Karakteristisk klasse - Characteristic class

I matematik , en karakteristisk klasse er en måde at knytte til hver primære bundt af X en cohomology klasse af X . Cohomology-klassen måler det omfang, bundtet er "snoet", og om det har sektioner . Karakteristiske klasser er globale invarianter, der måler afvigelsen af ​​en lokal produktstruktur fra en global produktstruktur. De er et af de samlende geometriske begreber i algebraisk topologi , differentiel geometri og algebraisk geometri .

Begrebet karakteristisk klasse opstod i 1935 i Eduard Stiefels og Hassler Whitneys arbejde om vektorfelter på manifolder.

Definition

Lad G være en topologisk gruppe , og for et topologisk rum , skriv for sættet af isomorfiske klasser af hoved- G- bundter over . Dette er en kontravariant funktor fra Top ( kategorien topologiske rum og kontinuerlige funktioner ) til Set (kategorien sæt og funktioner ), der sender et kort til pullback- operationen . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle b_ {G} (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle b_ {G}}$${\ displaystyle f \ colon X \ til Y}$${\ displaystyle f ^ {*} \ colon b_ {G} (Y) \ to b_ {G} (X)}$

En karakteristisk klasse c af hoved- G- bundter er derefter en naturlig transformation fra til en kohomologi-funktor , også betragtet som en funktor til Set . ${\ displaystyle b_ {G}}$${\ displaystyle H ^ {*}}$

Med andre ord associeres en karakteristisk klasse til hver hoved- G- bundt i et element c ( P ) i H * ( X ) således, at hvis f  : Y → X er et kontinuerligt kort, så er c ( f * P ) = f * c ( P ). Til venstre er klassen for tilbagetrækning af P til Y ; til højre er billedet af klassen P under det inducerede kort i kohomologi. ${\ displaystyle P \ til X}$${\ displaystyle b_ {G} (X)}$

Karakteristiske tal

Karakteristiske klasser er elementer i kohomologigrupper; man kan få heltal fra karakteristiske klasser, kaldet karakteristiske tal . Nogle vigtige eksempler på karakteristiske tal er Stiefel – Whitney-tal , Chern-numre , Pontryagin-tal og Euler-karakteristikken .

Givet et orienteret manifold M med dimension n med grundlæggende klasse og et G- bundt med karakteristiske klasser , kan man parre et produkt af karakteristiske klasser af total grad n med den grundlæggende klasse. Antallet af særskilte karakteristiske tal er antallet af monomier af grad n i de karakteristiske klasser, eller ligeledes partitionerne af n i . ${\ displaystyle [M] \ i H_ {n} (M)}$${\ displaystyle c_ {1}, \ prikker, c_ {k}}$${\ displaystyle {\ mbox {deg}} \, c_ {i}}$

Formelt givet således, at det tilsvarende karakteristiske antal er: ${\ displaystyle i_ {1}, \ prikker, i_ {l}}$${\ displaystyle \ sum {\ mbox {deg}} \, c_ {i_ {j}} = n}$

${\ displaystyle c_ {i_ {1}} \ smile c_ {i_ {2}} \ smile \ dots \ smile c_ {i_ {l}} ([M])}$

hvor betegner kop produkt af cohomology klasser. Disse er noteret forskellige som enten produkt af karakteristiske klasser, såsom eller ved en alternativ notation, såsom for Pontryagin-nummeret svarende til eller for Euler-karakteristikken. ${\ displaystyle \ smile}$${\ displaystyle c_ {1} ^ {2}}$${\ displaystyle P_ {1,1}}$${\ displaystyle p_ {1} ^ {2}}$${\ displaystyle \ chi}$

Fra de Rham-kohomologiens synspunkt kan man antage forskellige former, der repræsenterer de karakteristiske klasser, tage et kileprodukt, så man opnår en topdimensional form og derefter integreres over manifolden; dette er analogt med at tage produktet i kohomologi og parring med den grundlæggende klasse.

Dette fungerer også for ikke-orienterbare manifolder, som har en -orientering, i hvilket tilfælde man opnår -værdige karakteristiske tal, såsom Stiefel-Whitney-numrene. ${\ displaystyle \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}}$${\ displaystyle \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}}$

Karakteristiske tal løser de orienterede og ikke-orienterede bordismespørgsmål : to manifolder er (henholdsvis orienterede eller uorienterede) medordnede, hvis og kun hvis deres karakteristiske antal er ens.

Motivering

Karakteristiske klasser er fænomener i kohomologi-teorien på en væsentlig måde - de er kontroversielle konstruktioner, på den måde at et afsnit er en slags funktion på et rum, og for at føre til en modsigelse fra eksistensen af ​​et afsnit, har vi brug for den afvigelse. Faktisk voksede kohomologiteori op efter homologi og homotopiteori , som begge er kovariante teorier baseret på kortlægning i et rum; og karakteristisk klasseteori i sin barndom i 1930'erne (som en del af forhindringsteori ) var en væsentlig årsag til, at man søgte en 'dobbelt' teori til homologi. Den karakteristiske klassetilgang til krumning af invarianter var en særlig grund til at lave en teori for at bevise en generel Gauss-Bonnet-sætning .

