Forskel kvotient - Difference quotient

I single-variabel kalkyle , at forskellen kvotienten er normalt det navn til udtryk

${\ displaystyle {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}$

som når det tages til det yderste, når h nærmer sig 0, giver afledningen af funktionen f . Navnet på ekspressionen skyldes, at det er kvotienten af forskellen af værdier af funktionen med forskellen af de tilsvarende værdier af argumentet (sidstnævnte er ( x + h ) - x = h i dette tilfælde). Differencekvotienten er et mål for den gennemsnitlige ændringshastighed for funktionen over et interval (i dette tilfælde et interval af længden h ). Grænsen for differenskvotienten (dvs. derivatet) er således den øjeblikkelige ændringshastighed.

Ved en lille ændring i notation (og synspunkt) i et interval [ a , b ], forskellen kvotienten

${\ displaystyle {\ frac {f (b) -f (a)} {ba}}}$

kaldes middelværdien (eller gennemsnitsværdien) af derivatet af f over intervallet [ a , b ]. Dette navn er begrundet i middelværdisætningen , hvori det hedder, at der for en differentiabel funktion f , dens afledte f ' når sin middelværdi på et tidspunkt i intervallet. Geometrisk måler denne forskelkvotient hældningen af den secant linje, der passerer gennem punkterne med koordinater ( a , f ( a )) og ( b , f ( b )).

Forskelkvoter anvendes som tilnærmelser i numerisk differentiering , men de har også været udsat for kritik i denne applikation.

Forskelkvotienten kaldes undertiden også Newtons kvotient (efter Isaac Newton ) eller Fermats forskelskvotient (efter Pierre de Fermat ).

Oversigt

Den typiske opfattelse af forskelskvotienten diskuteret ovenfor er et særligt tilfælde af et mere generelt koncept. Det primære middel til beregning og anden højere matematik er funktionen . Dens "inputværdi" er dens argument , normalt et punkt ("P"), der kan udtrykkes i en graf. Forskellen mellem to punkter, i sig selv, er kendt som deres Delta (Δ P ), ligesom forskellen i deres funktionsresultat, idet den bestemte notation bestemmes af dannelsesretningen:

• Fremad forskel: Δ F ( P ) = F ( P + Δ P ) - F ( P );
• Central forskel: δF (P) = F (P + ½ΔP) - F (P - ½ΔP);
• Bagudforskel: ∇F (P) = F (P) - F (P - ΔP).

Den generelle præference er den fremadrettede orientering, da F (P) er basen, hvortil forskelle (dvs. "AP") føjes til den. Desuden,

• Hvis | ΔP | er endelig (betyder målbar), så er AF (P) kendt som en endelig forskel med specifikke betegnelser for DP og DF (P);
• Hvis | ΔP | er uendeligt lille (en uendelig lille mængde - —udtrykkes sædvanligvis i standardanalyse som en grænse :), så er ΔF (P) kendt som en uendelig minimal forskel med specifikke betegnelser for dP og dF (P) (i beregningsgrafen er punktet næsten udelukkende identificeret som "x" og F (x) som "y").${\ displaystyle \ iota}$${\ displaystyle \ lim _ {\ Delta P \ rightarrow 0} \, \!}$

Funktionsforskellen divideret med punktforskellen er kendt som "differenskvotient":

${\ displaystyle {\ frac {\ Delta F (P)} {\ Delta P}} = {\ frac {F (P + \ Delta P) -F (P)} {\ Delta P}} = {\ frac {\ nabla F (P + \ Delta P)} {\ Delta P}}. \, \!}$

Hvis ΔP er uendelig, er forskellen kvotienten et derivat , ellers er det en delt forskel :

${\ displaystyle {\ text {If}} | \ Delta P | = {\ mathit {\ iota}}: \ quad {\ frac {\ Delta F (P)} {\ Delta P}} = {\ frac {dF (P)} {dP}} = F '(P) = G (P); \, \!}$

