Liste over små grupper - List of small groups

Den følgende liste i matematik indeholder de begrænsede grupper af små orden op til gruppe isomorfisme .

Tæller

For n = 1, 2, ... antallet af nonisomorphic grupper af orden n er

1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 5, 1, 5, ... (sekvens A000001 i OEIS )

For mærkede grupper, se OEIS :  A034383 .

Ordliste

Hver gruppe er navngivet af deres Small Groups -bibliotek som G _o ⁱ , hvor o er gruppens rækkefølge, og i er indekset for gruppen inden for den rækkefølge.

Almindelige gruppenavne:

• Z _n : den cykliske gruppe af rækkefølge n (notationen _Cn bruges også; den er isomorf for additivgruppen af Z / n Z ).
• Dih _n : den dihedrale gruppe af orden 2 n (ofte bruges betegnelsen D _n eller D _{2 n} )
  • K ₄ : Klein-fire-gruppen i orden 4, samme som Z ₂ × Z ₂ og Dih ₂ .
• S _n : den symmetriske gruppe af grad n , der indeholder n ! permutationer af n elementer.
• A _n : den vekslende gruppe af grad n , der indeholder de jævne permutationer af n elementer, af orden 1 for n = 0, 1 , og rækkefølge n !/2 ellers.
• Dic _n eller Q _4n : den dicykliske gruppe af orden 4 n .
  • Q ₈ : quaternion -gruppen i orden 8, også Dic ₂ .

Notationerne Z _n og Dih _n har den fordel, at punktgrupper i tre dimensioner C _n og D _n ikke har samme notation. Der er flere isometri grupper end disse to, af samme abstrakte gruppetype.

Notationen G × H betegner det direkte produkt af de to grupper; G ⁿ betegner det direkte produkt af en gruppe med sig selv n gange. G ⋊ H betegner et semidirekt produkt, hvor H virker på G ; dette kan også afhænge af valget af handling af H på G

Abelske og enkle grupper noteres. (For grupper af orden n <60 er de enkle grupper netop de cykliske grupper Z _n , for prim n .) Lighedstegnet ("=") betegner isomorfisme.

Identitetselementet i cyklusgraferne er repræsenteret af den sorte cirkel. Den laveste rækkefølge, som cykeldiagrammet ikke entydigt repræsenterer en gruppe, er rækkefølge 16.

I listerne over undergrupper er den trivielle gruppe og selve gruppen ikke opført. Hvor der er flere isomorfe undergrupper, angives antallet af sådanne undergrupper i parentes.

Vinkelparenteser <relationer> viser præsentationen af ​​en gruppe .

Liste over små abelske grupper

De endelige abeliske grupper er enten cykliske grupper eller direkte produkter deraf; se abelske grupper . Antallet af ikke -isomorfe abelske grupper af ordrer n = 1, 2, ... er

1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 5, 1, 2, 1, 2, ... (sekvens A000688 i OEIS )

For mærkede abelske grupper, se OEIS :  A034382 .

