Osculerende cirkel - Osculating circle

En osculerende cirkel

Oscillerende cirkler i den arkimediske spiral , indlejret af Tait -Kneser -sætningen . "Selve spiralen er ikke tegnet: vi ser det som et sted for punkter, hvor cirklerne er særligt tæt på hinanden."

I kurvens differentielle geometri er den osculerende cirkel af en tilstrækkeligt glat plan kurve på et givet punkt p på kurven traditionelt blevet defineret som cirklen, der passerer gennem p og et par yderligere punkter på kurven uendeligt tæt på p . Dets centrum ligger på den indre normale linje , og dens krumning definerer krumningen for den givne kurve på det tidspunkt. Denne cirkel, som er den blandt alle tangentcirkler på det givne punkt, der nærmer sig kurven tættest, blev navngivet circulus osculans (latin for " kyssekreds ") af Leibniz .

Centrum og radius af den osculerende cirkel ved et givet punkt kaldes krumningscenter og krumningsradius for kurven på det punkt. En geometrisk konstruktion blev beskrevet af Isaac Newton i hans Principia :

Der gives alle steder den hastighed, hvormed et legeme beskriver en given figur, ved hjælp af kræfter rettet mod et eller andet fælles centrum: at finde det center.

- Isaac Newton, Principia ; FORSLAG V. PROBLEM I.

Ikke -teknisk beskrivelse

Forestil dig en bil, der bevæger sig langs en krum vej på et stort fladt plan. Pludselig låses rattet på et tidspunkt langs vejen i sin nuværende position. Derefter bevæger bilen sig i en cirkel, der "kysser" vejen ved låsningspunktet. Den krumning af cirklen er lig med den af vejen på det tidspunkt. Den cirkel er vejkurvens osculerende cirkel på det tidspunkt.

Matematisk beskrivelse

Lad γ ( s ) være en regelmæssig parametrisk plankurve , hvor s er buelængden (den naturlige parameter ). Dette bestemmer enhed tangent vektoren T ( s ), de enhed normal vektor N ( s ), den underskrevet krumning k ( s ) og krumningsradius R ( s ) på hvert punkt for hvilke s er sammensat:

{\ displaystyle T (s) = \ gamma '(s), \ quad T' (s) = k (s) N (s), \ quad R (s) = {\ frac {1} {\ left | k (r) \ højre |}}.}

Antag, at P er et punkt på γ, hvor k ≠ 0. Det tilsvarende krumningscenter er punktet Q i afstanden R langs N , i samme retning, hvis k er positiv og i den modsatte retning, hvis k er negativ. Den cirkel med centrum på Q og med radius R kaldes Osculerende cirkel til kurven γ ved punktet P .

Hvis C er en regelmæssig rumkurve derefter Osculerende cirkel er defineret på lignende måde under anvendelse af den primære normal vektor N . Det ligger i Osculerende plan , planet udspændt af tangenten og vigtigste normale vektorer T og N ved punktet P .

Plankurven kan også angives i en anden regelmæssig parametrering

${\ displaystyle \ gamma (t) = {\ begin {bmatrix} x_ {1} (t) \\ x_ {2} (t) \ end {bmatrix}}}$

hvor regelmæssig betyder det for alle . Derefter er formlerne for den signerede krumning k ( t ), den normale enhedsvektor N ( t ), krumningsradius R ( t ) og midten Q ( t ) af den osculerende cirkel ${\ displaystyle \ gamma '(t) \ neq 0}$ ${\ displaystyle t}$

{\ displaystyle k (t) = {\ frac {x_ {1} '(t) \ cdot x_ {2}' '(t) -x_ {1}' '(t) \ cdot x_ {2}' (t )} {\ venstre (x_ {1} '\ venstre (t \ højre)^{2}+x_ {2}' \ venstre (t \ højre)^{2} \ højre)^{\ frac {3} { 2}}}}, \ qquad N (t) = {\ frac {1} {\ | \ gamma '(t) \ |}} \ cdot {\ begin {bmatrix} -x_ {2}' (t) \ \ x_ {1} '(t) \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle R (t) = \ venstre | {\ frac {\ venstre (x_ {1} '\ venstre (t \ højre)^{2}+x_ {2}' \ venstre (t \ højre)^{2 } \ højre)^{\ frac {3} {2}}} {x_ {1} '(t) \ cdot x_ {2}' '(t) -x_ {1}' '(t) \ cdot x_ { 2} '(t)}} \ right | \ qquad {\ text {og}} \ qquad Q (t) = \ gamma (t)+{\ frac {1} {k (t) \ cdot \ | \ gamma '(t) \ |}} \ cdot {\ begin {bmatrix} -x_ {2}' (t) \\ x_ {1} '(t) \ end {bmatrix}} \ ,.}

