Logaritmisk spiral -Logarithmic spiral

${\displaystyle e}$

${\displaystyle a>0}$

${\displaystyle k\neq 0}$

I kartesiske koordinater

Den logaritmiske spiral med den polære ligning

$${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$$

${\displaystyle (x=r\cos \varphi ,\,y=r\sin \varphi )}$

$${\displaystyle x=ae^{k\varphi}\cos \varphi ,\qquad y=ae^{k\varphi }\sin \varphi .}$$

${\displaystyle (z=x+iy,\,e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi )}$

$${\displaystyle z=ae^{(k+i)\varphi }.}$$

Spira mirabilis og Jacob Bernoulli

Spira mirabilis , latin for "mirakuløs spiral", er et andet navn for den logaritmiske spiral. Selvom denne kurve allerede var blevet navngivet af andre matematikere, blev det specifikke navn ("mirakuløs" eller "forunderlig" spiral) givet til denne kurve af Jacob Bernoulli , fordi han var fascineret af en af ​​dens unikke matematiske egenskaber: størrelsen af ​​spiralen. stiger, men dens form er uændret med hver efterfølgende kurve, en egenskab kendt som selv-lighed . Muligvis som et resultat af denne unikke egenskab har spira mirabilis udviklet sig i naturen, og optræder i visse vækstformer såsom nautilus- skaller og solsikkehoveder . Jacob Bernoulli ønskede en sådan spiral indgraveret på sin gravsten sammen med sætningen " Eadem mutata resurgo " ("Selvom det er ændret, skal jeg opstå det samme."), men ved en fejl blev en arkimedisk spiral placeret der i stedet.

Ejendomme

Definition af hældningsvinkel og sektor

Den logaritmiske spiral har følgende egenskaber (se

${\displaystyle r=ae^{k\varphi }\;,\;k\neq 0,}$

• Polar hældning :${\displaystyle \tan \alpha =k\quad ({\farve {rød}{\tekst{konstant !}}})}$
  med polar hældningsvinkel (se diagram).${\displaystyle \alpha }$
  (I tilfælde af vinkel ville være 0 og kurven en cirkel med radius .)${\displaystyle k=0}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle a}$
• Krumning :${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{r{\sqrt {1+k^{2}}}}}={\frac {\cos \alpha }{r}}}$
• Buelængde :${\displaystyle L(\varphi _{1},\varphi _{2})={\frac {\sqrt {k^{2}+1}}{k}}{\big (}r(\varphi _ {2})-r(\varphi _{1}){\big )}={\frac {r(\varphi _{2})-r(\varphi _{1})}{\sin \alpha } }}$
  Især: , hvis .${\displaystyle \ L(-\infty ,\varphi _{2})={\frac {r(\varphi _{2})}{\sin \alpha }}\quad ({\color {rød}{\ tekst{endelig !}}})\;}$${\displaystyle k>0}$
  Denne egenskab blev først realiseret af Evangelista Torricelli , selv før calculus var blevet opfundet.
• Sektorområde: ${\displaystyle A={\frac {r(\varphi _{2})^{2}-r(\varphi _{1})^{2}}{4k}}}$
• Inversion: Cirkelinversion ( ) afbilder den logaritmiske spiral på den logaritmiske spiral${\displaystyle r\to 1/r}$${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$${\displaystyle r={\tfrac {1}{a}}e^{-k\varphi }\,.}$

Eksempler til${\displaystyle a=1,2,3,4,5}$

• Rotation, skalering : Rotation af spiralen efter vinkel giver spiralen , som er den oprindelige spiral ensartet skaleret (ved origo) med .${\displaystyle \varphi _{0}}$${\displaystyle r=ae^{-k\varphi _{0}}e^{k\varphi }}$${\displaystyle e^{-k\varphi _{0}}}$
  Skalering efter giver

${\displaystyle \alpha =20^{\circ }}$

${\displaystyle a=1,2,3,4,5}$

${\displaystyle -109^{\circ },-173^{\circ },-218^{\circ },-253^{\circ }}$

Kompleks eksponentiel funktion : Eksponentialfunktionen kortlægger nøjagtigt alle linjer, der ikke er parallelle med den reelle eller imaginære akse i det komplekse plan, til alle logaritmiske spiraler i det komplekse plan med centrum ved :${\displaystyle 0}$

$${\displaystyle z(t)=\underbrace {(kt+b)\;+it} _{\text{line}}\quad \to \quad e^{z(t)}=e^{kt+b }\cdot e^{it}=\underbrace {e^{b}e^{kt}(\cos t+i\sin t)} _{\text{log. spiralformet}}}$$

Den polære hældningsvinkel for den logaritmiske spiral er vinklen mellem linjen og den imaginære akse.${\displaystyle \alpha }$

Særlige tilfælde og tilnærmelser

Den gyldne spiral er en logaritmisk spiral, der vokser udad med en faktor af det gyldne snit for hver 90 graders rotation (polær hældningsvinkel ca. 17,03239 grader). Det kan tilnærmes ved en "Fibonacci-spiral", lavet af en sekvens af kvarte cirkler med radius proportional med Fibonacci-tal .

I naturen

En ekstratropisk cyklon over Island viser et tilnærmelsesvis logaritmisk spiralmønster

Spiralgalaksernes arme har ofte form som en logaritmisk spiral, her Whirlpool Galaxy

Udskæring af en nautilus- skal, der viser kamrene arrangeret i en tilnærmelsesvis logaritmisk spiral. Den plottede spiral (stiplet blå kurve) er baseret på væksthastighedsparameteren , hvilket resulterer i en pitch på .${\displaystyle b=0,1759}$${\displaystyle \arctan b\approx 10^{\circ }}$

I flere naturfænomener kan man finde kurver, der er tæt på at være logaritmiske spiraler. Her følger nogle eksempler og årsager:

• En høgs tilgang til sit bytte i klassisk forfølgelse , forudsat at byttet rejser i en lige linje. Deres skarpeste syn er i en vinkel i forhold til deres flyveretning; denne vinkel er den samme som spiralens stigning.
• Et insekts tilgang til en lyskilde. De er vant til at have lyskilden i en konstant vinkel i forhold til deres flyvevej. Normalt er solen (eller månen for nataktive arter) den eneste lyskilde, og at flyve den vej vil resultere i en praktisk talt lige linje.
• Armene af spiralgalakser . Vores egen galakse, Mælkevejen , har flere spiralarme, som hver især er en logaritmisk spiral med en stigning på omkring 12 grader.
• Hornhindens nerver (dvs. hornhindens nerver i det subepiteliale lag afsluttes nær overfladiske epitellag af hornhinden i et logaritmisk spiralmønster).
• Båndene af