Plancks lov - Planck's law

Plancks lov beskriver spektraltætheden af elektromagnetisk stråling udsendt af et sort legeme i termisk ligevægt ved en given temperatur T , når der ikke er en nettostrøm af stof eller energi mellem kroppen og dets miljø.

I slutningen af ​​1800-tallet var fysikere ude af stand til at forklare, hvorfor det observerede spektrum af sortlegemestråling , som på det tidspunkt var blevet nøjagtigt målt, afvigede betydeligt ved højere frekvenser fra det, der var forudsagt af eksisterende teorier. I 1900 udledte Max Planck heuristisk en formel for det observerede spektrum ved at antage, at en hypotetisk elektrisk ladet oscillator i et hulrum, der indeholdt sort kropsstråling, kun kunne ændre sin energi i et minimalt trin, E , der var proportional med frekvensen af dens tilhørende elektromagnetisk bølge . Dette løste problemet med den ultraviolette katastrofe , som den klassiske fysik forudsagde . Denne opdagelse var en banebrydende indsigt i moderne fysik og er af grundlæggende betydning for kvanteteorien .

Loven

Hvert fysisk legeme udsender spontant og kontinuerligt elektromagnetisk stråling, og spektralstrålingen af et legeme, B , beskriver spektralemissionseffekten pr. Arealenhed pr. Enhed fast vinkel for bestemte strålingsfrekvenser. Forholdet givet ved Plancks strålingslov, givet nedenfor, viser, at med stigende temperatur stiger den samlede udstrålede energi i et legeme, og toppen af ​​det udsendte spektrum skifter til kortere bølgelængder. I henhold til dette er spektralstrålingen af ​​et legeme for frekvens v ved absolut temperatur T givet ved

${\displaystyle B(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}-1}}}$

hvor k _B er Boltzmann -konstanten , h er Planck -konstanten , og c er lysets hastighed i mediet, uanset om det er materiale eller vakuum. Spektralstrålingen kan også udtrykkes pr. Bølgelængdenhed λ i stedet for pr. Frekvens. Ved at vælge et passende måleenhedssystem (dvs. naturlige Planck -enheder ) kan loven forenkles til at blive:

${\displaystyle B(\nu ,T)=2\nu ^{3}{\frac {1}{e^{\frac {\nu }{T}}-1}}}$

Lægger integralen af ​​spektralstråling pr. Bølgelængdenhed til frekvensen pr. Enhedsfrekvens

${\displaystyle \int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}B(\lambda ,T)d\lambda =\int _{\nu (\lambda _{2})}^{\nu (\lambda _{1})}B(\nu ,T)d\nu =\int _{\lambda _{2}}^{\lambda _{1}}B(\nu ,T){\frac {d\nu }{d\lambda }}d\lambda =\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}-B(\nu ,T){\frac {d\nu }{d\lambda }}d\lambda }$

hvor det andet integral integreres fra til, fordi integration fremad i frekvensrum er integrering baglæns i bølgelængderum. (Bølgelængden stiger, når frekvensen falder, så hvis så ). Fordi denne ligning holder for alle grænser ${\textstyle \nu (\lambda _{2})}$${\textstyle \nu (\lambda _{1})}$${\textstyle \lambda _{1}<\lambda _{2}}$${\textstyle \nu (\lambda _{2})<\nu (\lambda _{1})}$

${\displaystyle B(\lambda ,T)=-B(\nu ,T){\frac {d\nu }{d\lambda }}}$

Ved hjælp af det ser vi det ${\textstyle c=\lambda \nu }$

${\displaystyle B(\lambda ,T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}-1}},}$

viser, hvordan udstrålet energi, der udsendes ved kortere bølgelængder, stiger hurtigere med temperaturen end energi, der udsendes ved længere bølgelængder. Loven kan også udtrykkes i andre termer, såsom antallet af fotoner, der udsendes ved en bestemt bølgelængde, eller energitætheden i et strålingsvolumen. De SI-enheder af B _ν er W · sr ^-1 · m ^-2 · Hz ^-1 , mens de af B _λ er W · sr ^-1 · ^{m -3} .

I grænsen for lave frekvenser (dvs. lange bølgelængder) har Plancks lov en tendens til Rayleigh -Jeans -loven , mens den i grænsen for høje frekvenser (dvs. små bølgelængder) har tendens til Wien -tilnærmelsen .

Max Planck udviklede loven i 1900 med kun empirisk bestemte konstanter, og viste senere, at det udtrykt som en energifordeling er den unikke stabile fordeling for stråling i termodynamisk ligevægt . Som en energifordeling er den en af ​​en familie af termiske ligevægtsfordelinger, der omfatter Bose -Einstein -fordelingen , Fermi -Dirac -fordelingen og Maxwell -Boltzmann -fordelingen .

Sort kropsstråling

En sort krop er et idealiseret objekt, der absorberer og udsender alle strålingsfrekvenser. Nær termodynamisk ligevægt er den udsendte stråling tæt beskrevet af Plancks lov, og på grund af dens afhængighed af temperatur siges Planck -stråling at være termisk stråling, sådan at jo højere temperaturen i et legeme er, jo mere stråling udsender det ved hver bølgelængde.

Planck -stråling har en maksimal intensitet ved en bølgelængde, der afhænger af kroppens temperatur. For eksempel ved stuetemperatur (~300  K ), udsender et legeme termisk stråling, der for det meste er infrarød og usynlig. Ved højere temperaturer øges mængden af ​​infrarød stråling og kan mærkes som varme, og der udsendes mere synlig stråling, så kroppen lyser synligt rødt. Ved højere temperaturer er kroppen lysegul eller blåhvid og udsender betydelige mængder kort bølgelængdestråling, herunder ultraviolet og endda røntgenstråler . Solens overflade (~6000 K ) udsender store mængder af både infrarød og ultraviolet stråling; dens emission er toppet i det synlige spektrum. Dette skift på grund af temperaturen kaldes Wiens forskydningslov .

Planck -stråling er den største mængde stråling, som ethvert legeme ved termisk ligevægt kan udsende fra overfladen, uanset dens kemiske sammensætning eller overfladestruktur. Strålingens passage over en grænseflade mellem medier kan karakteriseres ved grænsefladens emissivitet (forholdet mellem den faktiske udstråling og den teoretiske Planck -udstråling), normalt betegnet med symbolet ε . Det er generelt afhængigt af kemisk sammensætning og fysisk struktur, temperatur, bølgelængde, passagevinkel og polarisering . Emissiviteten af ​​en naturlig grænseflade er altid mellem ε = 0 og 1.

Et legeme, der har grænseflade med et andet medium, som både har ε = 1 og absorberer al den indstrålede stråling, siges at være et sort legeme. Overfladen på en sort krop kan modelleres af et lille hul i væggen i et stort kabinet, der holdes ved en ensartet temperatur med uigennemsigtige vægge, der ved hver bølgelængde ikke er perfekt reflekterende. Ved ligevægt beskrives strålingen inde i dette kabinet af Plancks lov, ligesom strålingen forlader det lille hul.

Ligesom Maxwell -Boltzmann -fordelingen er den unikke maksimale entropi -energifordeling for en gas af materialepartikler ved termisk ligevægt, så er Plancks distribution for en gas af fotoner . I modsætning til en materialegas, hvor masserne og antallet af partikler spiller en rolle, bestemmes spektralstrålingen, trykket og energitætheden af ​​en fotongas ved termisk ligevægt fuldstændigt af temperaturen.

Hvis fotonegassen ikke er Planckian, garanterer termodynamikkens anden lov, at interaktioner (mellem fotoner og andre partikler eller endda ved tilstrækkeligt høje temperaturer mellem fotonerne selv) får fotonens energifordeling til at ændre sig og nærme sig Planck -fordelingen. I en sådan tilgang til termodynamisk ligevægt skabes eller udslettes fotoner i de rigtige tal og med de rigtige energier til at fylde hulrummet med en Planck -fordeling, indtil de når ligevægtstemperaturen. Det er som om gassen er en blanding af subgasser, en for hvert bånd af bølgelængder, og hver subgas når til sidst den fælles temperatur.

Mængden B _ν ( ν , T ) er den spektrale udstråling som funktion af temperatur og frekvens. Den har W · m ⁻² · sr ⁻¹ · Hz ⁻¹ i SI -systemet . En uendelig mængde effekt B _ν ( ν , T ) cos θ d A  d Ω  d ν udstråles i den retning, der beskrives af vinklen θ fra overfladenormal fra infinitesimal overfladeareal d A til infinitesimal solid vinkel d Ω i en infinitesimal frekvens bånd med bredde d v centreret på frekvens v . Den samlede effekt, der udstråles til enhver fast vinkel, er integralet af B _ν ( ν , T ) over disse tre størrelser og er givet af Stefan – Boltzmann -loven . Den spektrale udstråling af Planckian -stråling fra et sort legeme har samme værdi for hver retning og polarisationsvinkel, og det siges, at det sorte legeme er en lambertisk radiator .

Forskellige former

Plancks lov kan findes i flere former afhængigt af konventionerne og præferencer inden for forskellige videnskabelige områder. De forskellige former for loven for spektral udstråling er opsummeret i nedenstående tabel. Former til venstre findes oftest i forsøgsfelter , mens dem til højre oftest findes i teoretiske felter .

Plancks lov udtrykt i forskellige spektrale variabler

med h		med ħ
variabel	fordeling	variabel	fordeling
Frekvens v	${\displaystyle B_{\nu }(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /(k_{\mathrm {B} }T)}-1}}}$	Vinkelfrekvens ω	${\displaystyle B_{\omega }(\omega ,T)={\frac {\hbar \omega ^{3}}{4\pi ^{3}c^{2}}}{\frac {1}{e^{\hbar \omega /(k_{\mathrm {B} }T)}-1}}}$
Bølgelængde λ	${\displaystyle B_{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{hc/(\lambda k_{\mathrm {B} }T)}-1}}}$	Vinkelbølgelængde y	${\displaystyle B_{y}(y,T)={\frac {\hbar c^{2}}{4\pi ^{3}y^{5}}}{\frac {1}{e^{\hbar c/(yk_{\mathrm {B} }T)}-1}}}$
Bølgetal ν̃	${\displaystyle B_{\tilde {\nu }}({\tilde {\nu }},T)=2hc^{2}{\tilde {\nu }}^{3}{\frac {1}{e^{hc{\tilde {\nu }}/(k_{\mathrm {B} }T)}-1}}}$	Vinklet bølgetal k	${\displaystyle B_{k}(k,T)={\frac {\hbar c^{2}k^{3}}{4\pi ^{3}}}{\frac {1}{e^{\hbar ck/(k_{\mathrm {B} }T)}-1}}}$

Disse fordelinger repræsenterer sortlegemernes spektrale udstråling - den effekt, der udsendes fra den udsendende overflade, pr. Projiceret areal af den udsendende overflade, pr. Enhed fast vinkel , pr. Spektralenhed (frekvens, bølgelængde, bølgetal eller deres vinkelækvivalenter). Da udstrålingen er isotrop (dvs. uafhængig af retning), er den effekt, der udsendes i en vinkel mod normalen , proportional med det projicerede område og derfor til cosinus for den vinkel i henhold til Lamberts cosinuslov og er upolariseret .

Korrespondance mellem spektrale variable former

Forskellige spektrale variabler kræver forskellige tilsvarende udtryksformer for loven. Generelt må man ikke konvertere mellem de forskellige former for Plancks lov ved blot at erstatte en variabel med en anden, fordi dette ikke ville tage højde for, at de forskellige former har forskellige enheder. Bølgelængde og frekvens er gensidige.

Tilsvarende udtryksformer hænger sammen, fordi de udtrykker en og samme fysiske kendsgerning: for en bestemt fysisk spektral forøgelse udstråles en tilsvarende bestemt fysisk energitilvækst.

