De Rham kohomologi - De Rham cohomology

Vektorfelt svarende til en differentialform på det punkterede plan, der er lukket, men ikke præcist, hvilket viser, at de Rham-kohomologi i dette rum ikke er trivielt.

I matematik er de Rham cohomology (opkaldt efter Georges de Rham ) et værktøj, der tilhører både algebraisk topologi og differential topologi , der er i stand til at udtrykke grundlæggende topologisk information om glatte manifolder i en form, der er specielt tilpasset beregning og den konkrete repræsentation af kohomologi klasser . Det er en kohomologi teori baseret på eksistensen af forskellige former med foreskrevne egenskaber.

Hver nøjagtig form er lukket, men det omvendte er ikke nødvendigvis sandt. På den anden side er der en sammenhæng mellem fejl i nøjagtigheden og eksistensen af ​​"huller". De Rham -kohomologigrupper er et sæt invarianter af glatte manifolder, der gør ovennævnte relation kvantitativ, og vil blive diskuteret i denne artikel.

Integrationen på former -konceptet er af grundlæggende betydning inden for differential topologi, geometri og fysik og giver også et af de vigtigste eksempler på kohomologi , nemlig de Rham -kohomologi , der (groft sagt) måler præcist i hvilket omfang grundsætningen om calculus fejler i højere dimensioner og på generelle manifolder.
-  Terence Tao , differentielle former og integration

Definition

De Rham -komplekset er cochain -komplekset af differentiale former på en glat manifold M , med det ydre derivat som differentialet:

${\ displaystyle 0 \ to \ Omega ^{0} (M) \ {\ stackrel {d} {\ to}} \ \ Omega ^{1} (M) \ {\ stackrel {d} {\ to}} \ \ Omega ^{2} (M) \ {\ stackrel {d} {\ to}} \ \ Omega ^{3} (M) \ til \ cdots,}$

hvor Ω ⁰ ( M ) er rummet for glatte funktioner på M , Ω ¹ ( M ) er rummet med 1 -former osv. Former, der er billedet af andre former under det ydre derivat plus den konstante 0 -funktion i Ω ⁰ ( M ) , kaldes nøjagtige og former, hvis udvendige derivat er 0 , kaldes lukkede (se Lukkede og nøjagtige differentialformer ); forholdet d ² = 0 siger derefter, at nøjagtige former lukkes.

I modsætning hertil er lukkede former ikke nødvendigvis nøjagtige. Et illustrativt tilfælde er en cirkel som en manifold, og 1 -formen svarer til afledningen af ​​vinkel fra et referencepunkt i midten, typisk skrevet som dθ (beskrevet ved lukkede og nøjagtige differentialformer ). Der er ingen funktion θ defineret på hele cirklen, således at dθ er dens derivat; stigningen på 2 π i at gå en gang rundt i cirklen i den positive retning indebærer en funktion med flere værdier θ . Fjernelse af et punkt i cirklen undgår dette, samtidig med at manifolens topologi ændres.

Ideen bag de Rham cohomology er at definere ækvivalensklasser af lukkede former på en manifold. Man klassificerer to lukkede former α , β ∈ Ω ^k ( M ) som kohomolog, hvis de adskiller sig med en nøjagtig form, det vil sige, hvis α - β er nøjagtig. Denne klassificering inducerer en ækvivalensrelation på rummet af lukkede former i Ω ^k ( M ) . Man definerer derefter k -th de Rham -kohomologigruppen til at være sættet med ækvivalensklasser, det vil sige sættet af lukkede former i Ω ^k ( M ) modulo de nøjagtige former. ${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}}^{k} (M)}$

Bemærk, at for enhver manifold M sammensat af m frakoblede komponenter, som hver især er forbundet , har vi det

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}} ^{0} (M) \ cong \ mathbb {R} ^{m}.}$

Dette følger af, at enhver glat funktion M med nul derivat overalt er separat konstant på hvert af de tilsluttede komponenter af M .