${\ displaystyle {\ text {If}} | \ Delta P |> {\ mathit {\ iota}}: \ quad {\ frac {\ Delta F (P)} {\ Delta P}} = {\ frac {DF (P)} {DP}} = F [P, P + \ Delta P]. \, \!}$

Definere punktinterval

Uanset om ΔP er uendelig eller endelig, er der (i det mindste - i tilfælde af derivatet - teoretisk) et punktinterval, hvor grænserne er P ± (0,5) ΔP (afhængigt af orienteringen — ΔF (P), δF ( P) eller ∇F (P)):

LB = Nedre grænse; UB = øvre grænse;

Derivater kan betragtes som funktioner selv og huser deres egne derivater. Således er hver funktion hjem for sekventielle grader ("højere ordrer") af afledning eller differentiering . Denne egenskab kan generaliseres til alle forskelkvoter.
Da dette sekventering kræver en tilsvarende grænse splintring, er det praktisk at opbryde punkt interval i mindre, lige stor størrelse sektioner, hvor hver sektion er markeret med en formidler punkt ( P _i ), hvor LB = P ₀ og UB = P _ñ den n th punkt, svarende til den grad / rækkefølge:

  LB =  P0  = P0 + 0Δ1P     = Pń − (Ń-0)Δ1P;
        P1  = P0 + 1Δ1P     = Pń − (Ń-1)Δ1P;
        P2  = P0 + 2Δ1P     = Pń − (Ń-2)Δ1P;
        P3  = P0 + 3Δ1P     = Pń − (Ń-3)Δ1P;
            ↓      ↓        ↓       ↓
       Pń-3 = P0 + (Ń-3)Δ1P = Pń − 3Δ1P;
       Pń-2 = P0 + (Ń-2)Δ1P = Pń − 2Δ1P;
       Pń-1 = P0 + (Ń-1)Δ1P = Pń − 1Δ1P;
  UB = Pń-0 = P0 + (Ń-0)Δ1P = Pń − 0Δ1P = Pń;

  ΔP = Δ1P = P1 − P0 = P2 − P1 = P3 − P2 = ... = Pń − Pń-1;

  ΔB = UB − LB = Pń − P0 = ΔńP = ŃΔ1P.

Den primære forskelkvotient ( Ń = 1)

${\ displaystyle {\ frac {\ Delta F (P_ {0})} {\ Delta P}} = {\ frac {F (P _ {\ acute {n}}) - F (P_ {0})} {\ Delta _ {\ acute {n}} P}} = {\ frac {F (P_ {1}) - F (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P}} = {\ frac {F ( P_ {1}) - F (P_ {0})} {P_ {1} -P_ {0}}}. \, \!}$

Som et derivat

Differencekvotienten som et derivat behøver ingen forklaring, bortset fra at påpege, at da P _{0 i det} væsentlige er lig med P ₁ = P ₂ = ... = P _ń (da forskellene er uendelig), gør Leibniz-notationen og afledte udtryk ikke skelne mellem P og P ₀ eller P _ń :

${\ displaystyle {\ frac {dF (P)} {dP}} = {\ frac {F (P_ {1}) - F (P_ {0})} {dP}} = F '(P) = G ( P). \, \!}$

Der er andre afledte notationer , men disse er de mest anerkendte standardbetegnelser.

Som en delt forskel

En delt forskel kræver dog yderligere belysning, da den er lig med det gennemsnitlige derivat mellem og inklusive LB og UB:

${\ displaystyle {\ begin {align} P _ {(tn)} & = LB + {\ frac {TN-1} {UT-1}} \ Delta B \ = UB - {\ frac {UT-TN} {UT- 1}} \ Delta B; \\ [10pt] & {} \ qquad {\ color {white}.} (P _ {(1)} = LB, \ P _ {(ut)} = UB) {\ color {white }.} \\ [10pt] F '(P _ {\ tilde {a}}) & = F' (LB <P <UB) = \ sum _ {TN = 1} ^ {UT = \ infty} {\ frac {F '(P _ {(tn)})} {UT}}. \ Slut {justeret}}}$