Dette er så, uanset om det udtrykkes i form af et forøgelse af frekvensen, d ν eller, tilsvarende, af bølgelængden, d λ . Indførelse af et minustegn kan indikere, at et frekvensforøgelse svarer til et fald i bølgelængden. For at konvertere de tilsvarende former, så de udtrykker den samme mængde i de samme enheder, multiplicerer vi med spektralforøgelsen. Derefter kan den særlige fysiske energitilvækst skrives for en bestemt spektralforøgelse

${\displaystyle B_{\lambda }(\lambda ,T)\,d\lambda =-B_{\nu }(\nu (\lambda ),T)\,d\nu ,}$     hvilket fører til    ${\displaystyle B_{\lambda }(\lambda ,T)=-{\frac {d\nu }{d\lambda }}B_{\nu }(\nu (\lambda ),T).}$

Også ν ( λ ) = c/λ, så det dν/dλ = - c/λ ². Substitution giver overensstemmelse mellem frekvens- og bølgelængdeformerne med deres forskellige dimensioner og enheder. Følgelig,

${\displaystyle {\frac {B_{\lambda }(T)}{B_{\nu }(T)}}={\frac {c}{\lambda ^{2}}}={\frac {\nu ^{2}}{c}}.}$

Placeringen af ​​toppen af ​​spektralfordelingen for Plancks lov afhænger åbenbart af valget af spektralvariabel. Ikke desto mindre betyder denne formel på en måde, at formen af ​​spektralfordelingen er uafhængig af temperaturen ifølge Wiens forskydningslov, som beskrevet nedenfor i underafsnittet Procentiler af sektionen Egenskaber .

Spektral energitæthed dannes

Plancks lov kan også skrives med hensyn til den spektrale energitæthed ( u ) ved at gange B med4π/c:

${\displaystyle u_{i}(T)={\frac {4\pi }{c}}B_{i}(T).}$

Disse fordelinger har energienheder pr. Volumen pr. Spektralenhed.

Første og anden strålingskonstant

I de ovennævnte varianter af Plancks lov bruger bølgelængde- og bølgetalvarianterne udtrykkene 2 hc ² oghc/k _Bsom kun omfatter fysiske konstanter. Følgelig kan disse udtryk betragtes som fysiske konstanter selv og betegnes derfor som den første strålingskonstant c _{1 L} og den anden strålingskonstant c ₂ med

c _{1 L} = 2 hc ²

og

c ₂ =hc/k _B.

Ved hjælp af strålingskonstanterne kan bølgelængdevarianten af Plancks lov forenkles til

${\displaystyle L(\lambda ,T)={\frac {c_{1L}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1}}}$

og bølgetalvarianten kan forenkles tilsvarende.

L bruges her i stedet for B, fordi det er SI -symbolet for spektral udstråling . Den L i c _{1 L} henviser til dette. Denne henvisning er nødvendig, fordi Plancks lov kan omformuleres for at give spektralstrålende exitance M ( λ , T ) frem for spektralstråling L ( λ , T ) , i hvilket tilfælde c ₁ erstatter c _{1 L} med

c ₁ = 2π hc ² ,

så Plancks lov for spektral strålende exitance kan skrives som

${\displaystyle M(\lambda ,T)={\frac {c_{1}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1}}}$

Efterhånden som måleteknikkerne er blevet bedre, har generalkonferencen om vægte og mål ændret sit skøn over c₂; se Planckian locus § International temperaturskala for detaljer.

Fysik

Plancks lov beskriver den unikke og karakteristiske spektralfordeling for elektromagnetisk stråling i termodynamisk ligevægt, når der ikke er en nettostrøm af stof eller energi. Dens fysik er lettest at forstå ved at overveje strålingen i et hulrum med stive uigennemsigtige vægge. Væggenes bevægelse kan påvirke strålingen. Hvis væggene ikke er uigennemsigtige, er den termodynamiske ligevægt ikke isoleret. Det er af interesse at forklare, hvordan den termodynamiske ligevægt opnås. Der er to hovedtilfælde: (a) når tilgangen til termodynamisk ligevægt er i nærvær af stof, når hulrummets vægge er ufuldstændigt reflekterende for hver bølgelængde eller når væggene er perfekt reflekterende, mens hulrummet indeholder et lille sort legeme ( dette var den vigtigste sag, der blev behandlet af Planck); eller (b) når tilgangen til ligevægt er i fravær af stof, når væggene er perfekt reflekterende for alle bølgelængder, og hulrummet ikke indeholder noget. For materie, der ikke er indesluttet i et sådant hulrum, kan termisk stråling omtrent forklares ved passende brug af Plancks lov.

Klassisk fysik førte via udstyrs sætningen til den ultraviolette katastrofe , en forudsigelse om, at den samlede sortlegemsstrålingsintensitet var uendelig. Hvis den suppleres med den klassisk uberettigede antagelse om, at strålingen af ​​en eller anden grund er begrænset, giver den klassiske termodynamik en redegørelse for nogle aspekter af Planck -fordelingen, såsom Stefan – Boltzmann -loven og Wien -forskydningsloven . I tilfælde af tilstedeværelse af stof giver kvantemekanik en god redegørelse, som findes nedenfor i afsnittet med overskriften Einstein -koefficienter . Dette var tilfældet overvejet af Einstein, og bruges i dag til kvanteoptik. I tilfælde af fravær af stof er kvantefeltteori nødvendig, fordi ikke-relativistisk kvantemekanik med faste partikelnumre ikke giver en tilstrækkelig redegørelse.

Fotoner

Kvanteteoretisk forklaring på Plancks lov ser på strålingen som en gas af masseløse, uladede, bosoniske partikler, nemlig fotoner, i termodynamisk ligevægt . Fotoner betragtes som bærere af den elektromagnetiske interaktion mellem elektrisk ladede elementarpartikler. Fotonnumre bevares ikke. Fotoner skabes eller tilintetgøres i de rigtige tal og med de rigtige energier til at fylde hulrummet med Planck -fordelingen. For en fotonegas i termodynamisk ligevægt bestemmes den indre energitæthed fuldstændigt af temperaturen; desuden bestemmes trykket fuldstændigt af den indre energitæthed. Dette er i modsætning til tilfældet med termodynamisk ligevægt for materialegasser, for hvilke den interne energi ikke kun bestemmes af temperaturen, men også uafhængigt af de respektive tal af de forskellige molekyler og uafhængigt igen af ​​de specifikke egenskaber ved de forskellige molekyler. For forskellige materialegasser ved en given temperatur kan trykket og den indre energitæthed variere uafhængigt, fordi forskellige molekyler uafhængigt kan bære forskellige excitationsenergier.

Plancks lov opstår som en grænse for Bose-Einstein-distributionen , energifordelingen, der beskriver ikke-interaktive bosoner i termodynamisk ligevægt. I tilfælde af masseløse bosoner som f.eks. Fotoner og gluoner er det kemiske potentiale nul, og Bose -Einstein -fordelingen reduceres til Planck -fordelingen. Der er en anden grundlæggende ligevægtsenergifordeling: Fermi – Dirac -fordelingen , som beskriver fermioner , såsom elektroner, i termisk ligevægt. De to fordelinger er forskellige, fordi flere bosoner kan indtage den samme kvantetilstand, mens flere fermioner ikke kan. Ved lave tætheder er antallet af tilgængelige kvantetilstande pr. Partikel stort, og denne forskel bliver irrelevant. I grænsen for lav densitet reducerer Bose -Einstein og Fermi -Dirac -fordelingen hver til Maxwell -Boltzmann -distributionen .

Kirchhoffs lov om termisk stråling

Kirchhoffs lov om termisk stråling er en kortfattet og kort redegørelse for en kompliceret fysisk situation. Det følgende er en indledende skitse af den situation, og er meget langt fra at være et stringent fysisk argument. Formålet her er kun at opsummere de vigtigste fysiske faktorer i situationen og de vigtigste konklusioner.

Spektral afhængighed af termisk stråling

Der er forskel mellem ledende varmeoverførsel og strålingsvarmeoverførsel. Strålingsvarmeoverførsel kan filtreres til kun at passere et bestemt bånd af strålingsfrekvenser.

Det er generelt kendt, at jo varmere et legeme bliver, desto mere varme udstråler det ved hver frekvens.

I et hulrum i et uigennemsigtigt legeme med stive vægge, der ikke reflekterer perfekt ved enhver frekvens, i termodynamisk ligevægt, er der kun én temperatur, og den skal deles i fællesskab af strålingen af ​​hver frekvens.

Man kan forestille sig to sådanne hulrum, hver i sin isolerede strålings- og termodynamiske ligevægt. Man kan forestille sig en optisk enhed, der tillader strålingsvarmeoverførsel mellem de to hulrum, filtreret til kun at passere et bestemt bånd af strålingsfrekvenser. Hvis værdierne for spektralstrålingerne for strålingerne i hulrummene er forskellige i dette frekvensbånd, kan det forventes, at varmen passerer fra den varmere til den koldere. Man kan foreslå at bruge en sådan filtreret varmeoverførsel i et sådant bånd til at drive en varmemotor. Hvis de to kroppe har samme temperatur, tillader termodynamikkens anden lov ikke varmemotoren at fungere. Det kan udledes, at for en temperatur, der er fælles for de to legemer, skal værdierne af spektralstrålingerne i passbåndet også være fælles. Dette skal gælde for hvert frekvensbånd. Dette blev klart for Balfour Stewart og senere for Kirchhoff. Balfour Stewart fandt eksperimentelt, at af alle overflader, en af lampe-black udsendte den største mængde af varmestråling for hver kvalitet af stråling, vurderet ved forskellige filtre.

Tænker teoretisk, gik Kirchhoff lidt længere og påpegede, at dette indebar, at den spektrale udstråling, som en funktion af strålingsfrekvens, af et sådant hulrum i termodynamisk ligevægt må være en unik universel funktion af temperaturen. Han postulerede en ideel sort krop, der havde grænseflade med dens omgivelser på en sådan måde, at den kunne absorbere al den stråling, der falder på den. Ved Helmholtz -gensidighedsprincippet ville stråling fra det indre af et sådant legeme passere uhindret direkte til dets omgivelser uden refleksion ved grænsefladen. I termodynamisk ligevægt ville den termiske stråling udsendt fra et sådant legeme have den unikke universelle spektrale udstråling som funktion af temperaturen. Denne indsigt er roden til Kirchhoffs lov om termisk stråling.

Forholdet mellem absorptionsevne og emissionsevne

Man kan forestille sig en lille homogent sfærisk materiale krop mærket X ved en temperatur T _X , der ligger i et strålingsfelt i et stort hulrum med vægge af materiale mærket Y ved en temperatur T _Y . Kroppen X udsender sin egen termiske stråling. Ved en bestemt frekvens ν kan strålingen, der udsendes fra et bestemt tværsnit gennem midten af X i en forstand i en retning, der er normal i forhold til dette tværsnit, betegnes I _{ν , X} ( T _X ) , karakteristisk for materialet i X . På denne frekvens ν kan radiative strøm fra væggene i at tværsnittet i den modsatte retning i den retning betegnes Jeg _{v , Y} ( T _Y ) , for vægtemperaturen T _Y . For materialet i X , der definerer absorptionsevnen α _{ν , X , Y} ( T _X , T _Y ) som fraktionen af ​​den indfaldende stråling absorberet af X , absorberes den indfaldende energi med en hastighed α _{ν , X , Y} ( T _X , T _Y ) I _{v , Y} ( T _Y ) .

