Kvadratisk variation - Quadratic variation

I matematik , kvadratisk variation anvendes i analysen af stokastiske processer såsom Brownsk bevægelse og andre martingales . Kvadratisk variation er blot en slags variation af en proces.

Definition

Antag, at X _t er en reelt værdsat stokastisk proces defineret på et sandsynlighedsrum og med tidsindeks t, der spænder over de ikke-negative reelle tal. Dens kvadratiske variation er processen, skrevet som [ X ] _t , defineret som ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}$

${\ displaystyle [X] _ {t} = \ lim _ {\ Vert P \ Vert \ rightarrow 0} \ sum _ {k = 1}^{n} (X_ {t_ {k}}-X_ {t_ {k -1}})^{2}}$

hvor P varierer over partitioner i intervallet [0, t ] og normen for partitionen P er masken . Denne grænse, hvis den findes, defineres ved hjælp af konvergens i sandsynlighed . Bemærk, at en proces kan være af begrænset kvadratisk variation i betydningen af ​​definitionen givet her, og dens veje ikke desto mindre næsten sikkert være uendelig 1-variation for hver t > 0 i klassisk forstand at tage summen af ​​alle belægninger; dette er især tilfældet for Brownian Motion .

Mere generelt samvariationen (eller cross-varians ) af to processer X og Y er

${\ displaystyle [X, Y] _ {t} = \ lim _ {\ Vert P \ Vert \ to 0} \ sum _ {k = 1}^{n} \ venstre (X_ {t_ {k}}-X_ {t_ {k-1}} \ højre) \ venstre (Y_ {t_ {k}}-Y_ {t_ {k-1}} \ højre).}$

Kovariationen kan skrives i form af den kvadratiske variation ved polariseringsidentiteten :

${\ displaystyle [X, Y] _ {t} = {\ tfrac {1} {2}} ([X+Y] _ {t}-[X] _ {t}-[Y] _ {t}) .}$

Endelige variationsprocesser

En proces X siges at have begrænset variation, hvis den har begrænset variation over hvert begrænset tidsinterval (med sandsynlighed 1). Sådanne processer er meget almindelige, herunder især alle kontinuerligt differentierbare funktioner. Den kvadratiske variation eksisterer for alle kontinuerlige begrænsede variationprocesser og er nul.

Denne erklæring kan generaliseres til ikke-kontinuerlige processer. Alle càdlàg variation proces finite X har kvadratisk variation lig med summen af kvadraterne af springer af X . For at angive dette mere præcist betegnes venstre grænse for X _t med hensyn til t med X _{t -} , og springet af X på tidspunktet t kan skrives som Δ X _t  =  X _t  -  X _{t -} . Derefter er den kvadratiske variation givet ved

${\ displaystyle [X] _ {t} = \ sum _ {0 <s \ leq t} (\ Delta X_ {s})^{2}.}$

Beviset for, at kontinuerlige begrænsede variationprocesser har nul kvadratisk variation, følger af følgende ulighed. Her er P en deling af intervallet [0, t ], og V _t ( X ) er variationen af X over [0, t ].

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {k = 1}^{n} (X_ {t_ {k}}-X_ {t_ {k-1}})^{2} & \ leq \ max _ {k \ leq n} | X_ {t_ {k}}-X_ {t_ {k-1}} | \ sum _ {k = 1}^{n} | X_ {t_ {k}}-X_ {t_ { k-1}} | \\ & \ leq \ max _ {| uv | \ leq \ Vert P \ Vert} | X_ {u} -X_ {v} | V_ {t} (X). \ end {justeret} }}$

Ved kontinuiteten af X forsvinder dette i grænsen og går til nul. ${\ displaystyle \ Vert P \ Vert}$

Itô -processer

Den kvadratiske variation af en standard Brownian bevægelse B eksisterer og er givet ved [ B ] _t  =  t , men grænsen i definitionen er ment i L2 forstand og ikke sti. Dette generaliserer til Itô -processer , der pr. Definition kan udtrykkes i form af Itô -integraler

${\ displaystyle {\ begin {align} X_ {t} & = X_ {0}+\ int _ {0}^{t} \ sigma _ {s} \, dB_ {s}+\ int _ {0}^ {t} \ mu _ {s} \, d [B] _ {s} \\ & = X_ {0}+\ int _ {0}^{t} \ sigma _ {s} \, dB_ {s} +\ int _ {0}^{t} \ mu _ {s} \, ds, \ end {align}}}$

hvor B er en brunisk bevægelse. Enhver sådan proces har kvadratisk variation givet af