I denne fortolkning repræsenterer P _ã en ekstraheret funktion, gennemsnitsværdi af P (mellemområde, men normalt ikke ligefrem midtpunkt), den særlige værdiansættelse afhængigt af den gennemsnitlige funktion, den ekstraheres fra. Mere formelt findes P _ã i middelværdisætningen for calculus, som siger:

For enhver funktion, der er kontinuerlig på [LB, UB] og differentierbar på (LB, UB), findes der noget P _ã i intervallet (LB, UB), således at den sekant, der forbinder slutpunkterne for intervallet [LB, UB], er parallel til tangenten ved P _ã .

I det væsentlige betegner P _{ã en eller} anden værdi af P mellem LB og UB - derfor

${\ displaystyle P _ {\ tilde {a}}: = LB <P <UB = P_ {0} <P <P _ {\ acute {n}} \, \!}$

der forbinder gennemsnitsværdien med den delte forskel:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {DF (P_ {0})} {DP}} & = F [P_ {0}, P_ {1}] = {\ frac {F (P_ {1} ) -F (P_ {0})} {P_ {1} -P_ {0}}} = F '(P_ {0} <P <P_ {1}) = \ sum _ {TN = 1} ^ {UT = \ infty} {\ frac {F '(P _ {(tn)})} {UT}}, \\ [8pt] & = {\ frac {DF (LB)} {DB}} = {\ frac {\ Delta F (LB)} {\ Delta B}} = {\ frac {\ nabla F (UB)} {\ Delta B}}, \\ [8pt] & = F [LB, UB] = {\ frac {F (UB) -F (LB)} {UB-LB}}, \\ [8pt] & = F '(LB <P <UB) = G (LB <P <UB). \ End {justeret}}}$

Da der er, ud fra selve definitionen, en håndgribelig forskel mellem LB / P ₀ og UB / P _ñ , Leibniz og afledte udtryk gør kræver divarication af funktionen argumentet.

Højere ordens forskelkvoter

Anden ordre

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ Delta ^ {2} F (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P ^ {2}}} & = {\ frac {\ Delta F '(P_ {0})} {\ Delta _ {1} P}} = {\ frac {{\ frac {\ Delta F (P_ {1})} {\ Delta _ {1} P}} - {\ frac {\ Delta F (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P}}} {\ Delta _ {1} P}}, \\ [10pt] & = {\ frac {{\ frac {F (P_ {2}) - F (P_ {1})} {\ Delta _ {1} P}} - {\ frac {F (P_ {1}) - F (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P}}} {\ Delta _ {1} P}}, \\ [10pt] & = {\ frac {F (P_ {2}) - 2F (P_ {1}) + F (P_ {0 })} {\ Delta _ {1} P ^ {2}}}; \ end {justeret}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d ^ {2} F (P)} {dP ^ {2}}} & = {\ frac {dF '(P)} {dP}} = {\ frac {F '(P_ {1}) - F' (P_ {0})} {dP}}, \\ [10pt] & = \ {\ frac {dG (P)} {dP}} = {\ frac {G (P_ {1}) - G (P_ {0})} {dP}}, \\ [10pt] & = {\ frac {F (P_ {2}) - 2F (P_ {1}) + F (P_ {0})} {dP ^ {2}}}, \\ [10pt] & = F '' (P) = G '(P) = H (P) \ ende {justeret}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {D ^ {2} F (P_ {0})} {DP ^ {2}}} & = {\ frac {DF '(P_ {0})} { DP}} = {\ frac {F '(P_ {1} <P <P_ {2}) - F' (P_ {0} <P <P_ {1})} {P_ {1} -P_ {0} }}, \\ [10pt] & {\ color {white}.} \ Qquad \ neq {\ frac {F '(P_ {1}) - F' (P_ {0})} {P_ {1} -P_ {0}}}, \\ [10pt] & = F [P_ {0}, P_ {1}, P_ {2}] = {\ frac {F (P_ {2}) - 2F (P_ {1}) + F (P_ {0})} {(P_ {1} -P_ {0}) ^ {2}}}, \\ [10pt] & = F '' (P_ {0} <P <P_ {2} ) = \ sum _ {TN = 1} ^ {\ infty} {\ frac {F '' (P _ {(tn)})} {UT}}, \\ [10pt] & = G '(P_ {0} <P <P_ {2}) = H (P_ {0} <P <P_ {2}). \ Slut {justeret}}}$