Hastigheden q ( ν , T _X , T _Y ) for akkumulering af energi i en forstand i kroppens tværsnit kan derefter udtrykkes

${\displaystyle q(\nu ,T_{X},T_{Y})=\alpha _{\nu ,X,Y}(T_{X},T_{Y})I_{\nu ,Y}(T_{Y})-I_{\nu ,X}(T_{X}).}$

Kirchhoffs sædvanlige indsigt, nævnt lige ovenfor, var, at der ved termodynamisk ligevægt ved temperatur T eksisterer en unik universel strålingsfordeling, i dag betegnet B _ν ( T ) , der er uafhængig af de kemiske egenskaber ved materialerne X og Y , der fører til en meget værdifuld forståelse af strålingsudvekslingsligevægten for ethvert legeme overhovedet, som følger.

Når der er termodynamisk ligevægt ved temperatur T , har hulstrålingen fra væggene den unikke universelle værdi, så I _{ν , Y} ( T _Y ) = B _ν ( T ) . Ydermere kan man definere emissiviteten ε _{ν , X} ( T _X ) af materialet i legemet X bare således, at man ved termodynamisk ligevægt ved temperatur T _X = T har I _{ν , X} ( T _X ) = I _{ν , X} ( T ) = ε _{ν , X} ( T ) B _ν ( T ) .

Når termisk ligevægt hersker ved temperatur T = T _X = T _Y , forsvinder akkumuleringen af ​​energi, så q ( ν , T _X , T _Y ) = 0 . Det følger heraf, at i termodynamisk ligevægt, når T = T _X = T _Y ,

${\displaystyle 0=\alpha _{\nu ,X,Y}(T,T)B_{\nu }(T)-\epsilon _{\nu ,X}(T)B_{\nu }(T).}$

Kirchhoff påpegede, at det følger heraf, at i termodynamisk ligevægt, når T = T _X = T _Y ,

${\displaystyle \alpha _{\nu ,X,Y}(T,T)=\epsilon _{\nu ,X}(T).}$

Indførelsen af ​​den særlige betegnelse α _{ν , X} ( T ) for absorption af materiale X ved termodynamisk ligevægt ved temperatur T (begrundet med en opdagelse af Einstein, som angivet nedenfor), har man endvidere ligestilling

${\displaystyle \alpha _{\nu ,X}(T)=\epsilon _{\nu ,X}(T)}$

ved termodynamisk ligevægt.

Ligheden af ​​absorptionsevne og emissionsevne her demonstreret er specifik for termodynamisk ligevægt ved temperatur T og må generelt ikke forventes at holde, når betingelser for termodynamisk ligevægt ikke holder. Emissionsevnen og absorptionsevnen er hver for sig egenskaber ved materialets molekyler, men de afhænger forskelligt af fordelingen af ​​molekylær excitationstilstande ved lejligheden på grund af et fænomen kendt som "stimuleret emission", der blev opdaget af Einstein. I tilfælde, hvor materialet er i termodynamisk ligevægt eller i en tilstand kendt som lokal termodynamisk ligevægt, bliver emissionsevnen og absorptionsevnen ens. Meget stærk hændelsesstråling eller andre faktorer kan forstyrre termodynamisk ligevægt eller lokal termodynamisk ligevægt. Lokal termodynamisk ligevægt i en gas betyder, at molekylære kollisioner langt opvejer lysemission og absorption ved bestemmelse af fordelingen af ​​tilstande for molekylær excitation.

Kirchhoff påpegede, at han ikke kendte den præcise karakter af B _ν ( T ) , men han mente, at det var vigtigt, at det blev fundet ud af. Fire årtier efter Kirchhoffs indsigt i de generelle principper for dets eksistens og karakter var Plancks bidrag at bestemme det præcise matematiske udtryk for denne ligevægtsfordeling B _ν ( T ) .

Sort krop

I fysikken betragter man en ideel sort krop, her mærket B , defineret som en, der fuldstændigt absorberer al den elektromagnetiske stråling, der falder på den ved hver frekvens ν (deraf udtrykket "sort"). Ifølge Kirchhoffs lov om termisk stråling indebærer dette, at man for hver frekvens ν ved termodynamisk ligevægt ved temperatur T har α _{ν , B} ( T ) = ε _{ν , B} ( T ) = 1 , således at termisk stråling fra en sort krop er altid lig med det fulde beløb, der er angivet i Plancks lov. Intet fysisk legeme kan udsende termisk stråling, der overstiger den i et sort legeme, da hvis det var i ligevægt med et strålingsfelt, ville det udsende mere energi, end det var hændt på det.

Selvom der ikke findes helt sorte materialer, kan en sort overflade i praksis tilnærmes præcist. Hvad angår dets materielle indre, er et legeme af kondenseret stof, flydende, fast eller plasma, med en bestemt grænseflade med sine omgivelser, helt sort for stråling, hvis det er helt uigennemsigtigt. Det betyder, at den absorberer al den stråling, der trænger ind i kroppens grænseflade med sine omgivelser og kommer ind i kroppen. Dette er ikke for svært at opnå i praksis. På den anden side findes en perfekt sort grænseflade ikke i naturen. En perfekt sort grænseflade afspejler ingen stråling, men transmitterer alt, hvad der falder på den, fra begge sider. Den bedste praktiske måde at lave en effektivt sort grænseflade på er at simulere en 'grænseflade' ved et lille hul i væggen i et stort hulrum i et helt uigennemsigtigt stift materiale, der ikke reflekterer perfekt ved enhver frekvens, med sine vægge ved en kontrolleret temperatur. Ud over disse krav er væggenes komponentmateriale ubegrænset. Stråling, der kommer ind i hullet, har næsten ingen mulighed for at undslippe hulrummet uden at blive absorberet af flere påvirkninger med dets vægge.

Lamberts kosinuslov

Som forklaret af Planck har et strålende legeme et indre bestående af stof og en grænseflade med dets tilstødende nærliggende materialemedium, som sædvanligvis er mediet, hvorfra strålingen fra kroppens overflade observeres. Grænsefladen er ikke sammensat af fysisk stof, men er en teoretisk opfattelse, en matematisk todimensionel overflade, en fælles egenskab for de to sammenhængende medier, der strengt taget tilhører hver for sig. En sådan grænseflade kan hverken absorbere eller udsende, fordi den ikke er sammensat af fysisk stof; men det er stedet for refleksion og transmission af stråling, fordi det er en overflade af diskontinuitet af optiske egenskaber. Refleksion og transmission af stråling ved grænsefladen overholder Stokes – Helmholtz -princippet om gensidighed .

På et hvilket som helst tidspunkt i det indre af et sort legeme placeret inde i et hulrum i termodynamisk ligevægt ved temperatur T er strålingen homogen, isotrop og upolariseret. En sort krop absorberer alt og afspejler ingen af ​​den elektromagnetiske stråling, der rammer den. Ifølge Helmholtz -gensidighedsprincippet reflekteres stråling fra det indre af et sort legeme ikke på overfladen, men overføres fuldt ud til dets ydre. På grund af strålingens isotropi i kroppens indre er spektralstrålingen af stråling transmitteret fra dens indre til dets ydre gennem dens overflade uafhængig af retning.

Dette udtrykkes ved at sige, at stråling fra overfladen af ​​et sort legeme i termodynamisk ligevægt adlyder Lamberts cosinuslov. Det betyder, at spektralstrømmen d Φ ( dA , θ , d Ω, dν ) fra et givet uendeligt element af arealet dA på den sorte krops faktiske emitterende overflade, detekteret fra en given retning, der laver en vinkel θ med normal til den faktiske emitterende overflade ved dA , i et element af rumvinkel på påvisning d Ω centreret på retningen angivet ved θ , i et element af frekvensbåndbredde dν , kan repræsenteres som

${\displaystyle {\frac {d\Phi (dA,\theta ,d\Omega ,d\nu )}{d\Omega }}=L^{0}(dA,d\nu )\,dA\,d\nu \,\cos \theta }$

hvor L ⁰ ( dA , dν ) betegner fluxen, pr. arealenhed pr. enhedsfrekvens pr. enhed fast vinkel, ville dette område dA vise, hvis det blev målt i dets normale retning θ = 0 .

Faktoren cos θ er til stede, fordi det område, som spektralstrålingen refererer direkte til, er projektionen af ​​det faktiske emitterende overfladeareal på et plan vinkelret på retningen angivet med θ . Dette er grunden til navnet cosinuslov .

Under hensyntagen til uafhængigheden af ​​retningen af ​​strålingens spektrale udstråling fra overfladen af ​​et sort legeme i termodynamisk ligevægt har man L ⁰ ( dA , dν ) = B _ν ( T ) og så

${\displaystyle {\frac {d\Phi (dA,\theta ,d\Omega ,d\nu )}{d\Omega }}=B_{\nu }(T)\,dA\,d\nu \,\cos \theta .}$

Således udtrykker Lamberts cosinuslov uafhængigheden af ​​retningen af ​​den spektrale udstråling B _ν ( T ) på overfladen af ​​et sort legeme i termodynamisk ligevægt.

Stefan – Boltzmann lov

Den samlede effekt, der udsendes pr. Arealenhed på overfladen af ​​et sort legeme ( P ), kan findes ved at integrere den sorte kropsspektralstrøm, der findes fra Lamberts lov, over alle frekvenser og over de faste vinkler, der svarer til en halvkugle ( h ) over overfladen .

${\displaystyle P=\int _{0}^{\infty }d\nu \int _{h}d\Omega \,B_{\nu }\cos(\theta )}$

Den uendelige lille solide vinkel kan udtrykkes i sfæriske polære koordinater :

${\displaystyle d\Omega =\sin(\theta )\,d\theta \,d\phi .}$

Så det:

${\displaystyle P=\int _{0}^{\infty }d\nu \int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}d\theta \int _{0}^{2\pi }d\phi \,B_{\nu }(T)\cos(\theta )\sin(\theta )=\sigma T^{4}}$

hvor

${\displaystyle \sigma ={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{4}\pi ^{5}}{15c^{2}h^{3}}}\approx 5.670400\times 10^{-8}\,\mathrm {J\,s^{-1}m^{-2}K^{-4}} }$

er kendt som Stefan – Boltzmann -konstanten .

Strålende overførsel

Ligningen for strålingsoverførsel beskriver den måde, hvorpå stråling påvirkes, når den bevæger sig gennem et materialemedium. For det særlige tilfælde, hvor materialemediet er i termodynamisk ligevægt i nærheden af ​​et punkt i mediet, er Plancks lov af særlig betydning.

For enkelhedens skyld kan vi overveje den lineære steady state uden spredning . Ligningen for strålingsoverførsel siger, at for en lysstråle, der går gennem en lille afstand d s , bevares energi: Ændringen i (spektral) udstråling af denne stråle ( I _ν ) er lig med mængden fjernet af materialemediet plus mængden opnået fra materialemediet. Hvis strålingsfeltet er i ligevægt med materialemediet, vil disse to bidrag være ens. Materialemediet vil have en vis emissionskoefficient og absorptionskoefficient .

