Algebraisk K -teori -Algebraic K-theory

Algebraisk K -teori er et fagområde i matematik med forbindelser til geometri , topologi , ringteori og talteori . Geometriske, algebraiske og aritmetiske objekter tildeles objekter kaldet K -grupper. Disse er grupper i betydningen abstrakt algebra . De indeholder detaljerede oplysninger om det originale objekt, men er notorisk vanskelige at beregne; for eksempel er et vigtigt udestående problem at beregne K -grupperne af heltalene .

K -teori blev opfundet i slutningen af ​​1950'erne af Alexander Grothendieck i sin undersøgelse af skæringsteori om algebraiske sorter . I det moderne sprog definerede Grothendieck kun K ₀ , _nul K -gruppen, men selv denne enkelt gruppe har masser af applikationer, såsom Grothendieck – Riemann – Roch -sætningen . Krydsningsteori er stadig en motiverende kraft i udviklingen af ​​(højere) algebraisk K -teori gennem dets forbindelser med motivisk kohomologi og specifikt Chow -grupper . Emnet omfatter også klassiske talteoretiske emner som kvadratisk gensidighed og indlejring af talfelter i de reelle tal og komplekse tal samt mere moderne bekymringer som konstruktion af højere regulatorer og særlige værdier af L -funktioner .

De lavere K -grupper blev først opdaget i den forstand, at der blev fundet tilstrækkelige beskrivelser af disse grupper med hensyn til andre algebraiske strukturer. For eksempel, hvis F er et felt , så er K ₀ ( F ) isomorf i forhold til heltalene Z og er tæt forbundet med forestillingen om vektorrumdimension . For en kommutativ ring R er gruppen K ₀ ( R ) relateret til Picard -gruppen af R , og når R er ringen af ​​heltal i et talfelt, generaliserer dette den klassiske konstruktion af klassegruppen . Gruppen K ₁ ( R ) er tæt forbundet med gruppen af ​​enheder R ^× , og hvis R er et felt, er det præcis gruppen af ​​enheder. For et talfelt F er gruppen K ₂ ( F ) relateret til klassefeltteori , Hilbert -symbolet og kvadratiske ligningers opløselighed over fuldførelser. I modsætning hertil var at finde den korrekte definition af de højere K -grupper af ringe en vanskelig bedrift for Daniel Quillen , og mange af de grundlæggende fakta om de højere K -grupper af algebraiske sorter var ikke kendt før Robert Thomasons arbejde .

Historie

K -teoriens historie blev detaljeret af Charles Weibel .

Grothendieck -gruppen K ₀

I 1800 -tallet beviste Bernhard Riemann og hans elev Gustav Roch , hvad der nu er kendt som Riemann – Roch -sætningen . Hvis X er en Riemann -overflade, danner sæt af meromorfe funktioner og meromorfe differentialformer på X vektorrum. Et linjebundt på X bestemmer delrum af disse vektorrum, og hvis X er projektiv, er disse underrum endelige dimensionelle. Riemann – Roch -sætningen fastslår, at forskellen i dimensioner mellem disse underrum er lig med graden af ​​linjebundtet (et mål for snoethed) plus en minus X -slægten . I midten af ​​det 20. århundrede blev Riemann – Roch-sætningen generaliseret af Friedrich Hirzebruch til alle algebraiske sorter. I Hirzebruchs formulering, Hirzebruch – Riemann – Roch -sætningen , blev sætningen en erklæring om Euler -egenskaber : Euler -karakteristikken for et vektorbundt på en algebraisk variant (som er den vekslende sum af dimensionerne i dens kohomologigrupper) er lig med Euler -karakteristikken af det trivielle bundt plus en korrektionsfaktor, der kommer fra karakteristiske klasser af vektorbundtet. Dette er en generalisering, fordi på en projekterende Riemann -overflade er Euler -karakteristikken for et linjebundt lig med forskellen i dimensioner, der er nævnt tidligere, Euler -karakteristikken for det trivielle bundt er et minus slægten, og den eneste ikke -trivielle karakteristiske klasse er graden.

Emnet K -teori har sit navn fra en konstruktion af Alexander Grothendieck fra 1957, der optrådte i sætningen Grothendieck – Riemann – Roch , hans generalisering af Hirzebruchs sætning. Lad X være en jævn algebraisk variant. Til hvert vektorbundt på X knytter Grothendieck en invariant, dens klasse . Sættet af alle klasser på X blev kaldt K ( X ) fra den tyske Klasse . Per definition er K ( X ) en kvotient af den frie abelske gruppe om isomorfiske klasser af vektorgrupper på X , og det er derfor en abelsk gruppe. Hvis basiselementet, der svarer til et vektorgruppe V, er betegnet [ V ], for hver kort nøjagtig sekvens af vektorbundter:

${\ displaystyle 0 \ to V '\ to V \ to V' '\ to 0,}$

Grothendieck pålagde forholdet [ V ] = [ V ′ ] + [ V ″ ] . Disse generatorer og relationer definerer K ( X ), og de antyder, at det er den universelle måde at tildele invarianter til vektorbundter på en måde, der er kompatibel med nøjagtige sekvenser.

Grothendieck tog det perspektiv, at Riemann – Roch -sætningen er en erklæring om morfismer af sorter, ikke sorterne selv. Han viste sig, at der er en homomorfi fra K ( X ) til Chow grupper af X , der kommer fra den Chern karakter og Todd klasse af X . Derudover beviste han, at en ordentlig morfisme f  : X → Y til en jævn variation Y bestemmer en homomorfisme f*  : K ( X ) → K ( Y ) kaldet pushforward . Dette giver to måder at bestemme et element i Chow -gruppen af Y fra et vektorgruppe på X : Fra X kan man først beregne pushforward i K -teori og derefter anvende Chern -tegnet og Todd -klassen Y , eller man kan anvend først Chern -tegnet og Todd -klassen på X, og bereg derefter pushforward for Chow -grupper. Sætningen Grothendieck – Riemann – Roch siger, at disse er ens. Når Y er et punkt, er et vektorbundt et vektorrum, klassen af ​​et vektorrum er dets dimension, og Grothendieck – Riemann – Roch -sætningen er specialiseret i Hirzebruchs sætning.

Gruppen K ( X ) er nu kendt som K ₀ ( X ). Ved udskiftning af vektorbundter med projektive moduler blev K ₀ også defineret for ikke-kommutative ringe, hvor det havde applikationer til at gruppere repræsentationer . Atiyah og Hirzebruch transporterede hurtigt Grothendiecks konstruktion til topologi og brugte det til at definere topologisk K-teori . Topologisk K -teori var et af de første eksempler på en ekstraordinær kohomologi -teori : Den forbinder hvert topologiske rum X (opfylder nogle milde tekniske begrænsninger) en sekvens af grupper K _n ( X ), der tilfredsstiller alle Eilenberg – Steenrod -aksiomer undtagen normaliseringen aksiom. Indstillingen af ​​algebraiske sorter er imidlertid meget mere stiv, og de fleksible konstruktioner, der blev brugt i topologi, var ikke tilgængelige. Mens gruppen K ₀ syntes at tilfredsstille de nødvendige egenskaber for at være begyndelsen på en kohomologi teori om algebraiske sorter og ikke-kommutative ringe, var der ingen klar definition af den højere K _n ( X ). Selvom sådanne definitioner blev udviklet, tvang tekniske spørgsmål omkring begrænsning og limning normalt K _n til kun at blive defineret for ringe, ikke for sorter.