Kartesiske koordinater

Vi kan få midten af den osculerende cirkel i kartesiske koordinater, hvis vi erstatter $t = x$ og $y = f (x)$ for en funktion f . Hvis vi foretager beregningerne, er resultaterne for X- og Y -koordinaterne for midten af den osculerende cirkel:

{\ displaystyle x_ {c} = x-f '{\ frac {1+f'^{2}} {f ''}} \ quad {\ text {og}} \ quad y_ {c} = f+{\ frac {1 + f '^ {2}} {f' '}}}

Direkte geometrisk afledning

Overvej tre punkter , og hvor . For at finde midten af cirklen, der passerer gennem disse punkter, vi har først for at finde segmentet bisectors af og og derefter det punkt , hvor disse linjer krydser. Derfor opnås koordinaterne for ved at løse et lineært system med to ligninger: ${\ textstyle P_ {0}}$ ${\ textstyle P_ {1}}$ ${\ textstyle P_ {2}}$ ${\ textstyle P_ {i} = (x_ {i}, y_ {i})}$ ${\ textstyle P_ {0} P_ {1}}$ ${\ textstyle P_ {1} P_ {2}}$ ${\ textstyle C}$ ${\ textstyle C}$

{\ displaystyle \ left (\ delta x_ {i} \ right) x_ {c}+\ left (\ delta y_ {i} \ right) y_ {c} = {\ frac {1} {2}} \ left ( \ delta ^{2} x_ {i}+\ delta ^{2} y_ {i} \ right) \, \, \, \, i = 1,2}

hvor , for .

{\ textstyle \ delta u_ {i} = u_ {i} -u_ {i-1}}

{\ textstyle \ delta^{2} u_ {i} = u_ {i}^{2} -u_ {i-1}^{2}}

{\ textstyle u = x, y}

Overvej nu kurven og sæt , og . Til den anden rækkefølge i , har vi ${\ textstyle P = P (\ tau)}$ ${\ textstyle P_ {0} = P (\ tau -d \ tau)}$ ${\ textstyle P_ {1} = P (\ tau)}$ ${\ textstyle P_ {2} = P (\ tau +d \ tau)}$ ${\ textstyle d \ tau}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ delta u_ {1} = & {\ dot {u}} d \ tau -{\ frac {1} {2}} {\ ddot {u}} d \ tau ^{ 2} \\\ delta ^{2} u_ {1} = & 2u {\ dot {u}} d \ tau -d \ tau ^{2} \ venstre ({\ dot {u}} ^{2}+u {\ ddot {u}} \ right) \ end {align}}}

og et lignende udtryk for og hvor tegnet på er vendt. Udvikling af ligningen for og gruppering af udtrykkene i, og vi opnår

{\ textstyle \ delta u_ {2}}

{\ textstyle \ delta ^{2} u_ {2}}

{\ textstyle d \ tau ^{2}}

{\ textstyle x_ {c}, y_ {c}}

{\ textstyle d \ tau}

{\ textstyle d \ tau ^{2}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {x}} (x_ {c} -x)+{\ dot {y}} (y_ {c} -y) = & 0 \\ {\ ddot {x} } (x_ {c} -x)+{\ ddot {y}} (y_ {c} -y) = & {\ dot {x}}^{2}+{\ dot {y}}^{2} \ end {align}}}

Betegner de første ligning betyder, at er ortogonal til enheden tangent vektoren ved :

{\ textstyle \ mathbf {r} = {\ overretningspil {P_ {1} C}}}

{\ textstyle \ mathbf {r}}

{\ textstyle P_ {1}}

{\ displaystyle \ mathbf {r}. \ mathbf {t} = 0}

Det andet forhold betyder det

{\ displaystyle \ mathbf {k}. \ mathbf {r} = 1}

hvor

{\ displaystyle \ mathbf {k} = {\ frac {d \ mathbf {t}} {ds}} = ({\ ddot {x}}, {\ ddot {y}})/\ left ({\ dot { x}}^{2}+{\ dot {y}}^{2} \ højre)}

er krumningsvektoren. I plangeometri er den ortogonal til fordi

{\ textstyle \ mathbf {k}}

{\ textstyle \ mathbf {t}}

{\ displaystyle \ mathbf {t}. \ mathbf {k} = \ mathbf {t} {\ frac {d \ mathbf {t}} {ds}} = {\ frac {1} {2}} {\ frac { d (\ mathbf {t}. \ mathbf {t})} {ds}} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {d (1)} {ds}} = 0}

Derfor og radius af den osculerende cirkel er netop krumningens inverse.