Liste over alle abelske grupper op til ordre 31

Bestille	Id.	G o i	Gruppe	Ikke-trivielle rigtige undergrupper	cyklus graf	Ejendomme
1	1	G 1 1	Z 1 = S 1 = A 2	-		Trivial . Cyklisk. Skiftevis. Symmetrisk. Elementær .
2	2	G 2 1	Z 2 = S 2 = D 2	-		Enkel. Symmetrisk. Cyklisk. Elementære. (Mindste ikke-trivielle gruppe.)
3	3	G 3 1	Z 3 = A 3	-		Enkel. Skiftevis. Cyklisk. Elementære.
4	4	G 4 1	Z 4 = Dic 1	Z 2		Cyklisk.
	5	G 4 2	Z 2 2 = K 4 = D 4	Z 2 (3)		Elementære. Produkt . ( Klein fire-gruppe . Den mindste ikke-cykliske gruppe.)
5	6	G 5 1	Z 5	-		Enkel. Cyklisk. Elementære.
6	8	G 6 2	Z 6 = Z 3 × Z 2	Z 3 , Z 2		Cyklisk. Produkt.
7	9	G 7 1	Z 7	-		Enkel. Cyklisk. Elementære.
8	10	G 8 1	Z 8	Z 4 , Z 2		Cyklisk.
	11	G 8 2	Z 4 × Z 2	Z 2 2 , Z 4 (2), Z 2 (3)		Produkt.
	14	G 8 5	Z 2 3	Z 2 2 (7), Z 2 (7)		Produkt. Elementære. (Ikke-identitetselementerne svarer til punkterne i Fano-planet , Z 2 × Z 2- undergrupperne til linjerne.)
9	15	G 9 1	Z 9	Z 3		Cyklisk.
	16	G 9 2	Z 3 2	Z 3 (4)		Elementære. Produkt.
10	18	G 10 2	Z 10 = Z 5 × Z 2	Z 5 , Z 2		Cyklisk. Produkt.
11	19	G 11 1	Z 11	-		Enkel. Cyklisk. Elementære.
12	21	G 12 2	Z 12 = Z 4 × Z 3	Z 6 , Z 4 , Z 3 , Z 2		Cyklisk. Produkt.
	24	G 12 5	Z 6 × Z 2 = Z 3 × Z 2 2	Z 6 (3), Z 3 , Z 2 (3), Z 2 2		Produkt.
13	25	G 13 1	Z 13	-		Enkel. Cyklisk. Elementære.
14	27	G 14 2	Z 14 = Z 7 × Z 2	Z 7 , Z 2		Cyklisk. Produkt.
15	28	G 15 1	Z 15 = Z 5 × Z 3	Z 5 , Z 3		Cyklisk. Produkt.
16	29	G 16 1	Z 16	Z 8 , Z 4 , Z 2		Cyklisk.
	30	G 16 2	Z 4 2	Z 2 (3), Z 4 (6), Z 2 2 , Z 4 × Z 2 (3)		Produkt.
	33	G 16 5	Z 8 × Z 2	Z 2 (3), Z 4 (2), Z 2 2 , Z 8 (2), Z 4 × Z 2		Produkt.
	38	G 16 10	Z 4 × Z 2 2	Z 2 (7), Z 4 (4), Z 2 2 (7), Z 2 3 , Z 4 × Z 2 (6)		Produkt.
	42	G 16 14	Z 2 4 = K 4 2	Z 2 (15), Z 2 2 (35), Z 2 3 (15)		Produkt. Elementære.
17	43	G 17 1	Z 17	-		Enkel. Cyklisk. Elementære.
18	45	G 18 2	Z 18 = Z 9 × Z 2	Z 9 , Z 6 , Z 3 , Z 2		Cyklisk. Produkt.
	48	G 18 5	Z 6 × Z 3 = Z 3 2 × Z 2	Z 6 , Z 3 , Z 2		Produkt.
19	49	G 19 1	Z 19	-		Enkel. Cyklisk. Elementære.
20	51	G 20 2	Z 20 = Z 5 × Z 4	Z 10 , Z 5 , Z 4 , Z 2		Cyklisk. Produkt.
	54	G 20 5	Z 10 × Z 2 = Z 5 × Z 2 2	Z 5 , Z 2		Produkt.
21	56	G 21 2	Z 21 = Z 7 × Z 3	Z 7 , Z 3		Cyklisk. Produkt.
22	58	G 22 2	Z 22 = Z 11 × Z 2	Z 11 , Z 2		Cyklisk. Produkt.
23	59	G 23 1	Z 23	-		Enkel. Cyklisk. Elementære.
24	61	G 24 2	Z 24 = Z 8 × Z 3	Z 12 , Z 8 , Z 6 , Z 4 , Z 3 , Z 2		Cyklisk. Produkt.
	68	G 24 9	Z 12 × Z 2 = Z 6 × Z 4 = Z 4 × Z 3 × Z 2	Z 12 , Z 6 , Z 4 , Z 3 , Z 2		Produkt.
	74	G 24 15	Z 6 × Z 2 2 = Z 3 × Z 2 3	Z 6 , Z 3 , Z 2		Produkt.
25	75	G 25 1	Z 25	Z 5		Cyklisk.
	76	G 25 2	Z 5 2	Z 5		Produkt. Elementære.
26	78	G 26 2	Z 26 = Z 13 × Z 2	Z 13 , Z 2		Cyklisk. Produkt.
27	79	G 27 1	Z 27	Z 9 , Z 3		Cyklisk.
	80	G 27 2	Z 9 × Z 3	Z 9 , Z 3		Produkt.
	83	G 27 5	Z 3 3	Z 3		Produkt. Elementære.
28	85	G 28 2	Z 28 = Z 7 × Z 4	Z 14 , Z 7 , Z 4 , Z 2		Cyklisk. Produkt.
	87	G 28 4	Z 14 × Z 2 = Z 7 × Z 2 2	Z 14 , Z 7 , Z 4 , Z 2		Produkt.
29	88	G 29 1	Z 29	-		Enkel. Cyklisk. Elementære.
30	92	G 30 4	Z 30 = Z 15 × Z 2 = Z 10 × Z 3 = Z 6 × Z 5 = Z 5 × Z 3 × Z 2	Z 15 , Z 10 , Z 6 , Z 5 , Z 3 , Z 2		Cyklisk. Produkt.
31	93	G 31 1	Z 31	-		Enkel. Cyklisk. Elementære.