${\ displaystyle [X] _ {t} = \ int _ {0}^{t} \ sigma _ {s}^{2} \, ds.}$

Semimartingales

Det kan påvises, at kvadratiske variationer og kovariationer for alle semimartingales eksisterer. De udgør en vigtig del af teorien om stokastisk regning, der optræder i Itôs lemma , som er generaliseringen af ​​kædereglen til Itô -integralet. Den kvadratiske kovariation vises også i formlen for integration efter dele

${\ displaystyle X_ {t} Y_ {t} = X_ {0} Y_ {0}+\ int _ {0}^{t} X_ {s-} \, dY_ {s}+\ int _ {0}^ {t} Y_ {s-} \, dX_ {s}+[X, Y] _ {t},}$

som kan bruges til at beregne [ X , Y ].

Alternativt kan dette skrives som en stokastisk differentialligning:

${\ displaystyle \, d (X_ {t} Y_ {t}) = X_ {t-} \, dY_ {t}+Y_ {t-} \, dX_ {t}+\, dX_ {t} \, dY_ {t},}$

hvor ${\ displaystyle \, dX_ {t} \, dY_ {t} = \, d [X, Y] _ {t}.}$

Martingales

Alle càdlàg martingales og lokale martingales har veldefineret kvadratisk variation, hvilket følger af, at sådanne processer er eksempler på semimartingales. Det kan vises, at den kvadratiske variation [ M ] af en generel lokalt firkantet integrerbar martingale M er den unikke højre-kontinuerlige og stigende proces, der starter ved nul, med spring Δ [ M ] = Δ M ² , og sådan at M ^2-  [ M ] er en lokal martingale. Et bevis på eksistensen af ​​[ M ] (uden brug af stokastisk beregning) er givet i Karandikar – Rao (2014).

Et nyttigt resultat for firkantede integrerbare martingaler er Itô -isometrien , som kan bruges til at beregne variansen af ​​Itô -integraler,

${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left (\ left (\ int _ {0}^{t} H \, dM \ right)^{2} \ right) = \ operatorname {E} \ left (\ int _ {0}^{t} H^{2} \, d [M] \ højre).}$

Dette resultat gælder, når M er en càdlàg square integrerbar martingale, og H er en afgrænset forudsigelig proces og bruges ofte i konstruktionen af ​​Itô -integralet.

Et andet vigtigt resultat er uligheden Burkholder – Davis – Gundy . Dette giver grænser for maksimum på en martingale med hensyn til den kvadratiske variation. For en lokal martingale M, der starter ved nul, med maksimum angivet med M _t ^*  ≡ sup _{s≤  t} | M _s | og ethvert reelt tal p  ≥ 1, uligheden er

${\ displaystyle c_ {p} \ operatorname {E} ([M] _ {t}^{p/2}) \ leq \ operatorname {E} ((M_ {t}^{*})^{p}) \ leq C_ {p} \ operatorname {E} ([M] _ {t}^{p/2}).}$

Her er c _p  <  C _p konstanter afhængigt af valget af p , men ikke afhængigt af martingalen M eller tid t brugt. Hvis M er en kontinuerlig lokal martingale, gælder uligheden Burkholder – Davis – Gundy for enhver  p  > 0.

En alternativ proces, den forudsigelige kvadratiske variation bruges undertiden til lokalt firkantede integrerbare martingaler. Dette er skrevet som og er defineret til at være den unikke højre-kontinuerlige og stigende forudsigelige proces, der starter ved nul, så det er en lokal martingale. Dets eksistens følger af Doob -Meyer -nedbrydningssætningen, og for kontinuerlige lokale martingaler er det det samme som den kvadratiske variation. ${\ displaystyle \ langle M_ {t} \ rangle}$${\ displaystyle M^{2}-\ langle M \ rangle}$

Se også

• Total variation
• Afgrænset variation

Referencer

• Protter, Philip E. (2004), Stokastisk integration og differentielle ligninger (2. udgave), Springer, ISBN 978-3-540-00313-7
• Karandikar, Rajeeva L .; Rao, BV (2014). "Om kvadratisk variation af martingaler" . Proceedings - Matematiske videnskaber . 124 (3): 457–469. doi : 10.1007/s12044-014-0179-2 .