Absorptionskoefficienten α er fraktionel ændring i lysstrålens intensitet, når den tilbagelægger distancen d s , og har længdeenheder ⁻¹ . Det består af to dele, faldet på grund af absorption og stigningen på grund af stimuleret emission . Stimuleret emission er emission fra det materielle legeme, der er forårsaget af og er proportional med den indgående stråling. Det er inkluderet i absorptionsterminen, fordi det ligesom absorption er proportionalt med intensiteten af ​​den indgående stråling. Da mængden af ​​absorption generelt vil variere lineært som densiteten ρ af materialet, kan vi definere en "masseabsorptionskoefficient" κ _ν =α/ρsom er en egenskab ved selve materialet. Ændringen i intensiteten af ​​en lysstråle på grund af absorption, da den krydser en lille afstand d s vil derefter være

${\displaystyle dI_{\nu }=-\kappa _{\nu }\rho I_{\nu }\,ds}$

"Massemissionskoefficienten" j _ν er lig med udstrålingen pr. Volumenhed af et element med et lille volumen divideret med dets masse (da emissionerne er, hvad angår masseabsorptionskoefficienten, er proportionale med den emitterende masse) og har effektenheder⋅ solid vinkel ⁻¹ ⋅frekvens ⁻¹ ⋅densitet ⁻¹ . Ligesom masseabsorptionskoefficienten er den også en egenskab ved selve materialet. Ændringen i en lysstråle, når den krydser en lille afstand d s, vil derefter være

${\displaystyle dI_{\nu }=j_{\nu }\rho \,ds}$

Ligningen for strålingsoverførsel vil derefter være summen af ​​disse to bidrag:

${\displaystyle {\frac {dI_{\nu }}{ds}}=j_{\nu }\rho -\kappa _{\nu }\rho I_{\nu }.}$

Hvis strålingsfeltet er i ligevægt med materialemediet, vil strålingen være homogen (uafhængig af position), så d I _ν = 0 og:

${\displaystyle \kappa _{\nu }B_{\nu }=j_{\nu }}$

som er en anden erklæring i Kirchhoffs lov, der vedrører to materielle egenskaber af mediet, og som giver den strålende overførselsligning på et punkt, omkring hvilket mediet er i termodynamisk ligevægt:

${\displaystyle {\frac {dI_{\nu }}{ds}}=\kappa _{\nu }\rho (B_{\nu }-I_{\nu }).}$

Einstein koefficienter

Princippet om detaljeret balance siger, at ved termodynamisk ligevægt bliver hver elementær proces ækvilibreret af dens omvendte proces.

I 1916 anvendte Albert Einstein dette princip på atomniveau i tilfælde af et atom, der udstrålede og absorberede stråling på grund af overgange mellem to bestemte energiniveauer, hvilket gav et dybere indblik i ligningen af ​​strålingsoverførsel og Kirchhoffs lov for denne type stråling. Hvis niveau 1 er det lavere energiniveau med energi E ₁ , og niveau 2 er det øvre energiniveau med energi E ₂ , bestemmes frekvensen ν af strålingen, der udstråles eller absorberes, af Bohrs frekvenstilstand:

${\displaystyle E_{2}-E_{1}=h\nu }$.

Hvis n ₁ og n ₂ er atomets taldensiteter i henholdsvis tilstand 1 og 2, skyldes ændringen af ​​disse tætheder i tid tre processer:

${\displaystyle \left({\frac {dn_{1}}{dt}}\right)_{\mathrm {spon} }=A_{21}n_{2}}$	Spontan emission
${\displaystyle \left({\frac {dn_{1}}{dt}}\right)_{\mathrm {stim} }=B_{21}n_{2}u_{\nu }}$	Stimuleret emission
${\displaystyle \left({\frac {dn_{2}}{dt}}\right)_{\mathrm {abs} }=B_{12}n_{1}u_{\nu }}$	Fotoabsorbering

hvor u _ν er strålingsfeltets spektrale energitæthed. De tre parametre A ₂₁ , B ₂₁ og B ₁₂ , kendt som Einstein -koefficienterne, er forbundet med fotonfrekvensen v produceret ved overgangen mellem to energiniveauer (tilstande). Som følge heraf har hver linje i et spektra sit eget sæt tilhørende koefficienter. Når atomerne og strålingsfeltet er i ligevægt, vil udstrålingen blive givet ved Plancks lov, og ved princippet om detaljeret balance skal summen af ​​disse hastigheder være nul:

${\displaystyle 0=A_{21}n_{2}+B_{21}n_{2}{\frac {4\pi }{c}}B_{\nu }(T)-B_{12}n_{1}{\frac {4\pi }{c}}B_{\nu }(T)}$

Da atomerne også er i ligevægt, er populationerne af de to niveauer relateret af Boltzmann -faktoren :

${\displaystyle {\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {g_{2}}{g_{1}}}e^{-h\nu /k_{\mathrm {B} }T}}$

hvor g ₁ og g ₂ er multipliciteterne for de respektive energiniveauer. Ved at kombinere de ovenstående to ligninger med kravet om, at de skal være gyldige ved enhver temperatur, opnås to forhold mellem Einstein -koefficienterne:

${\displaystyle {\frac {A_{21}}{B_{21}}}={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}}$

${\displaystyle {\frac {B_{21}}{B_{12}}}={\frac {g_{1}}{g_{2}}}}$

så viden om en koefficient vil give de to andre. I tilfælde af isotrop absorption og emission kan emissionskoefficienten ( j _ν ) og absorptionskoefficienten ( κ _ν ) defineret i strålingsoverførselsafsnittet ovenfor udtrykkes i Einstein -koefficienter. Forholdet mellem Einstein -koefficienterne vil give udtryk for Kirchhoffs lov udtrykt i afsnittet Radiative transfer ovenfor, nemlig at

${\displaystyle j_{\nu }=\kappa _{\nu }B_{\nu }.}$

Disse koefficienter gælder for både atomer og molekyler.

Ejendomme

Toppe

Fordelingerne B _ν , B _ω , B _ν̃ og B _k topper ved en fotonenergi på

${\displaystyle E=\left[3+W\left({\frac {-3}{e^{3}}}\right)\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 2.821\ k_{\mathrm {B} }T,}$

hvor W er funktionen Lambert W og e er Eulers nummer .

Fordelingerne B _λ og B _y topper imidlertid ved en anden energi

${\displaystyle E=\left[5+W\left({\frac {-5}{e^{5}}}\right)\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 4.965\ k_{\mathrm {B} }T,}$

Grunden til dette er, at man som nævnt ovenfor ikke kan gå fra (f.eks.) B _ν til B _{λ ved} blot at erstatte ν med λ . Derudover skal man også gange resultatet af substitutionen med

${\displaystyle \left|{\frac {d\nu }{d\lambda }}\right|=c/\lambda ^{2}}$.

Det her 1/λ ²faktor flytter toppen af ​​fordelingen til højere energier. Disse toppe er en fotones tilstandsenergi , når den indesnævres ved hjælp af henholdsvis frekvens- eller bølgelængdebeholdere af samme størrelse. I mellemtiden er den gennemsnitlige energi for en foton fra en sort krop

${\displaystyle E=\left[{\frac {\pi ^{4}}{30\zeta \left(3\right)}}\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 2.701\ k_{\mathrm {B} }T,}$

hvor er Riemann zeta -funktionen . Deling af hc med dette energiudtryk giver bølgelængden af ​​toppen. Til dette kan man bruge${\displaystyle \zeta }$hc/k _B = 14 387 0,770 um · K .

Den spektrale udstråling på disse toppe er givet ved:

${\displaystyle B_{\nu ,{\text{max}}}(T)={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{3}T^{3}(3+W(-3\exp(-3))^{3}}{h^{2}c^{2}}}{\frac {1}{e^{3+W(-3\exp(-3))}-1}}\approx \left(1.896\times 10^{-19}{\frac {\text{W}}{{\text{m}}^{2}\cdot {\text{Hz}}\cdot {\text{K}}^{3}}}\right)\times T^{3}}$

${\displaystyle B_{\lambda ,{\text{max}}}(T)={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{5}T^{5}(5+W(-5\exp(-5))^{5}}{h^{4}c^{3}}}{\frac {1}{e^{5+W(-5\exp(-5))}-1}}\approx \left(4.096\times 10^{-6}{\frac {\text{W}}{{\text{m}}^{3}\cdot {\text{K}}^{5}}}\right)\times ~T^{5}}$

Tilnærmelser

I grænsen for lave frekvenser (dvs. lange bølgelængder) bliver Plancks lov Rayleigh -Jeans -loven

${\displaystyle B_{\nu }(T)\approx {\frac {2\nu ^{2}}{c^{2}}}k_{\mathrm {B} }T}$     eller     ${\displaystyle \qquad B_{\lambda }(T)\approx {\frac {2c}{\lambda ^{4}}}k_{\mathrm {B} }T.}$

Udstrålingen øges som kvadratet af frekvensen, hvilket illustrerer den ultraviolette katastrofe . I grænsen for høje frekvenser (dvs. små bølgelængder) har Plancks lov en tendens til Wien -tilnærmelsen :

${\displaystyle B_{\nu }(T)\approx {\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}e^{-{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}}}$     eller     ${\displaystyle B_{\lambda }(T)\approx {\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}e^{-{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}}.}$

Begge tilnærmelser var kendt for Planck, før han udviklede sin lov. Han blev ledet af disse to tilnærmelser til at udvikle en lov, der inkorporerede begge grænser, som i sidste ende blev Plancks lov.

Procentiler

Wiens forskydningslov i sin stærkere form siger, at formen på Plancks lov er uafhængig af temperaturen. Det er derfor muligt at angive de percentilpoint af den samlede stråling samt toppene for bølgelængde og frekvens, i en form, der bølgelængden λ når divideret med temperaturen T . Den anden række i den følgende tabel viser de tilsvarende værdier af λT , det vil sige de værdier af x, for hvilken bølgelængden λ erx/T mikrometer ved udstrålingsprocentilpunktet givet ved den tilsvarende post i den første række.

Percentil	0,01%	0,1%	1%	10%	20%	25,0%	30%	40%	41,8%	50%	60%	64,6%	70%	80%	90%	99%	99,9%	99,99%
λ T (μm · K)	910	1110	1448	2195	2676	2898	3119	3582	3670	4107	4745	5099	5590	6864	9376	22884	51613	113374
λ k B T / hc	0,0632	0,0771	0,1006	0,1526	0,1860	0,2014	0,2168	0,2490	0,2551	0,2855	0,3298	0,3544	0,3885	0,4771	0,6517	1.5905	3.5873	7,8799

Det vil sige, at 0,01% af strålingen er ved en bølgelængde under 910/T µm, 20% under 2676/T µm osv. Bølgelængde- og frekvenstoppene er med fed skrift og forekommer ved henholdsvis 25,0% og 64,6%. 41,8% -punktet er den bølgelængde-frekvensneutrale top (dvs. toppen i effekt pr. Enhedsændring i logaritmen for bølgelængde eller frekvens). Dette er de punkter, hvor den respektive Planck-lov fungerer1/λ ⁵, v ³ ogv ²/λ ²henholdsvis divideret med exp (hν/k _B T) - 1opnår deres maksimum. Det meget mindre hul i forholdet mellem bølgelængder mellem 0,1% og 0,01% (1110 er 22% mere end 910) end mellem 99,9% og 99,99% (113374 er 120% mere end 51613) afspejler det eksponentielle henfald af energi ved korte bølgelængder (til venstre ende) og polynomisk forfald på lang tid.

Hvilken top der skal bruges, afhænger af applikationen. Det konventionelle valg er bølgelængdehøjden på 25,0% givet af Wiens forskydningslov i sin svage form. Til nogle formål kan medianen eller 50% -punktet, der deler den samlede stråling i to halvdele, være mere egnet. Sidstnævnte er tættere på frekvenstoppen end på bølgelængdetoppen, fordi udstrålingen falder eksponentielt ved korte bølgelængder og kun polynomalt længe. Den neutrale top forekommer ved en kortere bølgelængde end medianen af ​​samme grund.

For Solen er T 5778 K, hvilket tillader, at percentilpunkterne for Solens stråling, i nanometer, er opstillet som følger, når de er modelleret som en sort kropsradiator, som Solen er en rimelig tilnærmelse til. Til sammenligning har en planet, der er modelleret som en sort krop, der udstråler en nominel 288 K (15 ° C) som en repræsentativ værdi for Jordens meget variable temperatur, bølgelængder mere end tyve gange solens, tabuleret i tredje række i mikrometer (tusinder af nanometer).