Liste over små ikke-abelske grupper

Antallet af ikke-abelske grupper, efter rækkefølge, tælles med (sekvens A060689 i OEIS ). Mange ordrer har imidlertid ingen ikke-abelske grupper. De ordrer, som der findes en ikke-abelsk gruppe for, er

6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 46, 48, 50, ... (sekvens A060652 i OEIS )

Liste over alle nonabeliske grupper op til ordre 31

Bestille	Id.	G o i	Gruppe	Ikke-trivielle rigtige undergrupper	cyklus graf	Ejendomme
6	7	G 6 1	D 6 = S 3 = Z 3, Z 2	Z 3 , Z 2 (3)		Dihedral gruppe , Dih 3 , den mindste ikke-abelske gruppe, symmetrisk gruppe, Frobenius gruppe.
8	12	G 8 3	D 8	Z 4 , Z 2 2 (2), Z 2 (5)		Dihedral gruppe, Dih 4 . Ekstra speciel gruppe . Nilpotent.
	13	G 8 4	Q 8	Z 4 (3), Z 2		Quaternion -gruppe , Hamiltonian -gruppe . Alle undergrupper er normale uden at gruppen er abelsk. Den mindste gruppe G demonstrerer, at for en normal undergruppe H af kvotienten gruppe G / H behøver ikke være isomorf til en undergruppe af G . Ekstra speciel gruppe . Dic 2 , Binær dihedral gruppe <2,2,2>. Nilpotent.
10	17	G 10 1	D 10	Z 5 , Z 2 (5)		Dihedral gruppe, Dih 5 , Frobenius gruppe.
12	20	G 12 1	Q 12 = Z 3, Z 4	Z 2 , Z 3 , Z 4 (3), Z 6		Dicyklisk gruppe Dic 3 , Binær dihedral gruppe, <3,2,2>
	22	G 12 3	A 4 = K 4 ⋊ Z 3 = (Z 2 × Z 2 ) ⋊ Z 3	Z 2 2 , Z 3 (4), Z 2 (3)		Skiftevis gruppe . Ingen undergrupper af orden 6, selvom 6 deler sin rækkefølge. Frobenius gruppe. Kiral tetraedral symmetri (T)
	23	G 12 4	D 12 = D 6 × Z 2	Z 6 , D 6 (2), Z 2 2 (3), Z 3 , Z 2 (7)		Dihedral gruppe, Dih 6 , produkt.
14	26	G 14 1	D 14	Z 7 , Z 2 (7)		Dihedral gruppe , Dih 7 , Frobenius gruppe
16	31	G 16 3	G 4,4 = K 4 ⋊ Z 4	E 8 , Z 4 × Z 2 (2), Z 4 (4), K 4 (6), Z 2 (6)		Har det samme antal elementer i hver orden som Pauli -gruppen. Nilpotent.
	32	G 16 4	Z 4, Z 4			Elementernes firkanter danner ikke en undergruppe. Har det samme antal elementer i hver ordre som Q 8 × Z 2 . Nilpotent.
	34	G 16 6	Z 8, Z 2			Nogle gange kaldet den modulære gruppe af orden 16, selvom dette er vildledende, da abelske grupper og Q 8 × Z 2 også er modulære. Nilpotent.
	35	G 16 7	D 16	Z 8 , D 8 (2), Z 2 2 (4), Z 4 , Z 2 (9)		Dihedral gruppe , Dih 8 . Nilpotent.
	36	G 16 8	QD 16			Ordren 16 quasidihedral gruppe . Nilpotent.