{\ textstyle \ mathbf {k}. \ mathbf {r} = kr}

Løsning af ligningen for koordinaterne for finder vi ${\ textstyle C}$

{\ displaystyle {\ begin {align} x_ {c} -x = & {\ frac {{\ dot {y}} \ venstre ({\ dot {x}}^{2}+{\ dot {y}} ^{2} \ right)} {{\ dot {y}} {\ ddot {x}}-{\ dot {x}} {\ ddot {y}}}} \\ y_ {c} -y = & {\ frac {-{\ dot {x}} \ venstre ({\ dot {x}}^{2}+{\ dot {y}}^{2} \ højre)} {{\ dot {y}} {\ ddot {x}}-{\ dot {x}} {\ ddot {y}}}} \ end {justeret}}}

Osculerende cirkel som et minimeringsproblem

Overvej en kurve defineret iboende ved ligningen ${\ textstyle C}$

{\ displaystyle f (x, y) = 0}

som vi kan forestille os som et snit af overfladen ved flyet . Normalen til kurven på et punkt er gradienten på dette tidspunkt ${\ textstyle z = f (x, y)}$ ${\ textstyle z = 0}$ ${\ textstyle \ mathbf {n}}$ ${\ textstyle P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0})}$

{\ displaystyle \ mathbf {n} = (f_ {x}, f_ {y})}

Derfor er centrene i tangentcirklerne givet af

{\ textstyle B _ {\ alpha}}

{\ displaystyle X_ {c} = x_ {0}-\ alfa f_ {x} \, \,; \, \, Y_ {c} = y_ {0}-\ alfa f_ {y}}

hvor er parameteren. For en given radius af IS ${\ textstyle \ alpha}$ ${\ textstyle \ alpha,}$ ${\ textstyle R}$ ${\ textstyle B _ {\ alpha}}$

{\ displaystyle R^{2} = \ alpha^{2} (f_ {x}^{2}+f_ {y}^{2})}

Vi ønsker blandt alle mulige cirkler at finde den, der bedst matcher kurven.

{\ textstyle B _ {\ alpha}}

Koordinaterne for et punkt kan skrives som ${\ textstyle P_ {1} \ i B _ {\ alpha}}$

{\ displaystyle x_ {1} = X_ {c}+R \ cos \ theta \, \,; \, \, y_ {1} = Y_ {c}+R \ sin \ theta}

hvor der for , , dvs.

{\ textstyle \ theta = \ theta _ {0}}

{\ textstyle P_ {1} = P_ {0}}

{\ displaystyle R \ cos \ theta _ {0} = \ alpha f_ {x} \, \,; \, \, R \ sin \ theta _ {0} = \ alpha f_ {y}}

Overvej nu et punkt tæt på , hvor dens "vinkel" er . Udvikling af de trigonometriske funktioner til anden rækkefølge i og ved hjælp af ovenstående relationer, koordinater for are

{\ textstyle P_ {1} \ i B _ {\ alpha}}

{\ textstyle P_ {0}}

{\ textstyle \ theta _ {1} = \ theta _ {0}+d \ theta}

{\ textstyle d \ theta}

{\ displaystyle P_ {1}}

{\ displaystyle {\ begin {align} x_ {1} = & x_ {0} -\ alpha f_ {y} d \ theta -{\ frac {1} {2}} \ alpha f_ {x} \ venstre (d \ theta \ højre)^{2} \\ y_ {1} = & y_ {0}+\ alpha f_ {x} d \ theta -{\ frac {1} {2}} \ alpha f_ {y} \ venstre (d \ theta \ right)^{2} \ end {align}}}

Vi kan nu evaluere funktionen på punktet og dens variation . Variationen er nul til den første rækkefølge i ved konstruktion (til den første rækkefølge i , er på tangentlinjen til kurven ). Variationen, der er proportional med, er