Da teorien blev organiseret omkring 1950 (med definitionerne reduceret til homotopiteori) blev det klart, at de mest grundlæggende karakteristiske klasser, der var kendt på det tidspunkt ( Stiefel-Whitney-klassen , Chern-klassen og Pontryagin-klasser ) var refleksioner af de klassiske lineære grupper og deres maksimale torusstruktur . Desuden var selve Chern-klassen ikke så ny, idet den blev afspejlet i Schubert-beregningen om Grassmannians og arbejdet i den italienske skole for algebraisk geometri . På den anden side var der nu en ramme, der producerede klassefamilier, hver gang der var et vektorbundt involveret.

Den primære mekanisme derefter syntes at være dette: Givet en plads X bærer en vektor bundt, der antydes i Homotopiteori kategori en kortlægning fra X til en separeringsrummet BG for den relevante lineære gruppe G . For homotopiteori de relevante oplysninger bæres af kompakte undergrupper såsom ortogonale grupper og enhedskommuner grupper af G . Når kohomologien var beregnet, en gang for alle, betød kohomologiens kontravaransegenskab, at karakteristiske klasser for bundtet ville blive defineret i de samme dimensioner. For eksempel er Chern-klassen virkelig en klasse med klassificerede komponenter i hver lige dimension. ${\ displaystyle H ^ {*} (BG)}$${\ displaystyle H ^ {*} (X)}$

Dette er stadig den klassiske forklaring, selvom det i en given geometrisk teori er rentabelt at tage højde for ekstra struktur. Da kohomologi blev 'ekstraordinær' med ankomsten af K-teori og cobordismsteori fra 1955 og fremefter, var det egentlig kun nødvendigt at ændre bogstavet H overalt for at sige, hvad de karakteristiske klasser var.

Karakteristiske klasser blev senere fundet for foliering af manifolder ; de har (i modificeret forstand for foliering med nogle tilladte singulariteter) en klassificering af rumteori i homotopiteori .

I senere arbejde efter tilnærmelsen af matematik og fysik blev der fundet nye karakteristiske klasser af Simon Donaldson og Dieter Kotschick i instanton- teorien. Arbejdet og synspunkt Chern har også vist sig vigtigt: se Chern-Simons teori .

Stabilitet

På det sprog, stabil homotopiteori , den Chern klasse , Stiefel-Whitney klasse , og Pontryagin klasse er stabile , mens Euler klassen er ustabil .

Konkret en stabil klasse er en, der ikke ændrer sig, når man tilføjer en triviel bundt: . Mere abstrakt betyder det, at cohomology-klassen i klassificeringsrummet for trækker sig tilbage fra cohomology-klassen under inklusionen (hvilket svarer til inklusionen og lignende). Tilsvarende trækker alle endelige karakteristiske klasser sig tilbage fra en stabil klasse i . ${\ displaystyle c (V \ oplus 1) = c (V)}$${\ displaystyle BG (n)}$${\ displaystyle BG (n + 1)}$${\ displaystyle BG (n) \ til BG (n + 1)}$${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {n} \ til \ mathbf {R} ^ {n + 1}}$${\ displaystyle BG}$

Dette er ikke tilfældet for Euler-klassen, som beskrevet der, ikke mindst fordi Euler-klassen i et k- dimensionelt bundt lever i (trækker sig derfor tilbage fra , så den ikke kan trække sig tilbage fra en klasse ind , da dimensionerne er forskellige . ${\ displaystyle H ^ {k} (X)}$${\ displaystyle H ^ {k} (BO (k))}$${\ displaystyle H ^ {k + 1}}$

Se også

• Segre klasse
• Euler karakteristisk
• Tjerneklasse

Bemærkninger

Referencer

• Chern, Shiing-Shen (1995). Komplekse manifolder uden potentialteori . Springer-Verlag Press. ISBN   0-387-90422-0 . CS1 maint: modløs parameter ( link ) ISBN   3-540-90422-0 .

  Tillægget til denne bog: "Geometri af karakteristiske klasser" er en meget pæn og dyb introduktion til udviklingen af ​​idéerne til karakteristiske klasser.

• Hatcher, Allen , Vector bundter & K-teori CS1 maint: modløs parameter ( link )
• Husemoller, Dale (1966). Fiber bundles (3. udgave, Springer 1993 udg.). McGraw Hill. ISBN   0387940871 . CS1 maint: modløs parameter ( link )
• Milnor, John W .; Stasheff, Jim (1974). Karakteristiske klasser . Annaler fra matematikstudier. 76 . Princeton University Press , Princeton, NJ; University of Tokyo Press , Tokyo. ISBN   0-691-08122-0 . CS1 maint: modløs parameter ( link )