Tangent - Tangent

Tangent til en kurve. Den røde linje er tangential til kurven på det punkt, der er markeret med en rød prik.

Tangentplan til en kugle

I geometri er tangentlinjen (eller simpelthen tangens ) til en plan kurve på et givet punkt den lige linje, der "bare rører" kurven på det punkt. Leibniz definerede det som linjen gennem et par uendeligt tætte punkter på kurven. Mere præcist siges en lige linje at være en tangent af en kurve y = f ( x ) ved et punkt x = c, hvis linjen passerer gennem punktet ( c , f ( c )) på kurven og har hældning f ' ( c ) , hvor f ' er derivatet af f . En lignende definition gælder for rumkurver og kurver i n -dimensionalt euklidisk rum .

Når den passerer gennem det punkt, hvor tangentlinjen og kurven mødes, kaldet tangenspunktet , går tangentlinjen "i samme retning" som kurven og er dermed den bedste lineære tilnærmelse til kurven ved det punkt.

Tangentlinjen til et punkt på en differentierbar kurve kan også betragtes som grafen for den affinefunktion, der bedst tilnærmer den oprindelige funktion på det givne punkt.

På samme måde er tangentplanet til en overflade på et givet punkt det plan, der "bare rører" overfladen på det tidspunkt. Begrebet tangent er en af de mest fundamentale begreber inden for differential geometri og er blevet udbredt generaliseret; se Tangentrum .

Ordet "tangent" kommer fra det latinske tangere , "at røre".

Historie

Euklid refererer flere steder til tangenten ( ἐφαπτομένη ephaptoménē ) til en cirkel i bog III af grundstofferne (ca. 300 f.Kr.). I Apollonius 'arbejde Conics (ca. 225 f.Kr.) definerer han en tangent som en linje, så ingen anden lige linje kunne falde mellem den og kurven .

Archimedes (ca. 287 - ca. 212 f.Kr.) fandt tangenten til en arkimedisk spiral ved at overveje stien til et punkt, der bevægede sig langs kurven.

I 1630'erne udviklede Fermat teknikken med tilstrækkelighed til at beregne tangenter og andre problemer i analysen og brugte dette til at beregne tangenter til parabolen. Tilstrækkelighedsteknikken ligner at tage forskellen mellem og og dividere med en magt på . Uafhængigt anvendte Descartes sin metode til normaler baseret på observationen af, at en cirkels radius altid er normal for selve cirklen. ${\ displaystyle f (x+h)}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle h}$

Disse metoder førte til udviklingen af differentialregning i 1600 -tallet. Mange mennesker bidrog. Roberval opdagede en generel metode til at tegne tangenter ved at overveje en kurve som beskrevet af et bevægeligt punkt, hvis bevægelse er resultatet af flere enklere bevægelser. René-François de Sluse og Johannes Hudde fandt algebraiske algoritmer til at finde tangenter. Yderligere udvikling omfattede John Wallis og Isaac Barrow , der førte til teorien om Isaac Newton og Gottfried Leibniz .

En definition af en tangent fra 1828 var "en højre linje, der berører en kurve, men som når den produceres, ikke skærer den". Denne gamle definition forhindrer, at bøjningspunkter får en tangent. Det er blevet afvist, og de moderne definitioner svarer til dem fra Leibniz , der definerede tangentlinjen som linjen gennem et par uendeligt tætte punkter på kurven.

Tangentlinje til en kurve

En tangent, en akkord og en sekant til en cirkel

Den intuitive opfattelse, at en tangentlinje "rører" en kurve, kan gøres mere eksplicit ved at overveje sekvensen af lige linjer ( sekantlinjer ), der passerer gennem to punkter, A og B , dem, der ligger på funktionskurven. Tangenten på A er grænsen, når punkt B tilnærmer eller tendens til A . Eksistensen og unikheden af tangentlinjen afhænger af en bestemt form for matematisk glathed, kendt som "differentierbarhed". For eksempel, hvis to cirkulære buer mødes på et skarpt punkt (et toppunkt), så er der ingen entydigt defineret tangent ved toppunktet, fordi grænsen for progression af sekantlinjer afhænger af den retning, hvor "punkt B " nærmer sig toppunktet.