{\ textstyle f (,)}

{\ textstyle P_ {1}}

{\ displaystyle f (x_ {1}, y_ {1})-f (x_ {0}, y_ {0})}

{\ textstyle d \ theta}

{\ textstyle \ theta}

{\ textstyle P_ {1}}

{\ textstyle C}

{\ displaystyle (d \ theta) ^ {2}}

{\ displaystyle df =-{\ frac {1} {2}} \ alpha \ left (f_ {x}^{2}+f_ {y}^{2} \ right)+{\ frac {1} {2 }} \ alpha^{2} \ venstre (f_ {y}^{2} f_ {xx}+f_ {x}^{2} f_ {yy} -f_ {x} f_ {y} f_ {xy} \ ret)}

og denne variation er nul, hvis vi vælger

{\ displaystyle \ alpha = \ left (f_ {x}^{2}+f_ {y}^{2} \ right) {\ bigg /} \ left (f_ {y}^{2} f_ {xx}+ f_ {x}^{2} f_ {åå} -f_ {x} f_ {y} f_ {xy} \ højre)}

Derfor er osculeringscirkelens radius

{\ displaystyle R = \ venstre | {\ frac {\ venstre (f_ {x}^{2}+f_ {y}^{2} \ højre)^{3/2}} {\ venstre (f_ {y} ^{2} f_ {xx}+f_ {x}^{2} f_ {yy} -f_ {x} f_ {y} f_ {xy} \ right)}} \ right |}

For en eksplicit funktion finder vi resultaterne af det foregående afsnit. ${\ displaystyle f (x, y) = yg (x)}$

Ejendomme

For en kurve C givet ved en tilstrækkelig glat parametriske ligninger (to gange kontinuerligt differentiable), kan Osculerende cirkel opnås ved en begrænsende fremgangsmåde: det er grænsen for cirklerne passerer gennem tre forskellige punkter på C som disse punkter nærmer P . Dette er helt analog med konstruktionen af tangenten til en kurve som en begrænsning af de sekant gennem par af forskellige punkter på C nærmer P .

Den osculerende cirkel S til en plan kurve C ved et regelmæssigt punkt P kan karakteriseres ved følgende egenskaber:

Cirklen S passerer gennem P .
Cirklen S og kurven C har den fælles tangentlinje ved P , og derfor den fælles normale linje.
Tæt på P falder afstanden mellem punkterne i kurven C og cirklen S i normal retning som terningen eller en højere effekt af afstanden til P i tangentialretningen.

Dette udtrykkes sædvanligvis som "kurven og dens Osculerende cirkel har den anden eller højere orden kontakt " på P . Løst sagt vektor funktioner repræsenterer C og S er enige sammen med deres første og anden afledede ved P .

Hvis derivatet af krumningen i forhold til s ikke er nul ved P derefter Osculerende cirkel skærer kurven C på P . Punkter P, hvor afledningen af krumningen er nul, kaldes hjørner . Hvis P er et toppunkt, har C og dens osculerende cirkel kontakt af rækkefølge mindst tre. Hvis krumningen i øvrigt har et ikke-nul lokalt maksimum eller minimum ved P , berører den osculerende cirkel kurven C ved P, men krydser den ikke.

Kurven C kan opnås som konvolutten af enparameterfamilien i dens osculerende cirkler. Deres centre, dvs. krumningscentrene, udgør et andet kurve, kaldet evolutten af C . Hjørner af C svarer til entalpunkter på dens udvikling.

Inden for enhver bue af en kurve C, inden for hvilken krumningen er monoton (det vil sige væk fra et hvilket som helst hjørne af kurven), er de osculerende cirkler alle sammenføjede og indlejrede i hinanden. Dette resultat er kendt som Tait-Kneser-sætningen .

Eksempler

Parabel

Parabolens osculerende cirkel ved sit toppunkt har radius 0,5 og fjerde ordens kontakt.

Til parabolen

{\ displaystyle \ gamma (t) = {\ begin {bmatrix} t \\ t^{2} \ end {bmatrix}}}

krumningsradius er

{\ displaystyle R (t) = \ left | {\ frac {\ left (1+4 \ cdot t^{2} \ right)^{\ frac {3} {2}}} {2}} \ right | }

Ved toppunktet er krumningsradius lig med R (0) = 0,5 (se figur). Parabolen har fjerde orden kontakt med sin osculerende cirkel der. For store t stiger krumningsradius ~ t ³ , det vil sige, at kurven retter sig mere og mere. ${\ displaystyle \ gamma (0) = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \ end {bmatrix}}}$