	37	G 16 9	Spørgsmål 16			Generaliseret quaternion -gruppe , Dicyklisk gruppe Dic 4 , binær dihedral gruppe, <4,2,2>. Nilpotent.
	39	G 16 11	D 8 × Z 2	D 8 (4), Z 4 × Z 2 , Z 2 3 (2), Z 2 2 (13), Z 4 (2), Z 2 (11)		Produkt. Nilpotent.
	40	G 16 12	Q 8 × Z 2			Hamiltonian , produkt. Nilpotent.
	41	G 16 13	(Z 4 × Z 2 ) ⋊ Z 2			Den Pauli gruppe genereres af Pauli matricer . Nilpotent.
18	44	G 18 1	D 18			Dihedral gruppe, Dih 9 , Frobenius gruppe.
	46	G 18 3	D 6 × Z 3 = S 3 × Z 3			Produkt.
	47	G 18 4	(Z 3 × Z 3 ) ⋊ Z 2			Frobenius gruppe.
20	50	G 20 1	Q 20			Dicyklisk gruppe Dic 5 , Binær dihedral gruppe , <5,2,2>.
	52	G 20 3	Z 5, Z 4			Frobenius gruppe .
	53	G 20 4	D 20 = D 10 × Z 2			Dihedral gruppe, Dih 10 , produkt.
21	55	G 21 1	Z 7, Z 3	Z 7 , Z 3 (7)		Mindste ikke-abelske gruppe af ulige rækkefølge. Frobenius gruppe.
22	57	G 22 1	D 22	Z 11 , Z 2 (11)		Dihedral gruppe Dih 11 , Frobenius gruppe.
24	60	G 24 1	Z 3, Z 8			Central forlængelse af S 3 .
	62	G 24 3	SL (2,3) = Q 8 ⋊ Z 3			Binær tetraedrisk gruppe , 2T = <3,3,2>.
	63	G 24 4	Q 24 = Z 3, Q 8			Dicyklisk gruppe Dic 6 , Binær dihedral, <6,2,2>.
	64	G 24 5	D 6 × Z 4 = S 3 × Z 4			Produkt.
	65	G 24 6	D 24			Dihedral gruppe, Di 12 .
	66	G 24 7	Q 12 × Z 2 = Z 2 × (Z 3 ⋊ Z 4 )			Produkt.
	67	G 24 8	(Z 6 × Z 2 ) ⋊ Z 2 = Z 3 ⋊ Dih 4			Dobbelt dæksel af dihedral gruppe.
	69	G 24 10	D 8 × Z 3			Produkt. Nilpotent.
	70	G 24 11	Q 8 × Z 3			Produkt. Nilpotent.
	71	G 24 12	S 4	28 rigtige ikke-trivielle undergrupper; 9 undergrupper, der kombinerer dem, der er isomorfe; disse omfatter S 2 , S 3 , A 3 , A 4 , D 8 .		Symmetrisk gruppe . Har ingen normale Sylow -undergrupper . Kiral oktaedrisk symmetri (O), Achiral tetraedral symmetri (T d )
	72	G 24 13	A 4 × Z 2			Produkt. Pyritohedral symmetri (T h )
	73	G 24 14	D 12 × Z 2			Produkt.
26	77	G 26 1	D 26			Dihedral gruppe, Dih 13 , Frobenius gruppe.
27	81	G 27 3	Z 3 2, Z 3			Alle ikke-trivielle elementer har orden 3. Ekstra-speciel gruppe . Nilpotent.
	82	G 27 4	Z 9, Z 3			Ekstra speciel gruppe . Nilpotent.
28	84	G 28 1	Z 7, Z 4			Dicyklisk gruppe Dic 7 , Binær dihedral gruppe, <7,2,2>.
	86	G 28 3	D 28 = D 14 × Z 2			Dihedral gruppe, Dih 14 , produkt.
30	89	G 30 1	Z 5 × D 6			Produkt.
	90	G 30 2	D 10 × Z 3			Produkt.
	91	G 30 3	D 30			Dihedral gruppe, Dih 15 , Frobenius gruppe.