K ₀ , K ₁ og K ₂

Selvom det ikke oprindeligt var kendt, var en gruppe relateret til K ₁ allerede blevet introduceret i en anden kontekst. Henri Poincaré havde forsøgt at definere Betti -numrene på en manifold i form af en triangulering. Hans metoder havde imidlertid et alvorligt hul: Poincaré kunne ikke bevise, at to trianguleringer af en manifold altid gav de samme Betti -tal. Det var klart rigtigt, at Betti -tallene var uændrede ved at opdele trianguleringen, og derfor var det klart, at alle to trianguleringer, der delte en fælles underopdeling, havde de samme Betti -tal. Hvad man ikke vidste var, at to trianguleringer indrømmede en fælles underopdeling. Denne hypotese blev en formodning kendt som Hauptvermutung (nogenlunde "hovedformodning"). Det faktum, at trianguleringer var stabile under underopdeling, førte til, at JHC Whitehead introducerede forestillingen om simpel homotopitype . En simpel homotopi ækvivalens er defineret i form af at tilføje simple eller celler til et enkelt kompleks eller cellekompleks på en sådan måde, at hver yderligere simplex eller celledeformation trækker sig tilbage til en underopdeling af det gamle rum. En del af motivationen for denne definition er, at en underopdeling af en triangulering er simpel homotopi svarende til den oprindelige triangulering, og derfor skal to trianguleringer, der deler en fælles underopdeling, være simple homotopieækvivalenter. Whitehead beviste, at simpel homotopiækvivalens er en finere invariant end homotopiækvivalens ved at indføre en invariant kaldet torsion . Torsionen af ​​en homotopiækvivalens tager værdier i en gruppe, der nu kaldes Whitehead -gruppen og betegnes Wh ( π ), hvor π er den grundlæggende gruppe af de to komplekser. Whitehead fandt eksempler på ikke-triviel torsion og beviste derved, at nogle homotopiske ækvivalenser ikke var enkle. Whitehead -gruppen blev senere opdaget at være en kvotient af K ₁ ( Z π ), hvor Z π er den integrerede gruppering af π . Senere brugte John Milnor Reidemeister torsion , en invariant relateret til Whitehead torsion, til at modbevise Hauptvermutung.

Den første tilstrækkelige definition af K ₁ af en ring blev foretaget af Hyman Bass og Stephen Schanuel . I topologisk K -teori er K ₁ defineret ved hjælp af vektorbundter på en suspension af rummet. Alle sådanne vektorbundter kommer fra koblingskonstruktionen , hvor to trivielle vektorbundter på to halvdele af et rum limes langs en fælles strimmel af rummet. Disse limningsdata udtrykkes ved hjælp af den generelle lineære gruppe , men elementer i den gruppe, der kommer fra elementære matricer (matricer svarende til elementære række- eller søjleoperationer) definerer ækvivalente limninger. Motiveret af dette, Bass-Schanuel definition af K ₁ af en ring R er GL ( R ) / E ( R ) , hvor GL ( R ) er den uendelige generelle lineære gruppe (foreningen af alle GL _n ( R )), og E ( R ) er undergruppen af ​​elementære matricer. De gav også en definition af K ₀ af en homomorfi ring og bevist, at K ₀ og K ₁ kunne passe sammen i en eksakt sekvens svarende til den relative homologi nøjagtige sekvens.

Arbejde i K -teori fra denne periode kulminerede i Bass 'bog Algebraic K -theory . Ud over at give en sammenhængende redegørelse for de så kendte resultater, forbedrede Bass mange af sætningerne i sætningerne. Af særlig opmærksomhed er, at Bass, der bygger på sit tidligere arbejde med Murthy, gav det første bevis på, hvad der nu er kendt som grundsætningen om algebraisk K -teori . Dette er en eksakt sekvens på fire termer, der vedrører K ₀ af en ring R til K ₁ af R , polynomringen R [ t ] og lokaliseringen R [ t , t ⁻¹ ]. Bass erkendte, at denne sætning gav en beskrivelse af K ₀ fuldstændigt i form af K ₁ . Ved at anvende denne beskrivelse rekursivt producerede han negative K -grupper K _−n ( R ). I uafhængigt arbejde gav Max Karoubi en anden definition af negative K -grupper for bestemte kategorier og beviste, at hans definitioner gav de samme grupper som Bass.

Den næste store udvikling i emnet kom med definitionen af K ₂ . Steinberg studerede de universelle centrale udvidelser af en Chevalley -gruppe over et felt og gav en eksplicit præsentation af denne gruppe med hensyn til generatorer og relationer. I tilfælde af gruppen E _n ( k ) af elementære matricer er den universelle centrale udvidelse nu skrevet St _n ( k ) og kaldet Steinberg -gruppen . I foråret 1967 definerede John Milnor K ₂ ( R ) til at være kernen i homomorfismen St ( R ) → E ( R ) . Gruppen K ₂ udvidede yderligere nogle af de nøjagtige sekvenser kendt for K ₁ og K ₀ , og den havde slående anvendelser til talteori. Hideya Matsumotos afhandling fra 1968 viste, at for et felt F var K ₂ ( F ) isomorf for:

${\ displaystyle F^{\ times} \ otimes _ {\ mathbf {Z}} F^{\ times}/\ langle x \ otimes (1-x) \ kolon x \ i F \ setminus \ {0,1 \ } \ rangle.}$

Denne relation opfyldes også af Hilbert -symbolet , der udtrykker kvadratiske ligningers opløselighed over lokale felter . Især John Tate var i stand til at bevise, at K ₂ ( Q ) i det væsentlige er struktureret omkring loven om kvadratisk gensidighed .

Højere K -grupper

I slutningen af ​​1960'erne og begyndelsen af ​​1970'erne blev flere definitioner af højere K -teori foreslået. Swan og Gersten producerede begge definitioner af K _n for alle n , og Gersten beviste, at hans og Svanens teorier var ækvivalente, men de to teorier var ikke kendt for at tilfredsstille alle de forventede egenskaber. Nobile og Villamayor foreslog også en definition af højere K -grupper. Karoubi og Villamayor definerede velopdragen K -grupper for alle n , men deres ækvivalent med K ₁ var undertiden en ordentlig kvotient af Bass – Schanuel K ₁ . Deres K -grupper kaldes nu KV _n og er relateret til homotopi -invariante modifikationer af K -teori.

Delvist inspireret af Matsumotos sætning lavede Milnor en definition af de højere K -grupper i et felt. Han omtalte sin definition som "rent ad hoc ", og det syntes hverken at generalisere til alle ringe, eller det syntes at være den korrekte definition af den højere K -teori om felter. Langt senere blev det opdaget af Nesterenko og Suslin og af Totaro, at Milnor K -teori faktisk er en direkte opsummering af den sande K -teori om feltet. Specifikt K -grupper har en filtrering kaldes vægt filtrering , og Milnor K -theory af et felt er den højeste vægt-graded stykke af K -theory. Derudover opdagede Thomason, at der ikke er nogen analog af Milnor K -teori for en generel sort.

Den første definition af højere K -teori, der blev bredt accepteret, var Daniel Quillens . Som en del af Quillens arbejde med Adams -formodningen i topologi havde han konstrueret kort fra klassificeringsrummene BGL ( F _q ) til homotopifibrene i ψ ^q - 1 , hvor ψ ^q er q th Adams -operationen, der virker på klassificeringsrummet BU . Dette kort er acyklisk, og efter at have ændret BGL ( F _q ) lidt for at producere et nyt mellemrum BGL ( F _q ) ⁺ , blev kortet en homotopiækvivalens. Denne ændring blev kaldt pluskonstruktionen . Adams -operationerne havde været kendt for at være relateret til Chern -klasser og til K -teori siden Grothendiecks arbejde, og derfor blev Quillen ført til at definere K -teorien for R som homotopigrupperne i BGL ( R ) ⁺ . Dette genoprettede ikke kun K ₁ og K ₂ , forholdet mellem K -teori og Adams -operationerne gjorde det muligt for Quillen at beregne K -grupper af begrænsede felter.

Klassificeringsrummet BGL er forbundet, så Quillens definition kunne ikke give den korrekte værdi for K ₀ . Derudover gav det ingen negative K -grupper. Da K ₀ havde en kendt og accepteret definition, var det muligt at omgå denne vanskelighed, men den forblev teknisk akavet. Konceptuelt var problemet, at definitionen kom fra GL , som klassisk var kilden til K ₁ . Fordi GL kun ved om limning af vektorbundter, ikke om selve vektorbundterne, var det umuligt for ham at beskrive K ₀ .

Inspireret af samtaler med Quillen introducerede Segal snart en anden tilgang til konstruktion af algebraisk K -teori under navnet Γ -objekter. Segals tilgang er en homotopianalog af Grothendiecks konstruktion af K ₀ . Hvor Grothendieck arbejdede med isomorfiske klasser af bundter, arbejdede Segal med bundterne selv og brugte isomorfier af bundterne som en del af sine data. Dette resulterer i et spektrum, hvis homotopigrupper er de højere K -grupper (inklusive K ₀ ). Segals tilgang var imidlertid kun i stand til at pålægge relationer for split eksakte sekvenser, ikke generelle eksakte sekvenser. I kategorien projektive moduler over en ring deler hver kort nøjagtig sekvens sig, og derfor kunne Γ -objekter bruges til at definere K -teorien om en ring. Der er imidlertid ikke-opdelte korte nøjagtige sekvenser i kategorien vektorgrupper på en sort og i kategorien af ​​alle moduler over en ring, så Segals tilgang gjaldt ikke for alle tilfælde af interesse.