På de fleste punkter rører tangenten kurven uden at krydse den (selvom den, når den fortsættes, kan krydse kurven andre steder væk fra tangentpunktet). Et punkt, hvor tangenten (på dette tidspunkt) krydser kurven, kaldes et bøjningspunkt . Cirkler , paraboler , hyperboler og ellipser har ikke noget bøjningspunkt, men mere komplicerede kurver har, ligesom grafen for en kubisk funktion , som har nøjagtigt et bøjningspunkt eller en sinusformet, der har to bøjningspunkter pr. Periode i sinus .

Omvendt kan det ske, at kurven ligger helt på den ene side af en lige linje, der passerer gennem et punkt på den, og alligevel er denne lige linje ikke en tangentlinje. Dette er f.eks. Tilfældet for en linje, der passerer gennem toppunktet i en trekant og ikke skærer den på anden måde - hvor tangentlinjen ikke findes af de ovenfor forklarede årsager. I konveks geometri kaldes sådanne linjer støttelinjer .

På hvert punkt er den bevægelige linje altid tangent til kurven . Dens hældning er derivatet ; grønne mærker positivt derivat, røde mærker negative derivater og sorte mærker nul derivat. Punktet (x, y) = (0,1), hvor tangenten skærer kurven, er ikke et maksimum eller et min, men er et bøjningspunkt .

Analytisk tilgang

Den geometriske idé om tangentlinjen som grænsen for sekantlinjer tjener som motivation for analytiske metoder, der bruges til eksplicit at finde tangentlinjer. Spørgsmålet om at finde tangentlinjen til en graf eller tangentlinjeproblemet var et af de centrale spørgsmål, der førte til udviklingen af calculus i 1600 -tallet. I den anden bog af sin geometri , René Descartes sagde på problemet med at konstruere tangenten til en kurve, "og jeg tør sige, at dette ikke kun er de mest nyttige og mest generelt problem i geometri, som jeg kender, men selv, at jeg har nogensinde ønsket at vide ".

Intuitiv beskrivelse

Antag, at en kurve er angivet som grafen for en funktion , y = f ( x ). For at finde tangentlinjen ved punktet p = ( a , f ( a )) skal du overveje et andet nærliggende punkt q = ( a + h , f ( a + h )) på kurven. Den hældning af sekant linie går gennem p og q er lig med forskellen kvotienten

{\ displaystyle {\ frac {f (a+h) -f (a)} {h}}.}

Når punktet q nærmer sig p , hvilket svarer til at gøre h mindre og mindre, bør differenskvotienten nærme sig en vis grænseværdi k , som er tangentlinjens hældning ved punktet p . Hvis k er kendt, kan tangenslinjens ligning findes i punkt-hældningsformen:

{\ displaystyle yf (a) = k (xa). \,}

Mere streng beskrivelse

For at gøre den foregående begrundelse streng, er man nødt til at forklare, hvad der menes med, at differenskvotienten nærmer sig en bestemt grænseværdi k . Den præcise matematiske formulering blev givet af Cauchy i det 19. århundrede og er baseret på begrebet grænse . Antag, at grafen ikke har et brud eller en skarp kant ved p, og at den hverken er lodret eller for svingende nær p . Så er der en unik værdi af k sådan, at når h nærmer sig 0, bliver differenskvotienten tættere og tættere på k , og afstanden mellem dem bliver ubetydelig sammenlignet med størrelsen på h , hvis h er lille nok. Dette fører til definitionen af tangentlinjens hældning til grafen som grænsen for differenskvotienterne for funktionen f . Denne grænse er afledt af funktionen f ved x = a , betegnet f ′ ( a ). Ved hjælp af derivater kan ligningen for tangentlinjen angives som følger:

{\ displaystyle y = f (a)+f '(a) (xa). \,}

Calculus indeholder regler for beregning af derivater af funktioner, der er givet ved formlerne, såsom power funktion , trigonometriske funktioner , eksponentiel funktion , logaritme , og deres forskellige kombinationer. Således kan ligninger for tangenterne til grafer for alle disse funktioner såvel som mange andre findes ved beregningsmetoderne.