Tredje ordre

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ Delta ^ {3} F (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P ^ {3}}} & = {\ frac {\ Delta ^ {2} F '(P_ {0})} {\ Delta _ {1} P ^ {2}}} = {\ frac {\ Delta F' '(P_ {0})} {\ Delta _ {1} P}} = {\ frac {{\ frac {\ Delta F '(P_ {1})} {\ Delta _ {1} P}} - {\ frac {\ Delta F' (P_ {0})} { \ Delta _ {1} P}}} {\ Delta _ {1} P}}, \\ [10pt] & = {\ frac {{\ frac {{\ frac {\ Delta F (P_ {2})} {\ Delta _ {1} P}} - {\ frac {\ Delta F '(P_ {1})} {\ Delta _ {1} P}}} {\ Delta _ {1} P}} - {\ frac {{\ frac {\ Delta F '(P_ {1})} {\ Delta _ {1} P}} - {\ frac {\ Delta F' (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P}}} {\ Delta _ {1} P}}} {\ Delta _ {1} P}}, \\ [10pt] & = {\ frac {{\ frac {F (P_ {3}) - 2F (P_ {2}) + F (P_ {1})} {\ Delta _ {1} P ^ {2}}} - {\ frac {F (P_ {2}) - 2F (P_ {1}) + F (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P ^ {2}}}} {\ Delta _ {1} P}}, \\ [10pt] & = {\ frac {F (P_ {3 }) - 3F (P_ {2}) + 3F (P_ {1}) - F (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P ^ {3}}}; \ end {justeret}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d ^ {3} F (P)} {dP ^ {3}}} & = {\ frac {d ^ {2} F '(P)} {dP ^ {2}}} = {\ frac {dF '' (P)} {dP}} = {\ frac {F '' (P_ {1}) - F '' (P_ {0})} {dP} }, \\ [10pt] & = {\ frac {d ^ {2} G (P)} {dP ^ {2}}} \ = {\ frac {dG '(P)} {dP}} \ = { \ frac {G '(P_ {1}) - G' (P_ {0})} {dP}}, \\ [10pt] & {\ color {white}.} \ qquad \ qquad \ \ = {\ frac {dH (P)} {dP}} \ = {\ frac {H (P_ {1}) - H (P_ {0})} {dP}}, \\ [10pt] & = {\ frac {G ( P_ {2}) - 2G (P_ {1}) + G (P_ {0})} {dP ^ {2}}}, \\ [10pt] & = {\ frac {F (P_ {3}) - 3F (P_ {2}) + 3F (P_ {1}) - F (P_ {0})} {dP ^ {3}}}, \\ [10pt] & = F '' '(P) = G' '(P) = H' (P) = I (P); \ slut {justeret}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {D ^ {3} F (P_ {0})} {DP ^ {3}}} & = {\ frac {D ^ {2} F '(P_ { 0})} {DP ^ {2}}} = {\ frac {DF '' (P_ {0})} {DP}} = {\ frac {F '' (P_ {1} <P <P_ {3 }) - F '' (P_ {0} <P <P_ {2})} {P_ {1} -P_ {0}}}, \\ [10pt] & {\ color {white}.} \ Qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ \ \ neq {\ frac {F '' (P_ {1}) - F '' (P_ {0})} {P_ {1} -P_ {0}}}, \\ [10pt] & = {\ frac {{\ frac {F '(P_ {2} <P <P_ {3}) - F' (P_ {1} <P <P_ {2})} {P_ {1} -P_ {0}}} - {\ frac {F '(P_ {1} <P <P_ {2}) - F' (P_ {0} <P <P_ {1})} {P_ {1} - P_ {0}}}} {P_ {1} -P_ {0}}}, \\ [10pt] & = {\ frac {F '(P_ {2} <P <P_ {3}) - 2F' ( P_ {1} <P <P_ {2}) + F '(P_ {0} <P <P_ {1})} {(P_ {1} -P_ {0}) ^ {2}}}, \\ [10pt] & = F [P_ {0}, P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}] = {\ frac {F (P_ {3}) - 3F (P_ {2}) + 3F ( P_ {1}) - F (P_ {0})} {(P_ {1} -P_ {0}) ^ {3}}}, \\ [10pt] & = F '' '(P_ {0} < P <P_ {3}) = \ sum _ {TN = 1} ^ {UT = \ infty} {\ frac {F '' '(P _ {(tn)})} {UT}}, \\ [10pt] & = G '' (P_ {0} <P <P_ {3}) \ = H '(P_ {0} <P <P_ {3}) = I (P_ {0} <P <P_ {3}) . \ end {justeret}}}$