I foråret 1972 fandt Quillen en anden tilgang til konstruktionen af ​​højere K -teori, som skulle vise sig enormt vellykket. Denne nye definition begyndte med en nøjagtig kategori , en kategori, der opfylder visse formelle egenskaber, der ligner, men lidt svagere end, de egenskaber, der opfyldes af en kategori moduler eller vektorgrupper. Herfra konstruerede han en hjælpekategori ved hjælp af en ny enhed kaldet hans " Q -konstruktion ". Ligesom Segals Γ -objekter har Q -konstruktionen sine rødder i Grothendiecks definition af K ₀ . I modsætning til Grothendiecks definition, bygger Q -konstruktionen imidlertid en kategori, ikke en abelsk gruppe, og i modsætning til Segals Γ -objekter fungerer Q -konstruktionen direkte med korte nøjagtige sekvenser. Hvis C er en abelsk kategori, så QC er en kategori med de samme objekter som C , men hvis morfier er defineret i form af korte eksakte sekvenser i C . The K -grupper af den nøjagtige kategori er de homotopigrupper af Ω BQC , det loop plads af den geometriske realisering (idet løkken rum korrigerer indekseringen). Quillen beviste desuden sin " + = Q sætning", at hans to definitioner af K -teori var enige med hinanden. Dette gav den korrekte K ₀ og førte til enklere beviser, men gav stadig ingen negative K -grupper.

Alle abelske kategorier er nøjagtige kategorier, men ikke alle nøjagtige kategorier er abelske. Fordi Quillen var i stand til at arbejde i denne mere generelle situation, kunne han bruge nøjagtige kategorier som redskaber i sine beviser. Denne teknik tillod ham at bevise mange af de grundlæggende sætninger i algebraisk K -teori. Derudover var det muligt at bevise, at de tidligere definitioner af Swan og Gersten svarede til Quillens under visse betingelser.

K -teori syntes nu at være en homologi teori for ringe og en kohomologi teori for sorter. Mange af dens grundlæggende sætninger bar imidlertid hypotesen om, at den pågældende ring eller sort var regelmæssig. Et af de grundlæggende forventede forbindelser var en lang nøjagtige sekvens (kaldet "lokaliseringssekvens"), som relaterer K -theory af en sort X og en åben delmængde U . Quillen var ikke i stand til at bevise eksistensen af ​​lokaliseringssekvensen i fuld generalitet. Han var imidlertid i stand til at bevise dens eksistens for en beslægtet teori kaldet G -teori (eller undertiden K ′ -teori). G -teori var blevet defineret tidligt i udviklingen af ​​emnet af Grothendieck. Grothendieck definerede G ₀ ( X ) for en sort X til at være den frie abelske gruppe på isomorfiske klasser af kohærente skiver på X , modulorelationer, der stammer fra nøjagtige sekvenser af sammenhængende skiver. I den kategoriske ramme, der blev vedtaget af senere forfattere, er K -teorien om en sort K -teorien for dens kategori af vektorbundter, mens dens G -teori er K -teorien for dens kategori af sammenhængende skiver. Ikke alene kunne Quillen bevise eksistensen af ​​en lokaliseringsnøjagtig sekvens for G -teori, han kunne bevise, at for en almindelig ring eller sort var K -teori lig med G -teori, og derfor havde K -teori for almindelige sorter en lokaliseringsnøjagtig sekvens. Da denne sekvens var grundlæggende for mange af faktaerne i emnet, gennemgik regelmæssighedshypoteser tidligt arbejde med højere K -teori.

Anvendelser af algebraisk K -teori i topologi

Den tidligste anvendelse af algebraisk K -teori til topologi var Whiteheads konstruktion af Whitehead -vridning. En nært beslægtet konstruktion blev fundet af CTC Wall i 1963. Wall fandt ud af, at et rum π domineret af et begrænset kompleks har en generaliseret Euler -karakteristik, der tager værdier i en kvot på K ₀ ( Z π ), hvor π er rummets grundlæggende gruppe . Denne invariant kaldes Wall's endelige obstruktion, fordi X er homotopi svarende til et begrænset kompleks, hvis og kun hvis invarianten forsvinder. Laurent Siebenmann fandt i sin afhandling en invariant, der ligner Walls, der forhindrer en åben manifold i det indre af en kompakt manifold med grænse. Hvis to manifolder med grænsen M og N har isomorfe interiør (i TOP, PL, eller DIFF som passende), derefter isomorfi mellem dem definerer et h -cobordism mellem M og N .

Whitehead -torsion blev til sidst genfortolket på en mere direkte K -teoretisk måde. Denne nyfortolkning skete gennem studiet af h -kobordismer . To n -dimensionale manifolder M og N er h -koordinante, hvis der eksisterer en ( n + 1) -dimensionel manifold med grænse W, hvis grænse er den uensartede forening af M og N, og for hvilke inklusionerne af M og N i W er homotopi ækvivalenser (i kategorierne TOP, PL eller DIFF). Stephen Smale 's h -cobordism teorem hævdet, at hvis n ≥ 5 , W er kompakt, og M , N , og W er simpelthen forbundet, så W er isomorf til cylinderen M × [0, 1] (i TOP, PL, eller DIFF efter behov). Denne sætning beviste Poincaré -formodningen for n ≥ 5 .

Hvis det ikke antages, at M og N blot er forbundet, behøver en h -kordisme ikke at være en cylinder. Den s -cobordism sætning, på grund uafhængigt til Mazur, Stallings, og Barden, forklarer den generelle situation: Et h -cobordism er en cylinder, hvis og kun hvis Whitehead vridning af optagelse M ⊂ W Vanishes. Dette generaliserer h -kobordismens sætning, fordi de simple sammenhængshypoteser indebærer, at den relevante Whitehead -gruppe er triviel. Faktisk indebærer s -kobordisme -sætningen, at der er en bijektiv korrespondance mellem isomorfisme -klasser af h -kobordismer og elementer i Whitehead -gruppen.

Et oplagt spørgsmål forbundet med eksistensen af h -kobordismer er deres entydighed. Den naturlige forestilling om ækvivalens er isotopi . Jean Cerf beviste, at for simpelthen forbundne glatte manifolder M af dimension mindst 5, er isotopi af h -kobordismer det samme som en svagere forestilling kaldet pseudo -isotopi. Hatcher og Wagoner studerede komponenterne i rummet af pseudo-isotopier og relaterede det til en kvotient af K ₂ ( Z π ).

Den korrekte kontekst for s -kobordismens sætning er klassificeringsrummet for h -kobordismer. Hvis M er en CAT manifold, derefter H ^CAT ( M ) er et rum, der klassificerer bundter af h -cobordisms på M . Den s -cobordism teorem kan omfortolkes som meddelelsen, at sættet af indbyrdes forbundne komponenter i dette rum er Whitehead gruppe af π ₁ ( M ). Dette rum indeholder strengt mere information end Whitehead -gruppen; for eksempel beskriver den forbundne komponent i den trivielle cobordisme de mulige cylindre på M og især er hindringen for det unikke ved en homotopi mellem en manifold og M × [0, 1] . Overvejelse af disse spørgsmål fik Waldhausen til at introducere sin algebraiske K -rumsteori. Den algebraiske K -theory af M er et rum A ( M ), der er defineret således, at det spiller i det væsentlige samme rolle for højere K -grupper som K ₁ ( Z Tr ₁ ( M )) gør for M . Især viste Waldhausen, at der er et kort fra A ( M ) til et mellemrum Wh ( M ), som generaliserer kortet K ₁ ( Z π ₁ ( M )) → Wh ( π ₁ ( M )), og hvis homotopefibre er en homologi teori.

For fuldt ud at udvikle A -teorien gjorde Waldhausen betydelige tekniske fremskridt inden for fundamentet for K -teori. Waldhausen introducerede Waldhausen kategorier , og for en Waldhausen kategori C han indførte en Simpliciel kategori S _⋅ C (den S er for Segal) defineret i form af kæder af cofibrations i C . Dette befriede grundlaget for K -teori fra behovet for at påberåbe analoger af nøjagtige sekvenser.