De Rham cohomology beregnet

Man kan ofte finde de generelle de Rham -kohomologier for en manifold ved hjælp af ovenstående kendsgerning om nulkohomologien og en Mayer – Vietoris -sekvens . En anden nyttig kendsgerning er, at de Rham -kohomologien er en homotopi -invariant. Selvom beregningen ikke er givet, er følgende de beregnede de Rham -kohomologier for nogle almindelige topologiske objekter:

Den n -sphere

For n -sphere , og også når de tages sammen med et produkt af åbne intervaller, har vi følgende. Lad n > 0, m ≥ 0 , og jeg være et åbent reelt interval. Derefter ${\ displaystyle S^{n}}$

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}}^{k} (S^{n} \ gange I^{m}) \ simeq {\ begin {cases} \ mathbb {R} & k = 0 {\ text {eller }} k = n, \\ 0 & k \ neq 0 {\ text {og}} k \ neq n. \ end {cases}}}$

Den n -torus

Den -torus er det kartesiske produkt: . På samme måde, tillader vi her, opnår vi ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle T^{n} = \ underbrace {S^{1} \ times \ cdots \ times S^{1}} _ {n}}$${\ displaystyle n \ geq 1}$

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}}^{k} (T^{n}) \ simeq \ mathbb {R}^{n \ vælg k}.}$

Vi kan også finde eksplicitte generatorer til torus de Rham -kohomologi direkte ved hjælp af differentielle former. I betragtning af en kvotemanifold og en differentialform kan vi sige, at den er -variant, hvis den får en diffeomorfisme forårsaget af , vi har . Især tilbagetrækningen af ​​enhver form på er -variant. Tilbagetrækningen er også en injektiv morfisme. I vores tilfælde af de forskellige former er -variant siden . Men bemærk, at for ikke er en invariant -form. Dette med injektivitet indebærer det ${\ displaystyle \ pi: X \ til X/G}$${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega ^{k} (X)}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ cdot g: X \ til X}$${\ displaystyle (\ cdot g)^{*} (\ omega) = \ omega}$${\ displaystyle X/G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}/\ mathbb {Z} ^{n}}$${\ displaystyle dx_ {i}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^{n}}$${\ displaystyle d (x_ {i}+k) = dx_ {i}}$${\ displaystyle x_ {i}+\ alpha}$${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 0}$

${\ displaystyle [dx_ {i}] \ i H_ {dR}^{1} (T^{n})}$

Da kohomologiringen til en torus genereres af , tager de udvendige produkter af disse former alle de eksplicitte repræsentanter for de Rham -kohomologien for en torus. ${\ displaystyle H^{1}}$

Punkteret euklidisk rum

Punkteret euklidisk rum er ganske enkelt med oprindelsen fjernet. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

${\ displaystyle H _ {\ text {dR}} ^{k} (\ mathbb {R} ^{n} \ setminus \ {0 \}) \ cong {\ begin {cases} \ mathbb {R} ^{2} & n = 1, k = 0 \\\ mathbb {R} & n> 1, k = 0, n-1 \\ 0 & {\ text {ellers}} \ slut {cases}}.}$

Möbius -strimlen

Vi kan udlede af det faktum, at Möbius -strimlen , M , kan deformeres tilbagetrukket til 1 -kuglen (dvs. den virkelige enhedscirkel), at:

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}}^{k} (M) \ simeq H _ {\ mathrm {dR}}^{k} (S^{1}).}$

De Rham's sætning

Stokes' sætning er et udtryk for dobbelthed mellem de Rham kohomologi og homologi af kæder . Det siger, at sammenkoblingen af ​​forskellige former og kæder, via integration, giver en homomorfisme fra de Rham -kohomologi til entydige kohomologigrupper De Rham's sætning , bevist af Georges de Rham i 1931, siger, at for et glat mangfoldigt M er dette kort faktisk en isomorfisme . ${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}}^{k} (M)}$ ${\ displaystyle H^{k} (M; \ mathbb {R}).}$

Overvej mere præcist kortet

${\ displaystyle I: H _ {\ mathrm {dR}}^{p} (M) \ til H^{p} (M; \ mathbb {R}),}$

defineret som følger: lad I ( ω ) være elementet i det, der fungerer som følger: ${\ displaystyle [\ omega] \ i H _ {\ mathrm {dR}}^{p} (M)}$${\ displaystyle {\ text {Hom}} (H_ {p} (M), \ mathbb {R}) \ simeq H^{p} (M; \ mathbb {R})}$

${\ displaystyle H_ {p} (M) \ ni [c] \ longmapsto \ int _ {c} \ omega.}$

Sætningen om de Rham hævder, at dette er en isomorfisme mellem de Rham -kohomologi og ental kohomologi.