N th ordre

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta ^ {\ acute {n}} F (P_ {0}) & = F ^ {({\ acute {n}} - 1)} (P_ {1}) - F ^ {({\ acute {n}} - 1)} (P_ {0}), \\ [10pt] & = {\ frac {F ^ {({\ acute {n}} - 2)} (P_ {2}) - F ^ {({\ acute {n}} - 2)} (P_ {1})} {\ Delta _ {1} P}} - {\ frac {F ^ {({\ acute { n}} - 2)} (P_ {1}) - F ^ {({\ acute {n}} - 2)} (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P}}, \\ [ 10pt] & = {\ frac {{\ frac {F ^ {({\ acute {n}} - 3)} (P_ {3}) - F ^ {({\ acute {n}} - 3)} ( P_ {2})} {\ Delta _ {1} P}} - {\ frac {F ^ {({\ acute {n}} - 3)} (P_ {2}) - F ^ {({\ acute {n}} - 3)} (P_ {1})} {\ Delta _ {1} P}}} {\ Delta _ {1} P}} \\ [10pt] & {\ color {white}.} \ qquad - {\ frac {{\ frac {F ^ {({\ acute {n}} - 3)} (P_ {2}) - F ^ {({\ acute {n}} - 3)} (P_ {1})} {\ Delta _ {1} P}} - {\ frac {F ^ {({\ acute {n}} - 3)} (P_ {1}) - F ^ {({\ acute { n}} - 3)} (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P}}} {\ Delta _ {1} P}}, \\ [10pt] & = \ cdots \ end {justeret} }}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ Delta ^ {\ acute {n}} F (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P ^ {\ acute {n}}}} & = {\ frac {\ sum _ {I = 0} ^ {\ akut {N}} {- 1 \ vælg {\ akut {N}} - I} {{\ akut {N}} \ vælg I} F ( P_ {0} + I \ Delta _ {1} P)} {\ Delta _ {1} P ^ {\ acute {n}}}}; \\ [10pt] & {\ frac {\ nabla ^ {\ acute {n}} F (P _ {\ acute {n}})} {\ Delta _ {1} P ^ {\ acute {n}}}} \\ [10pt] & = {\ frac {\ sum _ {I = 0} ^ {\ akut {N}} {- 1 \ vælg I} {{\ akut {N}} \ vælg I} F (P _ {\ akut {n}} - I \ Delta _ {1} P) } {\ Delta _ {1} P ^ {\ acute {n}}}}; \ end {justeret}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d ^ {\ acute {n}} F (P_ {0})} {dP ^ {\ acute {n}}}} & = {\ frac {d ^ {{\ acute {n}} - 1} F '(P_ {0})} {dP ^ {{\ acute {n}} - 1}}} = {\ frac {d ^ {{\ acute {n} } -2} F '' (P_ {0})} {dP ^ {{\ acute {n}} - 2}}} = {\ frac {d ^ {{\ acute {n}} - 3} F ' '' (P_ {0})} {dP ^ {{\ acute {n}} - 3}}} = \ cdots = {\ frac {d ^ {{\ acute {n}} - r} F ^ {( r)} (P_ {0})} {dP ^ {{\ akut {n}} - r}}}, \\ [10pt] & = {\ frac {d ^ {{akut {n}} - 1 } G (P_ {0})} {dP ^ {{\ acute {n}} - 1}}} \\ [10pt] & = {\ frac {d ^ {{\ acute {n}} - 2} G '(P_ {0})} {dP ^ {{\ acute {n}} - 2}}} = \ {\ frac {d ^ {{\ acute {n}} - 3} G' '(P_ {0 })} {dP ^ {{\ acute {n}} - 3}}} = \ cdots = {\ frac {d ^ {{\ acute {n}} - r} G ^ {(r-1)} ( P_ {0})} {dP ^ {{\ acute {n}} - r}}}, \\ [10pt] & {\ color {white}.} \ Qquad \ qquad \ qquad = {\ frac {d ^ {{\ akut {n}} - 2} H (P_ {0})} {dP ^ {{\ akut {n}} - 2}}} = \ {\ frac {d ^ {{\ akut {n} } -3} H '(P_ {0})} {dP ^ {{\ acute {n}} - 3}}} = \ cdots = {\ frac {d ^ {{\ acute {n}} - r} H ^ {(r-2)} (P_ {0})} {dP ^ {{\ acute {n}} - r}}}, \\ & {\ color {white}.} \ Qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ = \ {\ frac {d ^ {{\ acute {n}} - 3} I (P_ {0})} {dP ^ {{\ acute {n}} - 3}}} = \ cdots = {\ frac {d ^ {{\ akut { n}} - r} I ^ {(r-3)} (P_ {0})} {dP ^ {{\ acute {n}} - r}}}, \\ [10pt] & = F ^ {( {\ acute {n}})} (P) = G ^ {({\ acute {n}} - 1)} (P) = H ^ {({\ acute {n}} - 2)} (P) = I ^ {({\ acute {n}} - 3)} (P) = \ cdots \ end {justeret}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {D ^ {\ acute {n}} F (P_ {0})} {DP ^ {\ acute {n}}}} & = F [P_ {0} , P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}, \ ldots, P _ {{\ acute {n}} - 3}, P _ {{\ acute {n}} - 2}, P _ {{\ acute {n}} - 1}, P _ {\ acute {n}}], \\ [10pt] & = F ^ {({\ acute {n}})} (P_ {0} <P <P _ {\ acute {n}}) = \ sum _ {TN = 1} ^ {UT = \ infty} {\ frac {F ^ {({\ acute {n}})} (P _ {(tn)})} {UT} } \\ [10pt] & = F ^ {({\ acute {n}})} (LB <P <UB) = G ^ {({\ acute {n}} - 1)} (LB <P <UB ) = \ cdots \ end {align}}}$

Anvendelse af den delte forskel

Den afgørende anvendelse af den delte forskel er i præsentationen af ​​den bestemte integral, hvilket ikke er mere end en endelig forskel:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {LB} ^ {UB} G (p) \, dp & = \ int _ {LB} ^ {UB} F '(p) \, dp = F (UB) -F (LB), \\ [10pt] & = F [LB, UB] \ Delta B, \\ [10pt] & = F '(LB <P <UB) \ Delta B, \\ [10pt] & = \ G (LB <P <UB) \ Delta B. \ end {justeret}}}$