Hvordan metoden kan mislykkes

Calculus viser også, at der er funktioner og punkter på deres grafer, for hvilke grænsen, der bestemmer tangentlinjens hældning, ikke eksisterer. For disse punkter funktionen f er ikke-differentiabel . Der er to mulige årsager til, at metoden til at finde tangenterne baseret på grænser og derivater mislykkes: enten eksisterer den geometriske tangent, men det er en lodret linje, som ikke kan angives i punkt-hældningsformen, da den ikke har en hældning, eller grafen udviser en af tre adfærd, der udelukker en geometrisk tangens.

Grafen y = x ^1/3 illustrerer den første mulighed: her er differenskvotienten ved a = 0 lig med h 1 / ³ / h = h ^−2/3 , som bliver meget stor, når h nærmer sig 0. Denne kurve har en tangentlinje ved oprindelsen, der er lodret.

Grafen y = x ^2/3 illustrerer en anden mulighed: Denne graf har en kerne ved oprindelsen. Det betyder, at når h nærmer sig 0, når differenskvotienten ved a = 0 tæt på plus eller minus uendeligt afhængigt af tegnet på x . Således er begge grene af kurven tæt på den halve lodrette linje, for hvilken y = 0, men ingen er nær den negative del af denne linje. Grundlæggende er der ingen tangent ved oprindelsen i dette tilfælde, men i en eller anden sammenhæng kan man betragte denne linje som en tangent og endda i algebraisk geometri som en dobbelt tangent .

Grafen y = | x | af funktionen absolutværdi består af to lige linjer med forskellige skråninger forbundet ved oprindelsen. Når et punkt q nærmer sig oprindelsen fra højre, har sekantlinjen altid hældning 1. Når et punkt q nærmer sig oprindelsen fra venstre, har sekantlinjen altid hældning −1. Derfor er der ingen unik tangent til grafen ved oprindelsen. At have to forskellige (men endelige) skråninger kaldes et hjørne .

Endelig, da differentierbarhed indebærer kontinuitet, indebærer kontrapositiv tilstands diskontinuitet ikke-differentiering. Ethvert sådant spring eller punktdiskontinuitet vil ikke have en tangentlinje. Dette omfatter tilfælde, hvor den ene skråning nærmer sig positiv uendelighed, mens den anden nærmer sig den negative uendelighed, hvilket fører til en uendelig springdiskontinuitet

Ligninger

Når kurven er givet med y = f ( x ), så er tangens hældning således ved formel -hældningsformlen, ligningen for tangentlinjen ved ( X , Y ) er ${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}},}$

{\ displaystyle yY = {\ frac {dy} {dx}} (X) \ cdot (xX)}

hvor ( x , y ) er koordinaterne for ethvert punkt på tangentlinjen, og hvor derivatet vurderes til . ${\ displaystyle x = X}$

Når kurven er givet med y = f ( x ), kan tangentlinjens ligning også findes ved at bruge polynomisk division til at dividere med ; hvis resten er betegnet med , så er tangenslinjens ligning givet ved ${\ displaystyle f \, (x)}$ ${\ displaystyle (xX)^{2}}$ ${\ displaystyle g (x)}$

{\ displaystyle y = g (x).}

Når kurvens ligning er givet i formen f ( x , y ) = 0, kan hældningens værdi findes ved implicit differentiering , hvilket giver

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} =-{\ frac {\ frac {\ partiel f} {\ delvis x}} {\ frac {\ delvis f} {\ delvis y}}}.}

Ligningen af tangentlinjen ved et punkt ( X , Y ) sådan at f ( X , Y ) = 0 er derefter

{\ displaystyle {\ frac {\ delvis f} {\ delvis x}} (X, Y) \ cdot (xX)+{\ frac {\ delvis f} {\ delvis y}} (X, Y) \ cdot ( yY) = 0.}

Denne ligning forbliver sand, hvis men (i dette tilfælde er tangens hældning uendelig). Hvis tangentlinjen ikke er defineret, og punktet ( X , Y ) siges at være ental . ${\ displaystyle {\ frac {\ delvis f} {\ delvis y}} (X, Y) = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ delvis f} {\ delvis x}} (X, Y) \ neq 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ delvis f} {\ delvis y}} (X, Y) = {\ frac {\ delvis f} {\ delvis x}} (X, Y) = 0,}$