Percentil	0,01%	0,1%	1%	10%	20%	25,0%	30%	40%	41,8%	50%	60%	64,6%	70%	80%	90%	99%	99,9%	99,99%
Sol λ (µm)	0,157	0,192	0,251	0,380	0,463	0,502	0,540	0,620	0,635	0,711	0,821	0,882	0,967	1.188	1.623	3,961	8,933	19.620
288 K planet λ (µm)	3.16	3,85	5.03	7,62	9.29	10.1	10.8	12.4	12.7	14.3	16.5	17.7	19.4	23.8	32.6	79,5	179	394

Det vil sige, at kun 1% af Solens stråling er ved bølgelængder kortere end 251 nm og kun 1% ved længere tid end 3961 nm. Udtrykt i mikrometer sætter dette 98% af solens stråling i området fra 0,251 til 3,961 µm. De tilsvarende 98% af energien, der udstråles fra en 288 K -planet, er fra 5,03 til 79,5 µm, langt over solstrålingsområdet (eller under hvis det udtrykkes i frekvenser ν =c/λi stedet for bølgelængder λ ).

En konsekvens af denne mere end orden-af-størrelses-forskel i bølgelængde mellem sol- og planetstråling er, at filtre designet til at passere det ene og blokere det andet er lette at konstruere. For eksempel passerer vinduer fremstillet af almindeligt glas eller gennemsigtig plast mindst 80% af den indgående 5778 K solstråling, som er under 1,2 µm i bølgelængde, mens den blokerer over 99% af den udgående 288 K termiske stråling fra 5 µm opad, bølgelængder hvor de fleste former for glas og plast af tykkelse af konstruktionskvalitet er effektivt uigennemsigtige.

Solens stråling er den, der ankommer til toppen af ​​atmosfæren (TOA). Som det kan læses fra tabellen, er stråling under 400 nm eller ultraviolet ca. 12%, mens den over 700 nm eller infrarød starter ved omkring 49% -punktet og tegner sig således for 51% af det samlede beløb. Derfor er kun 37% af TOA -isoleringen synlig for det menneskelige øje. Atmosfæren forskyder disse procentsatser væsentligt til fordel for synligt lys, da det absorberer det meste af det ultraviolette og betydelige mængder infrarødt.

Afledning

Overvej en terning med en side på L med ledende vægge fyldt med elektromagnetisk stråling i termisk ligevægt ved temperaturen T . Hvis der er et lille hul i en af ​​væggene, vil strålingen fra hullet være karakteristisk for en perfekt sort krop . Vi vil først beregne den spektrale energitæthed i hulrummet og derefter bestemme spektralstrålingen af ​​den udsendte stråling.

Ved kubens vægge skal den parallelle komponent i det elektriske felt og den ortogonale komponent i magnetfeltet forsvinde. Analogt med bølgefunktionen af ​​en partikel i en kasse , finder man, at felterne er superpositioner af periodiske funktioner. De tre bølgelængder λ ₁ , λ ₂ og λ ₃ i de tre retninger vinkelret på væggene kan være:

${\displaystyle \lambda _{i}={\frac {2L}{n_{i}}},}$

hvor n _i er positive heltal. For hvert sæt heltal n _i er der to lineært uafhængige løsninger (kendt som modes). Ifølge kvanteteorien er energiniveauerne i en tilstand givet ved:

${\displaystyle E_{n_{1},n_{2},n_{3}}\left(r\right)=\left(r+{\frac {1}{2}}\right){\frac {hc}{2L}}{\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}}.\qquad {\text{(1)}}}$

Kvantetallet r kan tolkes som antallet af fotoner i tilstanden. De to tilstande for hvert sæt n _i svarer til de to polariseringstilstande af fotonet, der har et spin på 1. For r = 0 er energien i tilstanden ikke nul. Denne vakuumenergi i det elektromagnetiske felt er ansvarlig for Casimir -effekten . I det følgende vil vi beregne den interne energi af kassen ved absolutte temperatur T .

Ifølge statistisk mekanik er ligevægts sandsynlighedsfordelingen over energiniveauerne i en bestemt tilstand givet ved:

${\displaystyle P_{r}={\frac {e^{-\beta E\left(r\right)}}{Z\left(\beta \right)}}.}$

Her

${\displaystyle \beta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}.}$

Nævneren Z ( β ) , er opdelingsfunktionen i en enkelt tilstand og gør P _r korrekt normaliseret:

${\displaystyle Z\left(\beta \right)=\sum _{r=0}^{\infty }e^{-\beta E\left(r\right)}={\frac {e^{-\beta \varepsilon /2}}{1-e^{-\beta \varepsilon }}}.}$

Her har vi implicit defineret

${\displaystyle \varepsilon \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {hc}{2L}}{\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}},}$

som er energien i en enkelt foton. Som forklaret her kan gennemsnitsenergien i en tilstand udtrykkes i form af partitionsfunktionen:

${\displaystyle \left\langle E\right\rangle =-{\frac {d\log \left(Z\right)}{d\beta }}={\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{e^{\beta \varepsilon }-1}}.}$

Denne formel er, bortset fra det første vakuumenergiterm, et specielt tilfælde af den generelle formel for partikler, der adlyder Bose -Einstein -statistik . Da der ikke er nogen begrænsning for det samlede antal fotoner, er det kemiske potentiale nul.

Hvis vi måler den energi i forhold til grundtilstanden, den samlede energi i kassen følger som summen ⟨ E ⟩ -ε/2over alle tilladte enkeltfontilstande. Dette kan gøres præcist i den termodynamiske grænse, når L nærmer sig uendeligt. I denne grænse, ε bliver kontinuerlig og vi kan derefter integrere ⟨ E ⟩ -ε/2over denne parameter. For at beregne energien i boksen på denne måde er vi nødt til at evaluere, hvor mange fotonstater der er i et givet energiområde. Hvis vi skriver det samlede antal enkeltfontilstande med energier mellem ε og ε + d ε som g ( ε ) d ε , hvor g ( ε ) er tilstandenes tæthed (som evalueres nedenfor), så kan vi skrive:

${\displaystyle U=\int _{0}^{\infty }{\frac {\varepsilon }{e^{\beta \varepsilon }-1}}g(\varepsilon )\,d\varepsilon .\qquad {\mbox{(2)}}}$

For at beregne tætheden af ​​tilstande omskriver vi ligning (1) som følger:

${\displaystyle \varepsilon \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {hc}{2L}}n,}$

hvor n er normen for vektoren n = ( n ₁ , n ₂ , n ₃ ) :

${\displaystyle n={\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}}.}$

For hver vektor n med heltalskomponenter større end eller lig med nul er der to fotonstater. Det betyder, at antallet af fotonstater i et bestemt område i n -rummet er det dobbelte af volumenet af dette område. Et energiområde på d ε svarer til skal af tykkelse d n =2 L/hcd ε i n -rum. Fordi komponenterne i n skal være positive, spænder denne skal over en oktant af en kugle. Antallet af fotonstater g ( ε ) d ε , i et energiområde d ε , er således givet ved:

${\displaystyle g(\varepsilon )\,d\varepsilon =2{\frac {1}{8}}4\pi n^{2}\,dn={\frac {8\pi L^{3}}{h^{3}c^{3}}}\varepsilon ^{2}\,d\varepsilon .}$

Indsætter dette i ligning. (2) giver:

${\displaystyle U=L^{3}{\frac {8\pi }{h^{3}c^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\varepsilon ^{3}}{e^{\beta \varepsilon }-1}}\,d\varepsilon .\qquad {\text{(3)}}}$

Fra denne ligning kan man udlede den spektrale energitæthed som en funktion af frekvensen u _ν ( T ) og som en funktion af bølgelængden u _λ ( T ) :

${\displaystyle {\frac {U}{L^{3}}}=\int _{0}^{\infty }u_{\nu }(T)\,d\nu ,}$

hvor

${\displaystyle u_{\nu }(T)={8\pi h\nu ^{3} \over c^{3}}{1 \over e^{h\nu /k_{\mathrm {B} }T}-1}.}$

Og:

${\displaystyle {\frac {U}{L^{3}}}=\int _{0}^{\infty }u_{\lambda }(T)\,d\lambda ,}$

hvor

${\displaystyle u_{\lambda }(T)={8\pi hc \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda k_{\mathrm {B} }T}-1}.}$

Dette er også en spektral energitæthedsfunktion med energienheder pr. Bølgelængdenhed pr. Volumenhed. Integraler af denne type til Bose- og Fermi -gasser kan udtrykkes i form af polylogaritmer . I dette tilfælde er det imidlertid muligt at beregne integralet i lukket form ved hjælp af kun elementære funktioner. Erstatter

${\displaystyle \varepsilon =k_{\mathrm {B} }Tx,}$

i ligning. (3), gør integrationsvariablen dimensionsløs og giver:

${\displaystyle u(T)={\frac {8\pi (k_{\mathrm {B} }T)^{4}}{(hc)^{3}}}J,}$

hvor J er en Bose -Einstein -integral givet af:

${\displaystyle J=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{4}}{15}}.}$

Den samlede elektromagnetiske energi inde i kassen er således givet ved:

${\displaystyle {U \over V}={\frac {8\pi ^{5}(k_{\mathrm {B} }T)^{4}}{15(hc)^{3}}},}$

hvor V = L ³ er boksens volumen.

Kombinationen hc/k _B har værdien 14 387 0,770 um · K .

Dette er ikke den Stefan-Boltzmanns lov (som tilvejebringer den samlede energi , der udstråles af et sort legeme pr overfladeareal per tidsenhed), men det kan skrives mere kompakt ved hjælp af Stefan-Boltzmanns konstant σ , hvilket giver

${\displaystyle {U \over V}={\frac {4\sigma T^{4}}{c}}.}$

Den konstante 4 σ/c kaldes undertiden strålingskonstanten.

Da strålingen er den samme i alle retninger og forplanter sig med lysets hastighed ( c ), er spektralstrålingen af ​​stråling, der forlader det lille hul,

${\displaystyle B_{\nu }(T)={\frac {u_{\nu }(T)c}{4\pi }},}$

som giver

${\displaystyle B_{\nu }(T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}~{\frac {1}{e^{h\nu /k_{\mathrm {B} }T}-1}}.}$

Det kan konverteres til et udtryk for B _λ ( T ) i bølgelængdenheder ved at erstatte ν medc/λ og evaluering

${\displaystyle B_{\lambda }(T)=B_{\nu }(T)\left|{\frac {d\nu }{d\lambda }}\right|.}$

Dimensionsanalyse viser, at enheden af ​​steradianer, vist i nævneren på højre side af ligningen ovenfor, genereres i og føres gennem afledningen, men ikke forekommer i nogen af ​​dimensionerne for noget element på venstre side af ligningen.

Denne afledning er baseret på Brehm & Mullin 1989 .

Historie

Balfour Stewart

I 1858 beskrev Balfour Stewart sine eksperimenter med de termiske strålingsemitterende og absorberende kræfter af polerede plader af forskellige stoffer, sammenlignet med lamper-sorte overflades kræfter ved samme temperatur. Stewart valgte lampesorte overflader som sin reference på grund af forskellige tidligere eksperimentelle fund, især dem af Pierre Prevost og John Leslie . Han skrev "Lampesort, som absorberer alle de stråler, der falder på det, og derfor besidder den størst mulige absorberende kraft, vil også besidde den størst mulige udstrålende kraft."