Algebraisk topologi og algebraisk geometri i algebraisk K -teori

Quillen foreslog hans elev Kenneth Brown , at det kunne være muligt at skabe en teori om neg af spektre , som K -theory ville give et eksempel. Kanten af K -teorispektre ville til hver åben delmængde af en sort forbinde K -teorien om den åbne delmængde. Brown udviklede en sådan teori til sit speciale. Samtidig havde Gersten den samme idé. På en Seattle -konference i efteråret 1972 opdagede de sammen en spektral sekvens, der konvergerede fra kobhomologien af , nakken af K _n -grupper på X , til K -gruppen af ​​det samlede rum. Dette kaldes nu Brown -Gersten spektral sekvens . ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {n}}$

Spencer Bloch , påvirket af Gersten arbejde med neg af K -grupper, bevist, at på en regelmæssig overflade, cohomology gruppe er isomorf til gruppen Chow CH ² ( X ), i codimension 2 cyklusser på X . Inspireret af dette, Gersten formodede, at for en regelmæssig lokal ring R med fraktion felt F , K _n ( R ) injicerer i K _n ( F ) for alle n . Snart beviste Quillen, at dette er sandt, når R indeholder et felt, og ved hjælp af dette beviste han det ${\ displaystyle H^{2} (X, {\ mathcal {K}} _ {2})}$

${\ displaystyle H ^{p} (X, {\ mathcal {K}} _ {p}) \ cong \ operatorname {CH} ^{p} (X)}$

for alle s . Dette er kendt som Blochs formel . Mens der siden er gjort fremskridt med Gerstens formodning, forbliver den generelle sag åben.

Lichtenbaum formodede, at særlige værdier af zeta -funktionen i et talfelt kunne udtrykkes i form af K -grupper af ringen af ​​heltal i feltet. Disse særlige værdier var kendt for at være relateret til den ætale kohomologi af heltalringen. Quillen generaliserede derfor Lichtenbaums formodning og forudsagde eksistensen af ​​en spektral sekvens som Atiyah -Hirzebruch spektral sekvens i topologisk K -teori. Quillen foreslåede spektrale sekvens ville starte fra Etale cohomology af en ring R og, i høje nok grader og efter afslutning på en førsteklasses l invertibel i R , ligger an til l -adic afslutning af K -theory af R . I det tilfælde, der blev undersøgt af Lichtenbaum, ville den spektrale sekvens degenerere og give Lichtenbaum formodninger.

Nødvendigheden af at lokalisere på en førsteklasses l foreslog Browder, at der bør være en variant af K -theory med begrænsede koefficienter. Han introducerede K -teorigrupper K _n ( R ; Z / l Z ), som var Z / l Z -vektorrum, og han fandt en analog af Bott -elementet i topologisk K -teori. Soule brugte denne teori til at konstruere "étale Chern -klasser ", en analog af topologiske Chern -klasser, der tog elementer af algebraisk K -teori til klasser i étale cohomology . I modsætning til algebraisk K -teori er étale cohomology meget beregningsbar, så étale Chern -klasser udgjorde et effektivt værktøj til at opdage eksistensen af ​​elementer i K -teori. William G. Dwyer og Eric Friedlander opfandt derefter en analog af K -teori til den étale topologi kaldet étale K -teori. For sorter defineret over de komplekse tal er étale K -teori isomorf til topologisk K -teori. Desuden indrømmede étale K -teori en spektral sekvens, der ligner den, Quillen formodede. Thomason beviste omkring 1980, at efter at have vendt Bott -elementet, blev algebraisk K -teori med begrænsede koefficienter isomorf til étale K -teori.

I hele 1970'erne og begyndelsen af ​​1980'erne manglede K -teori om enestående sorter stadig tilstrækkelige fundamenter. Selv om man mente, at Quillens K -teori gav de korrekte grupper, var det ikke kendt, at disse grupper havde alle de påtænkte egenskaber. Til dette skulle algebraisk K -teori omformuleres. Dette blev udført af Thomason i en lang monografi, som han krediterede sin døde ven Thomas Trobaugh, som han sagde gav ham en nøgleidé i en drøm. Thomason kombinerede Waldhausens konstruktion af K -teori med grundlaget for skæringsteori beskrevet i bind seks af Grothendiecks Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie . Der blev K ₀ beskrevet i form af komplekser af skiver på algebraiske sorter. Thomason opdagede, at hvis man arbejdede med i afledt kategori af skiver, var der en enkel beskrivelse af, hvornår et kompleks af skiver kunne udvides fra en åben delmængde af en sort til hele sorten. Ved at anvende Waldhausens konstruktion af K -teori på afledte kategorier kunne Thomason bevise, at algebraisk K -teori havde alle de forventede egenskaber ved en kohomologi -teori.

I 1976 opdagede Keith Dennis en helt ny teknik til beregning af K -teori baseret på Hochschild -homologi . Dette var baseret på eksistensen af ​​Dennis -sporkortet , en homomorfisme fra K -teori til Hochschild -homologi. Mens Dennis -sporkortet syntes at være vellykket til beregninger af K -teori med begrænsede koefficienter, var det mindre vellykket for rationelle beregninger. Goodwillie, motiveret af sin "beregning af funktorer", formodede eksistensen af ​​en teori, der var mellemliggende for K -teori og Hochschild -homologi. Han kaldte denne teori for topologisk Hochschild homologi, fordi dens jordring skulle være kuglespektret (betragtes som en ring, hvis operationer kun er defineret op til homotopi). I midten af ​​1980'erne gav Bokstedt en definition af topologisk Hochschild -homologi, der opfyldte næsten alle Goodwillies formodede egenskaber, og dette muliggjorde yderligere beregninger af K -grupper. Bokstedts version af Dennis -sporkortet var en transformation af spektre K → THH . Denne transformation kom fra de faste punkter i en cirkelaktion på THH , hvilket foreslog et forhold til cyklisk homologi . I løbet af at bevise en algebraisk K -teorianalog af Novikov -formodningen introducerede Bokstedt, Hsiang og Madsen topologisk cyklisk homologi, som havde det samme forhold til topologisk Hochschild -homologi, som cyklisk homologi gjorde til Hochschild -homologi. Dennis -sporkortet til topologiske Hochschild -homologifaktorer gennem topologisk cyklisk homologi, hvilket giver et endnu mere detaljeret værktøj til beregninger. I 1996 beviste Dundas, Goodwillie og McCarthy, at topologisk cyklisk homologi i præcis forstand har den samme lokale struktur som algebraisk K -teori, så hvis en beregning i K -teori eller topologisk cyklisk homologi er mulig, så mange andre "i nærheden "beregninger følger.

Lavere K -grupper

De lavere K -grupper blev først opdaget og givet forskellige ad hoc -beskrivelser, som stadig er nyttige. Lad A være en ring hele vejen igennem .

K ₀

Funktoren K ₀ tager en ring A til Grothendieck -gruppen af sættet med isomorfisme -klasser i sine endeligt genererede projektive moduler , der betragtes som en monoid under direkte sum. Enhver ringhomomorfisme A → B giver et kort K ₀ ( A ) → K ₀ ( B ) ved at kortlægge (klassen af) et projektivt A -modul M til M ⊗ _A B , hvilket gør K _{0 til} en kovariant funktor.

Hvis ringen A er kommutativ, kan vi definere en undergruppe af K ₀ ( A ) som sættet

${\ displaystyle {\ tilde {K}} _ {0} \ left (A \ right) = \ bigcap \ limit _ {{\ mathfrak {p}} {\ text {prime ideal of}} A} \ mathrm {Ker } \ dim _ {\ mathfrak {p}},}$

hvor :

${\ displaystyle \ dim _ {\ mathfrak {p}}: K_ {0} \ venstre (A \ højre) \ til \ mathbf {Z}}$

er kortet, der sender alle (klasse a) endelig genereret projektivt A -modul M til rangen af ​​det frie -modul (dette modul er faktisk gratis, da ethvert endeligt genereret projektivt modul over en lokal ring er gratis). Denne undergruppe er kendt som den reducerede nulte K-teori af A . ${\ displaystyle A _ {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle M _ {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ tilde {K}} _ {0} \ venstre (A \ højre)}$

Hvis B er en ring uden et identitetselement, kan vi udvide definitionen af ​​K ₀ som følger. Lad A = B ⊕ Z være forlængelsen af B til en ring med enhed, der opnås ved at tilslutte et identitetselement (0,1). Der er en kort eksakt sekvens B → A → Z og vi definerer K ₀ ( B ) at være kernen af det tilsvarende kort K ₀ ( A ) → K ₀ ( Z ) = Z .