For algebraiske kurver kan beregninger forenkles noget ved at konvertere til homogene koordinater . Specifikt lad kurvens homogene ligning være g ( x , y , z ) = 0, hvor g er en homogen funktion af grad n . Så hvis ( X , Y , Z ) ligger på kurven, indebærer Eulers sætning

{\ displaystyle {\ frac {\ delvis g} {\ delvis x}} \ cdot X+{\ frac {\ delvis g} {\ delvis y}} \ cdot Y+{\ frac {\ delvis g} {\ delvis z} } \ cdot Z = ng (X, Y, Z) = 0.}

Det følger heraf, at tangenslinjens homogene ligning er

{\ displaystyle {\ frac {\ delvis g} {\ delvis x}} (X, Y, Z) \ cdot x+{\ frac {\ delvis g} {\ delvis y}} (X, Y, Z) \ cdot y+{\ frac {\ delvis g} {\ delvis z}} (X, Y, Z) \ cdot z = 0.}

Ligningen for tangentlinjen i kartesiske koordinater kan findes ved at indstille z = 1 i denne ligning.

For at anvende dette på algebraiske kurver skal du skrive f ( x , y ) som

{\ displaystyle f = u_ {n}+u_ {n-1}+\ dots+u_ {1}+u_ {0} \,}

hvor hver u _r er summen af alle betingelser for grad r . Den homogene ligning af kurven er derefter

{\ displaystyle g = u_ {n}+u_ {n-1} z+\ dots+u_ {1} z^{n-1}+u_ {0} z^{n} = 0. \,}

Anvendelse af ligningen ovenfor og indstilling z = 1 producerer

{\ displaystyle {\ frac {\ delvis f} {\ delvis x}} (X, Y) \ cdot x+{\ frac {\ delvis f} {\ delvis y}} (X, Y) \ cdot y+{\ frac {\ delvis g} {\ delvis z}} (X, Y, 1) = 0}

som ligningen for tangentlinjen. Ligningen i denne form er ofte enklere at bruge i praksis, da der ikke er brug for yderligere forenkling, efter at den er blevet anvendt.

Hvis kurven er givet parametrisk af

{\ displaystyle x = x (t), \ quad y = y (t)}

så er tangentens hældning

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {\ frac {dy} {dt}} {\ frac {dx} {dt}}}}}

giver ligningen for tangentlinjen ved as ${\ displaystyle \, t = T, \, X = x (T), \, Y = y (T)}$

{\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} (T) \ cdot (yY) = {\ frac {dy} {dt}} (T) \ cdot (xX).}

Hvis tangentlinjen ikke er defineret. Det kan dog forekomme, at tangentlinjen eksisterer og kan beregnes ud fra en implicit ligning af kurven. ${\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} (T) = {\ frac {dy} {dt}} (T) = 0,}$

Normal linje til en kurve

Linjen vinkelret på tangentlinjen til en kurve ved tangenspunktet kaldes den normale linje til kurven på det tidspunkt. Skråningerne af vinkelrette linjer har produkt −1, så hvis kurvens ligning er y = f ( x ), er hældningen af den normale linje

{\ displaystyle -{\ frac {1} {\ frac {dy} {dx}}}}

og det følger, at ligningen for den normale linje ved (X, Y) er

{\ displaystyle (xX)+{\ frac {dy} {dx}} (yY) = 0.}

På samme måde, hvis kurvens ligning har formen f ( x , y ) = 0, er ligningen for den normale linje givet ved

{\ displaystyle {\ frac {\ partiel f} {\ delvis y}} (xX)-{\ frac {\ delvis f} {\ delvis x}} (yY) = 0.}

Hvis kurven er givet parametrisk af

{\ displaystyle x = x (t), \ quad y = y (t)}

så er ligningen for den normale linje

{\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} (xX)+{\ frac {dy} {dt}} (yY) = 0.}

Vinkel mellem kurver

Vinklen mellem to kurver på et punkt, hvor de skærer hinanden, er defineret som vinklen mellem deres tangentlinjer på det punkt. Mere specifikt siges det, at to kurver er tangenter på et punkt, hvis de har den samme tangent på et punkt, og ortogonale, hvis deres tangentlinjer er ortogonale.