Det udvendige produkt giver den direkte sum af disse grupper en ringstruktur . Et yderligere resultat af sætningen er, at de to cohomology ringene er isomorfe (som graduerede ringe ), hvor den analoge produktet på ental cohomology er koppen produkt .

Skuffeteoretisk de Rham-isomorfisme

De Rham -kohomologien er isomorf i forhold til Čech -kohomologien , hvor er arv af abelske grupper bestemt af for alle tilsluttede åbne sæt , og for åbne sæt, således at gruppemorfismen er givet af identitetskortet på, og hvor er et godt åbent omslag af (dvs. alle de åbne sæt i det åbne dæksel er kontraktible til et punkt, og alle endelige skæringspunkter for sæt i er enten tomme eller sammentrykkelige til et punkt). Med andre ord er den konstante skære, der er givet ved opdeling af den konstante presheaf -tildeling . ${\ displaystyle H^{*} ({\ mathcal {U}}, F)}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F (U) = \ mathbb {R}}$${\ displaystyle U \ delsæt M}$${\ displaystyle U, V}$${\ displaystyle U \ delsæt V}$${\ displaystyle {\ text {res}} _ {V, U}: {\ understregning {\ mathbb {R}}} (V) \ til {\ understregning {\ mathbb {R}}} (U)}$${\ displaystyle \ mathbb {R},}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F (U) = \ mathbb {R}}$

Sagt på en anden måde, hvis der er en kompakt C ^{m +1} manifold af dimension , så er der for hver en isomorfisme ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle k \ leq m}$

${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}}^{k} (M) \ cong {\ check {H}}^{k} (M, {\ understregning {\ mathbb {R}}}))}$

hvor venstre side er den -th de Rham-kohomologigruppe, og den højre side er Čech-kohomologien for det konstante skib med fiber${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$

Bevis

Lad betegne neg af bakterier af -formerne på (med den neg af funktioner på ). Ved Poincaré -lemmaet er følgende sekvens af skiver nøjagtig (i kategorien skiver): ${\ displaystyle \ Omega ^{k}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ Omega ^{0}}$${\ displaystyle C^{m+1}}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle 0 \ til {\ understregning {\ mathbb {R}}} \ til \ Omega ^{0} \, \ xrightarrow {d} \, \ Omega ^{1} \, \ xrightarrow {d} \, \ Omega ^{2} \, \ xrightarrow {d} \ dots \ xrightarrow {d} \, \ Omega ^{m} \ til 0.}$

Denne sekvens opdeles nu i korte nøjagtige sekvenser

${\ displaystyle 0 \ to d \ Omega ^{k-1} \, {\ xrightarrow {\ subset}} \, \ Omega ^{k} \, {\ xrightarrow {d}} \, d \ Omega ^{k } \ til 0.}$

Hver af disse fremkalder en lang nøjagtig sekvens inden for kohomologi. Da funktionsskiven på en mangfoldighed indrømmer enhedens skillevægge , forsvinder skov-kohomologien for . Så de lange eksakte kohomologisekvenser selv i sidste ende adskilles i en kæde af isomorfismer. I den ene ende af kæden er Čech -kohomologien, og i den anden ligger de Rham -kohomologien. ${\ displaystyle C^{m+1}}$${\ displaystyle H ^{i} (\ Omega ^{k})}$${\ displaystyle i> 0}$

Relaterede ideer

De Rham -kohomologien har inspireret mange matematiske ideer, herunder Dolbeault -kohomologi , Hodge -teori og Atiyah -Singer -indekssetningen . Selv i mere klassiske sammenhænge har sætningen imidlertid inspireret til en række udviklinger. For det første beviser Hodge -teorien , at der er en isomorfisme mellem kohomologien, der består af harmoniske former og de Rham -kohomologien, der består af lukkede former, modulo eksakte former. Dette bygger på en passende definition af harmoniske former og af Hodge -sætningen. For yderligere detaljer se Hodge teori .