Eksempler

• (Projektive) moduler over et felt k er vektorrum, og K ₀ ( k ) er isomorf til Z , efter dimension .
• Endeligt genererede projektive moduler over en lokal ring A er gratis, og i dette tilfælde er K ₀ ( A ) igen isomorf til Z , efter rang .
• For A a Dedekind domæne , K ₀ ( A ) = Pic ( A ) ⊕ Z , hvor Pic ( A ) er Picard -gruppen af A ,

En algebro-geometrisk variant af denne konstruktion anvendes på kategorien algebraiske sorter ; det associerer med en given algebraisk række X den Grothendieck 's K -gruppe af kategorien af lokalt frie neg (eller sammenhængende neg) på X . Givet en kompakt topologisk rum X , den topologiske K -theory K ^top ( X ) af (real) vektor bundter løbet X falder sammen med K ₀ af ringen af kontinuerlige reelle funktioner på X .

Relativ K ₀

Lad mig være et ideal for A og definere "det dobbelte" til at være en fremstilling af det kartesiske produkt A × A :

${\ displaystyle D (A, I) = \ {(x, y) \ i A \ gange A: xy \ i I \} \.}$

Den relative K-gruppe er defineret i form af "dobbelt"

${\ displaystyle K_ {0} (A, I) = \ ker \ left ({K_ {0} (D (A, I)) \ højrepil K_ {0} (A)} \ højre) \.}$

hvor kortet induceres af projektion langs den første faktor.

Den relative K ₀ ( A , I ) er isomorf i forhold til K ₀ ( I ), betragter I som en ring uden identitet. Uafhængigheden fra A er en analog til Excision -sætningen i homologi.

K ₀ som en ring

Hvis A er en kommutativ ring, er tensorproduktet af projektive moduler igen projektivt, og derfor fremkalder tensorprodukt en multiplikation, der gør K ₀ til en kommutativ ring med klassen [ A ] som identitet. Det udvendige produkt inducerer på samme måde en λ-ringstruktur . De gruppe Picard indlejring som en undergruppe af den gruppe af enheder K ₀ ( A ) ^* .

K ₁

Hyman Bass gav denne definition, som generaliserer gruppen af ​​enheder i en ring: K ₁ ( A ) er abelianiseringen af den uendelige generelle lineære gruppe :

${\ displaystyle K_ {1} (A) = \ operatorname {GL} (A)^{\ mbox {ab}} = \ operatorname {GL} (A)/[\ operatorname {GL} (A), \ operatorname { GL} (A)]}$

Her

${\ displaystyle \ operatorname {GL} (A) = \ operatorname {colim} \ operatorname {GL} (n, A)}$

er den direkte grænse for GL ( n ), som indlejrer i GL ( n  + 1) som den øverste venstre blokmatrix , og er dens kommutatorundergruppe . Definer en elementær matrix til at være en, der er summen af ​​en identitetsmatrix og et enkelt off-diagonal element (dette er en delmængde af de elementære matricer, der bruges i lineær algebra ). Derefter hedder Whiteheads lemma , at gruppen E ( A ) genereret af elementære matricer er lig med kommutatorundergruppen [GL ( A ), GL ( A )]. Faktisk gruppen GL ( A ) / E ( A blev) først defineret og undersøgt af Whitehead, og kaldes Whitehead gruppe af ringen A . ${\ displaystyle [\ operatorname {GL} (A), \ operatorname {GL} (A)]}$

Relativ K ₁

Den relative K-gruppe er defineret i form af "dobbelt"

${\ displaystyle K_ {1} (A, I) = \ ker \ left ({K_ {1} (D (A, I)) \ højrepil K_ {1} (A)} \ højre) \.}$

Der er en naturlig nøjagtig sekvens

${\ displaystyle K_ {1} (A, I) \ rightarrow K_ {1} (A) \ rightarrow K_ {1} (A/I) \ rightarrow K_ {0} (A, I) \ rightarrow K_ {0} ( A) \ højre pil K_ {0} (A/I) \.}$

Kommutative ringe og felter

For A en kommutativ ring kan man definere en determinant det: GL ( A ) → A* til gruppen af ​​enheder i A , som forsvinder på E ( A ) og dermed går ned til et kort det: K ₁ ( A ) → A * . Som E ( A ) ◅ SL ( A ) kan man også definere den særlige Whitehead -gruppe S K ₁ ( A ): = SL ( A )/E ( A ). Dette kort deler sig via kortet A* → GL (1, A ) → K ₁ ( A ) (enhed i øverste venstre hjørne), og er derfor på, og har den særlige Whitehead -gruppe som kerne, hvilket giver split kort nøjagtig sekvens :

${\ displaystyle 1 \ til SK_ {1} (A) \ til K_ {1} (A) \ til A^{*} \ til 1,}$

som er en kvotient af den sædvanlige split short eksakte sekvens, der definerer den særlige lineære gruppe , nemlig

${\ displaystyle 1 \ to \ operatorname {SL} (A) \ to \ operatorname {GL} (A) \ to A^{*} \ to 1.}$

Determinanten opdeles ved at inkludere gruppen af ​​enheder A* = GL ₁ ( A ) i den generelle lineære gruppe GL (A) , så K ₁ ( A ) opdeles som den direkte sum af gruppen af ​​enheder og den særlige Whitehead -gruppe: K ₁ ( A ) ≅ A* ⊕ SK ₁ ( A ).

Når A er et euklidisk domæne (f.eks. Et felt eller heltalene) forsvinder S K ₁ ( A ), og det determinante kort er en isomorfisme fra K ₁ ( A ) til A ^∗ . Dette er generelt forkert for PID'er, hvilket giver en af ​​de sjældne matematiske træk ved euklidiske domæner, der ikke generaliserer til alle PID'er. Et eksplicit PID, således at SK ₁ er nul, blev givet af Ischebeck i 1980 og af Grayson i 1981. Hvis A er et Dedekind -domæne, hvis kvotfelt er et algebraisk talfelt (en endelig forlængelse af rationale), derefter Milnor (1971 , følge 16.3 ) viser, at S K ₁ ( A ) forsvinder.

Forsvinden af ​​SK ₁ kan tolkes som, at K ₁ genereres af billedet af GL ₁ i GL. Når dette mislykkes, kan man spørge, om K ₁ genereres af billedet af GL ₂ . For et Dedekind -domæne er dette tilfældet: Faktisk genereres K ₁ af billederne af GL ₁ og SL ₂ i GL. Undergruppen af ​​SK ₁ genereret af SL ₂ kan studeres af Mennicke -symboler . For Dedekind -domæner med alle kvotienter efter maksimale idealer begrænset, er SK ₁ en torsionsgruppe.

For en ikke-kommutativ ring kan determinanten generelt ikke defineres, men kortet GL ( A ) → K ₁ ( A ) er en generalisering af determinanten.

Centrale simple algebraer

I tilfælde af en central simpel algebra A over et felt F giver den reducerede norm en generalisering af determinanten, der giver et kort K ₁ ( A ) → F ^∗ og S K ₁ ( A ) kan defineres som kernen. Wangs sætning siger, at hvis A har primærgrad, så er S K ₁ ( A ) triviel, og dette kan udvides til kvadratfri grad. Wang viste også, at S K ₁ ( A ) er triviel for enhver central enkel algebra over et talfelt, men Platonov har givet eksempler på algebraer med grad primær i kvadrat, for hvilken S K ₁ ( A ) er ikke-triviel.

K ₂

John Milnor fundet den rigtige definition af K ₂ : det er den centrum af Steinberg gruppen St ( A ) af A .

Det kan også defineres som kortets kerne

${\ displaystyle \ varphi \ colon \ operatorname {St} (A) \ to \ mathrm {GL} (A),}$

eller som Schur -multiplikatoren for gruppen af elementære matricer .

For et felt bestemmes K ₂ af Steinberg -symboler : dette fører til Matsumotos sætning.

Man kan beregne, at K ₂ er nul for ethvert begrænset felt. Beregningen af ​​K ₂ ( Q ) er kompliceret: Tate beviste

${\ displaystyle K_ {2} (\ mathbf {Q}) = (\ mathbf {Z} /4)^{*} \ times \ prod _ {p {\ text {odd prime}}} (\ mathbf {Z} /p)^{*} \}$

og bemærkede, at beviset fulgte Gauss 'første bevis for loven om kvadratisk gensidighed .

For ikke-arkimediske lokale felter er gruppen K ₂ ( F ) den direkte sum af en endelig cyklisk gruppe af orden m , siger, og en delelig gruppe K ₂ ( F ) ^m .

Vi har K ₂ ( Z ) = Z /2, og generelt er K ₂ begrænset for ringen af ​​heltal i et talfelt.

Vi har yderligere K ₂ ( Z / n ) = Z / 2, hvis n er delelig med 4, og ellers nul.

