter :

Interessen for disse fem aksiomer forstærkes af, at de kan udvikles til et stort antal forslag, der ikke kun rummer euklidisk geometri, men også i Minkowskis geometri af tid og rum (i det simple tilfælde med 1 + 1 dimensioner, hvorimod den særlige relativitetsteori har brug for 1 + 3). Udvidelsen til enten euklidisk eller minkowskisk geometri opnås ved at tilføje forskellige yderligere aksiomer for ortogonalitet osv.

De forskellige former for affin geometri svarer til, hvilken fortolkning der tages for rotation . Euklidisk geometri svarer til den almindelige idé om rotation , mens Minkowskis geometri svarer til hyperbolsk rotation . Med hensyn til vinkelrette linjer forbliver de vinkelrette, når flyet udsættes for almindelig rotation. I Minkowski-geometrien forbliver linjer, der er hyperbolske-ortogonale, i den forbindelse, når flyet udsættes for hyperbolsk rotation.

Bestilt struktur

En aksiomatisk behandling af plan affin geometri kan bygges ud fra aksiomerne for ordnet geometri ved tilføjelse af to yderligere aksiomer:

( Affinitet aksiom af parallelisme ) I betragtning af et punkt $A$ og en linje $r$ ikke gennem $A$ , er der højst en linje gennem $A,$ som ikke møder $r$ .
( Desargues ) I betragtning syv forskellige punkter , således at , , og er særskilte linjer gennem og er parallel med og er parallel med , så er parallel med . ${\ displaystyle A, A ', B, B', C, C ', O}$ ${\ displaystyle AA '}$ ${\ displaystyle BB '}$ ${\ displaystyle CC '}$ ${\ displaystyle O}$ ${\ displaystyle AB}$ ${\ displaystyle A'B '}$ ${\ displaystyle BC}$ ${\ displaystyle B'C '}$ ${\ displaystyle AC}$ ${\ displaystyle A'C '}$

Det affine begreb parallelisme danner et ækvivalensforhold på linjer. Da aksiomerne for den ordnede geometri som præsenteret her omfatter egenskaber, der antyder strukturen af de reelle tal, fører disse egenskaber videre her, så dette er en aksiomatisering af affin geometri over feltet med reelle tal.

Ternære ringe

Det første ikke-desarguesiske fly blev noteret af David Hilbert i hans Foundations of Geometry . Den Moulton plan er en standard illustration. For at skabe en kontekst for sådan geometri såvel som dem, hvor Desargues -sætningen er gyldig, blev konceptet om en ternær ring udviklet af Marshall Hall .

I denne fremgangsmåde er affine fly konstrueret af ordnede par taget fra en ternary ring. Et fly siges at have den "mindre affine Desargues -egenskab", når to trekanter i parallelt perspektiv, der har to parallelle sider, også skal have de tredje sider parallelle. Hvis denne egenskab holder i det affine plan, der er defineret af en ternary ring, er der et ækvivalensforhold mellem "vektorer" defineret af punkterpar fra planet. Desuden danner vektorerne en abelsk gruppe under addition; den ternære ring er lineær og tilfredsstiller den rette distribution:

( a + b ) c = ac + bc .

Affinere transformationer

Geometrisk bevarer affine transformationer (affiniteter) collinearitet: så de omdanner parallelle linjer til parallelle linjer og bevarer afstandsforhold langs parallelle linjer.

Vi identificerer som affine teoremer helst geometrisk resultat, der er invariant under den affine gruppe (i Felix Klein 's Erlangen program dette er dens underliggende gruppe af symmetri transformationer for affin geometri). Overvej i et vektorrum V , den generelle lineære gruppe GL ( V ). Det er ikke hele affine gruppe , fordi vi også skal gøre det muligt oversættelser af vektorer v i V . (En sådan oversættelse kortlægger enhver w i V til w + v .) Affin -gruppen genereres af den generelle lineære gruppe og translationerne og er faktisk deres semidirekte produkt . (Her tænker vi på V som en gruppe under dets drift af addition, og bruger den definerende repræsentation af GL ( V ) på V til at definere det semidirekte produkt.) ${\ displaystyle V \ rtimes \ mathrm {GL} (V)}$

For eksempel afhænger sætningen fra trekantenes plangeometri om sammenfaldet af linjerne, der forbinder hvert hjørne til midtpunktet på den modsatte side (ved centroid eller barycenter ) af forestillinger om midtpunkt og centroid som affine invarianter. Andre eksempler omfatter sætningerne i Ceva og Menelaus .

Affine invarianter kan også hjælpe med beregninger. For eksempel danner de linjer, der deler arealet af en trekant i to lige store halvdele, en konvolut inde i trekanten. Forholdet mellem konvolutens areal og arealet af trekanten er affin invariant, og det er derfor kun nødvendigt at beregne ud fra et enkelt tilfælde, f.eks. En ensartet ensartet retvinklet trekant for at give dvs. for alle trekanter. ${\ displaystyle {\ tfrac {3} {4}} \ log _ {e} (2)-{\ tfrac {1} {2}},}$

Kendte formler, såsom halvdelen af basen gange højden for arealet af en trekant, eller en tredjedel af basen gange højden for en pyramides volumen, er ligeledes affine invarianter. Selvom sidstnævnte er mindre indlysende end førstnævnte for det generelle tilfælde, ses det let for en sjettedel af enhedskuben dannet af et flade (område 1) og terningens midtpunkt (højde 1/2). Derfor gælder det for alle pyramider, også skrå, hvis spids ikke er direkte over midten af basen, og dem med basen et parallelogram i stedet for en firkant. Formlen generaliserer yderligere til pyramider, hvis base kan dissekeres i parallelogrammer, herunder kegler ved at tillade uendeligt mange parallelogrammer (med behørig opmærksomhed på konvergens). Den samme fremgangsmåde viser, at en firedimensionel pyramide har 4D hypervolumen en fjerdedel af 3D-volumenet af dens parallelepiped base gange højden og så videre for højere dimensioner.