Klassificering af grupper af små ordrer

Små grupper af primær effektordre p ⁿ er givet som følger:

• Ordre p : Den eneste gruppe er cyklisk.
• Ordre p ² : Der er kun to grupper, begge abelske.
• Ordre p ³ : Der er tre abelske grupper og to ikke-abelske grupper. En af de ikke-abelske grupper er det semidirekte produkt af en normal cyklisk undergruppe af orden p ² af en cyklisk gruppe af orden p . Den anden er kvaterniongruppen for p = 2 og en gruppe af eksponent p for p > 2 .
• Ordre p ⁴ : Klassificeringen er kompliceret og bliver meget sværere, når eksponenten for p stiger.

De fleste grupper af lille ordre har en Sylow p undergruppe P med en normal p -complement N for nogle prime p dividere ordre, så kan klassificeres i forhold til den mulige primtal p , p -grupper P , grupper N , og handlinger P på N . På en eller anden måde reducerer dette klassificeringen af ​​disse grupper til klassificeringen af p -grupper. Nogle af de små grupper, der ikke har et normalt p -komplement, omfatter:

• Ordre 24: Den symmetriske gruppe S ₄
• Ordre 48: Den binære oktaedriske gruppe og produktet S ₄ × Z ₂
• Ordre 60: Den skiftende gruppe A ₅ .

Den mindste rækkefølge, som det ikke vides, hvor mange nonisomorfe grupper der er, er 2048 = 2 ¹¹ .

Små grupper bibliotek

Den GAP computer algebra system, indeholder en pakke kaldet "mindre grupper bibliotek", som giver adgang til beskrivelser af små ordrer grupper. Grupperne er opført op til isomorfisme . På nuværende tidspunkt indeholder biblioteket følgende grupper:

• de bestilte højst 2000 bortset fra ordre 1024 ( 423 164 062 grupper i biblioteket; dem i orden 1024 måtte springes over, da der er yderligere 49 487 365 422 ikke- isomorfe 2-grupper af orden 1024);
• ordrer højst 2000 (undtagen ordre 1024);
• dem af kubefri ordre højst 50000 (395 703 grupper);
• dem af kvadratfri rækkefølge;
• dem af rækkefølge p ⁿ for n højst 6 og p prime;
• dem af orden p ⁷ for p = 3, 5, 7, 11 (907 489 grupper);
• dem af orden pq ^n, hvor q ⁿ deler 2 ⁸ , 3 ⁶ , 5 ⁵ eller 7 ⁴ og p er en vilkårlig prim, der adskiller sig fra q ;
• dem, hvis ordrer faktoriseres til højst 3 primtal (ikke nødvendigvis adskilte).

Den indeholder eksplicitte beskrivelser af de tilgængelige grupper i computerlæsbart format.

Den mindste rækkefølge, som SmallGroups -biblioteket ikke har oplysninger om, er 1024.

Se også

• Klassificering af begrænsede simple grupper
• Sammensætningsserier
• Liste over begrænsede simple grupper
• Antal grupper af en given ordre
• Små latinske firkanter og quasigroups

Noter

Referencer

• Coxeter, HSM & Moser, WOJ (1980). Generatorer og relationer til diskrete grupper . New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9., Tabel 1, nonabeliske grupper bestiller <32.
• Hall, Jr., Marshall ; Senior, James K. (1964). "Grupperne i orden 2 ⁿ ( n ≤ 6)". Macmillan. MR  0168631 . Et katalog over de 340 ordensgrupper, der deler 64 med tabeller over definerende relationer, konstanter og gitter for undergrupper i hver gruppe. Citer journal kræver |journal=( hjælp ) CS1 maint: postscript ( link )

eksterne links

• Særlige grupper i Group Properties Wiki
• Grupper af den givne rækkefølge
• Besche, HU; Eick, B .; O'Brien, E. "lille gruppe bibliotek" . Arkiveret fra originalen 2012-03-05.
• GroupNames database