Matsumotos sætning

Matsumotos sætning siger, at for et felt k er den anden K -gruppe givet ved

${\ displaystyle K_ {2} (k) = k^{\ times} \ otimes _ {\ mathbf {Z}} k^{\ times}/\ langle a \ otimes (1-a) \ mid a \ not = 0,1 \ rangle.}$

Matsumotos originale sætning er endnu mere generel: For ethvert rodsystem giver det en præsentation af den ustabile K-teori. Denne præsentation er forskellig fra den, der kun er givet her for symplektiske rodsystemer. For ikke-symplektiske rodsystemer er den ustabile anden K-gruppe med hensyn til rodsystemet præcis den stabile K-gruppe for GL ( A ). Ustabile anden K-grupper (i denne sammenhæng) defineres ved at tage kernen i den universelle centrale udvidelse af Chevalley-gruppen af universel type for et givet rodsystem. Denne konstruktion giver kernen i Steinberg -udvidelsen for rodsystemerne A _n ( n  > 1) og, i grænsen, stabile anden K -grupper.

Lange præcise sekvenser

Hvis A er et Dedekind -domæne med felt med brøker F, er der en lang nøjagtig sekvens

${\ displaystyle K_ {2} F \ rightarrow \ oplus _ {\ mathbf {p}} K_ {1} A/{\ mathbf {p}} \ rightarrow K_ {1} A \ rightarrow K_ {1} F \ rightarrow \ oplus _ {\ mathbf {p}} K_ {0} A/{\ mathbf {p}} \ rightarrow K_ {0} A \ rightarrow K_ {0} F \ rightarrow 0 \}$

hvor p løber over alle prime idealer A .

Der er også en udvidelse af den nøjagtige sekvens for relative K ₁ og K ₀ :

${\ displaystyle K_ {2} (A) \ rightarrow K_ {2} (A/I) \ rightarrow K_ {1} (A, I) \ rightarrow K_ {1} (A) \ cdots \.}$

Parring

Der er en parring på K ₁ med værdier i K ₂ . I betragtning af pendlingsmatricer X og Y over A , tag elementerne x og y i Steinberg -gruppen med X , Y som billeder. Kommutatoren er et element i K ₂ . Kortet er ikke altid surjektivt. ${\ displaystyle xyx^{-1} y^{-1}}$

Milnor K -teori

Ovenstående udtryk for K ₂ i et felt k førte Milnor til følgende definition af "højere" K -grupper ved

${\ displaystyle K _ {*}^{M} (k): = T^{*} (k^{\ times})/(a \ otimes (1-a)),}$

således som graderede dele af en kvotient af tensoralgebraen i den multiplikative gruppe k ^× af det tosidede ideal , genereret af

${\ displaystyle \ left \ {a \ otimes (1-a): \ a \ neq 0,1 \ right \}.}$

For n = 0,1,2 falder disse sammen med dem nedenfor, men for n ≧ 3 adskiller de sig generelt. For eksempel har vi K^M
_n( F _q ) = 0 for n ≧ 2, men K _n F _q er nul for ulige n (se nedenfor).

Tensorproduktet på tensoralgebraen fremkalder et produkt, der danner en gradueret ring, som er gradueret-kommutativ . ${\ displaystyle K_ {m} \ gange K_ {n} \ højre pil K_ {m+n}}$${\ displaystyle K _ {*}^{M} (F)}$

Billederne af elementer i benævnes symboler , betegnet . For heltal m invertibel i k er der et kort ${\ displaystyle a_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes a_ {n}}$${\ displaystyle K_ {n}^{M} (k)}$${\ displaystyle \ {a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \}}$

${\ displaystyle \ partial: k^{*} \ rightarrow H^{1} (k, \ mu _ {m})}$

hvor betegner gruppen af m -ths rødder af enhed i en eller anden adskillelig forlængelse af k . Dette strækker sig til ${\ displaystyle \ mu _ {m}}$

${\ displaystyle \ partial^{n}: k^{*} \ times \ cdots \ times k^{*} \ højrepil H^{n} \ venstre ({k, \ mu _ {m}^{\ otimes n }}\ret)\ }$

tilfredsstillende de definerende forhold mellem Milnor K-gruppen. Derfor kan betragtes som et kort på , kaldet Galois -symbolkortet . ${\ displaystyle \ partial ^{n}}$${\ displaystyle K_ {n}^{M} (k)}$

Forholdet mellem étale (eller Galois ) kohomologi i feltet og Milnor K-teori modulo 2 er Milnor-formodningen , bevist af Vladimir Voevodsky . Den analoge udsagn om ulige primtal er Bloch-Kato-formodningen , bevist af Voevodsky, Rost og andre.

Højere K -teori

De accepterede definitioner af højere K -grupper blev givet af Quillen (1973) , efter et par år, hvor flere uforenelige definitioner blev foreslået. Formålet med programmet var at finde definitioner af K ( R ) og K ( R , I ) i form af klassificering af mellemrum, så R ⇒ K ( R ) og ( R , I ) ⇒ K ( R , I ) er funktioner i en homotopikategori af mellemrum og den lange nøjagtige sekvens for relative K-grupper opstår som den lange eksakte homotopisekvens af en fibrering K ( R , I ) →  K ( R ) →  K ( R / I ).

Quillen gav to konstruktioner, "plus -konstruktionen" og " Q -konstruktionen", sidstnævnte modificerede efterfølgende på forskellige måder. De to konstruktioner giver de samme K-grupper.

+-Konstruktionen

En mulig definition af højere algebraisk K -teori om ringe blev givet af Quillen

${\ displaystyle K_ {n} (R) = \ pi _ {n} (B \ operatorname {GL} (R)^{+}),}$

Her π _n er et homotopi gruppe , GL ( R ) er den direkte grænse af de generelle lineære grupper end R for størrelsen af matrixen tendens til uendelig, B er separeringsrummet konstruktion af homotopiteori , og ⁺ er Quillen s plus konstruktion . Han fandt oprindeligt denne idé, mens han studerede gruppen kohomologi af og bemærkede, at nogle af hans beregninger var relateret til . ${\ displaystyle GL_ {n} (\ mathbb {F} _ {q})}$${\ displaystyle K_ {1} (\ mathbb {F} _ {q})}$

Denne definition gælder kun for n  > 0, så man definerer ofte den højere algebraiske K -teori via

${\ displaystyle K_ {n} (R) = \ pi _ {n} (B \ operatorname {GL} (R)^{+} \ times K_ {0} (R))}$

Da BGL ( R ) ⁺ er sti forbundet og K ₀ ( R ) diskret, adskiller denne definition sig ikke i højere grader og gælder også for n  = 0.

Den Q -konstruktion

Det Q -konstruktion giver de samme resultater som den + -konstruktion, men det gælder i mere generelle situationer. Desuden er definitionen mere direkte i den forstand, at K -grupperne, defineret via Q -konstruktionen, er funktionelle per definition. Denne kendsgerning er ikke automatisk i plus-konstruktionen.

Antag, at det er en nøjagtig kategori ; associeret med en ny kategori er defineret, hvis objekter er dem af og morfisme fra M ′ til M ″ er isomorfiske klasser af diagrammer ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle QP}$${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle M '\ longleftarrow N \ longrightarrow M' ',}$

hvor den første pil er en tilladt epimorfisme og den anden pil er en tilladt monomorfisme . Bemærk morfismerne i er analoge med definitionerne af morfismer i kategorien motiver , hvor morfisme er givet som korrespondancer, således at${\ displaystyle QP}$${\ displaystyle Z \ delsæt X \ gange Y}$

${\ displaystyle X \ leftarrow Z \ rightarrow Y}$

er et diagram, hvor pilen til venstre er et dækningskort (derfor surjektiv) og pilen til højre er injektiv. Denne kategori kan derefter omdannes til et topologisk rum ved hjælp af den klassificerende rumkonstruktion , som defineres som den geometriske realisering af nerven i . Derefter defineres den i -th K -gruppe af den nøjagtige kategori som ${\ displaystyle BQP}$${\ displaystyle QP}$${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle K_ {i} (P) = \ pi _ {i+1} (\ mathrm {BQ} P, 0)}$

med et fast nulobjekt . Bemærk, at klassificeringsrummet for et gruppoid flytter homotopiegrupperne en grad op, deraf forskydningen i grader for at være af et mellemrum. ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle B {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle K_ {i}}$${\ displaystyle \ pi _ {i+1}}$

Denne definition falder sammen med ovenstående definition af K ₀ ( P ). Hvis P er kategorien endeligt genererede projektive R -moduler , stemmer denne definition overens med ovenstående BGL ⁺ definition af K _n ( R ) for alle n . Mere generelt, for en ordning X , jo højere K -grupper af X er defineret til at være K -grupper af (den nøjagtige kategori) lokalt gratis sammenhængende skiver på X .