I betragtning af at middelværdien, afledt ekspressionsform giver alle de samme oplysninger som den klassiske integrale notation, kan middelværdiformen være det foretrukne udtryk, såsom i skriftsteder, der kun understøtter / accepterer standard ASCII- tekst eller i tilfælde, der kun kræve det gennemsnitlige afledte (f.eks. når man finder den gennemsnitlige radius i en elliptisk integral). Dette gælder især for bestemte integraler, der teknisk har (f.eks.) 0 og enten eller som grænser, med den samme opdelte forskel fundet som med grænser på 0 og (hvilket kræver mindre gennemsnitsindsats): ${\ displaystyle \ pi \, \!}$${\ displaystyle 2 \ pi \, \!}$${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {\ pi} {2}} \ end {matrix}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} F '(p) \, dp & = 4 \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} F '(p) \, dp = F (2 \ pi) -F (0) = 4 (F ({\ begin {matrix} {\ frac {\ pi} {2}} \ end {matrix}}) - F (0)), \\ [10pt] & = 2 \ pi F [0,2 \ pi] = 2 \ pi F '(0 <P <2 \ pi), \\ [10pt] & = 2 \ pi F [0, {\ begin {matrix} {\ frac {\ pi} {2}} \ end {matrix}}] = 2 \ pi F '(0 <P <{\ begin {matrix} {\ frac {\ pi } {2}} \ end {matrix}}). \ End {justeret}}}$

Dette bliver også særligt nyttigt, når det drejer sig om itererede og multiple integrale s (ΔA = AU - AL, ΔB = BU - BL, ΔC = CU - CL):

${\ displaystyle {\ begin {align} & {} \ qquad \ int _ {CL} ^ {CU} \ int _ {BL} ^ {BU} \ int _ {AL} ^ {AU} F '(r, q , p) \, dp \, dq \, dr \\ [10pt] & = \ sum _ {T \! C = 1} ^ {U \! C = \ infty} \ left (\ sum _ {T \! B = 1} ^ {U \! B = \ infty} \ left (\ sum _ {T \! A = 1} ^ {U \! A = \ infty} F ^ {'} (R _ {(tc)} : Q _ {(tb)}: P _ {(ta)}) {\ frac {\ Delta A} {U \! A}} \ højre) {\ frac {\ Delta B} {U \! B}} \ højre ) {\ frac {\ Delta C} {U \! C}}, \\ [10pt] & = F '(C \! L <R <CU: BL <Q <BU: AL <P <\! AU) \ Delta A \, \ Delta B \, \ Delta C. \ end {justeret}}}$

Derfor,

${\ displaystyle F '(R, Q: AL <P <AU) = \ sum _ {T \! A = 1} ^ {U \! A = \ infty} {\ frac {F' (R, Q: P_ {(ta)})} {U \! A}}; \, \!}$

og

${\ displaystyle F '(R: BL <Q <BU: AL <P <AU) = \ sum _ {T \! B = 1} ^ {U \! B = \ infty} \ left (\ sum _ {T \! A = 1} ^ {U \! A = \ infty} {\ frac {F '(R: Q _ {(tb)}: P _ {(ta)})} {U \! A}} \ højre) {\ frac {1} {U \! B}}. \, \!}$

Se også

• Opdelte forskelle
• Fermat teori
• Newton polynom
• Rektangel metode
• Kvotientregel
• Symmetrisk forskelkvotient

Referencer

eksterne links

• Saint Vincent College: Br. David Carlson, OSB— MA109 Forskellen kvotient
• University of Birmingham: Dirk Hermans— Opdelte forskelle
• Mathworld:
  • Opdelt forskel
  • Teorem for middelværdi
• University of Wisconsin: Thomas W. Reps og Louis B. Rall— Computational Divided Differentiering og Divided-Difference Arithmetics
• Interaktiv simulator på differenskvotient for at forklare afledningen