Ortogonalisering - Orthogonalization
I lineær algebra er ortogonalisering processen med at finde et sæt ortogonale vektorer, der spænder over et bestemt underrum . Formelt, med udgangspunkt i et lineært uafhængigt sæt vektorer { v 1 , ..., v k } i et indre produktrum (oftest det euklidiske rum R n ), resulterer ortogonalisering i et sæt ortogonale vektorer { u 1 , .. ., u k }, der genererer det samme underrum som vektorerne v 1 , ..., v k . Hver vektor i det nye sæt er ortogonal til hver anden vektor i det nye sæt; og det nye sæt og det gamle sæt har det samme lineære spænd .
Hvis vi desuden ønsker, at de resulterende vektorer alle skal være enhedsvektorer , normaliserer vi hver vektor, og proceduren kaldes orthonormalisering .
Ortogonalisering er også mulig med hensyn til enhver symmetrisk bilinear form (ikke nødvendigvis et indre produkt, ikke nødvendigvis over reelle tal ), men standardalgoritmer kan støde på division med nul i denne mere generelle indstilling.
Orthogonaliseringsalgoritmer
Metoder til at udføre ortogonalisering omfatter:
- Gram – Schmidt -proces , der anvender projektion
- Husstands transformation , som bruger refleksion
- Givens rotation
- Symmetrisk ortogonalisering, der bruger dekomponeringen af entalværdi
Når der udføres ortogonalisering på en computer, foretrækkes husholdningstransformationen normalt frem for Gram -Schmidt -processen, da den er mere numerisk stabil , dvs. afrundingsfejl har en tendens til at have mindre alvorlige virkninger.
På den anden side producerer Gram -Schmidt -processen den jth ortogonaliserede vektor efter den jth iteration, mens ortogonalisering ved hjælp af husstandens reflekser producerer alle vektorer kun i slutningen. Dette gør kun Gram -Schmidt -processen gældende for iterative metoder som Arnoldi -iterationen .
Givens -rotationen er lettere paralleliseret end husstands transformationer.
Symmetrisk ortogonalisering blev formuleret af Per-Olov Löwdin .
Lokal ortogonalisering
For at kompensere for tabet af nyttigt signal i traditionelle støjdæmpningsmetoder på grund af forkert parametervalg eller utilstrækkelig udelukkelse af antagelser, kan en vægtningsoperatør anvendes på den oprindeligt denoiserede sektion til hentning af nyttigt signal fra den oprindelige støjsektion. Den nye denoiseringsproces omtales som den lokale ortogonalisering af signal og støj. Det har en bred vifte af applikationer i mange signalbehandling og seismiske efterforskningsfelter.
Se også
Referencer
- ^ Löwdin, Per-Olov (1970). "Om nonorthogonalitetsproblemet" . Fremskridt inden for kvantekemi . 5 . Elsevier. s. 185–199.
- ^ Chen, Yangkang; Fomel, Sergey (2015). "Tilfældig støjdæmpning ved hjælp af lokal signal-og-støj-ortogonalisering". Geofysik . 80 (6): WD1 – WD9. doi : 10.1190/GEO2014-0227.1 .