Følgende variant af dette bruges også: I stedet for endeligt genererede projektive (= lokalt gratis) moduler, skal du tage endeligt genererede moduler. De resulterende K -grupper er normalt skrevet G _n ( R ). Når R er en noeterisk regulær ring , så falder G - og K -teori sammen. Faktisk er den globale dimension af almindelige ringe endelig, dvs. ethvert endeligt genereret modul har en endelig projektiv opløsning P _* → M , og et enkelt argument viser, at det kanoniske kort K ₀ (R) → G ₀ (R) er en isomorfisme , med [ M ] = Σ ± [ P _n ]. Denne isomorfisme strækker sig også til de højere K -grupper.

Den S -konstruktion

En tredje konstruktion af K -teorigrupper er S -konstruktionen på grund af Waldhausen . Det gælder kategorier med kofibrationer (også kaldet Waldhausen -kategorier ). Dette er et mere generelt begreb end nøjagtige kategorier.

Eksempler

Mens Quillen -algebraiske K -teorien har givet dyb indsigt i forskellige aspekter af algebraisk geometri og topologi, har K -grupperne vist sig særligt vanskelige at beregne undtagen i nogle få isolerede, men interessante tilfælde. (Se også: K-grupper af et felt .)

Algebraiske K -grupper af begrænsede felter

Den første og en af ​​de vigtigste beregninger af de højere algebraiske K -grupper af en ring blev foretaget af Quillen selv i tilfælde af begrænsede felter :

Hvis F _q er det endelige felt med q elementer, så:

• K ₀ ( F _q ) = Z ,
• K _{2 i} ( F _q ) = 0 for i ≥1,
• K _{2 i –1} ( F _q ) = Z /( q ⁱ  - 1) Z for i  ≥ 1. 

Rick Jardine  ( 1993 ) godkendte Quillens beregning ved hjælp af forskellige metoder.

Algebraiske K -grupper af ringe af heltal

Quillen beviste, at hvis A er ringen af ​​algebraiske heltal i et algebraisk talfelt F (en endelig forlængelse af rationalerne), genereres de algebraiske K-grupper af A endeligt. Armand Borel brugte dette til at beregne K _i ( A ) og K _i ( F ) modulo torsion. For eksempel, for heltal Z , beviste Borel, at (modulo torsion)

• K _i ( Z ) /tors.=0 for positiv i, medmindre jeg = 4k+1 med k positiv
• K _{4 k +1} ( Z ) /tors.= Z for positive k .

Torsionsundergrupperne for K _{2 i +1} ( Z ) og ordenerne for de begrænsede grupper K _{4 k +2} ( Z ) er for nylig blevet bestemt, men om sidstnævnte grupper er cykliske, og om grupperne K _{4 k} ( Z ) forsvinder afhænger af Vandivers formodning om klassegrupperne af cyklotomiske heltal. Se formodninger fra Quillen – Lichtenbaum for flere detaljer.

Ansøgninger og åbne spørgsmål

Algebraiske K- grupper bruges i formodninger om specielle værdier for L-funktioner og formuleringen af ​​en ikke-kommutativ hovedformodning om Iwasawa-teorien og i konstruktionen af højere regulatorer .

Parshins formodning vedrører de højere algebraiske K -grupper for glatte sorter over begrænsede marker, og siger, at i dette tilfælde forsvinder grupperne op til torsion.

En anden grundlæggende formodning på grund af Hyman Bass ( Bass 'formodning ) siger, at alle grupperne G _n ( A ) genereres endeligt, når A er en endelig genereret Z -algebra. (Grupperne G _n ( A ) er K -grupperne i kategorien endeligt genererede A -moduler)

Se også

• Blochs formel
• Grundlæggende sætning om algebraisk K -teori
• Grundlæggende sætninger i algebraisk K -teori
• K -teori
• K -teori om en kategori
• K -gruppe af et felt
• K -teorispektrum
• Reducer formodninger
• Topologisk K -teori
• Stivhed ( K -teori)

Noter

Referencer

• Bass, Hyman (1968), Algebraic K -theory , Mathematics Lecture Note Series, New York -Amsterdam : WA Benjamin, Inc., Zbl  0174.30302
• Friedlander, Eric ; Grayson, Daniel, red. (2005), Handbook of K-Theory , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/3-540-27855-9 , ISBN 978-3-540-30436-4, MR  2182598
• Friedlander, Eric M .; Weibel, Charles W. (1999), En oversigt over algebraisk K -teori , World Sci. Publ., River Edge, NJ, s. 1–119, MR  1715873
• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006), Central simple algebras and Galois cohomology , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 101 , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-86103-8, Zbl  1137.12001
• Gras, Georges (2003), Klassefeltteori. Fra teori til praksis , Springer Monographs in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44133-5, Zbl  1019.11032
• Jardine, John Frederick (1993), "The K-theory of endelige felter, revideret", K-Theory , 7 (6): 579–595, doi : 10.1007/BF00961219 , MR  1268594
• Lam, Tsit-Yuen (2005), Introduktion til kvadratiske former over felter , kandidatstudier i matematik, 67 , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1095-8, MR  2104929 , Zbl  1068.11023
• Lemmermeyer, Franz (2000), Gensidighedslove. Fra Euler til Eisenstein , Springer Monographs in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-12893-0 , ISBN 978-3-540-66957-9, MR  1761696 , Zbl  0949.11002
• Milnor, John Willard (1970), "Algebraic K -theory and quadratic forms", Inventiones Mathematicae , 9 (4): 318–344, Bibcode : 1970InMat ... 9..318M , doi : 10.1007/BF01425486 , ISSN  0020- 9910 , MR  0260844
• Milnor, John Willard (1971), Introduction to algebraic K-theory , Annals of Mathematics Studies, 72 , Princeton, NJ: Princeton University Press , MR  0349811 , Zbl  0237.18005 (lavere K-grupper)
• Quillen, Daniel (1973), "Higher algebraic K-theory. I", Algebraic K-theory, I: Higher K-theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972) , Forelæsningsnotater i Math, 341 , Berlin, New York: Springer-Verlag , s. 85–147, doi : 10.1007/BFb0067053 , ISBN 978-3-540-06434-3, MR  0338129
• Quillen, Daniel (1975), "Higher algebraic K-theory", Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Vancouver, BC, 1974), bind. 1 , Montreal, Quebec: Canad. Matematik. Congress, s. 171–176, MR  0422392 (Quillens Q-konstruktion)
• Quillen, Daniel (1974), "Højere K-teori for kategorier med præcise sekvenser", Ny udvikling inden for topologi (Proc. Sympos. Algebraic Topology, Oxford, 1972) , London Math. Soc. Forelæsningsnotat Ser., 11 , Cambridge University Press , s. 95–103, MR  0335604 (relation mellem Q-konstruktion og plus-konstruktion)
• Rosenberg, Jonathan (1994), Algebraic K-theory and its applications , Graduate Texts in Mathematics , 147 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-4314-4 , ISBN 978-0-387-94248-3, MR  1282290 , Zbl  0801.19001. Errata
• Seiler, Wolfgang (1988), "λ-Rings and Adams Operations in Algebraic K-Theory", i Rapoport, M .; Schneider, P .; Schappacher, N. (red.), Beilinson's Conjectures on Special Values ​​of L-Functions , Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-581120-0
• Silvester, John R. (1981), Introduction to algebraic K-theory , Chapman and Hall Mathematics Series, London, New York: Chapman and Hall , ISBN 978-0-412-22700-4, Zbl  0468.18006
• Weibel, Charles (2005), "Algebraisk K-teori om ringe af heltal på lokale og globale felter" (PDF) , Handbook of K-theory , Berlin, New York: Springer-Verlag , s. 139–190, doi : 10.1007 /3-540-27855-9_5 , ISBN 978-3-540-23019-9, MR  2181823 (undersøgelsesartikel)
• Weibel, Charles (1999), Udviklingen af ​​algebraisk K-teori før 1980 , Moderne matematik, 243 , Providence, RI: American Mathematical Society , s. 211–238, doi : 10.1090/conm/243/03695 , MR  1732049