Kinematik

To typer affin transformation bruges i kinematik , både klassisk og moderne. Hastighed v beskrives ved hjælp af længde og retning, hvor længden formodes ubegrænset. Denne række kinematik, stylet som galileisk eller newtonsk, bruger koordinater for absolut rum og tid . Den forskydning kortlægning af et plan med en akse for hver betegner koordinatændring for en iagttager placeret med hastighed v i et hvilende referenceramme.

Endelig lyshastighed, først bemærket af forsinkelsen i udseendet af Jupiters måner, kræver en moderne kinematik. Metoden involverer hurtighed i stedet for hastighed, og erstatter klemmekortlægning af den tidligere anvendte forskydningskortlægning. Denne affine geometri blev udviklet syntetisk i 1912. for at udtrykke den særlige relativitetsteori . I 1984 blev "det affine plan, der er knyttet til det Lorentzian vektorrum L ² " beskrevet af Graciela Birman og Katsumi Nomizu i en artikel med titlen "Trigonometri i Lorentzian geometri".

Affine plads

Affine geometri kan ses som geometrien af en affin rum af en given dimension n , coordinatized over et felt K . Der er også (i to dimensioner) en kombinatorisk generalisering af koordineret affin rum, som udviklet i syntetisk finite geometri . I projektiv geometri betyder affin rum komplementet af et hyperplan i det uendelige i et projektivt rum . Affinierum kan også ses som et vektorrum, hvis operationer er begrænset til de lineære kombinationer, hvis koefficienter summerer til en, for eksempel 2 x - y , x - y + z , ( x + y + z )/3, i x + (1 - i ) y osv.

Syntetisk er affine planer todimensionale affine geometrier defineret i forhold til forholdet mellem punkter og linjer (eller nogle gange i højere dimensioner, hyperplaner ). Ved at definere affine (og projektive) geometrier som konfigurationer af punkter og linjer (eller hyperplaner) i stedet for at bruge koordinater, får man eksempler uden koordinatfelter. En vigtig egenskab er, at alle sådanne eksempler har dimension 2. Endelige eksempler i dimension 2 ( endelige affine planer ) har været værdifulde i studiet af konfigurationer i uendelige affine rum, i gruppeteori og i kombinatorik .

På trods af at de var mindre generelle end den konfigurationsmæssige tilgang, har de andre diskuterede tilgange haft stor succes med at belyse de dele af geometri, der er relateret til symmetri .

Projektivt syn

I traditionel geometri betragtes affin geometri som en undersøgelse mellem euklidisk geometri og projektiv geometri . På den ene side er affin geometri euklidisk geometri med kongruens udeladt; på den anden side kan affin geometri opnås fra projektiv geometri ved betegnelsen af en bestemt linje eller et plan for at repræsentere punkterne i det uendelige . I affin geometri er der ingen metrisk struktur, men det parallelle postulat holder. Affin geometri danner grundlag for euklidisk struktur, når vinkelrette linjer er defineret, eller grundlaget for Minkowski geometri gennem forestillingen om hyperbolsk ortogonalitet . I dette synspunkt er en affin transformation en projektiv transformation , der ikke permuterer begrænsede punkter med punkter i det uendelige, og affin transformation geometri er studiet af geometriske egenskaber gennem virkningen af gruppen af affine transformationer.

Se også

Ikke-euklidisk geometri

Referencer

Yderligere læsning

Emil Artin (1957) Geometrisk algebra , kapitel 2: "Affin og projektiv geometri" , via internetarkiv
VG Ashkinuse & Isaak Yaglom (1962) Idéer og metoder til affinering og projektiv geometri (på russisk ), Undervisningsministeriet, Moskva.
MK Bennett (1995) Affine and Projective Geometry , John Wiley & Sons ISBN 0-471-11315-8 .
HSM Coxeter (1955) "The Affine Plane", Scripta Mathematica 21: 5–14, et foredrag holdt for Forum for Society of Friends of Scripta Mathematica mandag den 26. april 1954.
Felix Klein (1939) Elementær matematik fra et avanceret synspunkt: Geometri , oversat af ER Hedrick og CA Noble, s. 70–86, Macmillan Company .
Bruce E. Meserve (1955) Fundamental Concepts of Geometry , Chapter 5 Affine Geometry ,, s. 150–84, Addison-Wesley .
Peter Scherk & Rolf Lingenberg (1975) Rudiments of Plane Affine Geometry , Mathematical Expositions #20, University of Toronto Press .
Wanda Szmielew (1984) From Affine to Euclidean Geometry: an axiomatic approach , D. Reidel , ISBN 90-277-1243-3 .
Oswald Veblen (1918) Projective Geometry , bind 2, kapitel 3: Affinergruppe i flyet, s. 70 til 118, Ginn & Company.

eksterne links

Peter Cameron 's Projective og Affine Geometries fra University of London .
Jean H. Gallier (2001). Geometriske metoder og applikationer til datalogi og teknik , kapitel 2: "Basics of Affine Geometry" (PDF), Springer Texts in Applied Mathematics #38, kapitel online fra University of Pennsylvania .

Languages

In other projects