Stewart målte udstrålet effekt med et termo-bunke og følsomt galvanometer aflæst med et mikroskop. Han var optaget af selektiv termisk stråling, som han undersøgte med plader af stoffer, der udstrålede og absorberede selektivt for forskellige strålingskvaliteter frem for maksimalt for alle strålingskvaliteter. Han diskuterede eksperimenterne i form af stråler, der kunne reflekteres og brydes, og som adlød Helmholtz -gensidighedsprincippet (selvom han ikke brugte et eponym til det). Han nævnte ikke i dette papir, at strålernes kvaliteter kan beskrives ved deres bølgelængder, og han brugte heller ikke spektralopløsende apparater som prismer eller diffraktionsgitre. Hans arbejde var kvantitativt inden for disse begrænsninger. Han foretog sine målinger i et stuetemperaturmiljø og hurtigt for at fange hans kroppe i en tilstand nær den termiske ligevægt, hvor de var blevet forberedt ved opvarmning til ligevægt med kogende vand. Hans målinger bekræftede, at stoffer, der udsender og absorberer selektivt, respekterer princippet om selektiv lighed for emission og absorption ved termisk ligevægt.

Stewart tilbød et teoretisk bevis på, at dette skulle være tilfældet separat for hver valgt kvalitet af termisk stråling, men hans matematik var ikke strengt gyldig. Ifølge historikeren DM Siegel: "Han var ikke praktiserende i de mere sofistikerede teknikker fra det nittende århundredes matematiske fysik; han gjorde ikke engang brug af den funktionelle notation i håndteringen af ​​spektralfordelinger." Han nævnte ikke termodynamik i dette papir, selvom han henviste til bevarelse af vis viva . Han foreslog, at hans målinger indebar, at stråling både blev absorberet og udsendt af partikler i hele dybden af ​​de medier, hvor den forplantede sig. Han anvendte Helmholtz -gensidighedsprincippet for at redegøre for materialegrænsefladeprocesserne adskilt fra processerne i det indre materiale. Han konkluderede, at hans eksperimenter viste, at i det indre af et kabinet i termisk ligevægt reflekterede og udsendte strålingsvarmen kombineret og efterlod enhver del af overfladen, uanset dens substans, var den samme, som ville have forladt den samme del af overfladen, hvis den havde været sammensat af lampesort. Han nævnte ikke muligheden for ideelt perfekt reflekterende vægge; især bemærkede han, at meget polerede ægte fysiske metaller absorberer meget let.

Gustav Kirchhoff

I 1859, uden at vide om Stewarts arbejde, rapporterede Gustav Robert Kirchhoff om sammenfaldet af bølgelængderne af spektralt opløste absorptionslinjer og emission af synligt lys. Vigtigere for termisk fysik observerede han også, at lyse linjer eller mørke linjer var tydelige afhængigt af temperaturforskellen mellem emitter og absorber.

Kirchhoff derefter gik over til at behandle organer, der udsender og absorberer varme stråling i en uigennemsigtig indelukke eller hulrum, i ligevægt ved temperaturen T .

Her bruges en notation, der er forskellig fra Kirchhoffs. Her, den emitterende power E ( T , i ) betegner en dimensioneret mængde, det samlede stråling fra et organ mærket ved indeks i ved temperatur T . Den samlede absorptionsforhold en ( T , i ) af dette organ er dimensionsløs, forholdet af absorberet indfaldende stråling i hulrummet ved temperaturen T . (I modsætning til Balfour Stewarts henviste Kirchhoffs definition af hans absorptionsforhold ikke særligt til en lampesort overflade som kilden til den indfaldende stråling.) Således forholdetE ( T , i )/a ( T , i )af emissionseffekt til absorptionsforhold er en dimensioneret mængde med dimensioner af emitterende effekt, fordi a ( T , i ) er dimensionsløs. Også her er den bølgelængdespecifikke emissionseffekt af kroppen ved temperatur T angivet med E ( λ , T , i ) og det bølgelængdespecifikke absorptionsforhold med a ( λ , T , i ) . Igen, forholdetE ( λ , T , i )/a ( λ , T , i ) af emissionseffekt til absorptionsforhold er en dimensioneret mængde med dimensioner af emitterende effekt.

I en anden rapport foretaget i 1859 annoncerede Kirchhoff et nyt generelt princip eller lov, som han tilbød et teoretisk og matematisk bevis for, selvom han ikke tilbød kvantitative målinger af strålingskræfter. Hans teoretiske bevis blev og anses stadig af nogle forfattere for at være ugyldigt. Hans princip har imidlertid holdt ud: det var, at for varmestråler med samme bølgelængde, i ligevægt ved en given temperatur, har det bølgelængdespecifikke forhold mellem emitterende effekt og absorptionsforhold en og samme fælles værdi for alle kroppe, der udsender og absorbere ved den bølgelængde. I symboler angav loven, at det bølgelængdespecifikke forholdE ( λ , T , i )/a ( λ , T , i )har en og samme værdi for alle organer, det vil sige for alle værdier af indeks i . I denne rapport var der ikke omtale af sorte kroppe.

I 1860, hvor Kirchhoff stadig ikke kendte til Stewarts målinger for udvalgte strålekvaliteter, påpegede det, at det længe var eksperimentelt fastslået, at for total varmestråling, af uvalgt kvalitet, udsendt og absorberet af et legeme i ligevægt, det dimensionerede samlede strålingsforhold E ( T , i )/a ( T , i ), har en og samme værdi fælles for alle organer, det vil sige for hver værdi af materialeindekset i . Igen uden målinger af strålingskræfter eller andre nye eksperimentelle data tilbød Kirchhoff derefter et nyt teoretisk bevis på sit nye princip om universaliteten af ​​værdien af ​​det bølgelængdespecifikke forholdE ( λ , T , i )/a ( λ , T , i )ved termisk ligevægt. Hans friske teoretiske bevis blev og anses stadig af nogle forfattere for at være ugyldigt.

Men endnu vigtigere, den støttede sig på et nyt teoretisk postulat om "helt sorte kroppe" , hvilket er grunden til, at man taler om Kirchhoffs lov. Sådanne sorte kroppe viste fuldstændig absorption i deres uendeligt tynde, mest overfladiske overflade. De svarer til Balfour Stewarts referenceorganer, med intern stråling, belagt med lampesort. De var ikke de mere realistiske perfekt sorte kroppe, der senere blev betragtet af Planck. Plancks sorte kroppe udstrålede og absorberes kun af materialet i deres interiør; deres grænseflader med sammenhængende medier var kun matematiske overflader, der hverken kunne absorbere eller udsende, men kun reflektere og transmittere med brydning.

Kirchhoffs bevis betragtes som en vilkårlig ikke-ideel krop mærket i samt forskellige perfekte sorte kroppe mærket BB . Det nødvendigt, at de organer, opbevares i et hulrum i termisk ligevægt ved temperaturen T . Hans bevis havde til formål at vise, at forholdetE ( λ , T , i )/a ( λ , T , i )var uafhængig af naturen i det ikke-ideelle legeme, dog var den delvis gennemsigtig eller delvis reflekterende.

Hans bevis fremførte først, at for bølgelængde λ og ved temperatur T , ved termisk ligevægt, har alle perfekt sorte legemer af samme størrelse og form den samme og samme værdi af emissionskraft E ( λ , T , BB) med dimensionerne af magt. Hans bevis bemærkede, at det dimensionsløse bølgelængdespecifikke absorptionsforhold a ( λ , T , BB) for et perfekt sort legeme pr. Definition er præcist 1. Så for et helt sort legeme er det bølgelængdespecifikke forhold mellem emissionseffekt og absorptionsforholdE ( λ , T , BB)/a ( λ , T , BB)er igen bare E ( λ , T , BB) , med dimensionerne af magt. Kirchhoff betragtes successivt termisk ligevægt med den vilkårlige ikke-ideelle krop, og med en perfekt sort legeme af samme størrelse og form, på plads i sit hulrum i ligevægt ved temperaturen T . Han argumenterede for, at strømmen af ​​varmestråling i hvert tilfælde skal være den samme. Således argumenterede han for, at ved termisk ligevægt var forholdetE ( λ , T , i )/a ( λ , T , i )var lig med E ( λ , T , BB) , som nu kan betegnes B _λ ( λ , T ) , en kontinuerlig funktion, kun afhængig af λ ved fast temperatur T og en stigende funktion af T ved fast bølgelængde λ , ved lave temperaturer forsvinder for synlige, men ikke for længere bølgelængder, med positive værdier for synlige bølgelængder ved højere temperaturer, hvilket ikke afhænger af arten i det vilkårlige ikke-ideelle legeme. (Geometriske faktorer, taget i detaljer af Kirchhoff, er blevet ignoreret i det foregående.)

Således kan Kirchhoffs termiske strålingslov angives: For ethvert materiale overhovedet udstråler og absorberer den i termodynamisk ligevægt ved en given temperatur T , for hver bølgelængde λ har forholdet mellem emissionseffekt og absorptionsforhold en universel værdi, som er karakteristisk for en perfekt sort krop, og er en udsendende kraft, som vi her repræsenterer ved B _λ ( λ , T ) . (For vores notation B _λ ( λ , T ) var Kirchhoffs originale notation ganske enkelt e .)

Kirchhoff meddelte, at bestemmelsen af ​​funktionen B _λ ( λ , T ) var et problem af højeste betydning, selvom han erkendte, at der ville være eksperimentelle vanskeligheder at overvinde. Han formodede, at ligesom andre funktioner, der ikke er afhængige af de enkelte krops egenskaber, ville det være en simpel funktion. Denne funktion B _λ ( λ , T ) er lejlighedsvis blevet kaldt 'Kirchhoffs (emission, universelle) funktion', selvom dens præcise matematiske form ikke ville være kendt i yderligere fyrre år, indtil den blev opdaget af Planck i 1900. Det teoretiske bevis for Kirchhoffs universalitetsprincip blev bearbejdet og debatteret af forskellige fysikere på samme tid og senere. Kirchhoff udtalte senere i 1860, at hans teoretiske bevis var bedre end Balfour Stewarts, og i nogle henseender var det sådan. Kirchhoffs papir fra 1860 nævnte ikke termodynamikkens anden lov og nævnte naturligvis ikke begrebet entropi, som ikke på det tidspunkt var blevet fastlagt. I en mere overvejet beretning i en bog i 1862 nævnte Kirchhoff sin lovs forbindelse med "Carnots princip", som er en form for den anden lov.

Ifølge Helge Kragh, "kvanteteori skylder sin oprindelse i undersøgelsen af ​​termisk stråling, især på den" blackbody "-stråling, som Robert Kirchhoff først havde defineret i 1859–1860."

Empiriske og teoretiske ingredienser til den videnskabelige induktion af Plancks lov

I 1860 forudsagde Kirchhoff eksperimentelle vanskeligheder for den empiriske bestemmelse af den funktion, der beskrev afhængigheden af ​​sortkropsspektret som en funktion udelukkende af temperatur og bølgelængde. Og sådan viste det sig. Det tog omkring fyrre år med udvikling af forbedrede målinger af elektromagnetisk stråling for at få et pålideligt resultat.

I 1865 beskrev John Tyndall stråling fra elektrisk opvarmede filamenter og fra kulbuer som synlig og usynlig. Tyndall nedbrudte strålingen spektralt ved hjælp af et stensaltprisme, der passerede varme såvel som synlige stråler, og målte strålingsintensiteten ved hjælp af en termopil.

I 1880 offentliggjorde André-Prosper-Paul Crova et diagram over grafens tredimensionelle udseende af styrken af ​​termisk stråling som funktion af bølgelængde og temperatur. Han bestemte den spektrale variabel ved hjælp af prismer. Han analyserede overfladen gennem det, han kaldte "isotermiske" kurver, sektioner for en enkelt temperatur, med en spektral variabel på abscissen og en effektvariabel på ordinaten. Han satte glatte kurver gennem sine eksperimentelle datapunkter. De havde en top ved en spektral værdi, der var karakteristisk for temperaturen, og faldt på hver side af den mod den vandrette akse. Sådanne spektrale sektioner er bredt vist endnu i dag.