Harmoniske former

Hvis M er en kompakt Riemannian manifold , indeholder hver ækvivalensklasse i nøjagtigt en harmonisk form . Det vil sige, at hvert medlem af en given ækvivalensklasse af lukkede former kan skrives som ${\ displaystyle H _ {\ mathrm {dR}}^{k} (M)}$${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle \ omega = \ alpha +\ gamma}$

hvor er nøjagtig og er harmonisk: . ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ Delta \ gamma = 0}$

Enhver harmonisk funktion på et kompakt forbundet Riemannian manifold er en konstant. Således kan dette særlige repræsentative element forstås at være et ekstremum (et minimum) af alle kohomologisk ækvivalente former på manifolden. For eksempel på en 2 - torus , kan man forestille sig en konstant 1 -formen som en, hvor alle de "hår" er kæmmet pænt i samme retning (og alle de "hår" har samme længde). I dette tilfælde er der to kohomologisk adskilte kæmninger; alle de andre er lineære kombinationer. Dette indebærer især, at det første Betti -nummer på en 2 -torus er to. Mere generelt kan man på en -dimensionel torus overveje de forskellige kæmninger af -former på torus. Der vælges sådanne kæmninger, der kan bruges til at danne basisvektorerne for ; det -te Betti -nummer for de Rham -kohomologigruppen for -torus vælges således . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle T^{n}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle H _ {\ tekst {dR}}^{k} (T^{n})}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle k}$

Mere præcist, for et differentialmanifold M , kan man udstyre det med nogle hjælpemetoder fra Riemann . Derefter defineres Laplacian af ${\ displaystyle \ Delta}$

${\ displaystyle \ Delta = d \ delta +\ delta d}$

med den ydre derivat og den codifferential . Laplacian er en homogen (i gradering ) lineær differentialoperator, der virker på den ydre algebra af differentielle former : vi kan se på dens virkning på hver komponent af grad separat. ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle k}$

Hvis den er kompakt og orienteret , er dimensionen af Laplacian -kernen, der virker på k -formers rum, derefter (ved Hodge -teorien ) den for de Rham -kohomologigruppen i grad : Laplacian vælger en unik harmonisk form i hver kohomologi klasse af lukkede former . Især er rummet for alle harmoniske -former på isomorft til Dimensionen for hvert sådant rum er begrænset og angives med det -te Betti -tal . ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle H^{k} (M; \ mathbb {R}).}$${\ displaystyle k}$

Hodge nedbrydning

Lad være en kompakt orienteret Riemannian manifold . De Hodge nedbrydningsprodukter bestemmer, at enhver -formen på entydigt deler sig summen af tre L ² komponenter: ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle \ omega = \ alpha +\ beta +\ gamma,}$

hvor er præcis, er co-eksakt og er harmonisk. ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ gamma}$

Man siger, at en form er co-lukket, hvis og co-eksakt hvis en eller anden form, og at er harmonisk, hvis den Laplace er nul, . Dette følger ved at bemærke, at nøjagtige og co-eksakte former er ortogonale; det ortogonale komplement består derefter af former, der er både lukkede og samlukkede: det vil sige af harmoniske former. Her defineres ortogonalitet med hensyn til L ² indre produkt på : ${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ delta \ beta = 0}$${\ displaystyle \ beta = \ delta \ eta}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ Delta \ gamma = 0}$${\ displaystyle \ Omega ^{k} (M)}$

${\ displaystyle (\ alpha, \ beta) = \ int _ {M} \ alpha \ wedge {\ star \ beta}.}$

Ved brug af Sobolev -mellemrum eller fordelinger kan nedbrydningen f.eks. Udvides til et komplet (orienteret eller ej) Riemannian -manifold.

Se også

• Hodge teori
• Integration langs fibre (for de Rham cohomology er pushforward givet ved integration )

Citater

Referencer

eksterne links

• Idé med De Rham Cohomology in Mathifold Project
• "De Rham cohomology" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]