Yderligere læsning

• Lluis-Puebla, Emilio; Loday, Jean-Louis; Gillet, Henri; Soulé, Christophe; Snaith, Victor (1992), Højere algebraisk K-teori: en oversigt , Forelæsningsnotater i matematik, 1491 , Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-55007-5, Zbl  0746.19001
• Magurn, Bruce A. (2009), En algebraisk introduktion til K-teori , Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 87 (korrigeret paperback red.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-10658-0
• Srinivas, V. (2008), Algebraic K -theory , Modern Birkhäuser Classics (genoptryk af 1996 af 2. udgave), Boston, MA: Birkhäuser , ISBN 978-0-8176-4736-0, Zbl  1125.19300
• Weibel, C., K-bogen: En introduktion til algebraisk K-teori

Pædagogiske referencer

• Højere algebraisk K-teori: en oversigt
• Rosenberg, Jonathan (1994), Algebraic K-theory and its applications , Graduate Texts in Mathematics , 147 , Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-4314-4 , ISBN 978-0-387-94248-3, MR  1282290 , Zbl  0801.19001. Errata
• Weibel, Charles (2013), K-bogen: en introduktion til algebraisk K-teori , kandidatstudier i matematik , 145 , AMS

Historiske referencer

• Atiyah, Michael F .; Hirzebruch, Friedrich (1961), Vector bundter og homogene rum , Proc. Sympos. Pure Math., 3 , American Mathematical Society , s. 7–38
• Barden, Dennis (1964). Om struktur og klassificering af differentialmanifold (speciale). Cambridge University .
• Bas, Hyman ; Murthy, MP (1967). "Grothendieck -grupper og Picard -grupper af abelske grupperinge". Annals of Mathematics . 86 (1): 16–73. doi : 10.2307/1970360 . JSTOR  1970360 .
• Bas, Hyman ; Schanuel, S. (1962). "Homotopiteorien om projektive moduler" . Bulletin fra American Mathematical Society . 68 (4): 425–428. doi : 10.1090/s0002-9904-1962-10826-x .
• Bass, Hyman (1968). Algebraisk K -teori . Benjamin.
• Bloch, Spencer (1974). " K ₂ af algebraiske cyklusser". Annals of Mathematics . 99 (2): 349–379. doi : 10.2307/1970902 . JSTOR  1970902 .
• Bokstedt, M., Topologisk Hochschild -homologi . Fortryk, Bielefeld, 1986.
• Bokstedt, M., Hsiang, WC, Madsen, I., Det cyklotomiske spor og algebraiske K -rumsteori . Opfind. Math., 111 (3) (1993), 465–539.
• Borel, Armand ; Serre, Jean-Pierre (1958). "Le theoreme de Riemann – Roch" . Bulletin de la Société Mathématique de France . 86 : 97–136. doi : 10.24033/bsmf.1500 .
• Browder, William (1978), Algebraisk K -teori med koefficienter Z / p, Forelæsningsnotater i matematik, 657 , Springer – Verlag, s. 40–84
• Brown, K., Gersten, S., Algebraic K -theory as generalized sheaf cohomology , Algebraic K -theory I, Lecture Notes in Math., Bind. 341, Springer-Verlag, 1973, s. 266–292.
• Cerf, Jean (1970). "La stratification naturelle des espaces de fonctions differentiables reelles et le theoreme de la pseudo-isotopie" . Publikationer Mathématiques de l'IHÉS . 39 : 5–173. doi : 10.1007/BF02684687 .
• Dennis, RK, Higher algebraic K -theory and Hochschild homology , upubliceret fortryk (1976).
• Gersten, S (1971). "På funktoren K ₂ " . J. Algebra . 17 (2): 212–237. doi : 10.1016/0021-8693 (71) 90030-5 .
• Grothendieck, Alexander, Classes de fasiceaux et theoreme de Riemann – Roch , mimeograferede noter, Princeton 1957.
• Hatcher, Allen ; Wagoner, John (1973), "Pseudo-isotopier af kompakte manifolder", Astérisque , 6 , MR  0353337
• Karoubi, Max (1968). "Foncteurs derives et K -theorie. Kategorier filtre". Indeholder Rendus de l'Académie des Sciences, Série AB . 267 : A328 – A331.
• Karoubi, Max ; Villamayor, O. (1971). "K-theorie algebrique et K-theorie topologique" . Matematik. Scand . 28 : 265–307. doi : 10.7146/math.scand.a-11024 .
• Matsumoto, Hideya (1969). "Sur les sous-groupes aritmetiques des groupes semi-simple deployer" . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 2 : 1–62. doi : 10.24033/asens.1174 .
• Mazur, Barry (1963). "Differentialtopologi set fra en simpel homotopiteori" (PDF) . Publikationer Mathématiques de l'IHÉS . 15 : 5–93.
• Milnor, J (1970). "Algebraisk K -teori og kvadratiske former". Opfind. Matematik . 9 (4): 318–344. Bibcode : 1970InMat ... 9..318M . doi : 10.1007/bf01425486 .
• Milnor, J., Introduction to Algebraic K -theory , Princeton Univ. Presse, 1971.
• Nobile, A., Villamayor, O., Sur la K -theorie algebrique , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 4e serie, 1 , nr. 3, 1968, 581–616.
• Quillen, Daniel, Cohomology of groups , Proc. ICM Nice 1970, bind. 2, Gauthier-Villars, Paris, 1971, 47–52.
• Quillen, Daniel, Højere algebraisk K -teori I , Algebraisk K -teori I, Forelæsningsnotater i matematik, bind. 341, Springer Verlag, 1973, 85–147.
• Quillen, Daniel, Højere algebraisk K -teori , Proc. Praktikant. Congress Math., Vancouver, 1974, bind. Jeg, Canad. Matematik. Soc., 1975, s. 171–176.
• Segal, Graeme (1974). "Kategorier og kohomologi teorier" . Topologi . 13 (3): 293–312. doi : 10.1016/0040-9383 (74) 90022-6 .
• Siebenmann, Larry, The Obstruction to Finding a Boundary for a Open Manifold of Dimension Greater than Five , Thesis, Princeton University (1965).
• Smale, S (1962). "Om fordelerens struktur". Amer. J. Math . 84 (3): 387–399. doi : 10.2307/2372978 . JSTOR  2372978 .
• Steinberg, R., Generatører,, relations et revetements de groupes algebriques , ́Colloq. Theorie des Groupes Algebriques, Gauthier-Villars, Paris, 1962, s. 113–127. (Fransk)
• Swan, Richard, Nonabelian homological algebra and K-theory , Proc. Sympos. Pure Math., Bind. XVII, 1970, s. 88–123.
• Thomason, RW, Algebraic K -theory and étale cohomology , Ann. Scient. Ec. Norm. Sup. 18 , 4e serie (1985), 437–552; erratum 22 (1989), 675–677.
• Thomason, RW, Le principe de sciendage et l'inexistence d'une K -theorie de Milnor globale , Topologi 31 , nr. 3, 1992, 571–588.
• Thomason, Robert W .; Trobaugh, Thomas (1990), "Højere algebraisk K-teori om skemaer og afledte kategorier", The Grothendieck Festschrift, bind. III , Progr. Math., 88 , Boston, MA: Birkhäuser Boston, s. 247–435, doi : 10.1007/978-0-8176-4576-2_10 , ISBN 978-0-8176-3487-2, MR  1106918
• Waldhausen, F., Algebraisk K -teori om topologiske rum . I i algebraisk og geometrisk topologi (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), Del 1, s. 35–60, Proc. Sympos. Pure Math., XXXII, Amer. Matematik. Soc., Providence, RI, 1978.
• Waldhausen, F., Algebraic K -theory of spaces , in Algebraic and geometric topology (New Brunswick, NJ, 1983) , Lecture Notes in Mathematics, bind. 1126 (1985), 318–419.
• Wall, CTC (1965). "Endelighed betingelser for CW-komplekser". Annals of Mathematics . 81 (1): 56–69. doi : 10.2307/1970382 . JSTOR  1970382 .
• Whitehead, JHC (1941). "Om forekomstmatricer, kerner og homotopityper". Annals of Mathematics . 42 (5): 1197–1239. doi : 10.2307/1970465 . JSTOR  1970465 .
• Whitehead, JHC (1950). "Enkle homotopytyper". Amer. J. Math . 72 (1): 1–57. doi : 10.2307/2372133 . JSTOR  2372133 .
• Whitehead, JHC (1939). "Enkle rum, kerner og m-grupper". Proc. London Math. Soc . 45 : 243–327. doi : 10.1112/plms/s2-45.1.243 .

eksterne links

• K teoriforudskrivningsarkiv