I en række papirer fra 1881 til 1886 rapporterede Langley målinger af spektret af varmestråling ved hjælp af diffraktionsrist og prismer og de mest følsomme detektorer, han kunne lave. Han rapporterede, at der var en spidsintensitet, der steg med temperaturen, at spektrets form ikke var symmetrisk omkring toppen, at der var et stærkt fald i intensiteten, når bølgelængden var kortere end en omtrentlig afskæringsværdi for hver temperatur, at den omtrentlige afskærmningsbølgelængde faldt med stigende temperatur, og at bølgelængden for spidsintensiteten faldt med temperaturen, så intensiteten steg stærkt med temperaturen for korte bølgelængder, der var længere end den omtrentlige afskærmning for temperaturen.

Efter at have læst Langley, i 1888, offentliggjorde den russiske fysiker VA Michelson en overvejelse af ideen om, at den ukendte Kirchhoff -strålingsfunktion kunne forklares fysisk og angives matematisk i form af "fuldstændig uregelmæssighed af vibrationer i ... atomer". På dette tidspunkt studerede Planck ikke stråling tæt og troede hverken på atomer eller statistisk fysik. Michelson producerede en formel for spektret for temperatur:

${\displaystyle I_{\lambda }=B_{1}\theta ^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {c}{\lambda ^{2}\theta }}\right)\lambda ^{-6},}$

hvor I _λ betegner specifik strålingsintensitet ved bølgelængde λ og temperatur θ , og hvor B ₁ og c er empiriske konstanter.

I 1898 udgav Otto Lummer og Ferdinand Kurlbaum en redegørelse for deres hulstrålingskilde . Deres design er blevet brugt stort set uændret til strålingsmålinger til i dag. Det var en platinæske, divideret med membraner, med sit indre sorte med jernoxid. Det var en vigtig ingrediens for de gradvist forbedrede målinger, der førte til opdagelsen af ​​Plancks lov. En version beskrevet i 1901 havde sit indre sorte med en blanding af chrom, nikkel og koboltoxider.

Betydningen af ​​Lummer- og Kurlbaum-hulstrålingskilden var, at det var en eksperimentelt tilgængelig kilde til sortlegemestråling, adskilt fra stråling fra et simpelthen udsat glødeløs fast legeme, som havde været den nærmeste tilgængelige eksperimentelle tilnærmelse til sortlegemsstråling over et passende temperaturinterval. De simpelthen udsatte glødende faste legemer, der havde været brugt før, udsendte stråling med afvigelser fra sortkropsspektret, der gjorde det umuligt at finde det sande sortkropsspektrum fra forsøg.

Plancks synspunkter før de empiriske fakta fik ham til at finde sin endelige lov

Planck vendte først opmærksomheden mod problemet med sortlegemestråling i 1897. Teoretiske og empiriske fremskridt gjorde det muligt for Lummer og Pringsheim at skrive i 1899, at tilgængelige eksperimentelle beviser omtrent var i overensstemmelse med den specifikke intensitetslov Cλ ⁻⁵ e ^{- c ⁄ λT,} hvor C og c betegner empirisk målbare konstanter, og hvor λ og T betegner henholdsvis bølgelængde og temperatur. Af teoretiske grunde accepterede Planck på det tidspunkt denne formulering, som har en effektiv afbrydelse af korte bølgelængder.

Gustav Kirchhoff var Max Plancks lærer og formodede, at der var en universel lov for sortlegemestråling, og dette blev kaldt "Kirchhoffs udfordring." Planck, en teoretiker, mente, at Wilhelm Wien havde opdaget denne lov, og Planck udvidede Wien's arbejde med at præsentere den i 1899 for mødet i det tyske fysiske selskab. Eksperimenterne Otto Lummer , Ferdinand Kurlbaum , Ernst Pringsheim Sr. og Heinrich Rubens lavede eksperimenter, der syntes at understøtte Wiens lov, især ved korte bølgelængder med højere frekvens, som Planck så fuldstændig godkendte i German Physical Society, at det begyndte at blive kaldt Wien-Planck-loven . Imidlertid havde eksperimentisterne i september 1900 uden tvivl bevist, at Wein-Planck-loven svigtede ved de længere bølgelængder. De ville fremlægge deres data den 19. oktober. Planck blev informeret af sin ven Rubens og lavede hurtigt en formel inden for få dage. I juni samme år, havde Herren Raleigh skabt en formel, der ville arbejde for korte lavere frekvens bølgelængder baseret på den bredt accepteret teori om Ligefordelingsloven . Så Planck fremlagde en formel, der kombinerede både Raleighs lov (eller en lignende udbytteteori) og Wiens lov, som ville blive vægtet til den ene eller den anden lov afhængig af bølgelængde, der matchede de eksperimentelle data. Selvom denne ligning fungerede, sagde Planck selv, medmindre han kunne forklare formlen afledt af en "heldig intuition" til en af ​​"sand betydning" i fysikken, havde den ikke sand betydning. Planck forklarede, at han derefter fulgte sit livs hårdeste arbejde. Planck troede ikke på atomer, og han mente heller ikke, at termodynamikkens anden lov skulle være statistisk, fordi sandsynlighed ikke giver et absolut svar, og Boltzmanns entropilov hvilede på atoms hypotese og var statistisk. Men Planck var ikke i stand til at finde en måde at forene sin Blackbody -ligning med kontinuerlige love som Maxwells bølgeligninger. Så i det Planck kaldte "en handling af desperation", vendte han sig til Boltzmanns atomlov for entropi, da det var den eneste, der fik hans ligning til at fungere. Derfor brugte han Boltzmanns konstante k og sin nye konstant h til at forklare Blackbody -strålingsloven, som blev bredt kendt gennem hans publicerede papir.

At finde den empiriske lov

Max Planck fremlagde sin lov den 19. oktober 1900 som en forbedring i forhold til Wien -tilnærmelsen , udgivet i 1896 af Wilhelm Wien , som passede til eksperimentelle data ved korte bølgelængder (høje frekvenser), men afveg fra den ved lange bølgelængder (lave frekvenser). I juni 1900 havde Rayleigh baseret på heuristiske teoretiske overvejelser foreslået en formel, som han foreslog, kunne kontrolleres eksperimentelt. Forslaget var, at den universelle funktion Stewart – Kirchhoff kunne have formen c ₁ Tλ ⁻⁴ exp ( -c ₂/λT) . Dette var ikke den berømte Rayleigh -Jeans -formel 8π k _B Tλ ⁻⁴ , som først opstod i 1905, selvom den reducerede til sidstnævnte for lange bølgelængder, som er de relevante her. Ifølge Klein kan man spekulere i, at det er sandsynligt, at Planck havde set dette forslag, selvom han ikke nævnte det i sine papirer fra 1900 og 1901. Planck ville have været opmærksom på forskellige andre foreslåede formler, der var blevet tilbudt. Den 7. oktober 1900 fortalte Rubens Planck, at i det komplementære domæne (lang bølgelængde, lav frekvens), og kun der, passede Rayleighs 1900 -formel godt til de observerede data.

For lange bølgelængder betød Rayleighs 1900 heuristiske formel omtrent, at energi var proportional med temperaturen, U _λ = const. T . Det vides, atdS/dU _λ = 1/T og dette fører til dS/dU _λ = konst./U _λ og derfra til d ² S/dU _λ ² = -konst./U _λ ²for lange bølgelængder. Men for korte bølgelængder fører Wien -formlen til1/T= - konst. l U _λ + konst. og derfra tild ² S/dU _λ ² = - konst./U _λfor korte bølgelængder. Planck lappede måske sammen disse to heuristiske formler for lange og korte bølgelængder for at producere en formel

${\displaystyle {\frac {d^{2}S}{dU_{\lambda }^{2}}}={\frac {\alpha }{U_{\lambda }(\beta +U_{\lambda })}}.}$

Dette førte Planck til formlen

${\displaystyle B_{\lambda }(T)={\frac {C\lambda ^{-5}}{e^{\frac {c}{\lambda T}}-1}},}$

hvor Planck brugte symbolerne C og c til at betegne empiriske passende konstanter.

Planck sendte dette resultat til Rubens, der sammenlignede det med hans og Kurlbaums observationsdata og fandt ud af, at det passede bemærkelsesværdigt godt til alle bølgelængder. Den 19. oktober 1900 rapporterede Rubens og Kurlbaum kort om tilpasningen til dataene, og Planck tilføjede en kort præsentation for at give en teoretisk skitse til at redegøre for hans formel. Inden for en uge gav Rubens og Kurlbaum en fyldigere rapport om deres målinger, der bekræftede Plancks lov. Deres teknik til spektral opløsning af strålingen med længere bølgelængde blev kaldt reststråle -metoden. Strålerne blev gentagne gange reflekteret fra polerede krystaloverflader, og strålerne, der kom hele vejen igennem processen, var 'resterende' og havde bølgelængder, der fortrinsvis reflekteredes af krystaller af passende specifikke materialer.

Forsøger at finde en fysisk forklaring på loven

Da Planck havde opdaget den empirisk passende funktion, konstruerede han en fysisk afledning af denne lov. Hans tankegang drejede sig om entropi frem for at handle direkte om temperatur. Planck betragtede et hulrum med perfekt reflekterende vægge; hulrummet indeholdt endeligt mange hypotetiske godt adskilte og genkendelige, men identisk sammensatte, af bestemt størrelse, resonante oscillerende legemer, flere sådanne oscillatorer ved hver af endelig mange karakteristiske frekvenser. De hypotetiske oscillatorer var for Planck rent imaginære teoretiske undersøgelsesprober, og han sagde om dem, at sådanne oscillatorer ikke behøver "virkelig at eksistere et sted i naturen, forudsat at deres eksistens og deres egenskaber er i overensstemmelse med lovene om termodynamik og elektrodynamik." Planck tilskrev ikke nogen bestemt fysisk betydning til sin hypotese om resonansoscillatorer, men foreslog den snarere som en matematisk enhed, der gjorde det muligt for ham at udlede et enkelt udtryk for det sorte kropsspektrum, der matchede empirien i alle bølgelængder. Han nævnte foreløbigt den mulige forbindelse af sådanne oscillatorer med atomer . På en måde svarede oscillatorerne til Plancks kulspån; størrelsen af ​​pletten kunne være lille uanset hulrummets størrelse, forudsat at pletten effektivt transducerede energi mellem strålingsbølgelængdeindstillinger.

Delvist efter en heuristisk beregningsmetode, som Boltzmann var banebrydende for gasmolekyler, overvejede Planck de mulige måder at distribuere elektromagnetisk energi over de forskellige former for sine hypotetiske ladede materialoscillatorer. Denne accept af den sandsynlige tilgang, efter Boltzmann, for Planck var en radikal ændring fra hans tidligere holdning, som indtil da bevidst havde modsat sig sådan tankegang foreslået af Boltzmann. Med Plancks ord, "betragtede jeg [kvantehypotesen] som en rent formel antagelse, og jeg tænkte ikke meget over det bortset fra dette: at jeg havde opnået et positivt resultat under alle omstændigheder og for enhver pris." Heuristisk havde Boltzmann distribueret energien i vilkårlige blot matematiske kvante ϵ , som han havde foretaget en tendens til at nul i størrelse, fordi den endelige størrelse ϵ kun havde tjent til at tillade bestemt tælling af hensyn til matematisk beregning af sandsynligheder og ikke havde nogen fysisk betydning. Under henvisning til en ny universel konstant af naturen, h , Planck formodes, at i de adskillige oscillatorer af hver af de endelig mange karakteristiske frekvenser, blev den samlede energi distribueret til hver i et heltalsmultiplum af en bestemt fysisk enhed energi, ε , ikke vilkårlig som i Boltzmanns metode, men nu for Planck, i en ny afgang, karakteristisk for den respektive karakteristiske frekvens. Hans nye universelle naturkonstant, h , er nu kendt som Plancks konstant .