Lissajous kurve

En Lissajous -kurve med frekvensforhold (3: 2) kan parametriseres som følger

{\ displaystyle \ gamma (t) = {\ begin {bmatrix} \ cos (3t) \\\ sin (2t) \ end {bmatrix}}.}

Den har signeret krumning k ( t ), normal enhedsvektor N ( t ) og krumningsradius R ( t ) givet af

{\ displaystyle k (t) = {\ frac {6 \ cos (t) (8 (\ cos t)^{4} -10 (\ cos t)^{2} +5)} {(232 (\ cos t)^{4} -97 (\ cos t)^{2}+13-144 (\ cos t)^{6})^{3/2}}} \ ,,}

{\ displaystyle N (t) = {\ frac {1} {\ | \ gamma '(t) \ |}} \ cdot {\ begin {bmatrix} -2 \ cos (2t) \\-3 \ sin (3t ) \ end {bmatrix}}}

og

{\ displaystyle R (t) = \ left | {\ frac {\ left (232 \ cos ^{4} (t) -97 \ cos ^{2} (t)+13-144 \ cos ^{6} ( t) \ højre) ^{3/2}} {6 \ cos (t) \ venstre (8 \ cos ^{4} (t) -10 \ cos ^{2} (t) +5 \ højre)}} \ højre |.}

Se figuren for en animation. Der er "accelerationsvektoren" det andet derivat med hensyn til buelængden $s$ . ${\ textstyle {\ frac {\ mathrm {d} ^{2} \ gamma (s)} {\ mathrm {d} s ^{2}}}}$

Cycloid

Cycloid (blå), dens osculerende cirkel (rød) og udvikler sig (grøn).

Et cycloid med radius r kan parametriseres som følger:

{\ displaystyle \ gamma (t) = {\ begin {bmatrix} r \ left (t- \ sin t \ right) \\ r \ left (1- \ cos t \ right) \ end {bmatrix}}}

Dens krumning er givet ved følgende formel:

{\ displaystyle \ kappa (t) =-{\ frac {\ left | \ csc \ left ({\ frac {t} {2}} \ right) \ right |} {4r}}}

som giver:

{\ displaystyle R (t) = {\ frac {4r} {\ venstre | \ csc \ venstre ({\ frac {t} {2}} \ højre) \ højre |}}}}

Se også

Noter

^ ^a ^b Ghys, Étienne ; Tabachnikov, Sergei ; Timorin, Vladlen (2013). "Osculerende kurver: omkring Tait-Kneser-sætningen". Den matematiske intelligens . 35 (1): 61–66. arXiv : 1207.5662 . doi : 10.1007/s00283-012-9336-6 . MR 3041992 . S2CID 18183204 .
^ Faktisk vil punkt P plus to ekstra punkter, et på hver side af P gøre. Se Lamb (on line): Horace Lamb (1897). Et elementært forløb med uendelig kalkulation . University Press. s. s. 406 . osculerende cirkel.
^ Weisstein, Eric W. "Cycloid" . MathWorld .

Yderligere læsning

For nogle historiske noter om studiet af krumning, se

Grattan-Guinness & HJM Bos (2000). Fra beregningen til sætteori 1630-1910: En introduktionshistorie . Princeton University Press. s. s. 72. ISBN 0-691-07082-2.
Roy Porter, redaktør (2003). The Cambridge History of Science: v4 - Eighteenth Century Science . Cambridge University Press. s. s. 313. ISBN 0-521-57243-6.

Se anvendelse til manøvrering af køretøjer

JC Alexander og JH Maddocks (1988): Om manøvrering af køretøjer doi : 10.1137/0148002
Murray S. Klamkin (1990). Problemer i anvendt matematik: valg fra SIAM -gennemgang . Society for Industrial and Applied Mathematics. s. s. 1. ISBN 0-89871-259-9.

eksterne links

[gtt-1] Ghys, Étienne ; Tabachnikov, Sergei ; Timorin, Vladlen (2013). "Osculerende kurver: omkring Tait-Kneser-sætningen". Den matematiske intelligens . 35 (1): 61–66. arXiv : 1207.5662 . doi : 10.1007/s00283-012-9336-6 . MR 3041992 . S2CID 18183204 .

[Lamb-2] Faktisk vil punkt P plus to ekstra punkter, et på hver side af P gøre. Se Lamb (on line): Horace Lamb (1897). Et elementært forløb med uendelig kalkulation . University Press. s. s. 406 . osculerende cirkel.

[3] Weisstein, Eric W. "Cycloid" . MathWorld .

Languages

In other projects