Flere tangenter ad gangen

Limaçon trisectrix: en kurve med to tangenter ved oprindelsen.

Formlerne ovenfor fejler, når punktet er et ental punkt . I dette tilfælde kan der være to eller flere grene af kurven, der passerer gennem punktet, hver gren har sin egen tangentlinje. Når punktet er oprindelsen, kan ligningerne for disse linjer findes for algebraiske kurver ved at faktorisere ligningen dannet ved at eliminere alle undtagen de laveste gradtermer fra den oprindelige ligning. Da et hvilket som helst punkt kan gøres til oprindelse ved en ændring af variabler (eller ved at oversætte kurven) giver dette en metode til at finde tangentlinjerne på ethvert ental punkt.

For eksempel er ligningen for limaçon trisectrix vist til højre

{\ displaystyle (x^{2}+y^{2} -2ax)^{2} = a^{2} (x^{2}+y^{2}). \,}

Udvidelse af dette og eliminering af alle undtagen betingelser for grad 2 giver

{\ displaystyle a^{2} (3x^{2} -y^{2}) = 0 \,}

som, når de indregnes, bliver

{\ displaystyle y = \ pm {\ sqrt {3}} x.}

Så det er ligningerne for de to tangentlinjer gennem oprindelsen.

Når kurven ikke krydser sig selv, kan tangenten på et referencepunkt stadig ikke være entydigt defineret, fordi kurven ikke er differentierbar på det tidspunkt, selvom den kan differentieres andre steder. I dette tilfælde er venstre og højre derivater defineret som derivatets grænser, da det punkt, hvor det evalueres, nærmer sig referencepunktet fra henholdsvis venstre (lavere værdier) eller højre (højere værdier). For eksempel er kurven y = | x | er ikke differentierbar ved x = 0: dens venstre og højre derivater har respektive skråninger −1 og 1; tangenterne på det tidspunkt med disse skråninger kaldes venstre og højre tangenter.

Nogle gange er skråningerne på venstre og højre tangentlinjer ens, så tangentlinjerne falder sammen. Dette gælder for eksempel kurven y = x ^2/3 , for hvilken både venstre og højre derivat ved x = 0 er uendelige; både den venstre og højre tangentlinje har ligning x = 0.

Tangente cirkler

To par tangentcirkler. Over internt og under eksternt tangent

To cirkler med ikke-lige radius, begge i det samme plan, siges at være tangent til hinanden, hvis de kun mødes på et tidspunkt. Tilsvarende siges to cirkler med radier af r _i og centre ved ( x _i , y _i ), for i = 1, 2 at være tangent til hinanden, hvis

{\ displaystyle \ left (x_ {1} -x_ {2} \ right)^{2}+\ left (y_ {1} -y_ {2} \ right)^{2} = \ left (r_ {1} \ pm r_ {2} \ højre)^{2}. \,}

To cirkler tangerer eksternt, hvis afstanden mellem deres centre er lig med summen af deres radier.

{\ displaystyle \ left (x_ {1} -x_ {2} \ right)^{2}+\ left (y_ {1} -y_ {2} \ right)^{2} = \ left (r_ {1} +r_ {2} \ højre)^{2}. \,}

To cirkler er internt tangente, hvis afstanden mellem deres centre er lig med forskellen mellem deres radier.

{\ displaystyle \ left (x_ {1} -x_ {2} \ right)^{2}+\ left (y_ {1} -y_ {2} \ right)^{2} = \ left (r_ {1} -r_ {2} \ højre)^{2}. \,}

Overflader

Den tangentplan til en overflade i et givet punkt p er defineret på en analog måde til tangenten i tilfælde af kurver. Det er den bedste tilnærmelse af overfladen med et plan ved p , og kan opnås som den begrænsende position for flyene, der passerer gennem 3 forskellige punkter på overfladen tæt på p, da disse punkter konvergerer til p .

Højere dimensionelle manifolds

Mere generelt er der et k -dimensionelt tangentrum på hvert punkt i et k -dimensionelt manifold i det n -dimensionelle euklidiske rum .

Languages

In other projects