Kvasi-analytisk funktion - Quasi-analytic function

I matematik er en kvasi-analytisk klasse af funktioner en generalisering af klassen af ​​virkelige analytiske funktioner baseret på følgende kendsgerning. Hvis f er en analytisk funktion i et interval [ a , b ] ⊂  R , og på et tidspunkt f og alle dets derivater er nul, er f identisk nul på alle [ a , b ]. Kvasi-analytiske klasser er bredere klasser af funktioner, som denne erklæring stadig gælder.

Definitioner

Lad være en sekvens af positive reelle tal. Derefter defineres Denjoy-Carleman-klassen af ​​funktioner C ^M ([ a , b ]) som de f  ∈  C ^∞ ([ a , b ]), der tilfredsstiller ${\ displaystyle M = \ {M_ {k} \} _ {k = 0} ^ {\ infty}}$

${\ displaystyle \ venstre | {\ frac {d ^ {k} f} {dx ^ {k}}} (x) \ højre | \ leq A ^ {k + 1} k! M_ {k}}$

for alle x  ∈ [ a , b ], nogle konstante A og alle ikke-negative heltal k . Hvis M _k  = 1 er dette nøjagtigt klassen af ​​virkelige analytiske funktioner på [ a , b ].

Klasse C ^M ([ a , b ]) siges at være kvasi-analytisk, hvis hver gang f  ∈  C ^M ([ a , b ]) og

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {k} f} {dx ^ {k}}} (x) = 0}$

for et punkt x  ∈ [ a , b ] og alle k , er f identisk lig med nul.

En funktion f kaldes en kvasi-analytisk funktion, hvis f er i en eller anden kvasi-analytisk klasse.

Kvasi-analytiske funktioner af flere variabler

For en funktion og multi-indekser , betegnes og ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle j = (j_ {1}, j_ {2}, \ ldots, j_ {n}) \ in \ mathbb {N} ^ {n}}$${\ displaystyle | j | = j_ {1} + j_ {2} + \ ldots + j_ {n}}$

${\ displaystyle D ^ {j} = {\ frac {\ partial ^ {j}} {\ delvis x_ {1} ^ {j_ {1}} \ delvis x_ {2} ^ {j_ {2}} \ ldots \ delvis x_ {n} ^ {j_ {n}}}}}$

${\ displaystyle j! = j_ {1}! j_ {2}! \ ldots j_ {n}!}$

og

${\ displaystyle x ^ {j} = x_ {1} ^ {j_ {1}} x_ {2} ^ {j_ {2}} \ ldots x_ {n} ^ {j_ {n}}.}$

Derefter kaldes kvasi-analytisk på det åbne sæt, hvis der for enhver kompakt er en konstant sådan ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle U \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle K \ subset U}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ left | D ^ {j} f (x) \ højre | \ leq A ^ {| j | +1} j! M_ {| j |}}$

for alle multi-indekser og alle punkter . ${\ displaystyle j \ in \ mathbb {N} ^ {n}}$${\ displaystyle x \ in K}$

Denjoy-Carleman-klassen af variabelfunktioner med hensyn til sekvensen på sættet kan betegnes , selvom andre notationer bugner. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle C_ {n} ^ {M} (U)}$

Denjoy-Carleman-klassen siges at være kvasi-analytisk, når den eneste funktion i den, der har alle dens partielle derivater lig med nul på et punkt, er funktionen identisk lig med nul. ${\ displaystyle C_ {n} ^ {M} (U)}$

En funktion af flere variabler siges at være kvasi-analytisk, når den hører til en kvasi-analytisk Denjoy-Carleman-klasse.

Kvasi-analytiske klasser med hensyn til logaritmisk konvekse sekvenser

I definitionerne ovenfor er det muligt at antage, at og at sekvensen ikke falder. ${\ displaystyle M_ {1} = 1}$${\ displaystyle M_ {k}}$

Sekvensen siges at være logaritmisk konveks , hvis ${\ displaystyle M_ {k}}$

${\ displaystyle M_ {k + 1} / M_ {k}}$ stiger.

Hvornår er logaritmisk konveks, øges derefter og ${\ displaystyle M_ {k}}$${\ displaystyle (M_ {k}) ^ {1 / k}}$

${\ displaystyle M_ {r} M_ {s} \ leq M_ {r + s}}$for alle .${\ displaystyle (r, s) \ in \ mathbb {N} ^ {2}}$

Den kvasi-analytiske klasse med hensyn til en logaritmisk konveks sekvens sætter: ${\ displaystyle C_ {n} ^ {M}}$${\ displaystyle M}$

• ${\ displaystyle C_ {n} ^ {M}}$er en ring. Især er det lukket under multiplikation.
• ${\ displaystyle C_ {n} ^ {M}}$lukkes under sammensætning. Specifikt, hvis og så .${\ displaystyle f = (f_ {1}, f_ {2}, \ ldots f_ {p}) \ in (C_ {n} ^ {M}) ^ {p}}$${\ displaystyle g \ i C_ {p} ^ {M}}$${\ displaystyle g \ circ f \ in C_ {n} ^ {M}}$

Denjoy – Carleman-sætningen

Denjoy – Carleman teorem, bevist af Carleman (1926) efter Denjoy (1921) gav nogle delvise resultater, giver kriterier for sekvensen M under hvilken C ^M ([ a , b ]) er en kvasi-analytisk klasse. Det hedder, at følgende betingelser er ækvivalente:

• C ^M ([ a , b ]) er kvasi-analytisk.
• ${\ displaystyle \ sum 1 / L_ {j} = \ infty}$hvor .${\ displaystyle L_ {j} = \ inf _ {k \ geq j} (k \ cdot M_ {k} ^ {1 / k})}$
• ${\ displaystyle \ sum _ {j} {\ frac {1} {j}} (M_ {j} ^ {*}) ^ {- 1 / j} = \ infty}$, Hvor M _j ^* er den største log konvekse sekvensen afgrænset oven af M _j .
• ${\ displaystyle \ sum _ {j} {\ frac {M_ {j-1} ^ {*}} {(j + 1) M_ {j} ^ {*}}} = \ infty.}$

Beviset for, at de to sidste betingelser svarer til det andet, bruger Carlemans ulighed .

Eksempel: Denjoy (1921) påpegede, at hvis M _n er givet af en af ​​sekvenserne

${\ displaystyle 1, \, {(\ ln n)} ^ {n}, \, {(\ ln n)} ^ {n} \, {(\ ln \ ln n)} ^ {n}, \, {(\ ln n)} ^ {n} \, {(\ ln \ ln n)} ^ {n} \, {(\ ln \ ln \ ln n)} ^ {n}, \ dots,}$

så er den tilsvarende klasse kvasi-analytisk. Den første sekvens giver analytiske funktioner.

Yderligere egenskaber

For en logaritmisk konveks sekvens gælder følgende egenskaber for den tilsvarende klasse af funktioner: ${\ displaystyle M}$

• ${\ displaystyle C ^ {M}}$ indeholder de analytiske funktioner, og det er lig med det hvis og kun hvis ${\ displaystyle \ sup _ {j \ geq 1} (M_ {j}) ^ {1 / j} <\ infty}$
• Hvis er en anden logaritmisk konveks sekvens, med for nogen konstant , så .${\ displaystyle N}$${\ displaystyle M_ {j} \ leq C ^ {j} N_ {j}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C ^ {M} \ subset C ^ {N}}$
• ${\ displaystyle C ^ {M}}$er stabil under differentiering, hvis og kun hvis .${\ displaystyle \ sup _ {j \ geq 1} (M_ {j + 1} / M_ {j}) ^ {1 / j} <\ infty}$
• For enhver uendelig differentierbar funktion er der kvasi-analytiske ringe og og elementer , og sådan .${\ displaystyle f}$${\ displaystyle C ^ {M}}$${\ displaystyle C ^ {N}}$${\ displaystyle g \ in C ^ {M}}$${\ displaystyle h \ in C ^ {N}}$${\ displaystyle f = g + h}$

Weierstrass division

En funktion siges at være regelmæssig i orden med hensyn til hvis og . Givet regelmæssig orden med hensyn til , siges en ring af reelle eller komplekse funktioner af variabler at tilfredsstille Weierstrass-opdelingen med hensyn til, hvis for enhver der er , og sådan at ${\ displaystyle g: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle x_ {n}}$${\ displaystyle g (0, x_ {n}) = h (x_ {n}) x_ {n} ^ {d}}$${\ displaystyle h (0) \ neq 0}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle x_ {n}}$${\ displaystyle A_ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle f \ in A_ {n}}$${\ displaystyle q \ in A}$${\ displaystyle h_ {1}, h_ {2}, \ ldots, h_ {d-1} \ i A_ {n-1}}$

${\ displaystyle f = gq + h}$med .${\ displaystyle h (x ', x_ {n}) = \ sum _ {j = 0} ^ {d-1} h_ {j} (x') x_ {n} ^ {j}}$

Mens ringen af ​​analytiske funktioner og ringen af ​​formelle kraftserier begge tilfredsstiller Weierstrass-delingsejendommen, er det ikke tilfældet for andre kvasi-analytiske klasser.

Hvis er logaritmisk konveks og ikke er lig med klassen analytisk funktion, tilfredsstiller ikke Weierstrass-divisionsegenskapen med hensyn til . ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle C ^ {M}}$${\ displaystyle C ^ {M}}$${\ displaystyle g (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = x_ {1} + x_ {2} ^ {2}}$

Referencer

• Carleman, T. (1926), Les fonctions quasi-analyse , Gauthier-Villars
• Cohen, Paul J. (1968), "Et simpelt bevis på Denjoy-Carleman-sætningen", The American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America, 75 (1): 26–31, doi : 10.2307 / 2315100 , ISSN  0002-9890 , JSTOR  2315100 , MR  0225957
• Denjoy, A. (1921), "Sur les fonctions quasi-analytiques de variable réelle", CR Acad. Sci. Paris , 173 : 1329–1331
• Hörmander, Lars (1990), Analysen af ​​lineære partielle forskellende operatører I , Springer-Verlag, ISBN  3-540-00662-1
• Leont'ev, AF (2001) [1994], "Quasi-analytisk klasse" , i Hazewinkel, Michiel , Encyclopedia of Mathematics , Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publisher, ISBN  978-1-55608-010-4
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Carleman theemem" , i Hazewinkel, Michiel , Encyclopedia of Mathematics , Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publisher, ISBN  978-1-55608-010-4