Planck forklarede yderligere, at den respektive bestemte enhed, ϵ , for energi skulle være proportional med den respektive karakteristiske svingningsfrekvens ν for den hypotetiske oscillator, og i 1901 udtrykte han dette med proportionalitetskonstanten h :

${\displaystyle \epsilon =h\nu .}$

Planck foreslog ikke, at lys, der formerer sig i det frie rum, kvantificeres. Ideen om kvantisering af det frie elektromagnetiske felt blev udviklet senere og til sidst inkorporeret i det, vi nu kender som kvantefeltteori .

I 1906 erkendte Planck, at hans imaginære resonatorer med lineær dynamik ikke gav en fysisk forklaring på energitransduktion mellem frekvenser. Nutidens fysik forklarer transduktionen mellem frekvenser i nærvær af atomer ved deres kvante-excitabilitet efter Einstein. Planck mente, at det elektromagnetiske felt ikke kan udveksle energi mellem frekvenskomponenter i et hulrum med perfekt reflekterende vægge og uden noget til stede. Dette er på grund af lineariteten af Maxwells ligninger . Nutidens kvantefeltteori forudsiger, at i fravær af stof, det elektromagnetiske felt adlyder ikke-lineære ligninger og i den forstand interagerer selv. Sådan interaktion i fravær af stof er endnu ikke blevet målt direkte, fordi det ville kræve meget høje intensiteter og meget følsomme og støjsvage detektorer, som stadig er i færd med at blive konstrueret. Planck mente, at et felt uden interaktioner hverken adlyder eller krænker det klassiske princip om energideling, og i stedet forbliver nøjagtigt, som det var, da det blev introduceret, snarere end at udvikle sig til et sort kropsfelt. Således forhindrede lineariteten af ​​hans mekaniske antagelser Planck i at have en mekanisk forklaring på maksimering af entropien af ​​det termodynamiske ligevægts termiske strålingsfelt. Det var derfor, han måtte ty til Boltzmanns sandsynlige argumenter. Nogle nylige forslag i den mulige fysiske forklaring på Plancks konstant tyder på , at Plancks konstant, bestemt efter strålingen som en bølgepakke , efter de Broglies ånd i bølge-partikel dualitet , bestemmes af vakuumets fysiske egenskaber og en kritisk forstyrrelse i det elektromagnetiske felt.

Plancks lov kan anses for at opfylde Gustav Kirchhoffs forudsigelse om, at hans lov om termisk stråling var af højeste betydning. I sin modne præsentation af sin egen lov tilbød Planck et grundigt og detaljeret teoretisk bevis for Kirchhoffs lov, hvis teoretiske bevis indtil da undertiden var blevet diskuteret, dels fordi det siges at stole på ufysiske teoretiske objekter, såsom Kirchhoffs perfekt absorberende uendeligt tynd sort overflade.

Efterfølgende begivenheder

Det var først fem år efter, at Planck gjorde sin heuristiske antagelse om abstrakte energi- eller handlingselementer, at Albert Einstein opfattede virkeligt eksisterende kvantiteter af lys i 1905 som en revolutionerende forklaring på sortlegemsstråling, fotoluminescens, den fotoelektriske effekt , og ionisering af gasser med ultraviolet lys. I 1905 "mente Einstein, at Plancks teori ikke kunne bringes til at stemme overens med tanken om lette kvanta, en fejl han rettede i 1906." I modsætning til Plancks tro på den tid foreslog Einstein en model og formel, hvorved lys blev udsendt, absorberet og forplantet i det frie rum i energikvanta lokaliseret i rumpunkter. Som en introduktion til sit ræsonnement rekapitulerede Einstein Plancks model af elektriske oscillatorer af hypotetisk resonant materiale som strålekilder og dræn, men så tilbød han et nyt argument, koblet fra den model, men delvist baseret på et termodynamisk argument fra Wien, hvor Plancks formel ϵ = hν spillede ingen rolle. Einstein gav energiindholdet i sådanne kvanter i formenRβν/N. Således modsagde Einstein den bølgende teori om lys, som Planck havde. I 1910, hvor han kritiserede et manuskript sendt til ham af Planck, vel vidende at Planck var en fast tilhænger af Einsteins teori om særlig relativitet, skrev Einstein til Planck: "For mig virker det absurd at have energi kontinuerligt fordelt i rummet uden at antage en æter."

Ifølge Thomas Kuhn var det først i 1908, at Planck mere eller mindre accepterede en del af Einsteins argumenter for fysisk adskilt fra abstrakt matematisk diskrethed inden for termisk strålingsfysik. Stadig i 1908, i betragtning af Einsteins forslag om kvantal formering, mente Planck, at et sådant revolutionært skridt måske var unødvendigt. Indtil da havde Planck været konsekvent i at tro, at diskretion af handlingskvanta hverken skulle findes i hans resonante oscillatorer eller i udbredelsen af ​​termisk stråling. Kuhn skrev, at der i Plancks tidligere aviser og i hans monografi fra 1906 ikke er omtalt "diskontinuitet [eller] om snak om en begrænsning af oscillator -energi [eller om] nogen formel som U = nhν ." Kuhn påpegede, at hans undersøgelse af Plancks papirer fra 1900 og 1901 og af hans monografi fra 1906 havde ført ham til "kætterske" konklusioner, i modsætning til de udbredte antagelser fra andre, der kun så Plancks forfatterskab fra et senere, anakronistisk perspektiv, synspunkter. Kuhns konklusioner, der fandt en periode til 1908, hvor Planck konsekvent holdt sin 'første teori', er blevet accepteret af andre historikere.

I den anden udgave af sin monografi, i 1912, opretholdt Planck sin uenighed fra Einsteins forslag om lette kvanta. Han foreslog i nogle detaljer, at absorption af lys af hans virtuelle materialeresonatorer kunne være kontinuerlig og forekomme med en konstant ligevægtshastighed, adskilt fra kvantal absorption. Kun emission var kvantal. Dette er til tider blevet kaldt Plancks "anden teori".

Det var først i 1919, at Planck i den tredje udgave af sin monografi mere eller mindre accepterede sin 'tredje teori', at både emission og absorption af lys var kvantal.

Det farverige udtryk " ultraviolet katastrofe " blev givet af Paul Ehrenfest i 1911 til det paradoksale resultat, at den samlede energi i hulrummet har en tendens til uendelighed, når den klassiske statistiske mekanikkes sætningssætning (fejlagtigt) anvendes på sortlegemsstråling. Men dette havde ikke været en del af Plancks tankegang, fordi han ikke havde forsøgt at anvende doktrinen om udstyr: da han fandt sin opdagelse i 1900, havde han ikke bemærket nogen form for "katastrofe". Det blev først noteret af Lord Rayleigh i 1900, og derefter i 1901 af Sir James Jeans ; og senere, i 1905, af Einstein, da han ønskede at støtte ideen om, at lys formerer sig som diskrete pakker, senere kaldet 'fotoner', og af Rayleigh og af Jeans.

I 1913 gav Bohr en anden formel med en anden anden fysisk betydning til mængden hν . I modsætning til Plancks og Einsteins formler henviste Bohrs formel eksplicit og kategorisk til atomernes energiniveau. Bohrs formel var W _{τ 2} - W _{τ 1} = hν, hvor W _{τ 2} og W _{τ 1} betegner energiniveauer for kvantetilstande i et atom med kvantetal τ ₂ og τ ₁ . Symbolet ν angiver frekvensen af ​​en strålingskvantum, der kan udsendes eller absorberes, når atomet passerer mellem de to kvantetilstande. I modsætning til Plancks model har frekvensen ingen umiddelbar relation til frekvenser, der kan beskrive disse kvantetilstande selv. ${\displaystyle \nu }$

Senere, i 1924, udviklede Satyendra Nath Bose teorien om fotons statistiske mekanik, hvilket tillod en teoretisk afledning af Plancks lov. Det egentlige ord 'foton' blev opfundet endnu senere af GN Lewis i 1926, der fejlagtigt troede, at fotoner blev bevaret, i modsætning til Bose -Einstein -statistikker; ikke desto mindre blev ordet 'foton' vedtaget for at udtrykke Einstein -postulatet om lysets udbredelse af pakken. I et elektromagnetisk felt isoleret i et vakuum i et fartøj med perfekt reflekterende vægge, som det blev overvejet af Planck, ville fotoner faktisk blive bevaret efter Einsteins model fra 1905, men Lewis refererede til et felt af fotoner, der betragtes som et system lukket med med hensyn til grusomt stof, men åben for udveksling af elektromagnetisk energi med et omgivende system af grueligt stof, og han forestillede sig fejlagtigt, at stadig fotoner blev bevaret og blev lagret inde i atomer.

I sidste ende bidrog Plancks lov om sortlegemestråling til Einsteins begreb om lyskvante, der bærer lineært momentum, hvilket blev det grundlæggende grundlag for udviklingen af kvantemekanik .

Den ovennævnte linearitet af Plancks mekaniske antagelser, der ikke tillod energiske interaktioner mellem frekvenskomponenter, blev afløst i 1925 af Heisenbergs originale kvantemekanik. I sit papir, der blev indsendt den 29. juli 1925, stod Heisenbergs teori for Bohrs ovennævnte formel fra 1913. Det indrømmede ikke-lineære oscillatorer som modeller for atomkvantetilstande, hvilket muliggjorde energisk interaktion mellem deres egne flere interne diskrete Fourier-frekvenskomponenter ved lejlighederne emission eller absorption af strålingskvanta. Frekvensen af ​​en kvantitet af stråling var frekvensen af ​​en bestemt kobling mellem indre atomare metastabile oscillatoriske kvantetilstande. På det tidspunkt vidste Heisenberg intet om matrixalgebra, men Max Born læste manuskriptet til Heisenbergs papir og genkendte matrixkarakteren i Heisenbergs teori. Herefter offentliggjorde Born og Jordan en eksplicit matrixteori om kvantemekanik, baseret på, men i form, der er klart forskellig fra Heisenbergs oprindelige kvantemekanik; det er Born og Jordan matrix teori, der i dag kaldes matrix mekanik. Heisenbergs forklaring af Planck-oscillatorerne, som ikke-lineære effekter, der er tydelige som Fourier-former for forbigående emissioner eller absorption af stråling, viste, hvorfor Plancks oscillatorer, betragtet som varige fysiske objekter, som den klassiske fysik kunne forestille sig, ikke gav en tilstrækkelig forklaring på fænomenerne.

I dag, som en erklæring om energien i en let kvante, finder man ofte formlen E = ħω , hvor ħ =h/2π, og ω = 2π ν betegner vinkelfrekvens, og sjældnere den ækvivalente formel E = hν . Denne erklæring om en virkelig eksisterende og formerende lyskvante, baseret på Einsteins, har en fysisk betydning, der er forskellig fra Plancks ovenstående udsagn ϵ = hν om de abstrakte energienheder, der skal fordeles mellem hans hypotetiske resonansmaterialoscillatorer.

En artikel af Helge Kragh offentliggjort i Physics World redegør for denne historie.

Se også

• Emissivitet
• Udstråling
• Sakuma -Hattori ligning
• Wiens forskydningslov

Referencer

Bibliografi

eksterne links

• Resumé af stråling
• Radiation of a Blackbody - interaktiv simulation til at lege med Plancks lov
• Scienceworld -indgang om Plancks lov